Hatványozás, szabályok, példák. Fokozat és tulajdonságai

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, hogy megtalálja a leghasznosabb forrást

Miért van szükség diplomára? Hol van szükséged rájuk? Miért kell időt tölteni a tanulmányozásukkal?

Olvassa el ezt a cikket, hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire valók, hogyan használhatja tudását a mindennapi életben.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az OGE vagy az egységes államvizsga sikeres letételéhez és álmai egyetemére való belépéshez.

Gyerünk... (Menjünk!)

ELSŐ SZINT

A hatványozás ugyanaz a matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Figyelj. A példák alapvetőek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindegyikben van két üveg kóla. Mennyi kóla? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanez a példa a kólával másképp is felírható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják a módját, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben észrevették, hogy mind a nyolc embernek ugyanannyi üveg kólája van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Persze lehet mindent lassabban, keményebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És egy másik, szebb:

És milyen trükkös számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Helyesen - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek rá, hogy az ötödik hatvány kettő. És gondolatban oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Ehhez csak az kell ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványait tartalmazó táblázatban. Hidd el, sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják a másodfokút négyzet számok, és a harmadik kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük egy négyzettel vagy egy szám második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete méter méter. A medence a hátsó udvarban van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De ... egy medence fenék nélkül! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence aljának területét.

Egyszerűen az ujjával bökve megszámolhatja, hogy a medence alja méterről méterre kockákból áll. Ha a csempe méterről méterre, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempét? A csempe inkább cm-ről cm-re lesz, és akkor az „ujjal számolva” fog gyötörni. Akkor szorozni kell. Tehát a medencefenék egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét fogunk felhelyezni. Ha megszorozzuk, akkor csempéket kapunk ().

Észrevette, hogy ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával, hogy meghatározzuk a medence aljának területét? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot megszorozzuk, használhatjuk a hatványozási technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb és a számítások során is kevesebb a hiba. A vizsga szempontjából ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második fokig lesz (). Vagy mondhatod, hogy harmincnégyzetes lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. példa az életből

Íme egy feladat, számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másik oldalán is. A számuk megszámlálásához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy ... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolcat is írhat. Szerezzen sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: egy méter nagyságú és egy méter mély fenék, és próbáld meg kiszámolni, hogy hány méteres méteres kocka kerül be a medence.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy… huszonkettő, huszonhárom… Mennyi lett? Nem tévedt el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal ... Könnyebb, igaz?

Képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt túlságosan megkönnyítik. Mindent egyetlen műveletre redukált. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanazt a számot megszorozzák magával... És ez mit jelent? Ez azt jelenti, hogy használhatja a diplomát. Tehát, amit egykor ujjal megszámoltál, azt egy művelettel megcsinálják: egy kockában három egyenlő. Így van írva:

Csak marad jegyezze meg a foktáblázatot. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, folyamatosan számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat naplopók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, nem pedig azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden év elején minden milliója megduplázódik. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és .. hülye. De valószínűleg pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kétszer kettő... a második évben - mi történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám egyszer megszorozódik önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy van versenyed, és aki gyorsabban számol, az megkapja ezeket a milliókat... Érdemes emlékezni a számok fokára, mit gondolsz?

Valós példa #5

Van egy milliód. Minden év elején minden millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű ugye? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, aztán az eredmény egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatvány egy millió. Csak emlékezni kell arra, hogy a háromtól a negyedik hatványig vagy.

Most már tudod, hogy ha egy számot hatványra emelsz, sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne tévedjünk össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi a kitevő? Nagyon egyszerű – ez az a szám, amely a szám hatványának „tetején” van. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen alapfokú végzettség? Még egyszerűbb az a szám, amely alul, az alján van.

Itt van egy kép, hogy biztosra menjen.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezés érdekében... A "" alappal és a "" jelzővel rendelkező diplomát a "fokozatban" olvassuk, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi van természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok, amelyeket a számolás során használnak az elemek felsorolásakor: egy, kettő, három ... Amikor tételeket számolunk, nem mondjuk azt, hogy „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad” vagy „nulla pont öt tized”. Ezek nem természetes számok. Szerinted mik ezek a számok?

