Ki tudja a teljes pi számot. A pi értékének kiszámítása

A kör kerületének és átmérőjének aránya minden körnél azonos. Ezt az arányt általában a görög betűvel jelölik ("pi" - a görög szó kezdőbetűje , ami „kört” jelentett).

Arkhimédész a „Kör mérése” című munkájában kiszámította a kerület és az átmérő (szám) arányát, és megállapította, hogy az 3 10/71 és 3 1/7 között van.

Sokáig a 22/7-es számot használták közelítő értékként, bár Kínában már az 5. században megtalálták a 355/113 = 3,1415929... közelítést, amelyet Európában csak a 16. században fedeztek fel újra.

Az ókori Indiában egyenlőnek számított = 3,1622….

F. Viète francia matematikus 1579-ben 9 számjeggyel számolt.

Ludolf Van Zeijlen holland matematikus 1596-ban tette közzé tízéves munkájának eredményét - a 32 számjegyből számolt számot.

De a szám jelentésének mindezen tisztázása Arkhimédész által jelzett módszerekkel történt: a kört egy növekvő számú oldallal rendelkező sokszög váltotta fel. A beírt sokszög kerülete kisebb volt, mint a kör kerülete, a körülírt sokszög kerülete pedig nagyobb. Ugyanakkor az sem világos, hogy a szám racionális, azaz két egész szám aránya, vagy irracionális.

Csak 1767-ben a német matematikus I.G. Lambert bebizonyította, hogy a szám irracionális.

Több mint száz évvel később, 1882-ben pedig egy másik német matematikus, F. Lindemann bizonyította transzcendenciáját, ami azt jelentette, hogy nem lehet körzővel és vonalzóval egy adott körrel megegyező méretű négyzetet megszerkeszteni.

A legegyszerűbb mérés

Rajzolj egy átmérőjű kört vastag kartonra d(=15 cm), vágd ki a kapott kört és tekerj rá egy vékony szálat. A hossz mérése l(=46,5 cm) egy teljes fordulat a cérnán, ossza el l átmérő hosszonként d körökben. A kapott hányados a szám közelítő értéke lesz, azaz. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Ez a meglehetősen nyers módszer normál körülmények között a szám közelítő értékét adja meg 1 pontossággal.

Méréssel történő mérés

Rajzolj egy négyzetet egy kartonlapra. Írjunk bele egy kört. Vágjunk ki egy négyzetet. Határozzuk meg egy karton négyzet tömegét iskolai mérleg segítségével! Vágjunk ki egy kört a négyzetből. Mérjük meg őt is. A tér tömegeinek ismeretében m négyzetméter (=10 g)és a beleírt kör m kr (=7,8 g) használjuk a képleteket

ahol p és h– a karton sűrűsége, illetve vastagsága, S– az ábra területe. Nézzük az egyenlőségeket:

Természetesen ebben az esetben a hozzávetőleges érték a mérési pontosságtól függ. Ha a súlyozott kartonfigurák meglehetősen nagyok, akkor még a közönséges mérlegeken is elérhető olyan tömegértékek, amelyek biztosítják a szám közelítését 0,1 pontossággal.

A félkörbe írt téglalapok területének összegzése

1. kép

Legyen A (a; 0), B (b; 0). Leírjuk az AB-n lévő félkört átmérőként. Osszuk fel az AB szakaszt n egyenlő részre x 1, x 2, ..., x n-1 pontokkal, és állítsunk vissza belőlük merőlegeseket a félkörrel való metszéspontra. Minden ilyen merőleges hossza az f(x)= függvény értéke. Az 1. ábrából jól látható, hogy egy félkör S területe kiszámítható a képlettel

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

A mi esetünkben b=1, a=-1. Akkor = 2 S.

Minél több osztási pont van az AB szakaszon, annál pontosabbak lesznek az értékek. A monoton számítási munka megkönnyítése érdekében egy számítógép segít, amelyhez az alábbiakban a BASIC-ben összeállított 1. programot adjuk meg.

1. program

REM "Pi számítás"
REM "téglalap módszer"
INPUT "Adja meg a téglalapok számát", n
dx = 1/n
FOR i = 0 - n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
KÖVETKEZŐ i
p = 4 * dx * a
NYOMTATÁS "A pi értéke ", p
VÉGE

A program különböző paraméterértékekkel lett begépelve és elindítva n. A kapott számértékeket a táblázatba írjuk:

Monte Carlo módszer

Ez valójában egy statisztikai vizsgálati módszer. Egzotikus nevét a Monacói Hercegségben található Monte Carlo városáról kapta, amely szerencsejátékházairól híres. Az a tény, hogy a módszer véletlen számok használatát igényli, és az egyik legegyszerűbb véletlenszámokat generáló eszköz a rulett. Azonban véletlenszerű számokat kaphat... eső használatával.

