Ravni poprečni zavoj. Čisti zavoj

Počinjemo s najjednostavnijim slučajem, takozvanim čistim savijanjem.

Čisto savijanje je poseban slučaj savijanja, u kojem je poprečna sila u presjecima grede nula. Čisto savijanje može se dogoditi samo kada je vlastita težina grede toliko mala da se njezin utjecaj može zanemariti. Za grede na dva nosača, primjeri opterećenja koja uzrokuju mrežu

zavoj, prikazan na sl. 88. Na presjecima ovih greda, gdje je Q \u003d 0 i, prema tome, M \u003d const; postoji čisti zavoj.

Sile u bilo kojem presjeku grede s čistim savijanjem svode se na par sila čija ravnina djelovanja prolazi kroz os grede, a moment je konstantan.

Naprezanja se mogu odrediti na temelju sljedećih razmatranja.

1. Tangencijalne komponente sila na elementarna područja u poprečnom presjeku grede ne mogu se svesti na par sila čija je ravnina djelovanja okomita na ravninu presjeka. Iz toga slijedi da je sila savijanja u presjeku rezultat djelovanja na elementarna područja

samo normalne sile, pa se stoga čistim savijanjem naprezanja svode samo na normalna.

2. Da bi se napori na elementarnim platformama sveli na samo nekoliko sila, među njima moraju biti i pozitivne i negativne. Stoga moraju postojati i zategnuta i stisnuta vlakna grede.

3. Zbog činjenice da su sile u različitim presjecima jednake, naprezanja u odgovarajućim točkama presjeka su ista.

Razmotrimo bilo koji element blizu površine (slika 89, a). Budući da se na njegovu donju stranu, koja se poklapa s površinom grede, ne primjenjuju sile, na njoj nema ni naprezanja. Dakle, na gornjoj strani elementa nema naprezanja, jer inače element ne bi bio u ravnoteži. S obzirom na visinski susjedni element (sl. 89, b), dolazimo do

Isti zaključak itd. Iz toga slijedi da nema naprezanja duž horizontalnih strana nijednog elementa. Razmatrajući elemente koji čine horizontalni sloj, počevši od elementa blizu površine grede (slika 90), dolazimo do zaključka da nema naprezanja duž bočnih okomitih strana nijednog elementa. Dakle, stanje naprezanja bilo kojeg elementa (Sl. 91, a), iu granici vlakna, mora biti prikazano kao što je prikazano na Sl. 91b, tj. može biti ili aksijalna napetost ili aksijalna kompresija.

4. Zbog simetrije primjene vanjskih sila presjek po sredini duljine grede nakon deformacije treba ostati ravan i normalan na os grede (slika 92, a). Iz istog razloga, presjeci u četvrtinama duljine grede također ostaju ravni i normalni na os grede (slika 92, b), ako samo krajnji dijelovi grede tijekom deformacije ostaju ravni i normalni na os grede. Sličan zaključak vrijedi i za presjeke u osmini duljine grede (slika 92, c) itd. Stoga, ako krajnji dijelovi grede ostanu ravni tijekom savijanja, tada za bilo koji presjek ostaje

pošteno je reći da nakon deformacije ostaje ravna i normalna na os zakrivljene grede. Ali u ovom slučaju, očito je da bi se promjena produljenja vlakana grede duž njegove visine trebala dogoditi ne samo kontinuirano, već i monotono. Ako slojem nazovemo skup vlakana jednakih produljenja, onda iz rečenog slijedi da se rastegnuta i stisnuta vlakna grede trebaju nalaziti na suprotnim stranama sloja u kojem su izduženja vlakana jednaka nuli. Vlakna čija su produljenja jednaka nuli nazvat ćemo neutralnim; sloj koji se sastoji od neutralnih vlakana - neutralni sloj; linija presjeka neutralnog sloja s ravninom poprečnog presjeka grede - neutralna linija ovog presjeka. Zatim, na temelju prethodnih razmatranja, može se tvrditi da s čistim savijanjem grede u svakom njenom dijelu postoji neutralna linija koja dijeli ovaj dio na dva dijela (zone): zona rastegnutih vlakana (napeta zona) i zona komprimiranih vlakana (compressed zone ). Sukladno tome, normalna vlačna naprezanja trebaju djelovati u točkama rastegnute zone presjeka, tlačna naprezanja u točkama tlačne zone, a u točkama neutralne crte naprezanja su jednaka nuli.

Dakle, s čistim savijanjem grede konstantnog presjeka:

1) u presjecima djeluju samo normalna naprezanja;

2) cijeli se dio može podijeliti na dva dijela (zone) - rastegnuti i komprimirani; granica zona je neutralna linija presjeka, u čijim su točkama normalna naprezanja jednaka nuli;

3) bilo koji uzdužni element grede (u granici, bilo koje vlakno) je podvrgnut aksijalnoj napetosti ili kompresiji, tako da susjedna vlakna ne dolaze u interakciju jedno s drugim;

4) ako krajnji presjeci grede tijekom deformacije ostanu ravni i normalni na os, tada svi njezini presjeci ostaju ravni i normalni na os zakrivljene grede.