Az olyan számok, mint a "mínusz öt", "mínusz hat", "mínusz hét" utalnak egész számok.Általánosságban elmondható, hogy az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (vagyis mínuszjellel felvetve) és egy számot. A nullát könnyű megérteni – ilyenkor nincs semmi. És mit jelentenek a negatív ("mínusz") számok? De elsősorban az adósságok jelölésére találták ki őket: ha rubelben van egyenlege a telefonon, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan jöttek létre, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nincs elegendő természetes számuk a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok… Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden: egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg a fok fogalmát, melynek kitevője egy természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése annyit tesz, mint önmagával szorozni:
3. Ha egy számot kockára szeretnénk vágni, akkor azt háromszor meg kell szorozni önmagával:

Meghatározás. Ha egy számot természetes hatványra emelünk, akkor a számot önmagával megszorozzuk:
.

Fokozat tulajdonságai

Honnan származnak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk, mi az és ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: faktorokat adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény faktorok.

De definíció szerint ez egy kitevős szám foka, vagyis: , amelyet bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Döntés: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanaz az oka!
Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

csak erőtermékekre!

Semmi esetre sem szabad ilyet írni.

2. vagyis -egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni?

De ez nem igaz, tényleg.

Fokozat negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

fokban természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor kiderül.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában) szintén nem minden olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mivel egyenlő az alap - a fok páros, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

egész megnevezzük a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a "" jellel felvetve) és a számot.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most pedig nézzünk új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, most is feltesszük magunknak a kérdést: miért van ez így?

Vegye figyelembe az alap teljesítményét. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot, és ugyanazt kaptuk, mint volt -. Milyen számmal kell megszorozni, hogy semmi ne változzon? Így van, tovább. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint minden nulla fokos számnak, egyenlőnek kell lennie. Tehát mi az igazság ebben? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most már nem csak oszthatjuk nullával, hanem emelhetjük is a nulla hatványra.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Hogy megértsük, mi a negatív fok, tegyük ugyanazt, mint legutóbb: valamilyen normál számot megszorozunk ugyanannak a negatív fokozatban:

Innen már könnyű kifejezni a kívántat:

Most kiterjesztjük a kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzuk meg a szabályt:

Egy szám negatív hatványhoz azonos szám pozitív hatványának fordítottja. De ugyanakkor az alap nem lehet null:(mert nem lehet osztani).

Összefoglaljuk:

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák egy független megoldásra:

Feladatok elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de a vizsgán mindenre készen kell állni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásukat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan kezelheti ezeket könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: mindaz, ami törtként ábrázolható, ahol és az egész számok, ráadásul.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok" Tekintsünk egy töredéket:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzen a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th fok gyöke a hatványozás fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset kiterjeszthető: .

Most add hozzá a számlálót: mi az? A választ könnyen megtalálhatja a teljesítmény-hatalom szabályával:

De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem kinyerhető minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból nem lehet páros fokú gyököket kivonni!

Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukált törtként is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, és ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor le tudod írni. De amint máshogy írjuk a mutatót, ismét bajba kerülünk: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében fontolja meg csak pozitív alapkitevő töredékes kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

A racionális kitevővel rendelkező hatványok nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most - a legnehezebb. Most elemezzük fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoknál, kivéve

Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel.

Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat;

...nulla teljesítmény- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „előkészítés egy szám”, nevezetesen egy szám;

...negatív egész kitevő- mintha egy bizonyos „fordított folyamat” ment volna végbe, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod az ilyen példák megoldását :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a fokozatba emelés már megszokott szabályával:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — végzettség alapja;
• - kitevő.

Fok természetes kitevővel (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Hatvány egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

erekció nulla teljesítményre:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az egész szám negatív szám:

(mert nem lehet osztani).