A kísérlethez készítsünk elő egy kartonlapot, rajzoljunk rá egy négyzetet, és írjunk a négyzetbe egy negyed kört. Ha egy ilyen rajzot egy ideig esőben tartanak, akkor cseppek maradnak a felületén. Számoljuk meg a négyzeten belüli és a negyedkörön belüli sávok számát. Nyilvánvalóan ezek aránya megközelítőleg megegyezik ezen ábrák területének arányával, mivel a cseppek azonos valószínűséggel esnek a rajz különböző helyeire. Hadd N kr- cseppek száma egy körben, N négyzetméter akkor a cseppek száma négyzetben

4 N kr / N négyzet

2. ábra

Az eső helyettesíthető egy véletlen számok táblázatával, amelyet egy számítógép segítségével egy speciális program segítségével állítanak össze. Adjunk két véletlen számot egy csepp minden nyomához, amelyek a tengelyek mentén elhelyezkedő helyzetüket jellemzik ÓÉs OU. A táblázatból tetszőleges sorrendben, például sorban kiválaszthatók a véletlen számok. Legyen az első négyjegyű szám a táblázatban 3265 . Ebből készíthet egy számpárt, amelyek mindegyike nagyobb nullánál és kisebb egynél: x=0,32, y=0,65. Ezeket a számokat fogjuk az esés koordinátáinak tekinteni, vagyis úgy tűnik, hogy az esés elérte a pontot (0,32; 0,65). Ugyanezt tesszük az összes kiválasztott véletlen számmal. Ha kiderül, hogy a lényeg (x;y) Ha az egyenlőtlenség fennáll, akkor a körön kívül esik. Ha x + y = 1, akkor a pont a körön belül van.

Az érték kiszámításához ismét az (1) képletet használjuk. A számítási hiba ezzel a módszerrel általában arányos -val, ahol D egy állandó, N pedig a tesztek száma. Esetünkben N = N négyzetméter. Ebből a képletből egyértelműen kiderül: a hiba 10-szeres csökkentéséhez (vagyis egy másik helyes tizedesjegyhez a válaszban) N-t, azaz a munka mennyiségét 100-szorosára kell növelni. Nyilvánvaló, hogy a Monte Carlo-módszer alkalmazása csak a számítógépeknek köszönhető. A 2. program a leírt módszert számítógépen valósítja meg.

2. program

REM "Pi számítás"
REM "Monte Carlo módszer"
INPUT "Adja meg a cseppek számát", n
m = 0
FOR i = 1-től n-ig
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
HA x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
KÖVETKEZŐ i
p=4*m/n

VÉGE

A program az n paraméter különböző értékeivel lett begépelve és elindítva. A kapott számértékeket a táblázatba írjuk:

n
n

Csepegtető tű módszer

Vegyünk egy közönséges varrótűt és egy papírlapot. Több párhuzamos vonalat rajzolunk a lapra úgy, hogy a köztük lévő távolságok egyenlőek legyenek, és meghaladják a tű hosszát. A rajznak elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy a véletlenül kidobott tű ne essen a határain kívülre. Vezessük be a következő jelölést: A- a sorok közötti távolság, l– tűhossz.

3. ábra

A rajzra véletlenszerűen feldobott tű helyzetét (lásd a 3. ábrát) a közepétől a legközelebbi egyenesig mért X távolság, valamint az a szög j határozza meg, amelyet a tű bezár a tű közepétől a tű felé leengedett merőlegessel. legközelebbi egyenes (lásd 4. ábra). Ez egyértelmű

4. ábra

ábrán. 5 ábrázoljuk grafikusan a függvényt y=0,5 cos. Minden lehetséges tűhelyet koordinátákkal ellátott pontok jellemeznek (; y ), amely az ABCD szakaszon található. Az AED árnyékolt területe azok a pontok, amelyek megfelelnek annak az esetnek, amikor a tű metszi az egyenes vonalat. Az esemény valószínűsége a– „a tű átment egy egyenes vonalat” – a következő képlettel számítják ki:

5. ábra

Valószínűség p(a) a tű többszöri dobásával megközelítőleg meghatározható. Dobjuk rá a tűt a rajzra c egyszer és p mivel az egyik egyenes keresztezése közben esett, akkor egy kellően nagy c nekünk van p(a) = p/c. Innen = 2 l s / a k.

Megjegyzés. A bemutatott módszer a statisztikai vizsgálati módszer egy változata. Didaktikai szempontból érdekes, mivel segít az egyszerű tapasztalatok összekapcsolásában egy meglehetősen összetett matematikai modell létrehozásával.

Számítás Taylor sorozat segítségével

Térjünk rá egy tetszőleges függvény figyelembevételére f(x). Tételezzük fel, hogy ez most neki x 0 ig minden rend származékai vannak n th bezárólag. Aztán a funkcióhoz f(x) megírhatjuk a Taylor sorozatot:

Az ezzel a sorozattal végzett számítások annál pontosabbak, minél több tagja vesz részt a sorozatban. Ezt a módszert természetesen a legjobb számítógépen megvalósítani, amelyhez a 3-as programot használhatja.