Stanje naprezanja grede pri čistom savijanju

Zaključno, razmotrimo element grede koji je podložan čistom savijanju mjereno između presjeka m-m i n-n, koji su razmaknuti jedan od drugog na beskonačno maloj udaljenosti dx (slika 93). Zbog odredbe (4) prethodnog stavka, presjeci m-m i n-n, koji su prije deformacije bili paralelni, nakon savijanja, ostajući ravni, formirat će kut dQ i sijeći se duž prave linije koja prolazi kroz točku C, koja je središte. zakrivljenosti neutralnog vlakna NN. Tada će dio AB vlakna zatvoren između njih, koji se nalazi na udaljenosti z od neutralnog vlakna (pozitivni smjer osi z uzima se prema konveksnosti grede tijekom savijanja), pretvorit će se u luk A "B" nakon deformacija. Segment neutralnog vlakna O1O2, pretvarajući se u luk O1O2, neće promijeniti svoju duljinu, dok će AB vlakno dobiti istezanje:

prije deformacije

nakon deformacije

gdje je p polumjer zakrivljenosti neutralnog vlakna.

Prema tome, apsolutna elongacija segmenta AB je

i produljenje

Budući da je prema položaju (3) vlakno AB podvrgnuto aksijalnoj napetosti, onda uz elastičnu deformaciju

Iz ovoga se vidi da su normalna naprezanja po visini grede raspoređena prema linearnom zakonu (slika 94). Budući da jednaka sila svih napora na svim elementarnim dijelovima presjeka mora biti jednaka nuli, onda

odakle, zamjenom vrijednosti iz (5.8), nalazimo

Ali posljednji integral je statički moment oko osi Oy, koja je okomita na ravninu djelovanja sila savijanja.

Zbog svoje jednakosti nuli, ova os mora prolaziti kroz težište O presjeka. Dakle, neutralna linija presjeka grede je ravna crta yy, okomita na ravninu djelovanja sila savijanja. Zove se neutralna os presjeka grede. Tada iz (5.8) proizlazi da su naprezanja u točkama koje leže na istoj udaljenosti od neutralne osi ista.

Slučaj čistog savijanja, u kojem sile savijanja djeluju samo u jednoj ravnini, uzrokujući savijanje samo u toj ravnini, je ravninsko čisto savijanje. Ako imenovana ravnina prolazi kroz os Oz, tada moment elementarnih napora u odnosu na ovu os mora biti jednak nuli, t.j.

Zamjenjujući ovdje vrijednost σ iz (5.8), nalazimo

Integral na lijevoj strani ove jednakosti, kao što je poznato, je centrifugalni moment tromosti presjeka oko y i z osi, tako da

Osi prema kojima je centrifugalni moment tromosti presjeka jednak nuli nazivaju se glavne osi tromosti ovog presjeka. Ako, osim toga, prolaze kroz težište presjeka, onda se mogu nazvati glavnim središnjim osi inercije presjeka. Dakle, s ravnim čistim savijanjem, smjer ravnine djelovanja sila savijanja i neutralna os presjeka su glavne središnje osi inercije potonjeg. Drugim riječima, da bi se postiglo ravno čisto savijanje grede, opterećenje se na nju ne može primijeniti proizvoljno: mora se svesti na sile koje djeluju u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi inercije presjeka grede; u ovom slučaju, druga glavna središnja os inercije bit će neutralna os presjeka.

Kao što znate, u slučaju presjeka koji je simetričan u odnosu na bilo koju os, os simetrije je jedna od njegovih glavnih središnjih osi inercije. Posljedično, u ovom konkretnom slučaju svakako ćemo dobiti čisto savijanje primjenom odgovarajućih analoga u ravnini koja prolazi kroz uzdužnu os grede i os simetrije njezina presjeka. Ravna crta, okomita na os simetrije i koja prolazi kroz težište presjeka, neutralna je os ovog presjeka.

Nakon utvrđivanja položaja neutralne osi, nije teško pronaći veličinu naprezanja u bilo kojoj točki presjeka. Doista, budući da zbroj momenata elementarnih sila u odnosu na neutralnu os yy mora biti jednak momentu savijanja, tada

odakle, zamjenom vrijednosti σ iz (5.8), nalazimo

Budući da je integral moment tromosti presjeka oko y-osi, tada

a iz izraza (5.8) dobivamo

Proizvod EI Y naziva se krutost grede na savijanje.