Még egyszer a nullokról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Fokozat racionális kitevővel

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

Fokozat tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanazon az alapon kell lennie. Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak az erők termékeinél!

Semmi esetre sem szabad ilyet írnom.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Rendezzük át így:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám -edik hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:!

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni? De ez tényleg nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen indikátor fokozat. De mi legyen az alap? fokban természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha (-vel) megszorozzuk, - kapjuk.

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. Megfogalmazhatja ezeket az egyszerű szabályokat:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában) szintén nem minden olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mivel egyenlő az alap - a fok páros, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszel, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és felosztjuk őket egymásra, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt az utolsó szabályt elemeznénk, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezések értékét:

Megoldások :

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki a diploma fogalmát és egyszerűsítsük:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány levél lesz? alkalommal szorzókkal – hogyan néz ki? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: összesen kiderült, hogy szorzók vannak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokozataira vonatkozó információk mellett a fokozatot egy irracionális mutatóval elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel. Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat; egy nullafokú szám mintegy önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „szám előkészítése”, nevezetesen egy szám; egy fok negatív egész számmal - olyan, mintha egy bizonyos „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább egy tisztán matematikai objektumról van szó, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

SZAKASZ ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Fokozat racionális kitevővel

fok, melynek mutatója a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

kitevő, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

Fokozat tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST VAN EGY SZAVAD...

Hogy tetszik a cikk? Az alábbi megjegyzésekben tudassa velem, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk az erőtulajdonságokkal kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOS: életre szólóan.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

Mikor a szám megsokszorozza magát magamnak, munka hívott fokozat.

Tehát 2,2 = 4, 2 négyzete vagy második hatványa
2.2.2 = 8, kocka vagy harmadik hatvány.
2.2.2.2 = 16, negyedik fok.

Továbbá, 10,10 = 100, a második hatvány 10.
10.10.10 = 1000, harmadfok.
10.10.10.10 = 10000 negyedik fok.

És a.a = aa, a második hatványa
a.a.a = aaa, a harmadik hatványa
a.a.a.a = aaaa, a negyedik hatványa

Az eredeti számot hívják gyökér ennek a számnak a fokai, mert ez az a szám, amelyből a fokozatok létrejöttek.

Nem túl kényelmes azonban, különösen nagy erők esetén, felírni a hatásköröket alkotó összes tényezőt. Ezért egy rövidített jelölési módszert alkalmazunk. A fokozat gyöke csak egyszer van írva, és jobbra és egy kicsit feljebb mellette, de kicsit kisebb betűtípussal írják, hogy hányszor a gyökér tényezőként működik. Ezt a számot vagy betűt hívják kitevő vagy fokozat számok. Tehát a 2 egyenlő a.a-val vagy aa-val, mert az a gyökét kétszer kell megszorozni önmagával, hogy megkapjuk aa hatványát. Ezenkívül a 3 azt jelenti, hogy aaa, vagyis itt a ismétlődik háromszor szorzóként.

Az első hatvány kitevője 1, de általában nem írják le. Tehát egy 1-et a-ként írunk.

A fokozatokat nem szabad összetéveszteni együtthatók. Az együttható megmutatja, hogy milyen gyakran veszi az értéket rész egész. A kitevő azt jelzi, hogy milyen gyakran veszi az értéket tényező munkában.
Tehát 4a = a + a + a + a. De a 4 = a.a.a.a

Az exponenciális jelölésnek megvan az a sajátos előnye, hogy lehetővé teszi számunkra a kifejezést ismeretlen fokozat. Erre a célra szám helyett a kitevőt írjuk levél. A probléma megoldása során olyan értéket kaphatunk, amely, mint tudjuk, az néhány más nagyságrendű fok. De egyelőre nem tudjuk, hogy ez négyzet, kocka vagy más, magasabb fokozat. Tehát az a x kifejezésben a kitevő azt jelenti, hogy ez a kifejezés rendelkezik néhány fokozat, bár nincs meghatározva milyen fokon. Tehát b m és d n felemelkedik m és n hatványaira. Ha megtaláltuk a kitevőt, szám levél helyett. Tehát, ha m=3, akkor b m = b 3 ; de ha m = 5 akkor b m =b 5 .

