Derivat na prostom jeziku. Derivat funkcije

Sastavite omjer i izračunajte granicu.

Odakle tablica izvedenica i pravila diferencijacije? Zahvaljujući jednom ograničenju. Čini se kao magija, ali u stvarnosti - spretnost ruku i bez prijevare. Na lekciji Što je izvedenica? Počeo sam razmatrati konkretne primjere, gdje sam, koristeći definiciju, pronašao derivacije linearne i kvadratne funkcije. U svrhu kognitivnog zagrijavanja nastavit ćemo ometati tablica izvedenica, brusiti algoritam i tehnička rješenja:

Primjer 1

Zapravo, potrebno je dokazati poseban slučaj derivacije potencijske funkcije, koji se obično pojavljuje u tablici: .

Odluka tehnički formalizirana na dva načina. Počnimo s prvim, već poznatim pristupom: ljestve počinju daskom, a derivirajuća funkcija počinje derivacijom u točki.

Smatrati neki(specifična) točka kojoj pripada domene funkcija koja ima derivaciju. Postavite inkrement u ovom trenutku (naravno, ne daljeo/o -ja) i sastavite odgovarajući prirast funkcije:

Izračunajmo granicu:

Nesigurnost 0:0 eliminira se standardnom tehnikom koja se razmatra još u prvom stoljeću prije Krista. Pomnožite brojnik i nazivnik s spojnim izrazom :

Tehnika rješavanja takve granice detaljno je obrađena u uvodnoj lekciji. o granicama funkcija.

Budući da se BILO KOJA točka intervala može odabrati kao, tada, zamjenom , dobivamo:

Odgovor

Još jednom, radujmo se logaritmima:

Primjer 2

Nađite derivaciju funkcije koristeći definiciju derivacije

Odluka: razmotrimo drugačiji pristup promicanju istog zadatka. To je potpuno isto, ali racionalnije u smislu dizajna. Ideja je riješiti se indeksa na početku rješenja i koristiti slovo umjesto slova.

Smatrati proizvoljan točka kojoj pripada domene funkciju (interval ) i postavite inkrement u njoj. I ovdje, usput, kao iu većini slučajeva, možete učiniti bez ikakvih rezervi, budući da je logaritamska funkcija diferencibilna u bilo kojoj točki u domeni definicije.

Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Nađimo izvedenicu:

Lakoća dizajna uravnotežena je konfuzijom koju početnici (i ne samo) mogu doživjeti. Uostalom, navikli smo na činjenicu da se slovo "X" mijenja u granici! Ali ovdje je sve drugačije: - starinski kip, i - živi posjetitelj, koji žustro hoda hodnikom muzeja. To jest, "x" je "kao konstanta".

Komentirati ću uklanjanje neizvjesnosti korak po korak:

(1) Koristite svojstvo logaritma .

(2) U zagradama dijelimo brojnik nazivnikom član po član.

(3) U nazivniku umjetno množimo i dijelimo s "x" kako bismo iskoristili divna granica , dok kao beskonačno mali ističe.

Odgovor: po definiciji izvedenice:

Ili ukratko:

Predlažem da samostalno konstruiramo još dvije tablične formule:

Primjer 3

U ovom slučaju, sastavljeni prirast je odmah prikladno svesti na zajednički nazivnik. Približan uzorak zadatka na kraju lekcije (prva metoda).

Primjer 3:Odluka : razmotriti neku točku , koji pripada opsegu funkcije . Postavite inkrement u ovom trenutku i sastavite odgovarajući prirast funkcije:

Nađimo derivaciju u točki :

Budući da kao možete odabrati bilo koju točku opseg funkcije , onda i
Odgovor : po definiciji izvedenice

Primjer 4

Pronađite derivaciju po definiciji

I ovdje se sve mora svesti na divna granica. Rješenje je uokvireno na drugi način.

Slično, niz drugih tablične izvedenice. Potpuni popis može se naći u školskom udžbeniku, ili, na primjer, 1. svesku Fichtenholtza. Ne vidim puno smisla u prepisivanju iz knjiga i dokaza o pravilima diferencijacije - oni su također generirani formulom.