Najveća vlačna i najveća tlačna naprezanja u apsolutnoj vrijednosti djeluju u točkama presjeka za koje je apsolutna vrijednost z najveća, tj. u točkama koje su najudaljenije od neutralne osi. Uz oznake, sl. 95 ima

Vrijednost Jy / h1 naziva se momentom otpora presjeka na rastezanje i označava se s Wyr; slično se Jy/h2 naziva momentom otpora presjeka na kompresiju

i označimo Wyc, dakle

i stoga

Ako je neutralna os os simetrije presjeka, tada je h1 = h2 = h/2 i, posljedično, Wyp = Wyc, pa ih nema potrebe razlikovati, a koriste istu oznaku:

nazivajući W y jednostavno modulom presjeka. Stoga, u slučaju presjeka simetričnog oko neutralne osi,

Svi navedeni zaključci dobiveni su na temelju pretpostavke da poprečni presjeci grede, kada se savijaju, ostaju ravni i normalni na svoju os (hipoteza ravnih presjeka). Kao što je prikazano, ova pretpostavka vrijedi samo u slučaju kada ekstremni (krajnji) dijelovi grede ostaju ravni tijekom savijanja. S druge strane, iz hipoteze ravnih presjeka proizlazi da se elementarne sile u takvim presjecima trebaju rasporediti prema linearnom zakonu. Stoga je za valjanost dobivene teorije ravnog čistog savijanja potrebno da se momenti savijanja na krajevima grede primjenjuju u obliku elementarnih sila raspoređenih po visini presjeka prema linearnom zakonu (Sl. 96), što se podudara sa zakonom raspodjele naprezanja po visini presječnih greda. Međutim, na temelju Saint-Venantovog principa, može se tvrditi da će promjena u načinu primjene momenata savijanja na krajevima grede uzrokovati samo lokalne deformacije, čiji će učinak utjecati samo na određenoj udaljenosti od ovih krajevi (približno jednaki visini presjeka). Dijelovi koji se nalaze u ostatku duljine grede ostat će ravni. Posljedično, navedena teorija ravnog čistog savijanja, s bilo kojom metodom primjene momenata savijanja, vrijedi samo unutar srednjeg dijela duljine grede, koji se nalazi na udaljenostima od njegovih krajeva približno jednakim visini presjeka. Iz ovoga je jasno da je ova teorija očito neprimjenjiva ako visina presjeka prelazi polovicu duljine ili raspona grede.

Ravno poprečno savijanje greda. Unutarnje sile savijanja. Diferencijalne ovisnosti unutarnjih sila. Pravila za provjeru dijagrama unutarnjih sila pri savijanju. Normalna i posmična naprezanja pri savijanju. Proračun čvrstoće za normalna i posmična naprezanja.

10. JEDNOSTAVNE VRSTE OTPORA. RAVNI ZAVOJ

10.1. Opći pojmovi i definicije

Savijanje je vrsta opterećenja pri kojoj se štap opterećuje momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os štapa.

Štap koji radi pri savijanju naziva se greda (ili greda). U budućnosti ćemo razmotriti ravne grede, čiji poprečni presjek ima barem jednu os simetrije.

U otpornosti materijala, savijanje je ravno, koso i složeno.

Ravno savijanje je savijanje u kojem sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravnina simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).

Glavne ravnine inercije grede su ravnine koje prolaze kroz glavne osi poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (os x).

Kosi zavoj je zavoj u kojemu opterećenja djeluju u jednoj ravnini koja se ne poklapa s glavnim ravninama tromosti.

Složeno savijanje je savijanje pri kojem opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.

10.2. Određivanje unutarnjih sila savijanja

Razmotrimo dva karakteristična slučaja savijanja: u prvom slučaju, konzolna greda je savijena koncentriranim momentom M o ; u drugom, koncentriranom silom F.

Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječene dijelove grede određujemo unutarnje sile u oba slučaja:

Ostale jednadžbe ravnoteže očito su identično jednake nuli.

Dakle, u općem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutarnjih sila nastaju dvije - moment savijanja M z i posmična sila Q y (ili kod savijanja oko druge glavne osi - moment savijanja M y i posmična sila Q z ).

U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravno savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.

Čisto savijanje je ravno savijanje, u kojem samo jedna od šest unutarnjih sila nastaje u dijelovima šipke - moment savijanja (vidi prvi slučaj).

poprečni zavoj- savijanje, pri kojem se, osim unutarnjeg momenta savijanja, javlja i poprečna sila u presjecima šipke (vidi drugi slučaj).

Strogo govoreći, samo čisto savijanje spada u jednostavne vrste otpora; poprečno savijanje uvjetno se odnosi na jednostavne vrste otpora, budući da se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.

Prilikom određivanja unutarnjih sila pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:

1) poprečna sila Q y smatra se pozitivnom ako teži rotaciji elementa grede koji se razmatra u smjeru kazaljke na satu;

2) moment savijanja M z se smatra pozitivnim ako se, kada je element grede savijen, gornja vlakna elementa stisnu, a donja rastegnuta (kišobransko pravilo).

Dakle, rješenje problema određivanja unutarnjih sila tijekom savijanja gradit će se prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, s obzirom na ravnotežne uvjete konstrukcije u cjelini, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonaca (imajte na umu da se za konzolnu gredu reakcije u ugradnji mogu i ne naći ako uzmemo u obzir gredu sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične presjeke grede, uzimajući kao granice presjeka točke primjene sila, točke promjene oblika ili dimenzija grede, točke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutarnje sile u presjecima grede, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže za elemente grede u svakom od presjeka.