Az értékek kitevőkkel történő írásának módja is nagy előnyt jelent a használat során kifejezéseket. Így (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), vagyis az (a + b + d) trinom kockája . De ha ezt a kifejezést a kocka után írjuk, akkor így fog kinézni
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ha veszünk egy hatványsorozatot, amelynek kitevője 1-gyel nő vagy csökken, akkor azt kapjuk, hogy a szorzat növekszik közös tényező vagy csökkenti közös osztó, és ez a tényező vagy osztó az eredeti szám, amelyet hatványra emelünk.

Tehát a sorozatban aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
vagy egy 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
a mutatók, ha jobbról balra számoljuk, 1, 2, 3, 4, 5; és értékeik különbsége 1. Ha elkezdjük jobb oldalon szaporodnak a-n sikeresen több értéket kapunk.

Tehát a.a = a 2 , a második tag. És a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , a harmadik tag. a 4 .a = a 5 .

Ha elkezdjük bal Ossza meg rajta,
kapunk egy 5:a = a 4 és egy 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

De egy ilyen felosztási folyamat tovább folytatható, és új értékrendet kapunk.

Tehát a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

A teljes sor a következő lesz: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Vagy egy 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a , 1 , 1/a , 1/a 2 , 1/a 3 .

Itt értékek jobb oldalon egységből van fordítottértékek egytől balra. Ezért ezeket a fokozatokat nevezhetjük inverz hatványok a. Azt is mondhatjuk, hogy a bal oldali hatványok a jobb oldali hatványok fordítottja.

Tehát 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. És 1:(1/a 3) = a 3 .

Ugyanaz a felvételi terv alkalmazható polinomok. Tehát a + b esetén egy halmazt kapunk,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

A kényelem kedvéért az inverz hatványok írásának egy másik formáját is használják.

E forma szerint 1/a vagy 1/a 1 = a -1 . És 1/aaa vagy 1/a 3 = a -3 .
1/aa vagy 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa vagy 1/a 4 = a -4 .

És ahhoz, hogy a kitevők egy teljes sorozatot képezzenek, ahol a teljes különbség 1, a/a vagy 1 olyannak tekinthető, amelynek nincs fokozata, és 0-val írják fel.

Ezután figyelembe véve a közvetlen és inverz hatványokat
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa helyett
írhat 4-et, 3-at, 2-t, 1-et, 0-t, -1-et, -2-t, -3-at, -4-et.
Vagy a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

És a csak külön felvett fokozatok sorozata a következő formában lesz:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

A fokozat gyökere egynél több betűvel is kifejezhető.

Így aa.aa vagy (aa) 2 az aa második hatványa.
És aa.aa.aa vagy (aa) 3 az aa harmadik hatványa.

Az 1-es szám minden foka azonos: 1.1 vagy 1.1.1. egyenlő lesz 1-gyel.

A hatványozás azt jelenti, hogy bármely szám értékét úgy találjuk meg, hogy a számot megszorozzuk önmagával. Hatványozási szabály:

Szorozza meg az értéket önmagával annyiszor, amennyit a szám hatványa jelez.

Ez a szabály közös minden olyan példában, amely a hatványozás folyamatában felmerülhet. De helyes lesz elmagyarázni, hogyan vonatkozik ez bizonyos esetekben.

Ha csak egy tagot emelünk hatványra, akkor azt annyiszor szorozzuk meg önmagával, ahányszor a kitevő jelzi.

A negyedik a hatvány 4 vagy aaaa. (195. cikk)
Az y hatodik hatványa y 6 vagy yyyyyy.
Az x n-edik hatványa x n vagy xxx..... n-szer ismétlődik.

Ha több kifejezésből álló kifejezést kell hatványra emelni, akkor az az elv, hogy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők hatványra emelt szorzatával.