3. program

REM "Pi számítás"
REM "Taylor sorozat bővítése"
BEMENET n
a = 1
FOR i = 1-től n-ig
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
KÖVETKEZŐ i
p = 4 * a
PRINT "pi értéke egyenlő"; p
VÉGE

A program az n paraméter különböző értékeire lett begépelve és lefuttatva. A kapott számértékeket a táblázatba írjuk:

Nagyon egyszerű mnemonikai szabályok vannak a szám jelentésének emlékezésére:

A matematika rajongói szerte a világon minden év március tizennegyedikén megesznek egy darab pitét – elvégre ez a Pi napja, a leghíresebb irracionális szám. Ez a dátum közvetlenül kapcsolódik ahhoz a számhoz, amelynek első számjegyei 3,14. Pi a kör kerületének és átmérőjének aránya. Mivel irracionális, lehetetlen törtként írni. Ez egy végtelenül hosszú szám. Évezredekkel ezelőtt fedezték fel, és azóta folyamatosan tanulmányozzák, de vannak még titkai a Pi-nek? Az ősi eredettől a bizonytalan jövőig, íme néhány a legérdekesebb tény Pi-ről.

Pi memorizálása

A decimális számok memorizálásának rekordja az indiai Rajvir Meenáé, akinek 70 000 számjegyet sikerült megjegyeznie – 2015. március 21-én állította fel a rekordot. Korábban a rekorder a kínai Chao Lu volt, akinek 67 890 számjegyet sikerült megjegyeznie - ezt a rekordot 2005-ben állították fel. A nem hivatalos rekorder Akira Haraguchi, aki 2005-ben rögzítette magát videón 100 000 számjegyet ismételve, és nemrégiben közzétett egy videót, amelyben 117 000 számjegyet sikerült megjegyeznie. A rekord csak akkor válna hivatalossá, ha ezt a videót a Guinness Rekordok Könyvének képviselője jelenlétében rögzítették, és megerősítés nélkül csak lenyűgöző tény marad, de nem tekinthető teljesítménynek. A matematika rajongói szeretik megjegyezni a Pi számot. Sokan különféle mnemonikai technikákat használnak, például a költészetet, ahol az egyes szavak betűinek száma megegyezik a Pi számjegyeivel. Mindegyik nyelvnek megvannak a saját változatai a hasonló kifejezéseknek, amelyek segítenek megjegyezni az első néhány számot és az egész százat.

Van egy Pi nyelv

Az irodalom iránt szenvedélyes matematikusok feltaláltak egy olyan dialektust, amelyben a betűk száma minden szóban megfelel a Pi számjegyeinek pontos sorrendben. Mike Keith író még egy könyvet is írt Not a Wake címmel, amely teljes egészében Pi nyelven íródott. Az ilyen kreativitás rajongói a betűk számának és a számok jelentésének teljes összhangban írják meg munkáikat. Ennek gyakorlati alkalmazása nincs, de lelkes tudósok körében meglehetősen gyakori és jól ismert jelenség.

Exponenciális növekedés

A Pi egy végtelen szám, így értelemszerűen az emberek soha nem fogják tudni megállapítani ennek a számnak a pontos számjegyeit. A tizedesjegyek száma azonban nagymértékben megnövekedett a Pi első használata óta. A babilóniaiak is használták, de nekik elég volt a töredék három egész és egy nyolcad. A kínaiak és az Ószövetség alkotói teljesen háromra korlátozódtak. 1665-re Sir Isaac Newton kiszámolta a Pi 16 számjegyét. 1719-re Tom Fante de Lagny francia matematikus 127 számjegyet számolt ki. A számítógépek megjelenése radikálisan javította az emberi Pi ismereteit. 1949 és 1967 között az ember által ismert számjegyek száma az egekbe szökött 2037-ről 500 000-re. Nem sokkal ezelőtt Peter Trueb, egy svájci tudós 2,24 billió Pi számjegyet tudott kiszámítani! 105 napig tartott. Természetesen ez nem a határ. Valószínűleg a technika fejlődésével még pontosabb adatot lehet majd megállapítani – mivel a Pi végtelen, a pontosságnak egyszerűen nincs határa, és csak a számítástechnika technikai adottságai szabhatnak határt.

Pi kiszámítása kézzel

Ha saját maga szeretné megtalálni a számot, használhatja a régimódi technikát - szükség lesz vonalzóra, tégelyre és némi madzagra, vagy használhat szögmérőt és ceruzát. A konzervdoboz használatának hátránya, hogy kereknek kell lennie, és a pontosságot az határozza meg, hogy az ember mennyire tudja körbetekerni a kötelet. Szögmérővel is lehet kört rajzolni, de ehhez hozzáértés és precizitás is kell, hiszen egy egyenetlen kör komolyan torzíthatja a méréseket. A pontosabb módszer a geometria használata. Osszuk fel a kört sok szegmensre, mint egy pizzát szeletekre, majd számítsuk ki annak az egyenesnek a hosszát, amely minden szakaszt egyenlő szárú háromszöggé alakít. Az oldalak összege adja a hozzávetőleges Pi számot. Minél több szegmenst használ, annál pontosabb lesz a szám. Természetesen számításai során nem fogja tudni megközelíteni a számítógép eredményeit, azonban ezek az egyszerű kísérletek lehetővé teszik, hogy részletesebben megértse, mi a Pi szám, és hogyan használják a matematikában.

