Az átlagos merőleges definíciója. A háromszög négy csodálatos pontja

Középmerőleges (medián merőleges vagy közvetítő nő) az adott szakaszra merőleges és annak felezőpontján áthaladó egyenes.

Tulajdonságok

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ ahol az alsó index azt az oldalt jelöli, amelyre a merőleges húzva van, $S$ a háromszög területe, és azt is feltételezzük, hogy az oldalakat egyenlőtlenségek kapcsolják össze $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$és $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Más szavakkal, egy háromszög esetében a legkisebb merőleges felező a középső szakaszra vonatkozik.

Írjon véleményt a "Középső merőleges" cikkről

Megjegyzések

A merőleges felezőt jellemző kivonat

Kutuzov megállt rágni, és meglepetten meredt Wolzogenre, mintha nem értené, mit mondanak neki. Wolzogen észrevette des alten Herrn, [az öregúr (német)] izgatottságát, mosolyogva így szólt:
- Nem tartottam jogosnak, hogy eltitkoljam uraságod elől, amit láttam... A csapatok teljesen rendetlenek...
- Láttad? Láttad? .. - kiáltotta Kutuzov összevont szemöldökkel, gyorsan felállt, és előrenyomult Wolzogen felé. „Hogy merészeled… hogy merészeled…!” – kiáltotta, fenyegető mozdulatokkal remegő kézzel és fuldokolva. - Hogy merészelte ezt, kedves uram, ezt nekem mondani. Nem tudsz semmit. Mondja el tőlem Barclay tábornoknak, hogy információi tévesek, és hogy a csata valódi lefolyását én, a főparancsnok jobban ismerem, mint ő.
Wolzogen tiltakozni akart valamit, de Kutuzov félbeszakította.
- Az ellenséget a bal oldalon visszaverik, a jobb szárnyon pedig legyőzik. Ha nem látta jól, kedves uram, ne engedje meg magának, hogy azt mondja, amit nem tud. Kérem, menjen Barclay tábornokhoz, és adja át neki azt a nélkülözhetetlen szándékomat, hogy holnap megtámadja az ellenséget – mondta Kutuzov szigorúan. Mindenki elhallgatott, és hallani lehetett a kifulladt öreg tábornok nehéz lélegzetét. - Mindenhol visszaverték, amiért hálát adok Istennek és bátor seregünknek. Az ellenséget legyőzték, és holnap kiűzzük a szent orosz földről - mondta Kutuzov keresztet vetve; és hirtelen sírva fakadt. Wolzogen vállat vonva és ajkát összecsavarva némán félrelépett, és az uber diese Eingenommenheit des alten Herrn-en töprengett. [az öregúr ezen zsarnokságáról. (Német)]
„Igen, itt van, hősöm” – mondta Kutuzov a gömbölyded, jóképű fekete hajú tábornoknak, aki ekkor belépett a halomba. Raevszkij volt az, aki az egész napot a Borodino-mező fő pontján töltötte.
Raevszkij arról számolt be, hogy a csapatok szilárdan a helyükön vannak, és a franciák nem mertek többé támadni. Miután meghallgatta, Kutuzov franciául így szólt:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous nyugdíjas? [Tehát nem gondolja, mint a többiek, hogy nekünk vissza kellene vonulnunk?]

Utasítás

Húzzon egy vonalat a körök metszéspontjain keresztül. Megkapta a merőleges felezőt az adott szakaszra.

Most adjunk meg egy pontot és egy egyenest. Ebből a pontból merőlegest kell húzni arra a pontra helyezzük a tűt. Rajzolj egy sugarú kört (a sugárnak egy ponttól egy egyenesig kell lennie, hogy a kör két pontban metszi az egyenest). Most két pont van a vonalon. Ezek a pontok egy vonalat hoznak létre. Szerkesszük meg a szakaszra merőleges felezőmetszetet, a végei a kapott pontok a fent tárgyalt algoritmus szerint. A merőlegesnek át kell haladnia a kezdőponton.

