Definicija srednje okomice. Četiri divne točke trokuta

Srednje okomito (srednja okomita ili posrednica) je pravac okomit na dati odsječak i prolazi kroz njegovu središnjicu.

Svojstva

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ gdje indeks označava stranu na koju je povučena okomica, $S$ je površina trokuta, a također se pretpostavlja da su stranice povezane nejednakostima $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ i $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Drugim riječima, za trokut, najmanja okomita simetrala odnosi se na srednji segment.

Napišite recenziju na članak "Srednja okomica"

Bilješke

Izvadak koji karakterizira simetralu okomite

Kutuzov, prestajući žvakati, iznenađeno je zurio u Wolzogena, kao da ne razumije što mu se govori. Wolzogen, primijetivši uzbuđenje des alten Herrna, [starog gospodina (Njemačkog)], reče sa smiješkom:
- Nisam smatrao da imam pravo skrivati ​​od vašeg gospodstva ono što sam vidio... Postrojbe su u potpunom neredu...
- Jesi li vidio? Jeste li vidjeli? .. - namršteno je viknuo Kutuzov, brzo ustao i krenuo prema Wolzogenu. "Kako se usuđuješ... kako se usuđuješ...!" viknuo je, praveći prijeteće geste rukovajući se i gušeći se. - Kako se usuđujete, dragi moj gospodine, to mi reći. Ne znaš ništa. Recite generalu Barclayu od mene da su njegove informacije netočne i da je pravi tijek bitke poznat meni, glavnom zapovjedniku, bolje nego njemu.
Wolzogen je htio nešto prigovoriti, ali ga je Kutuzov prekinuo.
- Neprijatelj je odbijen na lijevom i poražen na desnom boku. Ako niste dobro vidjeli, dragi gospodine, onda ne dopustite da kažete ono što ne znate. Molim vas, idite generalu Barclayu i prenesite mu moju neizostavnu namjeru da sutra napadnem neprijatelja”, rekao je Kutuzov strogo. Svi su šutjeli, a čuo se jedan težak dah starog generala zadihanog. - Odbijeno posvuda, na čemu zahvaljujem Bogu i našoj hrabroj vojsci. Neprijatelj je poražen, a mi ćemo ga sutra istjerati iz svete ruske zemlje, - reče Kutuzov prekriživši se; i odjednom briznula u plač. Wolzogen, sliježući ramenima i izvijajući usne, tiho se odmaknuo, čudeći se uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [o ovoj tiraniji starog gospodina. (Njemački)]
"Da, evo ga, moj heroj", rekao je Kutuzov punašnom, zgodnom crnokosom generalu, koji je u to vrijeme ulazio u humak. Bio je to Raevsky, koji je cijeli dan proveo na glavnoj točki Borodinskog polja.
Raevsky je izvijestio da su trupe čvrsto na svojim mjestima i da se Francuzi više ne usuđuju napadati. Nakon što ga je saslušao, Kutuzov je rekao na francuskom:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Znači ne mislite, kao ostali, da bismo se trebali povući?]

Uputa

Nacrtajte liniju kroz točke sjecišta kružnica. Dobili ste simetralu okomite na zadani segment.

Sada neka nam bude dana točka i pravac. Od ove točke potrebno je povući okomicu do. Postavite iglu na točku. Nacrtajte kružnicu polumjera (polumjer mora biti od točke do pravca tako da kružnica može presjeći pravac u dvije točke). Sada imate dvije točke na liniji. Ove točke stvaraju liniju. Konstruirajte simetralu okomite na segment, krajevi su dobivene točke, prema gore opisanom algoritmu. Okomita mora proći kroz početnu točku.

Izgradnja ravnih linija temelj je tehničkog crtanja. Sada se to sve više radi uz pomoć grafičkih uređivača, koji dizajneru pružaju velike mogućnosti. Međutim, neki principi konstrukcije ostaju isti kao u klasičnom crtanju - korištenjem olovke i ravnala.

Trebat će vam

• - papir;
• - olovka;
• - vladar;
• - računalo sa programom AutoCAD.

Uputa

Počnite s klasičnom izgradnjom. Odredite ravninu u kojoj ćete povući liniju. Neka ovo bude ravnina lista papira. Ovisno o uvjetima problema, uredite . Mogu biti proizvoljni, ali je moguće da je zadan koordinatni sustav. Proizvoljne točke stavite tamo gdje vam se najviše sviđa. Označite ih A i B. Spojite ih ravnalom. Prema aksiomu, uvijek je moguće povući ravnu kroz dvije točke, i to samo jednu.

Nacrtaj koordinatni sustav. Neka vam budu zadane točke A (x1; y1). Za njih je potrebno izdvojiti traženi broj duž osi x i kroz označenu točku povući ravnu liniju paralelnu s osi y. Zatim ucrtajte vrijednost jednaku y1 duž odgovarajuće osi. Nacrtajte okomicu od označene točke dok se ne siječe s. Mjesto njihova presjeka bit će točka A. Na isti način pronaći točku B čije koordinate možemo označiti kao (x2; y2). Spojite obje točke.

U AutoCAD-u se ravna linija može izgraditi s nekoliko . Funkcija "by" obično je postavljena prema zadanim postavkama. Pronađite karticu "Početna" u gornjem izborniku. Vidjet ćete ploču za crtanje ispred sebe. Pronađite gumb s ravnom linijom i kliknite na njega.

AutoCAD vam također omogućuje postavljanje koordinata oba. Birajte na dnu naredbeni redak(_xline). Pritisni enter. Unesite koordinate prve točke i također pritisnite enter. Na isti način definirajte drugu točku. Također se može odrediti klikom miša postavljanjem kursora željenu točku zaslon.