Pi felfedezése

Az ókori babilóniaiak már négyezer évvel ezelőtt tudtak a Pi szám létezéséről. A babiloni táblák a Pi-t 3,125-nek számítják, egy egyiptomi matematikai papirusz pedig 3,1605-öt mutat. A Bibliában a Pi az elavult könyökhosszban van megadva, és a görög matematikus, Arkhimédész a Pitagorasz-tételt használta, amely egy geometriai összefüggés a háromszög oldalainak hossza és a körökön belüli és kívüli alakzatok területe között. hogy leírjam Pi. Így bátran kijelenthetjük, hogy a Pi az egyik legősibb matematikai fogalom, bár ennek a számnak a pontos neve viszonylag nemrég jelent meg.

Új megjelenés Pi

Még azelőtt, hogy a Pi számot elkezdték volna korrelálni a körökkel, a matematikusoknak már számos módja volt ennek a számnak a megnevezésére. Például az ókori matematika tankönyvekben találhatunk olyan latin kifejezést, amely nagyjából így fordítható: „az a mennyiség, amely a hosszt mutatja, ha az átmérőt megszorozzuk vele”. Az irracionális szám akkor vált híressé, amikor Leonhard Euler svájci tudós 1737-ben használta a trigonometriával foglalkozó munkájában. A Pi görög szimbólumát azonban továbbra sem használták – ez csak egy kevésbé ismert matematikus, William Jones könyvében fordult elő. 1706-ban már használta, de sokáig észrevétlen maradt. Idővel a tudósok felvették ezt a nevet, és most ez a név leghíresebb változata, bár korábban Ludolf-számnak is hívták.

A Pi normális szám?

A Pi határozottan furcsa szám, de mennyire követi a normál matematikai törvényeket? A tudósok már sok kérdést megválaszoltak ezzel az irracionális számmal kapcsolatban, de néhány rejtély továbbra is fennáll. Például nem ismert, hogy milyen gyakran használják az összes számot – a 0-tól 9-ig terjedő számokat egyenlő arányban kell használni. A statisztika azonban már az első billió számjegyből nyomon követhető, de a szám végtelensége miatt lehetetlen bármit is biztosan bizonyítani. Vannak más problémák is, amelyek még mindig elkerülik a tudósokat. Lehetséges, hogy a tudomány további fejlesztése segít megvilágítani őket, de jelenleg ez túlmutat az emberi intelligencia keretein.

Pi istenien hangzik

A tudósok nem tudnak válaszolni néhány kérdésre a Pi számmal kapcsolatban, de évről évre egyre jobban megértik a lényegét. Már a tizennyolcadik században bebizonyosodott e szám irracionalitása. Ráadásul a számról bebizonyosodott, hogy transzcendentális. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan képlet, amely lehetővé tenné a Pi kiszámítását racionális számok segítségével.

Elégedetlenség a Pi számmal

Sok matematikus egyszerűen szerelmes Pi-be, de vannak olyanok is, akik úgy vélik, hogy ezek a számok nem különösebben jelentősek. Ezenkívül azt állítják, hogy a Tau-t, amely kétszer akkora, mint a Pi, kényelmesebb irracionális számként használni. A Tau a kerület és a sugár közötti kapcsolatot mutatja, ami egyesek szerint logikusabb számítási módszert jelent. Ebben a kérdésben azonban lehetetlen egyértelműen meghatározni semmit, és az egyik és a másik számnak mindig lesznek támogatói, mindkét módszernek joga van az élethez, így ez csak egy érdekes tény, és nem ok arra gondolni, hogy nem szabad használd a Pi számot.

Sok évszázadon át, sőt, furcsa módon évezredeken keresztül, az emberek megértették, hogy a tudomány számára milyen fontos és értékes egy olyan matematikai állandó, amely egyenlő a kör kerületének és átmérőjének arányával. a Pi szám még ismeretlen, de történelmünk legjobb matematikusai foglalkoztak vele. A legtöbben racionális számként akarták kifejezni.

1. A Pi szám kutatói és igazi rajongói klubot szerveztek, amelyhez csatlakozni kell, ha fejből ismerni kell annak elég sok jelét.

2. 1988 óta ünneplik a „Pi-napot”, amely március 14-re esik. Képével salátákat, süteményeket, sütiket, péksüteményeket készítenek.

3. A Pi számot már megzenésítették, és egész jól hangzik. Még emlékművet is emeltek neki az amerikai Seattle-ben, a városi Művészeti Múzeum előtt.

Abban a távoli időben megpróbálták geometriával kiszámítani a Pi számot. Azt a tényt, hogy ez a szám sokféle kör esetében állandó, az ókori Egyiptomban, Babilonban, Indiában és az ókori Görögországban tudták a geométerek, akik munkáikban azt állították, hogy ez csak valamivel több háromnál.

