Poliedri: come trovare l'area della superficie laterale di una piramide. Trova la superficie di una piramide triangolare regolare

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è una figura la cui base è un poligono arbitrario e le facce laterali sono rappresentate da triangoli. I loro vertici si trovano nello stesso punto e corrispondono alla sommità della piramide.

La piramide può essere variata: triangolare, quadrangolare, esagonale, ecc. Il suo nome può essere determinato in base al numero di angoli adiacenti alla base.
La piramide giusta chiamata piramide in cui i lati della base, degli angoli e dei bordi sono uguali. Anche in una tale piramide l'area delle facce laterali sarà uguale.
La formula per l'area della superficie laterale di una piramide è la somma delle aree di tutte le sue facce:
Cioè, per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide arbitraria, è necessario trovare l'area di ogni singolo triangolo e sommarli insieme. Se la piramide viene troncata, le sue facce sono rappresentate da trapezi. Esiste un'altra formula per una piramide regolare. In esso si calcola la superficie laterale attraverso il semiperimetro della base e la lunghezza dell'apotema:

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area della superficie laterale di una piramide.
Sia data una piramide quadrangolare regolare. Lato della base B= 6 cm, apotema UN= 8 cm Trova l'area della superficie laterale.

Alla base di una piramide quadrangolare regolare c'è un quadrato. Per prima cosa troviamo il suo perimetro:

Ora possiamo calcolare l'area della superficie laterale della nostra piramide:

Per trovare l'area totale di un poliedro, devi trovare l'area della sua base. La formula per l'area della base di una piramide può differire a seconda del poligono che si trova alla base. Per fare ciò, usa la formula per l'area di un triangolo, area di un parallelogramma eccetera.

Considera un esempio di calcolo dell'area della base di una piramide data dalle nostre condizioni. Poiché la piramide è regolare, alla sua base è presente un quadrato.
Zona quadrata calcolato con la formula: ,
dove a è il lato del quadrato. Per noi è 6 cm, ciò significa che l'area della base della piramide è:

Ora non resta che trovare l’area totale del poliedro. La formula per l'area di una piramide consiste nella somma dell'area della sua base e della superficie laterale.

L'area della superficie laterale di una piramide arbitraria è uguale alla somma delle aree delle sue facce laterali. Ha senso fornire una formula speciale per esprimere quest'area nel caso di una piramide regolare. Diamo quindi una piramide regolare, alla base della quale si trova un n-gono regolare con lato uguale ad a. Sia h l'altezza della faccia laterale, detta anche apotema piramidi. L'area di una faccia laterale è pari a 1/2ah, e l'intera superficie laterale della piramide ha un'area pari a n/2ha. Poiché na è il perimetro della base della piramide, possiamo scrivere la formula trovata Nella forma:

Superficie laterale di una piramide regolare è uguale al prodotto del suo apotema per metà del perimetro di base.

Riguardo superficie totale, quindi aggiungiamo semplicemente l'area della base a quella laterale.

Sfera e palla inscritta e circoscritta. Va notato che il centro della sfera inscritta nella piramide si trova all'intersezione dei piani bisettoriali degli angoli diedri interni della piramide. Il centro della sfera descritta vicino alla piramide si trova all'intersezione dei piani passanti per i punti medi degli spigoli della piramide e perpendicolari ad essi.

Piramide tronca. Se una piramide è tagliata da un piano parallelo alla sua base, allora si chiama la parte racchiusa tra il piano di taglio e la base piramide tronca. La figura mostra una piramide; scartando la sua parte che si trova sopra il piano di taglio, otteniamo una piramide tronca. È chiaro che la piccola piramide scartata è omotetica alla grande piramide con il centro di omotetismo al vertice. Il coefficiente di somiglianza è uguale al rapporto tra le altezze: k=h 2 /h 1, o i bordi laterali, o altre dimensioni lineari corrispondenti di entrambe le piramidi. Sappiamo che le aree di figure simili sono legate come quadrati di dimensioni lineari; quindi le aree delle basi di entrambe le piramidi (cioè l'area delle basi della piramide tronca) sono correlate come

Qui S 1 è l'area della base inferiore e S 2 è l'area della base superiore del tronco di piramide. Le superfici laterali delle piramidi sono nella stessa relazione. Una regola simile esiste per i volumi.