Tehát (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = y.ay.
De ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Tehát (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Ezért egy termék fokszámának megállapításánál vagy a teljes termékre egyszerre, vagy az egyes tényezőkre külön-külön, majd ezek értékét megszorozzuk fokokkal.

1. példa: A dhy negyedik hatványa (dhy) 4 vagy d 4 h 4 y 4 .

2. példa 4b harmadik hatványa (4b) 3 vagy 4 3 b 3 vagy 64b 3 .

3. példa 6ad n-edik hatványa (6ad) n vagy 6 n a n d n.

4. példa 3m.2y harmadik hatványa (3m.2y) 3 vagy 27m 3 .8y 3.

A + és - által összekötött tagokból álló binomiális mértékét a tagok szorzásával számítjuk ki. Igen,

(a + b) 1 = a + b, az első hatvány.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, második hatvány (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, harmadfokú.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, negyedik fokozat.

Az a - b négyzetben van egy 2 - 2ab + b 2 .

Az a + b + h négyzet a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1. feladat Keresse meg az a + 2d + 3 kockát!

2. feladat. Határozzuk meg a b + 2 negyedik hatványt!

3. feladat Határozza meg x + 1 ötödik hatványát!

4. gyakorlat. Keresse meg a hatodik fokot 1 - b.

Összeg négyzetek összegeketés különbség A binomiálisok olyan gyakoriak az algebrában, hogy nagyon jól ismerni kell őket.

Ha a + h-t megszorozzuk önmagával, vagy a -h-t önmagával,
kapjuk: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 is, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Ez azt mutatja, hogy minden esetben az első és az utolsó tag a és h négyzete, a középső tag pedig a és h szorzatának kétszerese. Ezért a binomiálisok összegének és különbségének négyzete a következő szabály segítségével meghatározható.

Annak a binomiálisnak a négyzete, amelynek mindkét tagja pozitív, egyenlő az első tag négyzete + mindkét tag szorzatának kétszerese, + az utolsó tag négyzete.

Négyzet különbség binomiális egyenlő az első tag négyzetével mínusz mindkét tag szorzatának kétszerese plusz a második tag négyzete.

1. példa: 2a + b négyzet, van 4a 2 + 4ab + b 2.

2. példa Az ab + cd négyzet a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

3. példa A 3d - h négyzet 9d 2 + 6dh + h 2 .

4. példa Az a - 1 négyzet 2 - 2a + 1.

A binomiálisok magasabb hatványainak meghatározására szolgáló módszert lásd a következő szakaszokban.

Sok esetben hatékony az írás fokozat nincs szorzás.

Tehát az a + b négyzet (a + b) 2 .
Az n-edik bc + 8 + x hatvány (bc + 8 + x) n

Ilyen esetekben a konzolok takarnak minden fokozat alatti tagok.

De ha a fok gyöke többből áll szorzók, a zárójelek lefedhetik a teljes kifejezést, vagy a kényelemtől függően külön-külön is alkalmazhatók a tényezőkre.

Így az (a + b)(c + d) négyzet vagy [(a + b).(c + d)] 2 vagy (a + b) 2 .(c + d) 2 .

E kifejezések közül az elsőnél az eredmény két tényező szorzatának négyzete, a másodiknál ​​pedig a négyzeteinek szorzata. De egyenlőek egymással.

Az a.(b + d), kocka 3 vagy a 3 .(b + d) 3.

Figyelembe kell venni az érintett tagok előtti táblát is. Nagyon fontos emlékezni arra, hogy amikor egy hatalom gyökere pozitív, akkor minden pozitív ereje is pozitív. De ha a gyökér negatív, az értékek innen származnak páratlan a hatványok negatívak, míg az értékek még fokok pozitívak.

A második hatvány (-a) +a 2
A harmadik fokozat (-a) az -a 3
A negyedik hatvány (-a) +a 4
Az ötödik hatvány (-a) az -a 5

Ezért bármelyik páratlan a kitevő azonos előjelű a számmal. De még a fokozat pozitív, függetlenül attól, hogy a szám negatív vagy pozitív előjelű.
Tehát +a.+a = +a 2
ÉS -a.-a = +a 2

A már hatványra emelt értéket a kitevők szorzásával ismét hatványsá emeljük.