A dzsainizmus (egy ősi indiai vallás, amely a Kr. e. 6. században keletkezett) egyik szent könyvében megemlítik, hogy akkor a Pi számot a tíz négyzetgyökével egyenlőnek tekintették, ami végül 3,162-t ad... .

Az ókori görög matematikusok egy kört úgy mértek, hogy egy szakaszt szerkesztettek, de ahhoz, hogy meg lehessen mérni egy kört, egy egyenlő négyzetet, vagyis egy vele egyenlő területű alakot kellett megszerkeszteniük.

Amikor még nem ismerték a tizedes törteket, a nagy Arkhimédész 99,9%-os pontossággal találta meg a Pi értékét. Felfedezett egy módszert, amely sok későbbi számítás alapjául szolgált, szabályos sokszögeket írt körbe, és körülírta. Ennek eredményeként Arkhimédész a Pi értékét 22/7 ≈ 3,142857142857143 arányként számította ki.

Kínában matematikus és udvari csillagász, Zu Chongzhi a Kr.e. V. században. e. pontosabb értéket jelölt meg a Pi-nek, hét tizedesjegyig számolva, és a 3, 1415926 és 3,1415927 számok között határozta meg értékét. A tudósoknak több mint 900 évbe telt, hogy folytassák ezt a digitális sorozatot.

Középkorú

A híres indiai tudós, Madhava, aki a 14-15. század fordulóján élt, és a keralai csillagászati ​​és matematikai iskola megalapítója lett, a történelem során először kezdett el foglalkozni a trigonometrikus függvények sorozatokká bővítésével. Igaz, munkái közül csak két maradt fenn, másokról csak utalások, idézetek ismertek tanítványaitól. A "Mahajyanayana" tudományos értekezés, amelyet Madhavának tulajdonítanak, kijelenti, hogy a Pi szám 3,14159265359. A „Sadratnamala” értekezésben pedig egy szám még pontosabb tizedesjegyekkel szerepel: 3,14159265358979324. A megadott számokban az utolsó számjegyek nem felelnek meg a helyes értéknek.

A 15. században Al-Kashi szamarkandi matematikus és csillagász tizenhat tizedesjegy pontossággal számította ki a Pi számot. Eredményét tartották a legpontosabbnak a következő 250 évben.

W. Johnson angliai matematikus volt az elsők között, aki a kör kerületének és átmérőjének arányát π betűvel jelölte. A pi a görög "περιφέρεια" szó első betűje - kör. Ez a megnevezés azonban csak azután vált általánosan elfogadottá, hogy 1736-ban a híresebb tudós, L. Euler használta.

Következtetés

A modern tudósok továbbra is dolgoznak a Pi értékeinek további számításán. Erre már használják a szuperszámítógépeket. 2011-ben egy Shigeru Kondo tudós, Alexander Yi amerikai diákkal együttműködve helyesen számított ki egy 10 billió számjegyből álló sorozatot. De még mindig nem világos, hogy ki fedezte fel a Pi számot, aki először gondolt erre a problémára, és végezte el az első számításokat erre a valóban misztikus számra.

A közelmúltban Habré egyik cikkében megemlítették a kérdést: „Mi történne a világgal, ha a Pi szám 4 lenne?” Úgy döntöttem, hogy egy kicsit elgondolkozom ezen a témán, felhasználva néhány (bár nem a legszélesebb körű) tudást a matematika releváns területein. Ha valakit érdekel, nézze meg a kat.

Egy ilyen világ elképzeléséhez matematikailag meg kell valósítania egy teret, amelyben a kör kerületének és átmérőjének aránya eltérő. Ezt próbáltam megtenni.

1. számú kísérlet.

Mondjuk rögtön, hogy csak a kétdimenziós tereket fogom figyelembe venni. Miért? Mert a kör valójában kétdimenziós térben van definiálva (ha az n>2 dimenziót vesszük figyelembe, akkor az (n-1) dimenziós kör mértékének a sugarához viszonyított aránya nem is lesz állandó) .
Kezdetnek tehát megpróbáltam legalább olyan teret találni, ahol a Pi nem egyenlő 3,1415-tel... Ehhez vettem egy metrikus teret olyan metrikával, amelyben két pont távolsága egyenlő a maximummal a koordináta-különbség (vagyis a Csebisev-távolság) moduljai között.

Milyen formája lesz az egységkörnek ebben a térben? Vegyük a (0,0) koordinátájú pontot ennek a körnek a középpontjának. Ekkor a pontok halmaza, a távolság (egy adott metrika értelmében), amelytől a középpontig 1, 4, a koordinátatengelyekkel párhuzamos szegmens, négyzetet alkotva, amelynek oldala 2, középpontja nulla.

Igen, bizonyos mérőszámokban ez egy kör!