Az egyenes vonalak építése a műszaki rajz alapja. Ezt ma már egyre inkább a grafikus szerkesztők segítségével teszik, amelyek remek lehetőségeket biztosítanak a tervezőnek. Néhány építési elv azonban ugyanaz marad, mint a klasszikus rajznál - ceruzával és vonalzóval.

Szükséged lesz

• - papír;
• - ceruza;
• - vonalzó;
• - számítógép AutoCAD szoftverrel.

Utasítás

Kezdje klasszikus felépítéssel. Határozza meg azt a síkot, amelyben a vonalat húzza. Legyen ez egy papírlap síkja. A probléma körülményeitől függően intézkedjen. Lehetnek tetszőlegesek, de lehetséges, hogy adott koordinátarendszer. Az önkényes pontokat oda kell tenni, ahol a legjobban tetszik. Jelölje őket A-val és B-vel. Kösse össze őket vonalzóval. Az axióma szerint két ponton keresztül mindig lehet egyenest húzni, és csak egyet.

Rajzolj egy koordináta-rendszert. Legyen megadva az A (x1; y1) pont. Ennek érdekében félre kell tenni a kívánt számot az x tengely mentén, és a megjelölt ponton keresztül az y tengellyel párhuzamos egyenest kell húzni. Ezután ábrázoljon egy y1-gyel egyenlő értéket a megfelelő tengely mentén. Rajzolj egy merőlegest a megjelölt ponttól addig, amíg az metszéspontba nem kerül. A metszéspontjuk az A pont lesz. Ugyanígy keressük meg a B pontot, amelynek koordinátáit (x2; y2) jelölhetjük. Csatlakoztassa mindkét pontot.

Az AutoCAD-ben egy egyenes több . A "by" függvény általában alapértelmezés szerint be van állítva. Keresse meg a "Főoldal" lapot a felső menüben. A Rajz panelt fogja látni maga előtt. Keresse meg az egyenes vonalú gombot, és kattintson rá.

Az AutoCAD lehetővé teszi mindkettő koordinátáinak beállítását. Tárcsázza alul parancs sor(_xline). Nyomd meg az Entert. Adja meg az első pont koordinátáit, majd nyomja meg az enter billentyűt. Ugyanígy határozza meg a második pontot. Egérkattintással is megadható a kurzor behelyezésével kívánt pont képernyő.

Az AutoCAD-ben nem csak két ponttal, hanem a dőlésszöggel is lehet egyenest építeni. A Rajz helyi menüből válasszon egy egyenest, majd a Szög opciót. A kiindulópont az előző módszerhez hasonlóan egérkattintással vagy a gombbal állítható be. Ezután állítsa be a sarok méretét, és nyomja meg az Enter billentyűt. Alapértelmezés szerint a vonal a vízszinteshez képest a kívánt szögben lesz elhelyezve.

Kapcsolódó videók

Összetett rajzon (diagram) függőlegesség közvetlen és repülőgép főbb rendelkezések határozzák meg: ha az egyik oldal derékszög párhuzamos repülőgép vetületek, akkor erre a síkra torzítás nélkül derékszöget vetítünk; ha egy egyenes két egymást metsző egyenesre merőleges repülőgép, erre merőleges repülőgép.

Szükséged lesz

• Ceruza, vonalzó, szögmérő, háromszög.

Utasítás

Példa: az M ponton keresztül rajzoljunk egy merőlegest repülőgép Merőleges rajzolásához repülőgép, ebben két egymást metsző vonal fekszik repülőgép, és építsünk rájuk merőleges egyenest. A frontális és a vízszintes van kiválasztva e két metsző vonalként. repülőgép.

Az elülső f(f₁f2) egy egyenes, amely benne fekszik repülőgépés párhuzamos az elejével repülőgép vetületek П₂. Tehát f₂ a természetes értéke, és f₁ mindig párhuzamos x12-vel. Az A2 pontból húzzuk le a h2-t párhuzamosan x12-vel, és kapjuk meg az 12 pontot a B2C2-n.