A 2 harmadik hatványa a 2,3 = a 6 .

Ha a 2 = aa; az aa kocka aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; ami a hatodik hatványa, de a 2 harmadik hatványa.

A negyedik hatvány a 3 b 2 a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A 4a 2 x harmadik hatványa 64a 6 x 3 .

Az (a + b) 2 ötödik hatványa (a + b) 10 .

A 3 N-edik hatványa 3n

(x - y) m n-edik hatványa (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 óra 4) 3 = a 9 b 6 óra 12

A szabály ugyanúgy vonatkozik negatív fokon.

1. példa A -2 harmadik hatványa a -3.3 =a -6 .

A -2 esetén = 1/aa, és ennek a harmadik hatványa
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A negyedik hatvány a 2 b -3 a 8 b -12 vagy a 8 / b 12 .

A b 3 x -1 négyzet b 6 x -2 .

Az n-edik ax -m hatvány x -mn vagy 1/x .

Itt azonban emlékezni kell arra, hogy ha egy jel előző fok értéke "-", akkor mindig "+"-ra kell változtatni, ha a fok páros szám.

1. példa Az -a 3 négyzet +a 6 . Az -a 3 négyzete -a 3 .-a 3 , ami a szorzójelek szabályai szerint +a 6 .

2. De az -a 3 kocka az -a 9 . -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 esetén.

3. -a 3 N-edik hatványa a 3n .

Itt az eredmény lehet pozitív vagy negatív attól függően, hogy n páros vagy páratlan.

Ha egy töredék Hatványra emelve a számlálót és a nevezőt a hatványra emeljük.

Az a/b négyzet a 2 /b 2 . A törtek szorzásának szabálya szerint
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Az 1/a második, harmadik és n-edik hatványa 1/a 2 , 1/a 3 és 1/a n .

Példák binomiálisok ahol az egyik kifejezés tört.

1. Keresse meg az x + 1/2 és x - 1/2 négyzetet.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Az a + 2/3 négyzet a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Négyzet x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Az x - b/m négyzet x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Korábban azt mutatták be törtegyütthatóáthelyezhető a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba. Az inverz hatványok írásának sémáját használva látható, hogy bármilyen szorzót mozgatható is ha a fokozat előjele megváltozik.

Tehát az ax -2 /y törtben az x-et áthelyezhetjük a számlálóból a nevezőbe.
Ekkor ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Az a/3-mal törtben y-t a nevezőből a számlálóba léptethetünk.
Ekkor a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Ugyanígy áthelyezhetünk egy pozitív kitevővel rendelkező tényezőt a számlálóba, vagy egy negatív kitevővel rendelkező tényezőt a nevezőbe.

Tehát ax 3 / b = a / bx -3 . x 3 esetén az inverz x -3 , ami x 3 = 1/x -3 .

Ezért bármely tört nevezője teljesen eltávolítható, vagy a számláló egyre csökkenthető anélkül, hogy a kifejezés jelentése megváltozna.

Tehát a/b = 1/ba -1 vagy ab -1 .

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám többszöri szorzásának eredménye önmagában. Képzeljük el a képletet: a1 * a2 * ... * an = an.

Például a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Általában a hatványozást gyakran használják a matematika és a fizika különféle képleteiben. Ennek a funkciónak tudományosabb célja van, mint a négy alapfunkciónak: összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Szám hatványra emelése

Egy szám hatványra emelése nem nehéz művelet. A szorzáshoz kapcsolódik, mint például a szorzás és az összeadás kapcsolatához. Rögzítsen egy - az "a" számok n-edik számának rövid feljegyzését, szorozva egymással.

Vegyük fontolóra a hatványozást a legegyszerűbb példákon, haladjunk tovább a bonyolultakra.

Például 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Négy négyzet (a második hatványhoz) tizenhat. Ha nem érti a 4 * 4 szorzást, akkor olvassa el a szorzásról szóló cikkünket.