Primjer 4:Odluka , u vlasništvu , i postavite povećanje u njemu

Nađimo izvedenicu:

Iskorištavanje divne granice

Odgovor : a-priorat

Primjer 5

Pronađite derivaciju funkcije , koristeći definiciju izvedenice

Odluka: Koristite prvi vizualni stil. Razmotrimo neku točku koja pripada , postavimo prirast argumenta u njoj. Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Možda neki čitatelji još nisu u potpunosti razumjeli načelo po kojem bi se trebao napraviti prirast. Uzimamo točku (broj) i u njoj nalazimo vrijednost funkcije: , odnosno u funkciju umjesto"x" treba zamijeniti. Sada također uzimamo vrlo specifičan broj i također ga zamjenjujemo u funkciju umjesto"x": . Zapisujemo razliku, dok je to potrebno u potpunosti staviti u zagrade.

Povećanje sastavljene funkcije korisno je odmah pojednostaviti. Za što? Olakšati i skratiti rješenje daljnje granice.

Koristimo formule, otvaramo zagrade i reduciramo sve što se može smanjiti:

Puretina je bez crijeva, nema problema s pečenjem:

Eventualno:

Budući da se za kvalitetu može odabrati bilo koji realni broj, izvršimo zamjenu i dobijemo .

Odgovor: a-priorat.

Za potrebe provjere, nalazimo izvedenicu koristeći pravila diferencijacije i tablice:

Uvijek je korisno i ugodno znati točan odgovor unaprijed, pa je bolje mentalno ili na nacrtu diferencirati predloženu funkciju na "brzi" način na samom početku rješenja.

Primjer 6

Nađi derivaciju funkcije po definiciji derivacije

Ovo je "uradi sam" primjer. Rezultat leži na površini:

Primjer 6:Odluka : razmotriti neku točku , u vlasništvu , i postavite inkrement argumenta u njemu . Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Izračunajmo derivaciju:

Tako:
Jer kao može se odabrati bilo koji realni broj i
Odgovor : a-priorat.

Vratimo se stilu #2:

Primjer 7

Hajdemo odmah saznati što bi se trebalo dogoditi. Po pravilo diferencijacije složene funkcije:

Odluka: razmotrite proizvoljnu točku koja pripada , postavite inkrement argumenta u njoj i sastavite prirast funkcije:

Nađimo izvedenicu:

(1) Koristite trigonometrijska formula .

(2) Ispod sinusa otvaramo zagrade, ispod kosinusa prikazujemo slične pojmove.

(3) Pod sinusom smanjujemo članove, pod kosinusom dijelimo brojnik nazivnikom član po član.

(4) Zbog neparnosti sinusa izbacujemo “minus”. Pod kosinusom označavamo da je pojam .

(5) Umjetno množimo nazivnik za korištenje prva divna granica. Tako se eliminira neizvjesnost, češljamo rezultat.

Odgovor: a-priorat

Kao što vidite, glavna poteškoća razmatranog problema počiva na složenosti samog ograničenja + blagoj originalnosti pakiranja. U praksi se susreću obje metode projektiranja, stoga oba pristupa opisujem što detaljnije. Oni su ekvivalentni, ali ipak, po mom subjektivnom dojmu, za lutke je svrsishodnije da se drže 1. opcije s “X nula”.

Primjer 8

Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije

Primjer 8:Odluka : razmotriti proizvoljnu točku , u vlasništvu , postavimo u njemu prirast i povećaj funkciju:

Nađimo izvedenicu:

Koristimo trigonometrijsku formulu i prva izvanredna granica:

Odgovor : a-priorat

Analizirajmo rjeđu verziju problema:

Primjer 9

Nađite derivaciju funkcije u točki koristeći definiciju derivacije.

Prvo, što bi trebalo biti dno? Broj

Izračunajmo odgovor na standardni način:

Odluka: sa stajališta jasnoće, ovaj zadatak je mnogo jednostavniji, budući da formula umjesto toga uzima u obzir određenu vrijednost.