A kommunikációs pont 1₁ vetületi vonala segítségével a В₁С₁-n. Csatlakoztassa az A₁-vel - ez a h₁ - a vízszintes természetes mérete. A B1 pontból húzunk f1‖x12, az A1C1 ponton kapjuk a 21 pontot. Keresse meg a 22 pontot az A2C2-n a vetületi csatlakozóvonal segítségével. Csatlakoztassa a B2 ponthoz - ez f₂ lesz - az előlap teljes mérete.

Megszerkesztett természetes vízszintes h₁ és frontális f₂ a merőleges vetületeinek repülőgép. Az M2 pontból rajzoljuk meg annak a2 frontális vetületét 90-os szögben

Egy háromszögben négy figyelemre méltó pont van: a mediánok metszéspontja. A felezők metszéspontja, a magasságok metszéspontja és a merőleges felezők metszéspontja. Tekintsük mindegyiket.

A háromszög mediánjainak metszéspontja

1. tétel

Egy háromszög mediánjainak metszéspontján: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot a csúcsból kiindulva $2:1$ arányban osztják el.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánja. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Tekintsük a $A_1B_1$ középső vonalat (1. ábra).

1. ábra Háromszög mediánjai

Az 1. tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, ebből következően $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ezért az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak az elsőben hasonlóság háromszögek. Azután

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

Egy háromszög felezőjének metszéspontja

2. tétel

Egy háromszög felezőinek metszéspontján: A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AM,\ BP,\ CK$ a felezők. Legyen a $O$ pont a $AM\ és\ BP$ felezők metszéspontja. Ebből a pontból rajzoljunk merőlegesen a háromszög oldalaira (2. ábra).

2. ábra Háromszög felezőszögei

3. tétel

Egy nem kiterjesztett szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól.

A 3. Tétel szerint: $OX=OZ,\ OX=OY$. Ezért $OY=OZ$. Ezért a $O$ pont egyenlő távolságra van az $ACB$ szög oldalaitól, ezért a $CK$ felezőpontján fekszik.

A tétel bizonyítást nyert.

A háromszög merőleges felezőinek metszéspontja

4. tétel

A háromszög oldalainak merőleges felezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Legyen adott egy $ABC$ háromszög, $n,\ m,\ p$ merőleges felezői. Legyen az $O$ pont a $n\ és\ m$ merőleges felezők metszéspontja (3. ábra).

3. ábra Háromszög merőleges felezőszögei

A bizonyításhoz a következő tételre van szükségünk.

5. tétel

A szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van az adott szakasz végeitől.

A 3. Tétel szerint: $OB=OC,\ OB=OA$. Ezért $OA=OC$. Ez azt jelenti, hogy a $O$ pont egyenlő távolságra van a $AC$ szakasz végeitől, és ezért a $p$ felező merőlegesen fekszik.

A tétel bizonyítást nyert.

A háromszög magasságainak metszéspontja

6. tétel

A háromszög magassága vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a magassága. Húzzon egy vonalat a háromszög minden csúcsán, amely párhuzamos a csúcsgal szemközti oldallal. Új háromszöget kapunk $A_2B_2C_2$ (4. ábra).

4. ábra Háromszög magasságai

Mivel a $AC_2BC$ és a $B_2ABC$ paralelogramma közös oldallal, ezért $AC_2=AB_2$, azaz a $A$ pont a $C_2B_2$ oldal felezőpontja. Hasonlóképpen azt kapjuk, hogy a $B$ pont a $C_2A_2$ oldal felezőpontja, a $C$ pont pedig a $A_2B_2$ oldal felezőpontja. A konstrukcióból azt kaptuk, hogy $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Ezért a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a $A_2B_2C_2$ háromszög felező merőlegesei. Ekkor a 4. tétel alapján azt kapjuk, hogy a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ magasságok egy pontban metszik egymást.