10.3. Diferencijalne ovisnosti u savijanju

Uspostavimo neke odnose između unutarnjih sila i vanjskih opterećenja na savijanje, kao i karakteristične značajke Q i M dijagrama, čije će poznavanje olakšati izradu dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja označit ćemo: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Dodijelimo mali element dx u presjeku grede s proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentriranih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, element dx će također biti u ravnoteži pod djelovanjem poprečnih sila koje se na njega primjenjuju, momenata savijanja i vanjskog opterećenja. Budući da se Q i M općenito mijenjaju duž osi grede, tada će u presjecima elementa dx postojati poprečne sile Q i Q + dQ , kao i momenti savijanja M i M + dM . Iz uvjeta ravnoteže odabranog elementa dobivamo

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Iz druge jednadžbe, zanemarujući pojam q dx (dx /2) kao beskonačno malu količinu drugog reda, nalazimo

Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) se nazivaju diferencijalne ovisnosti D. I. Žuravskog u savijanju.

Analiza navedenih diferencijalnih ovisnosti u savijanju omogućuje nam da uspostavimo neke značajke (pravila) za konstruiranje dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila:

a - u područjima gdje nema raspoređenog opterećenja q, dijagrami Q su ograničeni na ravne linije paralelne s bazom, a dijagrami M - na kosim ravnicama;

b - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje raspoređeno opterećenje q, Q dijagrami su ograničeni nagnutim ravnim linijama, a M dijagrami su ograničeni kvadratnim parabolama. U isto vrijeme, ako gradimo dijagram M "na rastegnutom vlaknu", tada će konveksnost pa-

rad će biti usmjeren u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u presjeku gdje crta Q siječe osnovnu liniju;

c - u dijelovima gdje je koncentrirana sila primijenjena na gredu, na Q dijagramu će biti skokova za vrijednost i u smjeru ove sile, a na M dijagramu ima pregiba, vrh usmjeren u smjeru ove sile sila; d - u dijelovima gdje se koncentrirani moment primjenjuje na gredu na parceli

neće biti promjena u re Q, a na dijagramu M bit će skokovi za vrijednost ovog trenutka; e - u područjima gdje je Q > 0, trenutak M raste, a u područjima gdje je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalna naprezanja kod čistog savijanja ravne grede

Razmotrimo slučaj čistog ravninskog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih naprezanja za taj slučaj. Napominjemo da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem riješi metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze za savijanje:

a – hipoteza ravnog presjeka (Bernoullijeva hipoteza)

- ravni presjeci prije deformacije ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo rotiraju u odnosu na određenu liniju, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom slučaju, vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne osi, bit će rastegnuta, a s druge strane, stisnuta; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju duljinu;

b - hipoteza o postojanosti normalnih naprezanja

nii - naprezanja koja djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne osi su konstantna po širini grede;

c – hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka –

siva uzdužna vlakna ne pritišću jedno na drugo.

Zavoj je vrsta deformacije u kojoj je uzdužna os grede savijena. Ravne grede koje rade na savijanje nazivaju se grede. Ravni zavoj je zavoj u kojem vanjske sile koje djeluju na gredu leže u istoj ravnini (ravnini sile) koja prolazi kroz uzdužnu os grede i glavnu središnju os tromosti poprečnog presjeka.

Zavoj se naziva čistim, ako se u bilo kojem presjeku grede pojavi samo jedan moment savijanja.

Savijanje, u kojem moment savijanja i poprečna sila istovremeno djeluju u presjeku grede, naziva se poprečnim. Linija presjeka ravnine sile i ravnine presjeka naziva se linija sile.

Čimbenici unutarnje sile pri savijanju grede.

Kod ravnog poprečnog savijanja u presjecima grede nastaju dva unutarnja faktora sile: poprečna sila Q i moment savijanja M. Za njihovo određivanje koristi se metoda presjeka (vidi predavanje 1). Poprečna sila Q u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju projekcija na ravninu presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka.

Pravilo predznaka za posmične sile Q:

Moment savijanja M u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata oko težišta ovog presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka.

Pravilo znaka za momente savijanja M:

Diferencijalne ovisnosti Žuravskog.

Između intenziteta q raspoređenog opterećenja, izraza za poprečnu silu Q i momenta savijanja M, utvrđuju se diferencijalne ovisnosti:

Na temelju ovih ovisnosti mogu se razlikovati sljedeći opći obrasci dijagrama poprečnih sila Q i momenata savijanja M:

Osobitosti dijagrama faktora unutarnjih sila pri savijanju.

1. Na presjeku grede gdje nema raspoređenog opterećenja prikazana je grafika Q ravna crta , paralelno s bazom dijagrama, a dijagram M je nagnuta ravna crta (slika a).