Számítsuk ki itt a Pi-t. A sugár egyenlő 1-gyel, akkor az átmérő ennek megfelelően egyenlő 2. Az átmérő definícióját tekinthetjük két pont közötti legnagyobb távolságnak is, de még így is egyenlő 2-vel. „körünk” ebben a mérőszámban. Ez mind a négy szegmens hosszának összege, amelyek ebben a metrikában max(0,2)=2 hosszúságúak. Ez azt jelenti, hogy a kerülete 4*2=8. Nos, akkor a Pi itt egyenlő 8/2=4-gyel. Megtörtént! De nagyon boldognak kell lennünk? Ez az eredmény gyakorlatilag használhatatlan, mert a szóban forgó tér abszolút absztrakt, szögek és fordulatok nincsenek benne meghatározva. El tudsz képzelni egy világot, ahol a forgás valójában nincs meghatározva, és ahol a kör négyzet? Megpróbáltam, őszintén, de nem volt elég fantáziám.

A sugár 1, de nehézségekbe ütközik ennek a „körnek” a hosszának megtalálása. Némi böngészés után az interneten arra a következtetésre jutottam, hogy a pszeudoeuklideszi térben egyáltalán nem lehet meghatározni egy olyan fogalmat, mint a „Pi”, ami mindenképpen rossz.

Ha valaki a kommentekben elmondaná, hogyan kell formálisan kiszámolni egy görbe hosszát pszeudoeuklideszi térben, annak nagyon örülnék, mert ehhez nem volt elég a differenciálgeometriai, topológiai tudásom (valamint a szorgalmas guglizás).

Következtetések:

Nem tudom, lehet-e ilyen rövid távú tanulmányok után levonni a következtetéseket, de valamit el lehet mondani. Először is, amikor megpróbáltam elképzelni a teret más pi-számmal, rájöttem, hogy túl absztrakt lenne ahhoz, hogy a való világ modellje legyek. Másodszor, ha megpróbálsz egy sikeresebb modellt kitalálni (hasonló a mi való világunkhoz), kiderül, hogy a Pi szám változatlan marad. Ha természetesnek vesszük a negatív négyzetes távolság lehetőségét (ami egy hétköznapi ember számára egyszerűen abszurd), akkor a Pi egyáltalán nem lesz definiálva! Mindez azt sugallja, hogy talán egyáltalán nem létezhetne más Pi-számú világ? Nem hiába mondják, hogy az Univerzum pontosan olyan, amilyen. Vagy talán ez a valóság, de ehhez nem elég a hétköznapi matematika, fizika és az emberi képzelet. Mit gondolsz?

Upd. biztosan rájöttem. Egy pszeudo-euklideszi térben lévő görbe hossza csak néhány euklideszi alterén határozható meg. Ez azt jelenti, hogy különösen az N3 kísérletben kapott „körfogat” esetében a „hosszúság” fogalma egyáltalán nincs meghatározva. Ennek megfelelően ott sem számítható Pi.

Mivel egyenlő a Pi? ismerjük és emlékszünk az iskolából. Egyenlő: 3,1415926 és így tovább... Egy hétköznapi embernek elég tudnia, hogy ezt a számot úgy kapjuk meg, hogy egy kör kerületét elosztjuk az átmérőjével. De sokan tudják, hogy a Pi szám nem csak a matematika és a geometria váratlan területein jelenik meg, hanem a fizikában is. Nos, ha belemélyedsz ennek a számnak a természetének részleteibe, sok meglepő dolgot fogsz észrevenni a végtelen számsorok között. Lehetséges, hogy Pi az univerzum legmélyebb titkait rejti?

Végtelen szám

Maga a Pi szám a mi világunkban egy olyan kör hosszaként jelenik meg, amelynek átmérője eggyel egyenlő. De annak ellenére, hogy a Pi-vel egyenlő szegmens meglehetősen véges, a Pi szám 3,1415926-tal kezdődik, és a végtelenségig tart olyan számsorokban, amelyek soha nem ismétlődnek. Az első meglepő tény az, hogy ez a geometriában használt szám nem fejezhető ki az egész számok törtrészeként. Más szóval, nem írhatja fel két a/b szám arányaként. Ráadásul a Pi szám transzcendentális. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan egész együtthatós egyenlet (polinom), amelynek megoldása a Pi szám lenne.

Azt a tényt, hogy a Pi szám transzcendentális, von Lindemann német matematikus bizonyította 1882-ben. Ez a bizonyíték lett a válasz arra a kérdésre, hogy lehet-e körzővel és vonalzóval olyan négyzetet rajzolni, amelynek területe megegyezik egy adott kör területével. Ezt a problémát egy kör négyzetesítésének kereséseként ismerik, ami ősidők óta aggasztja az emberiséget. Úgy tűnt, hogy ennek a problémának egyszerű megoldása van, és hamarosan meg fog oldódni. De éppen a Pi szám érthetetlen tulajdonsága mutatta meg, hogy nincs megoldás a kör négyzetre emelésének problémájára.

Az emberiség legalább négy és fél évezrede óta próbál egyre pontosabb Pi értéket szerezni. Például a Bibliában a Királyok Harmadik Könyvében (7:23) a Pi számot 3-nak veszik.