Volumi di corpi simili sono legati come i cubi delle loro dimensioni lineari; ad esempio i volumi delle piramidi sono rapportati come il prodotto delle loro altezze per l'area delle basi, da cui si ricava subito la nostra regola. È di carattere del tutto generale e deriva direttamente dal fatto che il volume ha sempre una dimensione pari alla terza potenza della lunghezza. Usando questa regola, ricaviamo una formula che esprime il volume di una piramide tronca attraverso l'altezza e l'area delle basi.

Sia data una piramide tronca con altezza h e aree di base S 1 e S 2. Se immaginiamo che sia estesa ad una piramide intera, allora il coefficiente di somiglianza tra la piramide intera e la piramide piccola può essere facilmente trovato come radice del rapporto S 2 /S 1 . L'altezza di una piramide tronca è espressa come h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Ora abbiamo il volume di una piramide tronca (V 1 e V 2 indicano i volumi delle piramidi piene e piccole)

formula per il volume di una piramide tronca

Deriviamo la formula per l'area S della superficie laterale di una piramide regolare tronca attraverso i perimetri P 1 e P 2 delle basi e la lunghezza dell'apotema a. Ragioniamo esattamente allo stesso modo di quando ricaviamo la formula del volume. Integriamo la piramide con la parte superiore, abbiamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, dove k è il coefficiente di somiglianza, P 1 e P 2 sono i perimetri delle basi, e S 1 e S 2 sono le aree delle superfici laterali dell'intera piramide risultante e di conseguenza la sua parte superiore. Per la superficie laterale troviamo (a 1 e a 2 sono apotemi delle piramidi, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula per la superficie laterale di una piramide regolare tronca

Istruzioni

Prima di tutto, vale la pena capire che la superficie laterale della piramide è rappresentata da diversi triangoli, le cui aree possono essere trovate utilizzando una varietà di formule, a seconda dei dati conosciuti:

S = (a*h)/2, dove h è l'altezza ribassata al lato a;

S = a*b*sinβ, dove a, b sono i lati del triangolo e β è l'angolo compreso tra questi lati;

S = (r*(a + b + c))/2, dove a, b, c sono i lati del triangolo, e r è il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo;

S = (a*b*c)/4*R, dove R è il raggio del triangolo circoscritto alla circonferenza;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (se il triangolo è rettangolo);

S = S = (a²*√3)/4 (se il triangolo è equilatero).

In realtà, queste sono solo le formule più elementari conosciute per trovare l'area di un triangolo.

Dopo aver calcolato le aree di tutti i triangoli che sono le facce della piramide utilizzando le formule sopra, puoi iniziare a calcolare l'area di questa piramide. Questo viene fatto in modo estremamente semplice: devi sommare le aree di tutti i triangoli che formano la superficie laterale della piramide. Ciò può essere espresso dalla formula:

Sp = ΣSi, dove Sp è l'area della superficie laterale, Si è l'area dell'i-esimo triangolo, che fa parte della sua superficie laterale.

Per maggiore chiarezza, possiamo considerare un piccolo esempio: data una piramide regolare, le cui facce laterali sono formate da triangoli equilateri, e alla sua base si trova un quadrato. La lunghezza del bordo di questa piramide è di 17 cm ed è necessario trovare l'area della superficie laterale di questa piramide.

Soluzione: la lunghezza dello spigolo di questa piramide è nota, è noto che le sue facce sono triangoli equilateri. Pertanto, possiamo dire che tutti i lati di tutti i triangoli sulla superficie laterale sono pari a 17 cm, quindi per calcolare l'area di uno qualsiasi di questi triangoli sarà necessario applicare la formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

È noto che alla base della piramide si trova un quadrato. Pertanto è chiaro che i triangoli equilateri dati sono quattro. Quindi l'area della superficie laterale della piramide viene calcolata come segue:

125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

Risposta: La superficie laterale della piramide è 500.548 cm²

Innanzitutto, calcoliamo l'area della superficie laterale della piramide. La superficie laterale è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Se si tratta di una piramide regolare (cioè che ha alla base un poligono regolare e il vertice è proiettato al centro di questo poligono), allora per calcolare l'intera superficie laterale è sufficiente moltiplicare il perimetro di la base (ovvero la somma delle lunghezze di tutti i lati del poligono che giace alla base della piramide) per l'altezza della faccia laterale (altrimenti chiamata apotema) e dividere il valore risultante per 2: Sb = 1/2P* h, dove Sb è l'area della superficie laterale, P è il perimetro della base, h è l'altezza della faccia laterale (apotema).