2. U dijelu gdje se primjenjuje koncentrirana sila, na Q dijagramu bi trebala biti skok , jednaka vrijednosti ove sile, a na dijagramu M - prijelomna točka (slika a).

3. U presjeku gdje se primjenjuje koncentrirani moment vrijednost Q se ne mijenja, a dijagram M ima skok , jednak vrijednosti ovog trenutka, (slika 26, b).

4. U presjeku grede s raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram Q se mijenja po linearnom zakonu, a dijagram M - po paraboličnom, a konveksnost parabole usmjerena je prema smjeru raspoređenog opterećenja (sl. c, d).

5. Ako unutar karakterističnog presjeka dijagrama Q siječe bazu dijagrama, tada u presjeku gdje je Q = 0, moment savijanja ima ekstremnu vrijednost M max ili M min (slika d).

Normalna naprezanja savijanja.

Određuje se formulom:

Moment otpora presjeka na savijanje je vrijednost:

Opasni dio kod savijanja naziva se poprečni presjek grede u kojem se javlja maksimalno normalno naprezanje.

Tangencijalna naprezanja pri izravnom savijanju.

Određeno od Formula Žuravskog za posmična naprezanja kod izravnog savijanja grede:

gdje je S ots - statički moment poprečnog područja odsječenog sloja uzdužnih vlakana u odnosu na neutralnu liniju.

Proračun čvrstoće na savijanje.

1. Na verifikacijski izračun određuje se maksimalno projektno naprezanje koje se uspoređuje s dopuštenim naprezanjem:

2. Na proračun dizajna odabir presjeka grede vrši se iz uvjeta:

3. Prilikom određivanja dopuštenog opterećenja, dopušteni moment savijanja određuje se iz uvjeta:

Pokreti savijanja.

Pod djelovanjem opterećenja savijanja, os grede je savijena. U ovom slučaju dolazi do rastezanja vlakana na konveksnim i kompresije - na konkavnim dijelovima grede. Osim toga, postoji okomito pomicanje težišta poprečnih presjeka i njihova rotacija u odnosu na neutralnu os. Za karakterizaciju deformacije tijekom savijanja koriste se sljedeći koncepti:

Otklon snopa Y- pomak težišta poprečnog presjeka grede u smjeru okomitom na njegovu os.

Otklon se smatra pozitivnim ako se težište pomiče prema gore. Količina otklona varira duž duljine grede, t.j. y=y(z)

Kut rotacije presjeka- kut θ za koji se svaka sekcija zakreće u odnosu na svoj izvorni položaj. Kut rotacije smatra se pozitivnim kada se sekcija okreće suprotno od kazaljke na satu. Vrijednost kuta rotacije varira duž duljine snopa, što je funkcija θ = θ (z).

Najčešći način određivanja pomaka je metoda mora i Vereščaginovo pravilo.

Mohrova metoda.

Postupak za određivanje pomaka prema Mohrovoj metodi:

1. „Pomoćni sustav“ se gradi i opterećuje jednim opterećenjem na mjestu gdje se treba odrediti pomak. Ako se odredi linearni pomak, tada se u njegovom smjeru primjenjuje jedinična sila, a pri određivanju kutnih pomaka primjenjuje se jedinični moment.

2. Za svaki dio sustava bilježe se izrazi momenata savijanja M f od primijenjenog opterećenja i M 1 - od pojedinačnog opterećenja.

3. Mohrovi integrali se izračunavaju i zbrajaju po svim dijelovima sustava, što rezultira željenim pomakom:

4. Ako izračunati pomak ima pozitivan predznak, to znači da se njegov smjer podudara sa smjerom jedinične sile. Negativan predznak označava da je stvarni pomak suprotan smjeru jedinične sile.

Vereščaginovo pravilo.

Za slučaj kada dijagram momenata savijanja od danog opterećenja ima proizvoljan, a od jednog opterećenja - pravolinijski obris, prikladno je koristiti grafičko-analitičku metodu ili Vereshchaginovo pravilo.

gdje je A f površina dijagrama momenta savijanja M f od danog opterećenja; y c je ordinata dijagrama od jednog opterećenja ispod težišta dijagrama M f ; EI x - krutost presjeka presjeka grede. Proračuni prema ovoj formuli izvode se u odjeljcima, na svakom od kojih pravocrtni dijagram mora biti bez prijeloma. Vrijednost (A f *y c) smatra se pozitivnom ako se oba dijagrama nalaze na istoj strani grede, negativnom ako se nalaze na suprotnim stranama. Pozitivan rezultat množenja dijagrama znači da se smjer kretanja poklapa sa smjerom jedinične sile (ili momenta). Složeni dijagram M f mora se podijeliti na jednostavne figure (koristi se tzv. "epure slojevitost"), za svaku od kojih je lako odrediti ordinatu težišta. U ovom slučaju, površina svake figure množi se s ordinatom ispod njezinog težišta.

savijati se naziva se deformacija štapa, praćena promjenom zakrivljenosti njegove osi. Šipka koja se savija zove se greda.