A figyelemre méltó pontosságú Pi értéke a gízai piramisokban található: a piramisok kerületének és magasságának aránya 22/7. Ez a tört Pi megközelítőleg 3,142-vel egyenlő értékét adja... Kivéve persze, ha az egyiptomiak véletlenül beállították ezt az arányt. Ugyanezt az értéket már a nagy Arkhimédész Kr.e. 3. századi Pi számának kiszámításakor is megkapta.

Az Ahmesz papiruszában, egy ókori egyiptomi matematikai tankönyvben, amely Kr.e. 1650-ből származik, a Pi értéke 3,160493827.

A Kr.e. 9. század körüli ősi indiai szövegekben a legpontosabb értéket a 339/108-as szám fejezte ki, amely 3,1388-nak felelt meg...

Arkhimédész után közel kétezer évig az emberek megpróbálták megtalálni a Pi kiszámításának módját. Voltak köztük híres és ismeretlen matematikusok is. Például Marcus Vitruvius Pollio római építész, Claudius Ptolemaiosz egyiptomi csillagász, Liu Hui kínai matematikus, Arjabhata indiai bölcs, Pisa középkori matematikusa, Fibonacci, Al-Khwarizmi arab tudós, akinek a nevéből származik a szó. „algoritmus” jelent meg. Mindannyian és sokan mások is a legpontosabb Pi-számítási módszereket keresték, de a 15. századig a számítások bonyolultsága miatt soha nem kaptak 10 tizedesjegynél többet.

Végül 1400-ban Madhava indiai matematikus Sangamagramból 13 számjegy pontossággal számította ki a Pi-t (bár az utolsó kettőben még mindig tévedett).

A jelek száma

A 17. században Leibniz és Newton felfedezte az infinitezimális mennyiségek elemzését, amely lehetővé tette a Pi progresszívebb kiszámítását - hatványsorok és integrálok segítségével. Maga Newton 16 tizedesjegyet számolt, de ezt nem említette könyveiben – ez halála után vált ismertté. Newton azt állította, hogy pusztán unalomból számította ki a Pi-t.

Ugyanebben az időben más kevésbé ismert matematikusok is megjelentek, és új képleteket javasoltak a Pi szám trigonometrikus függvényekkel történő kiszámítására.

Például ezt a képletet használta John Machin csillagásztanár 1706-ban a Pi kiszámításához: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Analitikai módszerekkel Machin ebből a képletből származtatta a Pi számot száz tizedesjegyig.

Egyébként ugyanebben 1706-ban a Pi szám hivatalos megjelölést kapott görög betű formájában: William Jones matematikai munkájában használta, a görög „periféria” szó első betűjét véve, ami „kört” jelent. .” Az 1707-ben született nagyszerű Leonhard Euler népszerűsítette ezt az elnevezést, amelyet ma már minden iskolás ismer.

A számítógépek korszaka előtt a matematikusok a lehető legtöbb előjel kiszámítására összpontosítottak. Ezzel kapcsolatban néha vicces dolgok merültek fel. W. Shanks amatőr matematikus a Pi 707 számjegyét számolta ki 1875-ben. Ezt a hétszáz jelet 1937-ben örökítették meg a párizsi Palais des Discoverys falán. Kilenc évvel később azonban figyelmes matematikusok felfedezték, hogy csak az első 527 karaktert számolták ki helyesen. A múzeumnak jelentős kiadásokat kellett vállalnia a hiba kijavításához – most már minden adat helyes.

Amikor megjelentek a számítógépek, a Pi számjegyeinek számát teljesen elképzelhetetlen sorrendben kezdték számolni.

Az egyik első elektronikus számítógép, az 1946-ban megalkotott ENIAC, óriási méretű volt, és akkora hőt termelt, hogy a szoba 50 Celsius-fokra melegedett fel, kiszámolta a Pi első 2037 számjegyét. Ez a számítás 70 órát vett igénybe a gépnek.

Ahogy a számítógépek fejlődtek, a Pi-ről szerzett ismereteink egyre inkább a végtelenbe kerültek. 1958-ban 10 ezer számjegyet számoltak ki a számból. 1987-ben a japánok 10 013 395 karaktert számoltak ki. 2011-ben Shigeru Hondo japán kutató túllépte a 10 billió karakteres határt.

Hol találkozhatsz még Pi-vel?

Így a Pi számról szerzett ismereteink gyakran iskolai szinten maradnak, és biztosan tudjuk, hogy ez a szám elsősorban a geometriában pótolhatatlan.

A kör hosszára és területére vonatkozó képletek mellett a Pi számot használják az ellipszisek, gömbök, kúpok, hengerek, ellipszoidok és így tovább képleteiben: egyes helyeken a képletek egyszerűek és könnyen megjegyezhetőek, de másokban nagyon összetett integrálokat tartalmaznak.

Ekkor matematikai képletekben találkozhatunk a Pi számmal, ahol első pillantásra nem látszik a geometria. Például az 1/(1-x^2) határozatlan integrálja egyenlő Pi-vel.