Se hai una piramide arbitraria davanti a te, dovrai calcolare separatamente le aree di tutte le facce e poi sommarle. Poiché le facce laterali della piramide sono triangoli, usa la formula per l'area di un triangolo: S=1/2b*h, dove b è la base del triangolo e h è l'altezza. Quando sono state calcolate le aree di tutte le facce non resta che sommarle per ottenere l'area della superficie laterale della piramide.

Quindi è necessario calcolare l'area della base della piramide. La scelta della formula per il calcolo dipende da quale poligono si trova alla base della piramide: regolare (cioè uno con tutti i lati della stessa lunghezza) o irregolare. L'area di un poligono regolare può essere calcolata moltiplicando il perimetro per il raggio del cerchio inscritto nel poligono e dividendo il valore risultante per 2: Sn = 1/2P*r, dove Sn è l'area del poligono poligono, P è il perimetro e r è il raggio del cerchio inscritto nel poligono.

Una piramide tronca è un poliedro formato da una piramide e la sua sezione trasversale è parallela alla base. Trovare la superficie laterale della piramide non è affatto difficile. È molto semplice: l'area è uguale al prodotto della metà della somma delle basi per . Consideriamo un esempio di calcolo della superficie laterale. Supponiamo di avere una piramide regolare. Le lunghezze della base sono b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Per trovare l'area della superficie laterale della piramide bisogna prima trovare il perimetro delle basi. In una base grande sarà pari a p1=4b=4*5=20 cm. In una base più piccola la formula sarà la seguente: p2=4c=4*3=12 cm. Pertanto l'area sarà pari a : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Piramide triangolareè un poliedro la cui base è un triangolo regolare.

In una tale piramide, i bordi della base e i bordi dei lati sono uguali tra loro. Di conseguenza, l'area delle facce laterali si ottiene dalla somma delle aree di tre triangoli identici. Puoi trovare la superficie laterale di una piramide regolare usando la formula. E puoi effettuare il calcolo più volte più velocemente. Per fare ciò, è necessario applicare la formula per l'area della superficie laterale di una piramide triangolare:

dove p è il perimetro della base, i cui lati sono tutti uguali a b, a è l'apotema abbassato dall'alto a questa base. Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di una piramide triangolare.

Problema: Sia data una piramide regolare. Il lato del triangolo alla base è b = 4 cm L'apotema della piramide è a = 7 cm Trova l'area della superficie laterale della piramide.
Poiché, a seconda delle condizioni del problema, conosciamo le lunghezze di tutti gli elementi necessari, troveremo il perimetro. Ricordiamo che in un triangolo regolare tutti i lati sono uguali e, quindi, il perimetro si calcola con la formula:

Sostituiamo i dati e troviamo il valore:

Ora, conoscendo il perimetro, possiamo calcolare la superficie laterale:

Per applicare la formula dell'area di una piramide triangolare per calcolare il valore completo, è necessario trovare l'area della base del poliedro. Per fare ciò, utilizzare la formula:

La formula per l'area della base di una piramide triangolare può essere diversa. È possibile utilizzare qualsiasi calcolo dei parametri per una determinata cifra, ma molto spesso ciò non è richiesto. Consideriamo un esempio di calcolo dell'area della base di una piramide triangolare.

Problema: In una piramide regolare il lato del triangolo alla base è a = 6 cm Calcola l'area della base.
Per calcolare abbiamo solo bisogno della lunghezza del lato del triangolo regolare situato alla base della piramide. Sostituiamo i dati nella formula:

Molto spesso è necessario trovare l'area totale di un poliedro. Per fare ciò, dovrai sommare l'area della superficie laterale e della base.

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di una piramide triangolare.

Problema: Sia data una piramide triangolare regolare. Il lato di base è b = 4 cm, l'apotema è a = 6 cm Trova l'area totale della piramide.
Innanzitutto, troviamo l'area della superficie laterale utilizzando la formula già nota. Calcoliamo il perimetro:

Sostituisci i dati nella formula:
Ora troviamo l'area della base:
Conoscendo l'area della base e della superficie laterale, troviamo l'area totale della piramide:

Quando calcoli l'area di una piramide regolare, non dovresti dimenticare che la base è un triangolo regolare e molti elementi di questo poliedro sono uguali tra loro.