Nézzünk egy másik példát: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Öt kocka (a harmadik hatványhoz) százhuszonötnek felel meg.

Egy másik példa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Kilenc kocka hétszázhuszonkilencnek felel meg.

Hatványozási képletek

A hatványra való helyes emeléshez emlékeznie kell és ismernie kell az alábbi képleteket. Ebben nincs semmi természetesen túl, a lényeg, hogy megértsük a lényeget, és akkor nem csak emlékezni fognak rájuk, de könnyűnek is tűnnek.

Egy monom hatványra emelése

Mi az a monom? Ez a számok és változók szorzata bármilyen mennyiségben. Például a kettő egy monom. Ez a cikk pedig az ilyen monomok hatalommá emeléséről szól.

Hatványozási képletekkel nem lesz nehéz kiszámítani a monom hatványozását a hatványra.

Például, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ha egy monomit hatványra emel, akkor a monom minden komponense hatványra lesz emelve.

Ha olyan változót emelünk hatványra, amelynek már van foka, a fokok megszorozódnak. Például (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Negatív hatalommá emelés

A negatív kitevő egy szám reciproka. Mi az a kölcsönösség? Bármely X szám reciprok értéke 1/X. Ez X-1=1/X. Ez a negatív fokozat lényege.

Tekintsük a (3Y)^-3 példát:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miert van az? Mivel a fokban mínusz van, egyszerűen átvisszük ezt a kifejezést a nevezőbe, majd emeljük a harmadik hatványra. Pont jó?

Törthatványra emelés

Kezdjük egy konkrét példával. 43/2. Mit jelent a teljesítmény 3/2? 3 - számláló, egy szám (jelen esetben 4) kockává emelését jelenti. A 2-es szám a nevező, ez a szám második gyökének (jelen esetben 4) kinyerése.

Ekkor megkapjuk a 43 = 2^3 = 8 négyzetgyökét. Válasz: 8.

Tehát egy törtfok nevezője lehet 3 vagy 4, és a végtelenségig tetszőleges szám, és ez a szám határozza meg az adott számból kivont négyzetgyök fokszámát. Természetesen a nevező nem lehet nulla.

Gyökért hatalommá emelni

Ha a gyököt olyan hatványra emeljük, mint magának a gyökérnek a hatványa, akkor a válasz a radikális kifejezés. Például (√x)2 = x. És így minden esetben egyenlő a gyökér foka és a gyökéremelés mértéke.

Ha (√x)^4. Ekkor (√x)^4=x^2. A megoldás ellenőrzéséhez a kifejezést tört fokú kifejezéssé fordítjuk. Mivel a gyök négyzet, a nevező 2. Ha pedig a gyököt a negyedik hatványra emeljük, akkor a számláló 4. 4/2=2-t kapunk. Válasz: x = 2.

Mindenesetre a legjobb megoldás az, ha a kifejezést egyszerűen tört kitevővé konvertálja. Ha a törtet nem csökkentjük, akkor ilyen válasz lesz, feltéve, hogy az adott szám gyökere nincs kiosztva.

Komplex szám hatványozása

Mi az a komplex szám? A komplex szám olyan kifejezés, amelynek képlete a + b * i; a, b valós számok. i az a szám, amely négyzetre vetve a -1 számot adja.

Vegyünk egy példát. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Iratkozzon fel a „Fejtesd fel a fejben számolást, NEM a fejszámolást” kurzusra, hogy megtanulja, hogyan kell gyorsan és helyesen összeadni, kivonni, szorozni, osztani, négyzetszámokat venni, sőt még gyökeret is venni. 30 nap alatt megtanulja, hogyan kell egyszerű trükköket használni az aritmetikai műveletek egyszerűsítésére. Minden lecke új technikákat, világos példákat és hasznos feladatokat tartalmaz.

Hatványozás online

Számológépünk segítségével kiszámolhatja egy szám hatványozását a hatványra:

Hatványozás 7. fokozat

A hatalomra emelés csak a hetedik osztályban kezdődik az iskolások előtt.