A Pi-t gyakran használják sorozatanalízisben. Például itt van egy egyszerű sorozat, amely a Pi-hez konvergál:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

A sorozatok közül Pi a híres Riemann zéta-függvényben jelenik meg legváratlanul. Lehetetlen erről dióhéjban beszélni, tegyük fel, hogy egyszer a Pi szám segít megtalálni a prímszámok kiszámításának képletét.

És teljesen meglepő: a Pi a matematika két legszebb „királyi” képletében jelenik meg - a Stirling-képletben (amely segít megtalálni a faktoriális és a gamma-függvény hozzávetőleges értékét) és az Euler-képletben (amely akár öt matematikai állandót is összekapcsol).

A legváratlanabb felfedezés azonban a valószínűségszámításban várt a matematikusokra. A Pi szám is ott van.

Például annak a valószínűsége, hogy két szám viszonylag prím lesz, 6/PI^2.

Pi megjelenik Buffon 18. században megfogalmazott tűdobási problémájában: mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vonalas papírra dobott tű átmegy valamelyik vonalon. Ha a tű hossza L, és a vonalak távolsága L, és r > L, akkor a 2L/rPI valószínűségi képlet segítségével közelítőleg kiszámíthatjuk a Pi értékét. Képzeld csak el – véletlenszerű eseményekből is megkaphatjuk a Pi-t. És mellesleg a Pi jelen van a normál valószínűségi eloszlásban, megjelenik a híres Gauss-görbe egyenletében. Ez azt jelenti, hogy a Pi még alapvetőbb, mint a kerület és az átmérő aránya?

Pi-vel a fizikában is találkozhatunk. A Pi megjelenik a két töltés közötti kölcsönhatás erejét leíró Coulomb-törvényben, Kepler harmadik törvényében, amely egy bolygó Nap körüli forgási periódusát mutatja, sőt, megjelenik a hidrogénatom elektronpályáinak elrendezésében is. És ami megint csak a leghihetetlenebb, hogy a Pi szám a Heisenberg-féle bizonytalansági elv képletében van elrejtve – a kvantumfizika alaptörvényében.

Pi titkai

Carl Sagan Kapcsolat című regényében, amelyen az azonos című film alapul, idegenek azt mondják a hősnőnek, hogy Pi jelei között van egy titkos üzenet Istentől. Egy bizonyos pozíciótól kezdve a számban szereplő számok megszűnnek véletlenszerűek lenni, és olyan kódot képviselnek, amelyben az Univerzum összes titka meg van írva.

Ez a regény valójában egy olyan rejtélyt tükröz, amely a világ minden táján foglalkoztatta a matematikusokat: vajon a Pi egy normális szám, amelyben a számjegyek egyenlő gyakorisággal vannak szórva, vagy valami nincs rendben ezzel a számmal? És bár a tudósok hajlanak az első lehetőségre (de nem tudják bizonyítani), a Pi szám nagyon titokzatosnak tűnik. Egy japán ember egyszer kiszámolta, hogy a 0-tól 9-ig tartó számok hányszor fordulnak elő a Pi első trillió számjegyében. És láttam, hogy a 2-es, 4-es és 8-as számok gyakoribbak, mint a többi. Ez lehet az egyik utalás arra, hogy a Pi nem teljesen normális, és a benne lévő számok valóban nem véletlenszerűek.

Emlékezzünk mindarra, amit fentebb olvastunk, és kérdezzük meg magunktól, milyen más irracionális és transzcendentális szám található oly gyakran a való világban?

És vannak még furcsaságok is. Például a Pi első húsz számjegyének összege 20, és az első 144 számjegy összege egyenlő a „fenevad számával” 666.

A „Suspect” című amerikai tévésorozat főszereplője, Finch professzor azt mondta a hallgatóknak, hogy a Pi szám végtelensége miatt bármilyen számkombináció megtalálható benne, a születési dátumtól a bonyolultabb számokig. . Például a 762. pozícióban hat kilences sorozat található. Ezt a pozíciót Feynman-pontnak nevezik a híres fizikus után, aki észrevette ezt az érdekes kombinációt.

Azt is tudjuk, hogy a Pi szám tartalmazza a 0123456789 sorozatot, de a 17 387 594 880. számjegynél található.

Mindez azt jelenti, hogy a Pi szám végtelenjében nemcsak érdekes számkombinációk találhatók, hanem a „Háború és béke” kódolt szövege, a Biblia, sőt, ha van ilyen, az Univerzum fő titka is.

Egyébként a Bibliáról. A matematika híres népszerűsítője, Martin Gardner 1966-ban kijelentette, hogy a Pi milliomodik számjegye (akkor még nem ismert) az 5. Számításait azzal magyarázta, hogy a Biblia angol változatában a 3. sz. könyv, 14. fejezet, 16 vers (3-14-16) a hetedik szó öt betűt tartalmaz. A milliomodik számot nyolc évvel később érték el. Ez volt az ötös szám.

Érdemes ezek után azt állítani, hogy a Pi szám véletlenszerű?