U AutoCAD-u možete izgraditi ravnu liniju ne samo po dvije točke, već i po kutu nagiba. Iz kontekstnog izbornika Crtanje odaberite ravnu liniju, a zatim opciju Kut. Polazna točka se može postaviti klikom miša ili pomoću , kao u prethodnoj metodi. Zatim postavite veličinu kuta i pritisnite enter. Prema zadanim postavkama, linija će biti postavljena pod željenim kutom prema horizontali.

Slični Videi

Na složenom crtežu (dijagram) okomitost izravni i avion utvrđeno glavnim odredbama: ako jedna strana pravi kut paralelno avion projekcije, tada se pravi kut projicira na ovu ravninu bez izobličenja; ako je pravac okomit na dva pravca koja se sijeku avion, okomito je na ovo avion.

Trebat će vam

• Olovka, ravnalo, kutomjer, trokut.

Uputa

Primjer: kroz točku M povući okomitu na avion Za crtanje okomice na avion, u ovome leže dvije linije koje se sijeku avion, i konstruirati pravac okomit na njih. Frontalna i horizontalna su odabrane kao ove dvije linije koje se sijeku. avion.

Frontalni f(f₁f₂) je ravna linija koja leži unutra avion i paralelno s prednjom stranom avion projekcije P₂. Dakle, f₂ je njegova prirodna vrijednost, a f₁ je uvijek paralelan s x₁₂. Iz točke A₂ povucite h₂ paralelno s x₁₂ i dobijete točku 1₂ na B₂C₂.

Uz pomoć projekcijske linije komunikacijske točke 1₁ na V₁S₁. Povežite se s A₁ - ovo je h₁ - prirodna veličina horizontale. Iz točke B₁ nacrtajte f₁‖x₁₂, na A₁C₁ dobijete točku 2₁. Nađite točku 2₂ na A₂C₂ pomoću projekcijske spojne linije. Povežite se s točkom B₂ - to će biti f₂ - puna veličina prednje strane.

Konstruirane prirodne horizontale h₁ i fronte f₂ projekcija okomice na avion. Iz točke M₂ povucite njezinu frontalnu projekciju a₂ pod kutom od 90

Postoje takozvane četiri izvanredne točke u trokutu: točka presjeka medijana. Točka presjeka simetrala, točka presjeka visina i točka presjeka okomitih simetrala. Razmotrimo svaki od njih.

Točka presjeka medijana trokuta

Teorem 1

Na presjeku medijana trokuta: Medijani trokuta sijeku se u jednoj točki i dijele točku presjeka u omjeru $2:1$ počevši od vrha.

Dokaz.

Razmotrimo trokut $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegov medijan. Budući da medijane dijele strane na pola. Razmotrimo srednju liniju $A_1B_1$ (slika 1).

Slika 1. Medijane trokuta

Prema teoremu 1, $AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, dakle $\ugao ABB_1=\kut BB_1A_1,\ \kut BAA_1=\kut AA_1B_1$. Stoga su trokuti $ABM$ i $A_1B_1M$ slični u prvom sličnost trokuta. Zatim

Slično, dokazano je da

Teorem je dokazan.

Točka presjeka simetrala trokuta

Teorem 2

Na presjeku simetrala trokuta: Simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.

Dokaz.

Razmotrimo trokut $ABC$, gdje su $AM,\ BP,\ CK$ njegove simetrale. Neka je točka $O$ presjek simetrala $AM\ i\ BP$. Nacrtajte iz ove točke okomito na stranice trokuta (slika 2).

Slika 2. Simetrale trokuta

Teorem 3

Svaka točka simetrale neproširenog kuta jednako je udaljena od svojih stranica.

Prema teoremu 3, imamo: $OX=OZ,\ OX=OY$. Stoga $OY=OZ$. Stoga je točka $O$ jednako udaljena od stranica kuta $ACB$ i stoga leži na njegovoj simetrali $CK$.

Teorem je dokazan.

Točka presjeka okomitih simetrala trokuta

Teorem 4

Okomite simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki.

Dokaz.

Neka je zadan trokut $ABC$, $n,\ m,\ p$ njegove okomite simetrale. Neka je točka $O$ presjek simetrala okomitih $n\ i\ m$ (slika 3).

Slika 3. Okomite simetrale trokuta

Za dokaz nam je potreban sljedeći teorem.

Teorem 5

Svaka točka okomite simetrale na segment jednako je udaljena od krajeva zadanog segmenta.

Prema teoremu 3, imamo: $OB=OC,\ OB=OA$. Stoga $OA=OC$. To znači da je točka $O$ jednako udaljena od krajeva segmenta $AC$ i stoga leži na njegovoj okomitoj simetrali $p$.

Teorem je dokazan.

Točka presjeka visina trokuta

Teorem 6

Visine trokuta ili njihovih produžetaka sijeku se u jednoj točki.

Dokaz.

Razmotrimo trokut $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova visina. Povucite crtu kroz svaki vrh trokuta paralelno sa stranicom suprotnom vrhu. Dobivamo novi trokut $A_2B_2C_2$ (slika 4).

Slika 4. Visine trokuta

Budući da su $AC_2BC$ i $B_2ABC$ paralelogrami sa zajedničkom stranom, onda je $AC_2=AB_2$, odnosno točka $A$ središte stranice $C_2B_2$. Slično, dobivamo da je točka $B$ središte stranice $C_2A_2$, a točka $C$ središte stranice $A_2B_2$. Iz konstrukcije imamo da je $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Stoga su $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ okomite simetrale trokuta $A_2B_2C_2$. Zatim, prema teoremu 4, imamo da se visine $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sijeku u jednoj točki.