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám többszöri szorzásának eredménye önmagában. Képzeljük el a képletet: a1 * a2 * … * an=an .

Például, a=2, n=3: 2*2*2=2^3=8.

Megoldási példák:

Hatványozás bemutatása

Prezentáció a hatványozásról, hetedikesek számára készült. Az előadás talán tisztáz néhány érthetetlen pontot, de valószínűleg cikkünknek köszönhetően nem lesznek ilyenek.

Eredmény

Csak a jéghegy csúcsát vettük figyelembe, hogy jobban megértsük a matematikát - iratkozzon fel tanfolyamunkra: Fejszámolás felgyorsítása - NEM fejszámolás.

A tanfolyamon nemcsak tucatnyi trükköt tanulsz meg az egyszerűsített és gyors szorzáshoz, összeadáshoz, szorzáshoz, osztáshoz, százalékszámításhoz, hanem speciális feladatokban, oktatójátékokban is kidolgozhatod! A mentális számolás is nagy figyelmet és koncentrációt igényel, amelyeket aktívan képeznek az érdekes problémák megoldásában.

A szám fokáról szóló beszélgetés folytatásaként logikus a fokozat értékének megtalálásával foglalkozni. Ezt a folyamatot elnevezték hatványozás. Ebben a cikkben csak azt tanulmányozzuk, hogyan történik a hatványozás, miközben érintjük az összes lehetséges kitevőt - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különböző mértékű emelésének példáinak megoldásait.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás az, hogy megtaláljuk egy szám hatványának értékét.

Így az a hatvány értékét r kitevővel megkeresni és az a számot r hatványára emelni ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány értékét (0,5) 5”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5 hatványára”.

Most közvetlenül léphet a szabályokhoz, amelyek szerint a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz, amikor az a számot m / n törthatványra emeljük, először az a szám n-edik fokának gyökét vonjuk ki, majd az eredményt m egész hatványra emeljük.

Tekintsünk megoldásokat a törthatványra emelés példáira.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Döntés.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A fok definíciója szerint törtkitevővel. Kiszámoljuk a fok értékét a gyökér jele alatt, majd kivonjuk a kockagyököt: .

A második út. A tört kitevővel rendelkező fok meghatározása és a gyökök tulajdonságai alapján az egyenlőségek igazak . Most vonja ki a gyökeret Végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Figyeljük meg, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként is, ezekben az esetekben helyettesítsük a megfelelő közönséges törttel, majd végezzük el a hatványozást.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2,5 .

Döntés.

A kitevőt közönséges tört formájában írjuk (ha szükséges, lásd a cikket): . Most törthatványra emelünk:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a törtkitevő számlálója és nevezője meglehetősen nagy számok), amelyet általában számítástechnikával hajtanak végre.

Ennek a bekezdésnek a végén a nulla szám törthatványra való felépítésénél fogunk elidőzni. Az alak nulla törtfokának a következő jelentést adtuk: mert van , míg az m/n hatvány nulla nincs megadva. Tehát a nullától a pozitív tört hatványhoz nulla, például, . És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám fokszámának kiderítése. Ilyenkor gyakorlati célból általában elég egy bizonyos előjelig megkapni a fokozat értékét. Rögtön megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezt az értéket elektronikus számítástechnikával számítják ki, mivel az irracionális teljesítményre való kézi emelés nagyszámú körülményes számítást igényel. De ennek ellenére általánosságban leírjuk a cselekvések lényegét.

Az irracionális kitevővel rendelkező a hatvány közelítő értékének meghatározásához a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a kitevő értékét. Ez az érték az a szám fokszámának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb a szám tizedes közelítésének kezdete, annál pontosabb lesz a fokérték a végén.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük egy irracionális mutató következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t 1,17-es racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈ 2,250116-ot kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha pontosabb decimális közelítést veszünk egy irracionális kitevőhöz, például, akkor az eredeti fok pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika Zh tankönyv 5 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9 cellához. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).