Postavljamo prirast u točki i sastavljamo odgovarajući prirast funkcije:

Izračunaj derivaciju u točki:

Koristimo vrlo rijetku formulu za razliku tangenta i još jednom reducirati rješenje na prva divna granica:

Odgovor: po definiciji derivacije u točki.

Zadatak nije tako teško riješiti i "općenito" - dovoljno ga je zamijeniti ili jednostavno, ovisno o metodi dizajna. U ovom slučaju, naravno, ne dobivate broj, već funkciju derivacije.

Primjer 10

Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije u točki (od kojih se jedna može pokazati beskonačnom), o kojoj sam već govorio općenito teorijska lekcija o izvedenici.

Neke djelomično definirane funkcije se mogu razlikovati na "spojnim" točkama grafa, na primjer catdog ima zajedničku derivaciju i zajedničku tangentu (apscisu) u točki . Krivulja, da se može razlikovati po ! Oni koji to žele mogu se uvjeriti u to na uzoru upravo riješenog primjera.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućuje besplatno korištenje.
Datum izrade stranice: 11.06.2017

Definicija. Neka je funkcija $y = f(x) $ definirana u nekom intervalu koji sadrži točku $x_0 $ unutra. Povećajmo $\Delta x $ na argument kako ne bismo napustili ovaj interval. Pronađite odgovarajući prirast funkcije $\Delta y $ (pri prijelazu iz točke $x_0 $ u točku $x_0 + \Delta x $) i sastavite relaciju $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Ako postoji granica ove relacije na $\Delta x \rightarrow 0 $, tada se navedena granica naziva derivirajuća funkcija$y=f(x) $ u točki $x_0 $ i označimo $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y često se koristi za označavanje derivacije. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana s funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: derivacija funkcije y \u003d f (x).

Geometrijsko značenje izvedenice sastoji se od sljedećeg. Ako se tangenta koja nije paralelna s osi y može nacrtati na graf funkcije y = f (x) u točki s apscisom x = a, tada f (a) izražava nagib tangente:
$k = f"(a)$

Budući da je $k = tg(a) $, jednakost $f"(a) = tg(a) $ je istinita.

A sada tumačimo definiciju derivacije u smislu približnih jednakosti. Neka funkcija $y = f(x) $ ima derivaciju u određenoj točki $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu točke x približna jednakost $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, tj. $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Smisleno značenje dobivene približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je “gotovo proporcionalan” prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u danoj točki x. Na primjer, za funkciju $y = x^2 $ vrijedi približna jednakost $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrit ćemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.

Hajdemo to formulirati.

Kako pronaći derivaciju funkcije y \u003d f (x)?

1. Popravi vrijednost $x $, pronađi $f(x) $
2. Povećajte $x $ argument $\Delta x $, pomaknite se na novu točku $x+ \Delta x $, pronađite $f(x+ \Delta x) $
3. Pronađite prirast funkcije: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Sastavite relaciju $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije na x.

Ako funkcija y = f(x) ima derivaciju u točki x, tada se zove diferencijabilna u točki x. Poziva se postupak za pronalaženje derivacije funkcije y \u003d f (x). diferencijacija funkcije y = f(x).

Razmotrimo sljedeće pitanje: kako su povezani kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u točki?

Neka je funkcija y = f(x) diferencibilna u točki x. Tada se na graf funkcije u točki M (x; f (x)) može povući tangenta i, podsjetimo, nagib tangente je jednak f "(x). Takav graf se ne može "lomiti" u točka M, tj. funkcija mora biti kontinuirana na x.

Bilo je to obrazloženje "na prste". Izložimo rigorozniji argument. Ako je funkcija y = f(x) diferencibilna u točki x, tada vrijedi približna jednakost $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $. nula, tada \(\Delta y \ ) također će težiti nuli, a to je uvjet za kontinuitet funkcije u točki.

Tako, ako je funkcija diferencibilna u točki x, tada je i u toj točki kontinuirana.