Ovisno o načinima primjene opterećenja i metodama pričvršćivanja šipke, mogu se pojaviti različite vrste savijanja.

Ako se pod djelovanjem opterećenja u poprečnom presjeku šipke javlja samo moment savijanja, tada se savijanje naziva čist.

Ako u poprečnim presjecima, uz momente savijanja, nastaju i poprečne sile, tada se savijanje naziva poprečno.

Ako vanjske sile leže u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih središnjih osi poprečnog presjeka šipke, zavoj se naziva jednostavan ili ravan. U tom slučaju opterećenje i deformabilna os leže u istoj ravnini (slika 1).

Riža. jedan

Da bi greda mogla podnijeti opterećenje u ravnini, mora se učvrstiti uz pomoć nosača: zglobno-pokretni, zglobno-fiksni, ugradni.

Greda mora biti geometrijski nepromjenjiva, dok je najmanji broj veza 3. Primjer geometrijski promjenjivog sustava prikazan je na slici 2a. Primjer geometrijski nepromjenjivih sustava je sl. 2b, c.

a B C)

U nosačima nastaju reakcije koje se određuju iz ravnotežnih uvjeta statike. Reakcije u nosačima su vanjska opterećenja.

Unutarnje sile savijanja

Štap opterećen silama okomitim na uzdužnu os grede doživi ravan zavoj (slika 3). U poprečnim presjecima postoje dvije unutarnje sile: posmična sila Q y i moment savijanja Mz.

Unutarnje sile određuju se metodom presjeka. Na daljinu x iz točke ALI ravninom okomitom na os X, šipka je razrezana na dva dijela. Jedan od dijelova grede se odbacuje. Interakcija dijelova grede zamjenjuje se unutarnjim silama: momentom savijanja Mz i poprečna sila Q y(slika 4).

Domaći napori Mz i Q y u presjek određuju se iz uvjeta ravnoteže.

Za dio se sastavlja jednadžba ravnoteže S:

∑y = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Zatim Q y = R A – P1.

Zaključak. Poprečna sila u bilo kojem presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila koje leže s jedne strane nacrtanog presjeka. Poprečna sila se smatra pozitivnom ako rotira šipku u smjeru kazaljke na satu oko točke presjeka.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – Mz = 0

Zatim Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Definicija reakcija R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Ucrtavanje na prvom dijelu 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Ucrtavanje na drugom dijelu 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

Prilikom gradnje Mz pozitivne koordinate će se ucrtati prema rastegnutim vlaknima.

Provjera parcela

1. Na dijagramu Q y diskontinuiteti mogu biti samo na mjestima gdje djeluju vanjske sile, a veličina skoka mora odgovarati njihovoj veličini.

+ = = P

2. Na dijagramu Mz na mjestima primjene koncentriranih momenata nastaju diskontinuiteti i veličina skoka jednaka je njihovoj veličini.

Diferencijalne ovisnosti izmeđuM, Piq

Između momenta savijanja, poprečne sile i intenziteta raspoređenog opterećenja utvrđuju se sljedeće ovisnosti:

q = , Q y =

gdje je q intenzitet raspoređenog opterećenja,

Provjera čvrstoće greda pri savijanju

Za procjenu čvrstoće šipke pri savijanju i odabir presjeka grede koriste se uvjeti čvrstoće za normalna naprezanja.

Moment savijanja je rezultantni moment normalnih unutarnjih sila raspoređenih po presjeku.

s = × y,

gdje je s normalno naprezanje u bilo kojoj točki poprečnog presjeka,

y je udaljenost od težišta presjeka do točke,

Mz- moment savijanja koji djeluje u presjeku,

Jz je aksijalni moment tromosti štapa.

Kako bi se osigurala čvrstoća, izračunavaju se maksimalna naprezanja koja se javljaju u točkama presjeka koje su najudaljenije od težišta y = ymax

s max = × ymax,

= Wz i s max = .

Tada uvjet čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:

s max = ≤ [s],

gdje je [s] dopušteno vlačno naprezanje.

Zadatak. Izgradite dijagrame Q i M za statički neodređenu gredu. Izračunavamo grede prema formuli:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Beam jednom je statički neodređen, što znači jedan reakcija je "ekstra" nepoznato. Za "ekstra" nepoznanicu uzet ćemo reakciju podrške NA — R B.

Statički određen snop, koji se iz zadane dobiva uklanjanjem "dodatne" veze, naziva se glavnim sustavom. (b).

Sada treba predstaviti ovaj sustav ekvivalent dano. Da biste to učinili, učitajte glavni sustav dano opterećenje, a u točki NA primijeniti "ekstra" reakcija R B(riža. u).

Međutim, za ekvivalencija ovaj nedovoljno, budući da je u takvoj gredi točka NA može biti kretati okomito, i u danoj gredi (sl. a ) to se ne može dogoditi. Stoga, dodajemo stanje, što otklon t. NA u glavnom sustavu mora biti jednak 0. Otklon t. NA sastoji se od otklon od djelujućeg opterećenja Δ F i od otklon od "ekstra" reakcije Δ R.

Zatim sastavljamo uvjet kompatibilnosti pomaka:

Δ F + Δ R=0 (1)

Sada ostaje izračunati ove pokreti (progibi).

Učitavam Osnovni, temeljni sustav dano opterećenje(riža .G) i graditi dijagram teretaM F (riža. d ).

NA t. NA primijeniti i izgraditi ep. (riža. jež ).

Simpsonovom formulom definiramo otklon opterećenja.

Sada definirajmo otklon od djelovanja "ekstra" reakcije R B , za to učitavamo glavni sustav R B (riža. h ) i nacrtajte trenutke iz njegove radnje M R (riža. i ).

Sastavite i odlučite jednadžba (1):

Hajdemo graditi ep. P i M (riža. do, l ).

Izgradnja dijagrama P.

Izgradimo parcelu M metoda karakteristične točke. Raspoređujemo točke na gredi - to su točke početka i kraja grede ( D,A ), koncentrirani trenutak ( B ), a također zabilježite kao karakterističnu točku sredinu jednoliko raspoređenog opterećenja ( K ) je dodatna točka za konstruiranje paraboličke krivulje.

Odredite momente savijanja u točkama. Pravilo znakova cm - .

Trenutak u NA definirat će se na sljedeći način. Prvo definirajmo:

Točka Do primimo se sredina područje s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem.

Izgradnja dijagrama M . Zemljište AB – parabolična krivulja(pravilo "kišobrana"), zaplet BD – ravna kosa linija.

Za gredu odredite reakcije potpore i nacrtajte dijagrame momenta savijanja ( M) i posmične sile ( P).

Određujemo podupire slova ALI i NA i usmjeravaju reakcije podrške R A i R B .

Sastavljanje jednadžbe ravnoteže.

Ispitivanje

Zapišite vrijednosti R A i R B na shema proračuna.

2. Ucrtavanje poprečne sile metoda sekcije. Postavljamo sekcije na karakteristična područja(između promjena). Prema dimenzijskoj niti - 4 sekcije, 4 sekcije.

sec. 1-1 potez lijevo.

Dionica prolazi kroz dionicu sa jednoliko raspoređeno opterećenje, obratite pažnju na veličinu z 1 lijevo od odjeljka prije početka sekcije. Dužina parcele 2 m. Pravilo znakova za P - cm.

Gradimo na pronađenoj vrijednosti dijagramP.

sec. 2-2 potez desno.

Dionica opet prolazi kroz područje s jednoliko raspoređenim opterećenjem, obratite pažnju na veličinu z 2 desno od odjeljka do početka odjeljka. Dužina parcele 6 m.

Izgradnja dijagrama P.

sec. 3-3 potez desno.

sec. 4-4 pomaknite se udesno.

Mi gradimo dijagramP.

3. Izgradnja dijagrami M metoda karakteristične točke.

karakteristična točka- točka, bilo koja vidljiva na gredi. Ovo su točkice ALI, NA, S, D , kao i točka Do , pri čemu P=0 i moment savijanja ima ekstrem. također u sredina konzola stavlja dodatnu točku E, budući da je u ovom području pod jednoliko raspoređenim opterećenjem dijagram M opisano krivo liniji, a izgrađena je, barem, prema 3 bodova.

Dakle, točke su postavljene, nastavljamo s određivanjem vrijednosti u njima momenti savijanja. Pravilo znakova - vidi..

Parcele NA, AD – parabolična krivulja(pravilo “kišobran” za strojarske specijalitete ili “pravilo jedra” za konstrukciju), odjeljci DC, SW – ravne kose linije.

Trenutak u točki D treba utvrditi i lijevo i desno iz točke D . Sam trenutak u ovim izrazima Isključen. U točki D dobivamo dva vrijednosti iz razlika po iznosu m – skok na njegovu veličinu.

Sada trebamo odrediti trenutak u točki Do (P=0). Međutim, prvo ćemo definirati položaj točke Do , označavajući udaljenost od njega do početka presjeka nepoznatom x .

T. Do pripada drugi karakteristično područje, jednadžba posmične sile(vidi gore)

Ali poprečna sila u t. Do jednako je 0 , a z 2 jednako nepoznato x .

Dobivamo jednadžbu:

Sada znajući x, odrediti trenutak u točki Do na desnoj strani.

Izgradnja dijagrama M . Gradnja je izvediva za mehanički specijalnosti, odgađajući pozitivne vrijednosti gore od nulte linije i korištenjem pravila "kišobrana".

Za zadanu shemu konzolne grede potrebno je konstruirati dijagrame poprečne sile Q i momenta savijanja M, izvršiti proračunski proračun odabirom kružnog presjeka.