Obratno nije točno. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano posvuda, posebno u točki x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “točki spoja” (0; 0) ne postoji. Ako je u nekom trenutku nemoguće nacrtati tangentu na graf funkcije, tada nema derivacije u ovoj točki.

Još jedan primjer. Funkcija $y=\sqrt(x) $ je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući i točku x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj točki, uključujući i točku x = 0 Ali u ovoj točki tangenta se poklapa s y-osom, odnosno okomita je na os apscise, njena jednadžba ima oblik x \u003d 0. Za takvu ravnu liniju nema nagiba, što znači da \ ( f "(0) \) također ne postoji

Dakle, upoznali smo se s novim svojstvom funkcije – diferencijabilnošću. Kako možete reći da li se funkcija može razlikovati od grafa funkcije?

Odgovor je zapravo dat gore. Ako se u nekom trenutku može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na os x, tada je u ovom trenutku funkcija diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na os x, tada funkcija nije diferencibilna.

Pravila diferencijacije

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s kvocijentima, zbrojima, umnožacima funkcija, kao i s "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na temelju definicije derivacije možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \desno) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \desno) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ derivacija složene funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tablica derivacija nekih funkcija

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \lijevo(x^a \desno) " = a x^(a-1) $$ $$ \lijevo(a^x \desno) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \lijevo(e^x \desno) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Datum: 20.11.2014

Što je izvedenica?

Tablica izvedenica.

Izvod je jedan od glavnih pojmova više matematike. U ovoj lekciji ćemo predstaviti ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokaza.

Ovaj uvod će vam omogućiti da:

Razumjeti bit jednostavnih zadataka s izvedenicama;

Uspješno riješite ove vrlo jednostavne zadatke;

Pripremite se za ozbiljnije izvedenice.

Prvo, ugodno iznenađenje.

Stroga definicija izvedenice temelji se na teoriji granica, a stvar je prilično komplicirana. To je uznemirujuće. Ali praktična primjena izvedenice, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!

Za uspješno obavljanje većine zadataka u školi i na fakultetu dovoljno je znati samo nekoliko pojmova- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- to riješiti. I to je to. Ovo me čini sretnim.

Hoćemo li se upoznati?)

Pojmovi i oznake.

U osnovnoj matematici postoje mnoge matematičke operacije. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam itd. Ako se tim operacijama doda još jedna operacija, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijacija. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat će se u zasebnim lekcijama.

Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija samo matematička operacija nad funkcijom. Uzimamo bilo koju funkciju i, prema određenim pravilima, transformiramo je. Rezultat je nova funkcija. Ova nova funkcija zove se: izvedenica.

Diferencijacija- djelovanje na funkciju.

Derivat je rezultat ove akcije.

Baš kao što je npr. iznos je rezultat zbrajanja. Ili privatna je rezultat podjele.

Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacija je sljedeća: pronaći derivaciju funkcije; uzeti izvedenicu; razlikovati funkciju; izračunaj derivaciju itd. to je sve isti. Naravno, postoje složeniji zadaci, gdje će pronalaženje derivacije (diferencijacije) biti samo jedan od koraka u rješavanju zadatka.

Izvod je označen crticom u gornjem desnom kutu iznad funkcije. Kao ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) itd.

čitati y potez, ef potez od x, es potez od te, pa shvaćaš...)

Promet također može označavati derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivacija označava diferencijalima, ali takvu oznaku nećemo razmatrati u ovoj lekciji.

Pretpostavimo da smo naučili razumjeti zadatke. Ne preostaje ništa – naučiti kako ih riješiti.) Dopustite da vas još jednom podsjetim: pronalaženje derivacije je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Ova pravila je iznenađujuće malo.

Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stupa na kojima počiva sva diferencijacija. Evo tri kita:

1. Tablica derivacija (formule diferencijacije).

3. Derivat kompleksne funkcije.

Krenimo redom. U ovoj lekciji razmotrit ćemo tablicu izvedenica.

Tablica izvedenica.

Svijet ima beskonačan broj funkcija. Među tim setom nalaze se funkcije koje su najvažnije za praktičnu primjenu. Te funkcije se nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigle, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija se zove elementarne funkcije. U školi se izučavaju te funkcije - linearne, kvadratne, hiperbola itd.

Razlikovanje funkcija "od nule", t.j. na temelju definicije derivacije i teorije granica – prilično dugotrajna stvar. A i matematičari su ljudi, da, da!) Pa su sebi (i nama) pojednostavili živote. Prije nas su izračunali derivacije elementarnih funkcija. Rezultat je tablica izvedenica, gdje je sve spremno.)

Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Lijevo - elementarna funkcija, desno - njezin derivat.

	Funkcija y	Derivat funkcije y y"
1	C (konstanta)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n je bilo koji broj)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	grijeh x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	zapisnik a x
5	ln x ( a = e)

Preporučam da obratite pozornost na treću skupinu funkcija u ovoj tablici izvedenica. Derivat funkcije stepena jedna je od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Je li nagovještaj jasan?) Da, poželjno je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tablica će se zapamtiti!)

Pronalaženje tablične vrijednosti izvedenice, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u formulaciji zadatka, ili u izvornoj funkciji, koja kao da nije u tablici ...

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Pronađite derivaciju funkcije y = x 3

U tablici nema takve funkcije. Ali postoji opći izvod funkcije moći (treća skupina). U našem slučaju, n=3. Stoga zamjenjujemo trojku umjesto n i pažljivo zapisujemo rezultat:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je sve.

Odgovor: y" = 3x 2

2. Pronađite vrijednost derivacije funkcije y = sinx u točki x = 0.

Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći derivaciju sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 na ovu istu izvedenicu. To je tim redom! Inače se dogodi da odmah zamjene nulu u izvornu funkciju ... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost izvorne funkcije, već vrijednost njegov derivat. Izvedenica je, da podsjetim, već nova funkcija.

Na ploči nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:

y" = (sinx)" = cosx

Zamijenite nulu u izvedenicu:

y"(0) = cos 0 = 1

Ovo će biti odgovor.

3. Razlikujte funkciju:

Što inspirira?) Takve funkcije u tablici izvedenica nema ni blizu.

Dopustite mi da vas podsjetim da je diferenciranje funkcije jednostavno pronaći derivaciju ove funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, pronalaženje derivacije naše funkcije je prilično problematično. Stol ne pomaže...

Ali ako vidimo da je naša funkcija kosinus dvostrukog kuta, onda sve odmah ide na bolje!

Da da! Zapamtite da je transformacija izvorne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I događa se da uvelike olakša život. Prema formuli za kosinus dvostrukog kuta:

Oni. naša lukava funkcija nije ništa drugo nego y = kormilar. A ovo je stolna funkcija. Odmah dobivamo:

Odgovor: y" = - sin x.

Primjer za napredne maturante i studente:

4. Pronađite derivaciju funkcije:

U tablici izvedenica, naravno, nema takve funkcije. Ali ako se sjetite elementarne matematike, radnji s moćima... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Kao ovo:

A x na stepen jedne desetine je već tablična funkcija! Treća skupina, n=1/10. Izravno prema formuli i napišite:

To je sve. Ovo će biti odgovor.

Nadam se da je s prvim kitom diferencijacije – tablicom izvedenica – sve jasno. Ostaje riješiti dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila diferencijacije.

Prva razina

Derivat funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zamislite ravnu cestu koja prolazi kroz brdsko područje. To jest, ide gore-dolje, ali ne skreće ni desno ni lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno uz cestu, a okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Os je određena razina nulte visine, u životu kao nju koristimo razinu mora.

Krećući se naprijed takvom cestom, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se promijeni argument (kreće se po osi apscise), mijenja se vrijednost funkcije (kreće se duž ordinatne osi). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Koja bi mogla biti ova vrijednost? Vrlo jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri pomicanju naprijed na određenu udaljenost. Doista, na različitim dionicama ceste, krećući se naprijed (duž apscise) jedan kilometar, dizat ćemo se ili padati za različit broj metara u odnosu na razinu mora (duž ordinate).

Označavamo napredak naprijed (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena veličine, - promjena; što je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedan entitet, jedna varijabla. Nikada ne smijete otkinuti "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, dalje. Ako uspoređujemo liniju puta s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . To jest, kada se krećemo naprijed, dižemo se više.

Lako je izračunati vrijednost: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja bili smo na visini, onda. Ako se krajnja točka pokazala nižom od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Povratak na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina pri kretanju naprijed po jedinici udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, kada se napreduje za km, cesta uzdiže za km. Tada je strmina na ovom mjestu jednaka. A ako je cesta, kada je napredovala za m, potonula za km? Tada je nagib jednak.

Sada razmislite o vrhu brda. Odnesete li početak dionice pola kilometra do vrha, a kraj - pola kilometra nakon nje, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Mnogo toga se može promijeniti samo nekoliko milja dalje. Za adekvatniju i točniju procjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manja područja. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine pri pomicanju jednog metra, rezultat će biti mnogo točniji. Ali ni ta točnost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako se nasred ceste nalazi stup, možemo se jednostavno provući kroz njega. Koju udaljenost onda trebamo izabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept bio beskonačno mali, odnosno modulo vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Recimo, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. itd. Ako želimo zapisati da je vrijednost beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da ovaj broj nije jednak nuli! Ali vrlo blizu tome. To znači da se može podijeliti na.

Koncept suprotan beskonačno malom je beskonačno velik (). Vjerojatno ste se već susreli s njim dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je veći po modulu od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još više. A beskonačnost je čak i više od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliko i beskonačno malo međusobno su inverzne, odnosno at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom i promjena visine biti beskonačno mala. Ali dopustite mi da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači jednako nuli. Ako međusobno podijelite beskonačno male brojeve, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer. To jest, jedna mala vrijednost može biti točno dvostruko veća od druge.

Zašto sve ovo? Cesta, strmina... Ne idemo na miting, ali učimo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Pojam izvedenice

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta pri beskonačno malom prirastu argumenta.

Povećanje u matematici se naziva promjena. Naziva se koliko se argument () promijenio pri kretanju duž osi povećanje argumenta i označeno s Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju naprijed duž osi za udaljenost naziva se prirast funkcije i označena je.

Dakle, derivacija funkcije je odnos kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo potezom odozgo desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao i u analogiji s cestom, i ovdje, kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.

Ali je li derivacija jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. Doista, visina se uopće ne mijenja. Dakle, s derivacijom: derivacija konstantne funkcije (konstante) jednaka je nuli:

budući da je prirast takve funkcije nula za bilo koji.

Uzmimo primjer na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netočnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova duljina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, duljina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osi, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle, izvedenica

To se može shvatiti na sljedeći način: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno zanemarivo mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo već ranije saznali, kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna. Ali mijenja se glatko, bez skokova (jer cesta nigdje oštro ne mijenja nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u točki vrha.

Isto vrijedi i za dolinu (područje gdje funkcija opada s lijeve strane, a raste s desne strane):

Još malo o prirastima.

Stoga mijenjamo argument u vrijednost. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Što je on (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.

Razmotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti prirast: povećavamo koordinatu za. Koji je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, tamo ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

Pronađite prirast funkcije u točki s prirastom argumenta jednakim.
Isto za funkciju u točki.

rješenja:

U različitim točkama, s istim povećanjem argumenta, povećanje funkcije bit će različito. To znači da derivacija u svakoj točki ima svoju (o tome smo raspravljali na samom početku - strmina ceste na različitim točkama je različita). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija snage.

Funkcija snage naziva se funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

I - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njegovu derivaciju u točki. Zapamtite definiciju izvedenice:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Tako:

Derivat je:

Derivat od je:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .

Sada se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, imamo još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Taj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbroja ili cijeli izraz rastaviti na faktore koristeći formulu za razliku kocki. Pokušajte to učiniti sami na bilo koji od predloženih načina.

Dakle, dobio sam sljedeće:

I sjetimo se toga opet. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobivamo: .

d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo možete formulirati riječima: "stupanj se prenosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za".

To ćemo pravilo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite derivaciju funkcija:

(na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - brojanjem prirasta funkcije);

. Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je? A gdje je diploma?", Zapamtite temu" "!
Da, da, korijen je također stupanj, samo razlomak:.
Dakle, naš kvadratni korijen je samo potencija s eksponentom:
.
Tražimo izvedenicu koristeći nedavno naučenu formulu:
Ako u ovom trenutku opet postane nejasno, ponovite temu "" !!! (oko diplome s negativnim pokazateljem)
. Sada eksponent:
A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
;
.
Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
.
. Kombinacija prethodnih slučajeva: .

trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Kad izraz.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je probušena. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža. To je sama „težnja“.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, nemojte se sramiti, uzmite kalkulator, nismo još na ispitu.

Pa pokušajmo: ;

Ne zaboravite prebaciti kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je vrijednost omjera bliža.

a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, nalazimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (sjetite se teme ""):.

Sada izvedenica:

Napravimo zamjenu: . Zatim, za beskonačno mali, također je beskonačno mali: . Izraz za ima oblik:

A sada se toga sjećamo s izrazom. I također, što ako se beskonačno mala vrijednost može zanemariti u zbroju (to jest, at).

Tako dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinsu:

Riječ je o osnovnim („stolnim“) izvedenicama. Evo ih na jednom popisu:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

Praksa:

Pronađite derivaciju funkcije u točki;
Pronađite derivaciju funkcije.

rješenja:

Prvo, nalazimo derivaciju u općem obliku, a zatim umjesto nje zamjenjujemo vrijednost:
;
.
Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je dovesti do
normalan pogled:
.
Ok, sada možete koristiti formulu:
.
.
. Eeeeeee….. Što je????

Dobro, u pravu ste, još uvijek ne znamo kako pronaći takve izvedenice. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji takva funkcija, čiji je izvod za bilo koji jednak vrijednosti same funkcije za istu. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačan decimalni razlomak, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Zove se "Eulerov broj", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo je:

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim" i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

Pronađite derivaciju funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, što ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces nalaženja derivacije.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia – razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivacije funkcija:

u točki;
u točki;
u točki;
u točki.

rješenja:

(izvod je isti u svim točkama, budući da je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin prirast:

Derivat:

primjeri:

Naći derivacije funkcija i;
Pronađite derivaciju funkcije u točki.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći derivaciju i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

dogodilo?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakav kakav je bio, ostao je, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivacije funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljeno u ovom obliku.

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, pronaći proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Ovaj logaritam trebamo dovesti u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto pisat ćemo:

Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (iako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvije osobe sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo rezultirajući broj kvadrirati. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu akciju izravno s varijablom, a zatim drugu drugu akciju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Iste radnje možemo napraviti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju napravimo bit će pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - odn "unutarnje" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Razdvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: .
Interni: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interni: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interni: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interni: ; vanjski: .
Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, idemo konačno formulirati službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se da je sve jednostavno, zar ne?

Provjerimo primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo ne pokušavajte smanjiti do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji složena funkcija na tri razine: uostalom, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot a s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo što znamo. Kojim ćemo redoslijedom izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek radnje.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovne izvedenice:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Izvedeni proizvod:

Derivat kvocijenta:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Definiramo "unutarnju" funkciju, pronalazimo njenu derivaciju.
Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njenu derivaciju.
Množimo rezultate prve i druge točke.

Derivat funkcije jedne varijable.

Uvod.

Ove metodološke izrade namijenjene su studentima Industrijsko-građevinskog fakulteta. Sastavljaju se u odnosu na program kolegija matematike u dijelu "Diferencijalni račun funkcija jedne varijable".

Razvoj predstavlja jedinstven metodološki vodič, koji uključuje: kratke teorijske podatke; "tipični" zadaci i vježbe s detaljnim rješenjima i objašnjenjima za ta rješenja; opcije kontrole.

Dodatne vježbe na kraju svakog odlomka. Takva struktura razvoja čini ih prikladnima za samostalno svladavanje dijela uz minimalnu pomoć nastavnika.

§jedan. Definicija izvedenice.

Mehaničko i geometrijsko značenje

izvedenica.

Pojam derivacije jedan je od najvažnijih pojmova matematičke analize, a nastao je još u 17. stoljeću. Formiranje pojma derivacije povijesno je povezano s dva problema: problemom brzine promjenjivog gibanja i problemom tangente na krivulju.

Ti zadaci, usprkos različitom sadržaju, dovode do iste matematičke operacije koja se mora izvesti nad funkcijom.Ta operacija je u matematici dobila poseban naziv. Zove se operacija diferenciranja funkcije. Rezultat operacije diferencijacije naziva se derivacija.

Dakle, derivacija funkcije y=f(x) u točki x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta
na
.

Izvod se obično označava na sljedeći način:
.

Dakle po definiciji

Simboli se također koriste za označavanje izvedenice
.

Mehaničko značenje izvedenice.

Ako je s=s(t) zakon pravocrtnog gibanja materijalne točke, onda
je brzina ove točke u trenutku t.

Geometrijsko značenje izvedenice.

Ako funkcija y=f(x) ima derivaciju u točki , zatim nagib tangente na graf funkcije u točki
jednaki
.

Primjer.

Pronađite derivaciju funkcije
u točki =2:

1) Dajmo bod =2 prirasta
. Primijeti da.

2) Pronađite prirast funkcije u točki =2:

3) Sastavite omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

Nađimo granicu relacije na
:

Tako,
.

§ 2. Derivati nekih

najjednostavnije funkcije.

Učenik treba naučiti kako izračunati derivacije određenih funkcija: y=x,y= i općenito y= .

Nađi derivaciju funkcije y=x.

oni. (x)′=1.

Nađimo derivaciju funkcije

Derivat

Neka bude
zatim

Lako je uočiti obrazac u izrazima za derivacije funkcije stepena
kod n=1,2,3.

Stoga,

. (1)

Ova formula vrijedi za svaki realni n.

Konkretno, koristeći formulu (1), imamo:

;

Primjer.

Pronađite derivaciju funkcije

Ova funkcija je poseban slučaj funkcije oblika

na
.

Koristeći formulu (1), imamo

Derivati funkcija y=sin x i y=cos x.

Neka je y=sinx.

Podijelimo s ∆x, dobivamo

Prijelazom do granice kao ∆x→0, imamo

Neka je y=cosx.

Prelazeći na granicu kao ∆x→0, dobivamo

;
. (2)

§3. Osnovna pravila diferencijacije.

Razmotrite pravila diferencijacije.

Teorema1 . Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencibilne u danoj točki x, tada je njihov zbroj također diferencibilan u ovoj točki, a derivacija zbroja jednaka je zbroju izvedenih članova: (u+v)"=u"+v".(3)

Dokaz: razmotrite funkciju y=f(x)=u(x)+v(x).

Povećanje ∆x argumenta x odgovara prirastu ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcija u i v. Tada će se funkcija y povećati

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Stoga,

Dakle, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencibilne u danoj točki x, tada je i njihov umnožak također diferencibilan u istoj točki.U ovom slučaju, derivacija umnoška nalazi se sljedećom formulom : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Dokaz: Neka je y=uv, gdje su u i v neke diferencibilne funkcije od x. Neka se x poveća za ∆x; tada će u biti povećano za ∆u, v će biti povećano za ∆v, a y će se povećati za ∆y.

Imamo y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ili

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Stoga je ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Odavde

Prelazeći na granicu kao ∆x→0 i uzimajući u obzir da u i v ne ovise o ∆x, imamo

Teorem 3. Derivat kvocijenta dviju funkcija jednak je razlomku čiji je nazivnik jednak kvadratu djelitelja, a brojnik je razlika između umnoška izvoda dividende na djelitelj i umnoška djelitelja. dividenda derivacijom djelitelja, t.j.

Ako je a
zatim
(5)