Materijal - drvo, projektna otpornost materijala R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Postoje dva načina za izradu dijagrama u konzolnoj gredi s krutim završetkom - uobičajeni, nakon što su prethodno određene reakcije oslonca, i bez određivanja reakcija potpore, ako uzmemo u obzir presjeke, koji idu od slobodnog kraja grede i odbacuju lijeva strana sa završetkom. Napravimo dijagrame obični put.

1. Definirajte reakcije podrške.

Ravnomjerno raspoređeno opterećenje q zamijeniti uvjetnu silu Q= q 0,84=6,72 kN

U krutom ugradnji postoje tri reakcije potpore - vertikalna, horizontalna i momentna, u našem slučaju horizontalna reakcija je 0.

Nađimo okomito reakcija podrške R A i referentni trenutak M A iz jednadžbi ravnoteže.

U prva dva dijela s desne strane nema poprečne sile. Na početku dionice s ravnomjerno raspoređenim opterećenjem (desno) Q=0, straga - veličina reakcije R.A.
3. Za izgradnju ćemo sastaviti izraze za njihovu definiciju na sekcijama. Dijagram momenta ucrtavamo na vlakna, t.j. dolje.

(radnja pojedinačnih trenutaka već je izgrađena ranije)

Rješavamo jednadžbu (1) koju smanjujemo za EI

Otkrivena statička neodređenost, pronađena je vrijednost "ekstra" reakcije. Možete početi crtati Q i M dijagrame za statički neodređenu gredu... Skiciramo zadanu shemu grede i naznačimo vrijednost reakcije Rb. U ovom snopu, reakcije u prekidu ne mogu se odrediti ako idete udesno.

Zgrada parcele Q za statički neodređenu gredu

Zaplet Q.

Zacrtavanje M

M definiramo u točki ekstrema – u točki Do. Prvo, definirajmo njegov položaj. Označavamo udaljenost do njega kao nepoznatu " x". Zatim

Planiramo M.

Određivanje posmičnih naprezanja u I-presjeku. Razmotrite odjeljak I-zraka. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za određivanje posmičnog naprezanja koristi se formula, gdje je Q poprečna sila u presjeku, S x 0 je statički moment dijela poprečnog presjeka koji se nalazi na jednoj strani sloja u kojem se određuju posmična naprezanja, I x je moment tromosti cijelog križa presjek, b je širina presjeka na mjestu gdje se određuje posmično naprezanje

Izračunaj maksimum posmično naprezanje:

Izračunajmo statički moment za najgornja polica:

Sada izračunajmo posmična naprezanja:

Mi gradimo dijagram posmičnog naprezanja:

Projektiranje i verifikacijski proračuni. Za gredu s izgrađenim dijagramima unutarnjih sila odaberite presjek u obliku dva kanala iz uvjeta čvrstoće u smislu normalnih naprezanja. Provjerite čvrstoću grede pomoću uvjeta posmične čvrstoće i kriterija energetske čvrstoće. dano:

Pokažimo gredu s konstruiranim parcele Q i M

Prema dijagramu momenata savijanja, opasno je odjeljak C, pri čemu M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Stanje čvrstoće za normalna naprezanja jer ova greda ima oblik σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Potrebno je odabrati dio sa dva kanala.

Odredite potrebnu izračunatu vrijednost modul aksijalnog presjeka:

Za dio u obliku dva kanala, prema prihvatiti dva kanala №20a, moment inercije svakog kanala I x = 1670 cm 4, onda aksijalni moment otpora cijelog presjeka:

Prenapon (podnapon) na opasnim točkama računamo prema formuli: Tada dobivamo podnapon:

Sada provjerimo snagu snopa, na temelju uvjeti čvrstoće za posmična naprezanja. Prema dijagram posmičnih sila opasno su sekcije u odjeljku BC i odjeljku D. Kao što se može vidjeti iz dijagrama, Q max \u003d 48,9 kN.

Uvjet čvrstoće za posmična naprezanja izgleda kao:

Za kanal br. 20 a: statički moment površine S x 1 = 95,9 cm 3, moment tromosti presjeka I x 1 = 1670 cm 4, debljina stijenke d 1 = 5,2 mm, prosječna debljina police t 1 \u003d 9,7 mm , visina kanala h 1 = 20 cm, širina police b 1 = 8 cm.

Za poprečno sekcije dva kanala:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Određivanje vrijednosti maksimalno posmično naprezanje:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

kao što se vidi, τmax<τ adm (27 MPa<75МПа).

Stoga, uvjet čvrstoće je ispunjen.

Čvrstoću snopa provjeravamo prema energetskom kriteriju.

Iz obzira dijagrami Q i M slijedi to dio C je opasan, u kojem M C =M max =48,3 kNm i Q C =Q max =48,9 kN.

Hajdemo potrošiti analiza stanja naprezanja u točkama presjeka S

Hajdemo definirati normalna i posmična naprezanja na nekoliko razina (označeno na dijagramu presjeka)

Razina 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normalno i tangentno napon:

Glavni napon:

Razina 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Glavni naponi:

Razina 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Normalna i posmična naprezanja: