संबंधित पाठ "असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति" (बीजगणित, ग्रेड 10)

पाठ का उद्देश्य:छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

उपकरण:प्रक्षेपक स्क्रीन।

पाठ प्रकार:पाठ - एक नए विषय में महारत हासिल करना।

कक्षाओं के दौरान

मैं . संगठन पल। पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में संदेश।

द्वितीय . छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।

9वीं कक्षा में, आपने अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया।

प्रशन

1. एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा। (एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर होता है।)

2. सूत्र एन- अंकगणितीय प्रगति का सदस्य (
)

3. पहले के योग का सूत्र एनअंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

(
या
)

4. एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा। (एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद को उसी संख्या से गुणा करने के बराबर होता है।)

5. सूत्र एन-ज्यामितीय प्रगति का सदस्य (

)

6. पहले के योग का सूत्र एनएक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य। (
)

7. आप अभी भी कौन से सूत्र जानते हैं?

(
, कहाँ पे
;
;
;
,
)

5. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए
पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।

6. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए
पाना एन-वें सदस्य।

7. घातीय रूप से बी 3 = 8 और बी 5 = 2 . पाना बी 4 . (4)

8. घातीय रूप से बी 3 = 8 और बी 5 = 2 . पाना बी 1 और क्यू .

9. घातीय रूप से बी 3 = 8 और बी 5 = 2 . पाना एस 5 . (62)

तृतीय . एक नए विषय की खोज(प्रदर्शन प्रस्तुति)।

एक वर्ग पर विचार करें जिसकी भुजा 1 के बराबर है। आइए एक और वर्ग बनाते हैं, जिसकी भुजा पहले वर्ग का आधा है, फिर दूसरा, जिसकी भुजा आधी है, फिर अगली वाली, इत्यादि। हर बार नए वर्ग की भुजा पिछले वाले की आधी होती है।

परिणामस्वरूप, हमें वर्गों की भुजाओं का एक क्रम मिला हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाना।

और, जो बहुत महत्वपूर्ण है, हम जितने अधिक ऐसे वर्ग बनाएंगे, वर्ग की भुजा उतनी ही छोटी होगी। उदाहरण के लिए,

वे। जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, प्रगति की शर्तें शून्य के करीब पहुंचती हैं।

इस आंकड़े की सहायता से एक और क्रम पर विचार किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, वर्गों के क्षेत्रों का क्रम:

. और, फिर से, अगर एनअनिश्चित काल तक बढ़ता है, तो क्षेत्र शून्य के करीब मनमाने ढंग से करीब आता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 1 सेमी है। आइए अगले त्रिभुज का निर्माण 1 त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं में करें, त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय के अनुसार - 2 की भुजा पहले की आधी भुजा के बराबर है, 3 की भुजा आधी भुजा है दूसरा, आदि फिर से हमें त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई का एक क्रम मिलता है।

पर
.

यदि हम एक ऋणात्मक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करते हैं।

फिर, फिर से, बढ़ती संख्या के साथ एनप्रगति की शर्तें शून्य के करीब पहुंचती हैं।

आइए इन अनुक्रमों के हर पर ध्यान दें। हर जगह हर 1 मॉड्यूलो से कम थे।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही होगी यदि उसके हर का मापांक 1 से कम है।

परिभाषा:

एक ज्यामितीय प्रगति को अनंत रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि उसके हर का मापांक एक से कम हो।
.

परिभाषा की सहायता से इस प्रश्न को हल करना संभव है कि कोई ज्यामितीय प्रगति अपरिमित रूप से घट रही है या नहीं।

काम

क्या अनुक्रम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति है यदि यह सूत्र द्वारा दिया गया है:

;
.

फेसला:

. हमे पता करने दें क्यू .

;
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.

यह ज्यामितीय प्रगति असीम रूप से घट रही है।

बी)यह क्रम अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

1 के बराबर भुजा वाले वर्ग पर विचार करें। इसे आधे में विभाजित करें, आधे में से एक को फिर से आधा में विभाजित करें, और इसी तरह। सभी परिणामी आयतों के क्षेत्र एक असीम रूप से घटते ज्यामितीय प्रगति का निर्माण करते हैं:

इस प्रकार प्राप्त सभी आयतों के क्षेत्रफलों का योग 1 वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर और 1 के बराबर होगा।

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।
कार्य:
संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा के प्रारंभिक विचार का निरूपण;
अनंत आवर्ती भिन्नों को सामान्य में परिवर्तित करने के एक अन्य तरीके से परिचित होने के लिए सूत्र का उपयोग करके एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए;
स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के बौद्धिक गुणों का विकास, जैसे तार्किक सोच, मूल्यांकन कार्यों की क्षमता, सामान्यीकरण;
गतिविधि की शिक्षा, पारस्परिक सहायता, सामूहिकता, विषय में रुचि।

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संबंधित पाठ "असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति" (बीजगणित, ग्रेड 10)

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

कार्य:

संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा के प्रारंभिक विचार का निरूपण; अनंत आवर्ती भिन्नों को सामान्य में परिवर्तित करने के एक अन्य तरीके से परिचित होने के लिए सूत्र का उपयोग करके एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए;

स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के बौद्धिक गुणों का विकास, जैसे तार्किक सोच, मूल्यांकन कार्यों की क्षमता, सामान्यीकरण;

गतिविधि की शिक्षा, पारस्परिक सहायता, सामूहिकता, विषय में रुचि।

उपकरण: कंप्यूटर क्लास, प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

पाठ प्रकार: पाठ - एक नए विषय में महारत हासिल करना।

कक्षाओं के दौरान

मैं संगठन पल। पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में संदेश।

द्वितीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।

9वीं कक्षा में, आपने अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया।

प्रशन

1. एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा।

(एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य,

दूसरे से शुरू होकर, यह पिछले पद के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है)।

2. सूत्र संख्या - अंकगणितीय प्रगति का सदस्य

3. पहले के योग का सूत्रएन अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

( या )

4. एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा।

(एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का अनुक्रम है,

जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद के बराबर है, जिसे से गुणा किया जाता है

एक ही संख्या)।

5. सूत्र संख्या एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद

6. पहले के योग का सूत्रएन एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य।

7. आप अभी भी कौन से सूत्र जानते हैं?

(, कहाँ पे ; ;

; , )

कार्य

1. अंकगणितीय प्रगति सूत्र द्वारा दी गई हैए एन = 7 - 4 एन। एक 10 खोजें। (-33)

2. अंकगणितीय प्रगतिएक 3 = 7 और एक 5 = 1। एक 4 खोजें। (4)

3. अंकगणितीय प्रगतिएक 3 = 7 और एक 5 = 1। एक 17 खोजें। (-35)

4. अंकगणितीय प्रगतिएक 3 = 7 और एक 5 = 1। एस 17 खोजें। (-187)

5. एक ज्यामितीय प्रगति के लिएपाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।

6. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए nवाँ पद ज्ञात कीजिए।

7. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2। बी 4 खोजें। (4)

8. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2। b 1 और q खोजें।

9. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2। एस 5 खोजें। (62)

III. एक नए विषय की खोज(प्रदर्शन प्रस्तुति)।

एक वर्ग पर विचार करें जिसकी भुजा 1 के बराबर है। आइए एक और वर्ग बनाते हैं, जिसकी भुजा पहले वर्ग का आधा है, फिर दूसरा, जिसकी भुजा आधी है, फिर अगली वाली, इत्यादि। हर बार नए वर्ग की भुजा पिछले वाले की आधी होती है।

परिणामस्वरूप, हमें वर्गों की भुजाओं का एक क्रम मिलाहर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाना.

और, जो बहुत महत्वपूर्ण है, हम जितने अधिक ऐसे वर्ग बनाएंगे, वर्ग की भुजा उतनी ही छोटी होगी।उदाहरण के लिए ,

वे। जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, प्रगति की शर्तें शून्य के करीब पहुंचती हैं।

इस आंकड़े की सहायता से एक और क्रम पर विचार किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, वर्गों के क्षेत्रों का क्रम:

और, फिर से, यदि n अनिश्चित काल तक बढ़ता है, तो क्षेत्र शून्य के करीब मनमाने ढंग से करीब आता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 1 सेमी है। आइए अगले त्रिभुज का निर्माण 1 त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं में करें, त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय के अनुसार - 2 की भुजा पहले की आधी भुजा के बराबर है, 3 की भुजा आधी भुजा है दूसरा, आदि फिर से हमें त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई का एक क्रम मिलता है।

पर ।

यदि हम एक ऋणात्मक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करते हैं।

फिर, बढ़ती संख्या के साथएन प्रगति की शर्तें शून्य के करीब पहुंचती हैं।

आइए इन अनुक्रमों के हर पर ध्यान दें। हर जगह हर 1 मॉड्यूलो से कम थे।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही होगी यदि उसके हर का मापांक 1 से कम है।

सामने का काम।

परिभाषा:

एक ज्यामितीय प्रगति को अनंत रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि उसके हर का मापांक एक से कम हो।.

परिभाषा की सहायता से इस प्रश्न को हल करना संभव है कि कोई ज्यामितीय प्रगति अपरिमित रूप से घट रही है या नहीं।

काम

क्या अनुक्रम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति है यदि यह सूत्र द्वारा दिया गया है:

फेसला:

आइए q का पता लगाएं।

; ; ; .

यह ज्यामितीय प्रगति असीम रूप से घट रही है।

बी) यह क्रम अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

1 के बराबर भुजा वाले वर्ग पर विचार करें। इसे आधे में विभाजित करें, आधे में से एक को फिर से आधा में विभाजित करें, और इसी तरह। सभी परिणामी आयतों के क्षेत्र एक असीम रूप से घटते ज्यामितीय प्रगति का निर्माण करते हैं:

इस प्रकार प्राप्त सभी आयतों के क्षेत्रफलों का योग 1 वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर और 1 के बराबर होगा।

लेकिन इस समानता के बाईं ओर अनंत पदों का योग है।

पहले n पदों के योग पर विचार करें।

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र के अनुसार, यह बराबर है.

अगर नहीं अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है, तो

या । इसलिए, यानी। .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योगएक अनुक्रम सीमा हैएस 1, एस 2, एस 3, ..., एस एन, ...।

उदाहरण के लिए, प्रगति के लिए,

अपने पास

जैसा

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योगसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है.

III. प्रतिबिंब और समेकन(कार्यों को पूरा करना)।

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

चतुर्थ। संक्षेप।

आज आप किस क्रम से मिले?

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करें।

कैसे साबित करें कि एक ज्यामितीय प्रगति असीम रूप से घट रही है?

अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र दीजिए।

वी. गृहकार्य।

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

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हर किसी को लगातार सोचने, निर्णायक रूप से निर्णय लेने और गलत निष्कर्षों का खंडन करने में सक्षम होना चाहिए: एक भौतिक विज्ञानी और एक कवि, एक ट्रैक्टर चालक और एक रसायनज्ञ। E.Kolman गणित में, सूत्र नहीं, बल्कि सोच की प्रक्रियाओं को याद रखना चाहिए। वीपी एर्मकोव एक गणितज्ञ को पछाड़ने की तुलना में एक वृत्त का वर्ग खोजना आसान है। ऑगस्टस डी मॉर्गन कौन सा विज्ञान मानव जाति के लिए गणित से अधिक महान, अधिक प्रशंसनीय, अधिक उपयोगी हो सकता है? फ्रेंकलिन

असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति ग्रेड 10

मैं। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति। प्रश्न 1. अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर होता है। 2. समांतर श्रेणी के nवें सदस्य का सूत्र। 3. किसी समांतर श्रेणी के पहले n सदस्यों के योग का सूत्र। 4. एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा। एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के बराबर संख्या 5 से गुणा किया जाता है। ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र। 6. एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग का सूत्र।

द्वितीय. अंकगणितीय प्रगति। असाइनमेंट एक अंकगणितीय प्रगति सूत्र द्वारा दिया जाता है a n = 7 - 4 n एक 10 खोजें। (-33) 2. समांतर श्रेणी में a 3 = 7 और a 5 = 1 । एक 4 खोजें। (4) 3. अंकगणितीय प्रगति में a 3 = 7 और a 5 = 1 । एक 17 खोजें। (-35) 4. समांतर श्रेणी में a 3 = 7 और a 5 = 1 । एस 17 खोजें। (-187)

द्वितीय. ज्यामितीय अनुक्रम। कार्य 5. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए। 6. ज्यामितीय प्रगति के लिए, n-वाँ पद ज्ञात कीजिए। 7. घातीय रूप से b 3 = 8 और b 5 = 2। बी 4 खोजें। (4) 8. गुणोत्तर श्रेणी में b 3 = 8 और b 5 = 2। b 1 और q खोजें। 9. गुणोत्तर श्रेणी में b 3 = 8 और b 5 = 2 है। एस 5 खोजें। (62)

परिभाषा: एक ज्यामितीय प्रगति को अनंत रूप से घटती हुई कहा जाता है यदि उसके हर का मापांक एक से कम हो।

समस्या №1 क्या अनुक्रम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति है, यदि यह सूत्र द्वारा दिया गया है: समाधान: a) यह ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है। b) यह क्रम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग अनुक्रम S 1, S 2, S 3, …, S n, … की सीमा है। उदाहरण के लिए, एक प्रगति के लिए, हमारे पास है चूंकि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

कार्यों का पूरा होना पहले पद 3, दूसरे 0.3 के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए। 2. संख्या 13; नंबर 14; पाठ्यपुस्तक, पृष्ठ 138 3. संख्या 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. नंबर 19; नंबर 20.

आज आप किस क्रम से मिले? एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करें। कैसे साबित करें कि एक ज्यामितीय प्रगति असीम रूप से घट रही है? अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र दीजिए। प्रशन

प्रसिद्ध पोलिश गणितज्ञ ह्यूगो स्टिंगहॉस ने मजाक में दावा किया कि एक कानून है जो इस प्रकार तैयार किया गया है: एक गणितज्ञ इसे बेहतर तरीके से करेगा। अर्थात्, यदि आप दो लोगों को, जिनमें से एक गणितज्ञ है, किसी ऐसे कार्य को करने के लिए सौंपते हैं जिसे वे नहीं जानते हैं, तो परिणाम हमेशा निम्न होगा: गणितज्ञ इसे बेहतर तरीके से करेगा। ह्यूगो स्टिंगहॉस 14.01.1887-25.02.1972

प्रथम स्तर

ज्यामितीय अनुक्रम। उदाहरणों के साथ व्यापक गाइड (2019)

संख्यात्मक अनुक्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक अनुक्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरी संख्या (जैसे -th संख्या) हमेशा समान होती है।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर एक सूचकांक के साथ एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणित और ज्यामितीय हैं। इस विषय में हम दूसरे प्रकार की बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.

हमें एक ज्यामितीय प्रगति और उसके इतिहास की आवश्यकता क्यों है।

प्राचीन काल में भी, इतालवी गणितज्ञ, पीसा के भिक्षु लियोनार्डो (जिन्हें फिबोनाची के नाम से जाना जाता है) ने व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं पर ध्यान दिया। भिक्षु को यह निर्धारित करने के कार्य का सामना करना पड़ा कि सामान को तौलने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? अपने लेखन में, फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को एक ज्यामितीय प्रगति से निपटना पड़ा, जिसके बारे में आपने शायद सुना है और कम से कम एक सामान्य विचार है। एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ लेते हैं, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?

वर्तमान में, जीवन अभ्यास में, बैंक में पैसा निवेश करते समय एक ज्यामितीय प्रगति स्वयं प्रकट होती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज की राशि ली जाती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप किसी बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष में जमा राशि मूल राशि से बढ़ जाएगी, अर्थात। नई राशि अंशदान के गुणा के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात। उस समय प्राप्त राशि को फिर से और इसी तरह से गुणा किया जाता है। तथाकथित की गणना की समस्याओं में एक समान स्थिति का वर्णन किया गया है चक्रवृद्धि ब्याज- पिछले ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते में मौजूद राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

ऐसे कई और सरल मामले हैं जहां एक ज्यामितीय प्रगति लागू होती है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने एक व्यक्ति को संक्रमित किया, वे बदले में, दूसरे व्यक्ति को संक्रमित करते हैं, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर - एक व्यक्ति, और वे, बदले में, दूसरे को संक्रमित करते हैं ... और इसी तरह .. .

वैसे, एक वित्तीय पिरामिड, वही एमएमएम, एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों के अनुसार एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प? आइए इसका पता लगाते हैं।

ज्यामितीय अनुक्रम।

मान लें कि हमारे पास एक संख्या अनुक्रम है:

आप तुरंत उत्तर देंगे कि यह आसान है और इस तरह के अनुक्रम का नाम इसके सदस्यों के अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है। इस जैसे किसी और के बारे में क्या राय है:

यदि आप पिछली संख्या को अगली संख्या से घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको एक नया अंतर (और इसी तरह) मिलता है, लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और नोटिस करना आसान है - प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से कई गुना बड़ी है !

इस प्रकार के अनुक्रम को कहा जाता है ज्यामितीय अनुक्रमऔर अंकित है।

एक ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

बाधाएँ कि पहला पद ( ) समान नहीं है और यादृच्छिक नहीं है। मान लीजिए कि कोई नहीं हैं, और पहला पद अभी भी बराबर है, और q है, हम्म .. चलो, तो यह पता चलता है:

सहमत हूं कि यह कोई प्रगति नहीं है।

जैसा कि आप समझते हैं, हमें वही परिणाम मिलेंगे यदि यह शून्य के अलावा कोई संख्या है, लेकिन। इन मामलों में, कोई प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या, और शेष सभी शून्य।

अब आइए एक ज्यामितीय प्रगति के हर के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं, अर्थात इसके बारे में।

चलिए दोहराते हैं :- यह एक संख्या है, प्रत्येक बाद का पद कितनी बार बदलता हैज्यामितीय अनुक्रम।

आपके विचार से ये क्या हो सकता है? यह सही, सकारात्मक और नकारात्मक है, लेकिन शून्य नहीं (हमने इसके बारे में थोड़ी अधिक बात की)।

मान लीजिए कि हमारे पास सकारात्मक है। आइए हमारे मामले में, ए। दूसरा कार्यकाल क्या है और? आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:

ठीक है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्यों का एक ही चिन्ह है - वे सकारात्मक.

क्या होगा अगर यह नकारात्मक है? उदाहरण के लिए, ए. दूसरा कार्यकाल क्या है और?

बिल्कुल अलग कहानी है

इस प्रगति की अवधि गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के संकेत वैकल्पिक होते हैं। अर्थात्, यदि आप इसके सदस्यों में बारी-बारी से संकेतों के साथ एक प्रगति देखते हैं, तो इसका हर नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं को परखने में मदद कर सकता है।

अब आइए थोड़ा अभ्यास करें: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति हैं, और कौन से अंकगणितीय हैं:

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:

• ज्यामितीय प्रगति - 3, 6.
• अंकगणितीय प्रगति - 2, 4.
• यह न तो एक अंकगणित है और न ही एक ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।

आइए अपनी पिछली प्रगति पर लौटते हैं, और आइए इसके पद को उसी तरह खोजने का प्रयास करें जैसे अंकगणित में। जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इसे खोजने के दो तरीके हैं।

हम प्रत्येक पद को क्रमिक रूप से गुणा करते हैं।

तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति के -वें सदस्य के बराबर है।

जैसा कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आपने पहले ही इसे अपने लिए निकाल लिया है, यह वर्णन करते हुए कि चरणों में वें सदस्य को कैसे खोजा जाए? यदि ऐसा है, तो अपने तर्क की शुद्धता की जाँच करें।

आइए इस प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के उदाहरण से इसे स्पष्ट करें:

दूसरे शब्दों में:

अपने आप को दी गई ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य का मान ज्ञात कीजिए।

हो गई? हमारे उत्तरों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या मिली है, जब हम ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले सदस्य द्वारा क्रमिक रूप से गुणा करते हैं।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सत्य है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। निम्नलिखित शर्तों के साथ एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करके इसे स्वयं जांचें: ए।

क्या आपने गिनती की? आइए परिणामों की तुलना करें:

सहमत हूं कि प्रगति के सदस्य को सदस्य के समान ही खोजना संभव होगा, हालांकि, गलत गणना की संभावना है। और अगर हमें पहले से ही एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद मिल गया है, तो सूत्र के "छोटा" भाग का उपयोग करने से आसान क्या हो सकता है।

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

हाल ही में, हमने इस बारे में बात की कि शून्य से अधिक या कम क्या हो सकता है, हालांकि, ऐसे विशेष मूल्य हैं जिनके लिए ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है असीम रूप से घट रहा है.

आपको क्या लगता है कि इसका ऐसा नाम क्यों है?
आरंभ करने के लिए, आइए सदस्यों से मिलकर बनी कुछ ज्यामितीय प्रगति को लिखें।
तो चलिए बताते हैं:

हम देखते हैं कि प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से कई गुना कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत जवाब देते हैं - "नहीं"। इसलिए अपरिमित रूप से घटने वाला - घटता है, घटता है, लेकिन कभी शून्य नहीं होता है।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह कैसा दिखता है, आइए अपनी प्रगति का एक ग्राफ बनाने का प्रयास करें। तो, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

चार्ट पर, हम निर्भरता बनाने के आदी हैं, इसलिए:

अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में, हमने इसकी क्रमिक संख्या पर एक ज्यामितीय प्रगति सदस्य के मूल्य की निर्भरता को दिखाया, और दूसरी प्रविष्टि में, हमने बस एक ज्यामितीय प्रगति सदस्य का मूल्य लिया, और क्रमिक संख्या के रूप में नहीं, बल्कि के रूप में नामित किया गया था। ग्राफ को प्लॉट करने के लिए बस इतना करना बाकी है।
हम देखते हैं तुम्हें क्या मिला। मुझे जो चार्ट मिला है वह यहां है:

देखो? फ़ंक्शन घटता है, शून्य की ओर जाता है, लेकिन इसे कभी भी पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से घट रहा है। आइए ग्राफ पर हमारे बिंदुओं को चिह्नित करें, और साथ ही समन्वय और अर्थ क्या है:

एक ज्यामितीय प्रगति के ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें यदि इसका पहला पद भी बराबर है। विश्लेषण करें कि हमारे पिछले चार्ट में क्या अंतर है?

क्या आप संभाल पाओगे? मुझे जो चार्ट मिला है वह यहां है:

अब जब आप ज्यामितीय प्रगति विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका शब्द कैसे खोजना है, और आप यह भी जानते हैं कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति क्या है, आइए इसके मुख्य गुण पर चलते हैं।

एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति।

क्या आपको समांतर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति याद है? हां, हां, किसी प्रगति की एक निश्चित संख्या का मान कैसे ज्ञात करें जब इस प्रगति के सदस्यों के पिछले और बाद के मूल्य हों। याद आया? यह:

अब हम ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के लिए ठीक उसी प्रश्न का सामना कर रहे हैं। ऐसा सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए आरेखण और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे स्वयं बाहर ला सकते हैं।

आइए एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? अंकगणितीय प्रगति के साथ, यह आसान और सरल है, लेकिन यह यहाँ कैसे है? वास्तव में, ज्यामिति में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको बस हमें दिए गए प्रत्येक मान को सूत्र के अनुसार चित्रित करने की आवश्यकता है।

आप पूछते हैं, और अब हम इसके साथ क्या करते हैं? हाँ, बहुत सरल। आरंभ करने के लिए, आइए इन फ़ार्मुलों को आकृति में चित्रित करें, और एक मूल्य पर आने के लिए उनके साथ विभिन्न जोड़तोड़ करने का प्रयास करें।

हमें जो संख्याएँ दी गई हैं, उनसे हम सार निकालते हैं, हम केवल एक सूत्र के माध्यम से उनके व्यंजक पर ध्यान केंद्रित करेंगे। हमें नारंगी में हाइलाइट किए गए मान को खोजने की जरूरत है, इसके निकट के शब्दों को जानने के लिए। आइए उनके साथ विभिन्न क्रियाएं करने का प्रयास करें, जिसके परिणामस्वरूप हम प्राप्त कर सकते हैं।

योग।
आइए दो भाव जोड़ने का प्रयास करें और हम प्राप्त करें:

इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर पाएंगे, इसलिए, हम एक और विकल्प - घटाव का प्रयास करेंगे।

घटाव।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इससे भी व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम इन अभिव्यक्तियों को एक दूसरे से गुणा करने का प्रयास करेंगे।

गुणन।

अब ध्यान से देखें कि हमारे पास क्या है, हमें दी गई ज्यामितीय प्रगति की शर्तों को जो खोजने की आवश्यकता है उसकी तुलना में गुणा करना:

सोचो मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? सही ढंग से, इसे खोजने के लिए, हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का वर्गमूल एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है:

कुंआ। आपने स्वयं एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति का अनुमान लगाया है। इस सूत्र को सामान्य रूप में लिखने का प्रयास करें। हो गई?

हालत भूल गए कब? इस बारे में सोचें कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, इसे स्वयं गणना करने का प्रयास करें। इस मामले में क्या होता है? यह सही है, पूर्ण बकवास, क्योंकि सूत्र इस तरह दिखता है:

तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना।

अब गणना करते हैं कि क्या है

सही उत्तर - ! यदि आप गणना करते समय दूसरा संभावित मूल्य नहीं भूले हैं, तो आप एक महान साथी हैं और आप तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे दिए गए विश्लेषण को पढ़ें और ध्यान दें कि उत्तर में दोनों जड़ों को क्यों लिखा जाना चाहिए। .

आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति को आकर्षित करें - एक मूल्य के साथ, और दूसरा मूल्य के साथ, और जांचें कि क्या उन दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:

यह जांचने के लिए कि क्या ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या यह इसके सभी सदस्यों के बीच समान है? पहले और दूसरे मामलों के लिए q की गणना करें।

देखें कि हमें दो उत्तर क्यों लिखने हैं? क्योंकि आवश्यक पद का चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि वह धनात्मक है या ऋणात्मक! और चूंकि हम नहीं जानते कि यह क्या है, इसलिए हमें प्लस और माइनस दोनों के साथ उत्तर लिखने की आवश्यकता है।

अब जब आपने मुख्य बिंदुओं में महारत हासिल कर ली है और एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र निकाला है, तो खोजें, जानें और

अपने उत्तरों की सही उत्तरों से तुलना करें:

आपको क्या लगता है, क्या होगा अगर हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के मूल्य नहीं दिए गए, बल्कि इससे समान दूरी पर दिया गया। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिया और। क्या हम इस मामले में व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह पुष्टि या खंडन करने का प्रयास करें, जिसमें यह वर्णन किया गया हो कि प्रत्येक मान में क्या शामिल है, जैसा कि आपने शुरू में सूत्र प्राप्त करते समय किया था।
तुम्हें क्या मिला?

अब फिर से ध्यान से देखिए।
और तदनुसार:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है न केवल पड़ोसी के साथएक ज्यामितीय प्रगति की वांछित शर्तों के साथ, लेकिन साथ भी समान दूरीसदस्य क्या खोज रहे हैं।

इस प्रकार, हमारा मूल सूत्र बन जाता है:

यानी अगर पहले मामले में हमने कहा कि, अब हम कहते हैं कि यह किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर हो सकता है जो कम है। मुख्य बात दोनों दी गई संख्याओं के लिए समान होना है।

विशिष्ट उदाहरणों पर अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!

1. ,। ढूँढ़ने के लिए।
2. ,। ढूँढ़ने के लिए।
3. ,। ढूँढ़ने के लिए।

मैंने फैसला किया है? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटा सा कैच देखा।

हम परिणामों की तुलना करते हैं।

पहले दो मामलों में, हम उपरोक्त सूत्र को शांति से लागू करते हैं और निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

तीसरे मामले में, हमें दी गई संख्याओं की क्रम संख्या पर सावधानीपूर्वक विचार करने पर, हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान दूरी पर नहीं हैं जिसकी हम तलाश कर रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन स्थिति में हटा दी गई है, इसलिए यह संभव नहीं है सूत्र लागू करने के लिए।

इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना कठिन नहीं है जितना लगता है! आइए आपके साथ लिखते हैं कि हमें दी गई प्रत्येक संख्या और वांछित संख्या में क्या शामिल है।

तो हमारे पास और है। आइए देखें कि हम उनके साथ क्या कर सकते हैं। मैं बंटवारे का सुझाव देता हूं। हम पाते हैं:

हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अगला चरण हम पा सकते हैं - इसके लिए हमें परिणामी संख्या का घनमूल लेना होगा।

अब आइए फिर से देखें कि हमारे पास क्या है। हमारे पास है, लेकिन हमें खोजने की जरूरत है, और यह बदले में इसके बराबर है:

हमें गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा मिला। सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

हमारा उत्तर: .

उसी समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया गया: ,
ढूँढ़ने के लिए:

आपको कितना मिला? मेरे पास - ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वास्तव में, आपको चाहिए केवल एक सूत्र याद रखें-। बाकी सब आप बिना किसी कठिनाई के स्वयं किसी भी समय निकाल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और लिखें कि उपरोक्त सूत्र के अनुसार, इसकी प्रत्येक संख्या बराबर है।

एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग।

अब उन सूत्रों पर विचार करें जो हमें दिए गए अंतराल में एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग की गणना करने की अनुमति देते हैं:

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण के सभी भागों को गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बारीकी से देखें: अंतिम दो सूत्रों में क्या समानता है? यह सही है, आम सदस्य, उदाहरण के लिए और इसी तरह, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

अब एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य के सूत्र के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

अभिव्यक्ति को समूहित करें। आपको मिलना चाहिये:

केवल एक्सप्रेस करना बाकी है:

तदनुसार, इस मामले में।

क्या हो अगर? तब कौन सा सूत्र काम करता है? पर एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करें। वह किसके जैसी है? सही ढंग से समान संख्याओं की एक श्रृंखला, क्रमशः, सूत्र इस तरह दिखेगा:

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के साथ, कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेठ की कथा है।

बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें संभावित पदों की विविधता से प्रसन्न था। यह जानने पर कि इसका आविष्कार उनकी एक प्रजा ने किया था, राजा ने उन्हें व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का निर्णय लिया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और सबसे कुशल इच्छा को पूरा करने का वादा करते हुए, जो कुछ भी वह चाहता था, उससे पूछने का आदेश दिया।

सेता ने सोचने के लिए समय मांगा, और अगले दिन जब सेता राजा के सामने उपस्थित हुए, तो उन्होंने अपने अनुरोध की अद्वितीय विनम्रता से राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। उसने बिसात के पहले वर्ग के लिए गेहूँ का एक दाना मांगा, दूसरे के लिए गेहूँ, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, इत्यादि।

राजा क्रोधित हुआ और उसने सेठ को यह कहते हुए भगा दिया कि नौकर का अनुरोध शाही उदारता के योग्य नहीं था, लेकिन उसने वादा किया कि नौकर को बोर्ड के सभी कक्षों के लिए उसका अनाज मिलेगा।

और अब सवाल यह है कि: एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके गणना करें कि सेठ को कितने अनाज प्राप्त होने चाहिए?

आइए चर्चा शुरू करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, सेठ ने शतरंज की बिसात के पहले सेल के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का एक दाना मांगा, हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में क्या बराबर है?
सही ढंग से।

बिसात की कुल कोशिकाएँ। क्रमश, । हमारे पास सारा डेटा है, यह केवल सूत्र में स्थानापन्न करने और गणना करने के लिए रहता है।

किसी दी गई संख्या के कम से कम लगभग "तराजू" का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके रूपांतरित करते हैं:

बेशक, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि आप किस प्रकार की संख्या के साथ समाप्त होते हैं, और यदि नहीं, तो आपको इसके लिए मेरा शब्द लेना होगा: अभिव्यक्ति का अंतिम मूल्य होगा।
अर्थात:

क्विंटलियन क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हजार।

फूह) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को समायोजित करने के लिए किस आकार के खलिहान की आवश्यकता होगी।
मीटर की ऊंचाई और मीटर की चौड़ाई के साथ, इसकी लंबाई किमी तक बढ़ानी होगी, यानी। पृथ्वी से सूर्य से दुगनी दूरी पर।

यदि राजा गणित में मजबूत होता, तो वह स्वयं वैज्ञानिक को अनाज गिनने की पेशकश कर सकता था, क्योंकि एक लाख अनाज गिनने के लिए, उसे कम से कम एक दिन की अथक गिनती की आवश्यकता होगी, और यह देखते हुए कि क्विंटल गिनना आवश्यक है, अनाज को जीवन भर गिनना होगा।

और अब हम एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग पर एक साधारण समस्या को हल करेंगे।
5 वीं कक्षा की छात्रा वास्या फ्लू से बीमार पड़ गई, लेकिन स्कूल जाना जारी रखा। हर दिन, वास्या दो लोगों को संक्रमित करता है, जो बदले में, दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, और इसी तरह। कक्षा में सिर्फ एक व्यक्ति। पूरी कक्षा को कितने दिनों में फ्लू हो जाएगा?

तो, ज्यामितीय प्रगति का पहला सदस्य वास्या है, यानी एक व्यक्ति। ज्यामितीय प्रगति के वें सदस्य, ये दो लोग हैं जिन्हें उन्होंने अपने आगमन के पहले दिन संक्रमित किया था। प्रगति के सदस्यों का कुल योग छात्रों की संख्या 5A के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें:

आइए अपने डेटा को ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र में बदलें:

कुछ ही दिनों में पूरी कक्षा बीमार हो जाएगी। फ़ार्मुलों और संख्याओं में विश्वास नहीं करते? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। हो गई? देखें कि यह मेरे लिए कैसा दिखता है:

अपने लिए गणना करें कि यदि प्रत्येक व्यक्ति एक व्यक्ति को संक्रमित करता है, और कक्षा में एक व्यक्ति था, तो छात्रों को कितने दिनों में फ्लू होगा।

आपको क्या मूल्य मिला? यह पता चला कि सभी एक दिन के बाद बीमार होने लगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य और इसके लिए चित्र एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद में नए लोगों को "लाता" है। हालाँकि, देर-सबेर एक क्षण ऐसा आता है जब बाद वाला किसी को आकर्षित नहीं कर पाता। हमारे मामले में, यदि हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो वह व्यक्ति श्रृंखला () को बंद कर देता है। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति एक वित्तीय पिरामिड में शामिल था जिसमें पैसा दिया गया था यदि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते हैं, तो व्यक्ति (या सामान्य मामले में) क्रमशः किसी को नहीं लाएगा, इस वित्तीय घोटाले में निवेश किए गए सभी को खो देगा। .

ऊपर जो कुछ कहा गया था वह घटती या बढ़ती ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आपको याद है, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों के योग की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों हैं? आइए इसे एक साथ समझें।

तो, शुरुआत के लिए, आइए हमारे उदाहरण से असीमित घटती ज्यामितीय प्रगति की इस तस्वीर को फिर से देखें:

और अब आइए एक ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखें, जो थोड़ा पहले प्राप्त हुआ था:
या

हम किस लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ से पता चलता है कि यह शून्य हो जाता है। अर्थात्, जब, यह क्रमशः लगभग बराबर होगा, व्यंजक की गणना करते समय, हम लगभग प्राप्त करेंगे। इस संबंध में, हम मानते हैं कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करते समय, इस ब्रैकेट की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह बराबर होगा।

- सूत्र एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योग है।

जरूरी!हम अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग खोजने की आवश्यकता है अनंतसदस्यों की संख्या।

यदि एक विशिष्ट संख्या n इंगित की जाती है, तो हम n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।

और अब अभ्यास करते हैं।

1. और के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. और के साथ अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग ज्ञात कीजिए।

मुझे आशा है कि आप बहुत सावधान थे। हमारे उत्तरों की तुलना करें:

अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास की ओर बढ़ने का समय है। परीक्षा में पाई जाने वाली सबसे आम घातीय समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याएं हैं। यह उनके बारे में है कि हम बात करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए समस्याएं।

आपने तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज फॉर्मूला के बारे में सुना होगा। क्या आप समझते हैं कि उसका क्या मतलब है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाते हैं, क्योंकि प्रक्रिया को स्वयं महसूस करने के बाद, आप तुरंत समझ जाएंगे कि ज्यामितीय प्रगति का इससे क्या लेना-देना है।

हम सभी बैंक जाते हैं और जानते हैं कि जमा के लिए अलग-अलग शर्तें हैं: यह शब्द है, और अतिरिक्त रखरखाव, और ब्याज की गणना के दो अलग-अलग तरीकों से - सरल और जटिल।

साथ में साधारण ब्याजसब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: जमा अवधि के अंत में एक बार ब्याज लिया जाता है। यानी अगर हम एक साल में 100 रूबल लगाने की बात कर रहे हैं, तो उन्हें साल के अंत में ही क्रेडिट किया जाएगा। तदनुसार, जमा के अंत तक, हमें रूबल प्राप्त होंगे।

चक्रवृद्धि ब्याजएक विकल्प है जिसमें ब्याज पूंजीकरण, अर्थात। जमा की राशि में उनका जोड़ और बाद में आय की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि जमा की संचित राशि से। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, लेकिन कुछ आवधिकता के साथ होता है। एक नियम के रूप में, ऐसी अवधि समान होती है और अक्सर बैंक एक महीने, एक चौथाई या एक वर्ष का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए कि हम प्रति वर्ष सभी समान रूबल डालते हैं, लेकिन जमा के मासिक पूंजीकरण के साथ। हमें क्या मिलता है?

क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? यदि नहीं, तो चलिए इसे स्टेप बाय स्टेप करते हैं।

हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में एक राशि होनी चाहिए जिसमें हमारे रूबल और उन पर ब्याज शामिल हो, अर्थात:

मैं सहमत हूं?

हम इसे कोष्ठक से निकाल सकते हैं और फिर हमें प्राप्त होता है:

सहमत हूं, यह सूत्र पहले से ही हमारे द्वारा लिखे गए सूत्र के समान है। यह प्रतिशत से निपटने के लिए बनी हुई है

समस्या की स्थिति में हमें वार्षिक के बारे में बताया जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, हम इससे गुणा नहीं करते हैं - हम प्रतिशत को दशमलव में बदलते हैं, अर्थात्:

सही? अब आप पूछें कि नंबर कहां से आया? बहुत आसान!
मैं दोहराता हूं: समस्या की स्थिति कहती है सालानाअर्जित ब्याज महीने के. जैसा कि आप जानते हैं, महीनों के एक वर्ष में, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:

समझना? अब यह लिखने का प्रयास करें कि यदि मैंने कहा कि ब्याज की गणना प्रतिदिन की जाती है तो सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:

बहुत अच्छा! आइए अपने काम पर लौटते हैं: दूसरे महीने के लिए हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, यह ध्यान में रखते हुए कि संचित जमा राशि पर ब्याज लगाया जाता है, लिखें।
यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

या, दूसरे शब्दों में:

मुझे लगता है कि आप पहले से ही एक पैटर्न देख चुके हैं और इस सब में एक ज्यामितीय प्रगति देखी है। लिखें कि इसका सदस्य किसके बराबर होगा, या, दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितना पैसा मिलेगा।
बनाया? जाँच हो रही है!

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप साधारण ब्याज पर एक वर्ष के लिए बैंक में पैसा लगाते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे, और यदि आप इसे चक्रवृद्धि दर पर रखते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वर्ष के दौरान होता है, लेकिन लंबी अवधि के लिए पूंजीकरण अधिक लाभदायक होता है:

एक अन्य प्रकार की चक्रवृद्धि ब्याज समस्या पर विचार करें। आपने जो सोचा उसके बाद, यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो कार्य है:

Zvezda ने 2000 में एक डॉलर की पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2001 के बाद से हर साल इसने मुनाफा कमाया है जो पिछले साल की पूंजी के बराबर है। 2003 के अंत में Zvezda कंपनी को कितना लाभ प्राप्त होगा, यदि लाभ संचलन से वापस नहीं लिया गया था?

2000 में Zvezda कंपनी की राजधानी।
- 2001 में Zvezda कंपनी की राजधानी।
- 2002 में Zvezda कंपनी की राजधानी।
- 2003 में Zvezda कंपनी की राजधानी।

या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:

हमारे मामले के लिए:

2000, 2001, 2002 और 2003।

क्रमश:
रूबल
ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो द्वारा या द्वारा कोई विभाजन नहीं है, क्योंकि प्रतिशत वार्षिक दिया जाता है और इसकी गणना वार्षिक रूप से की जाती है। यानी चक्रवृद्धि ब्याज के लिए समस्या को पढ़ते समय ध्यान दें कि कितना प्रतिशत दिया जाता है, और किस अवधि में यह शुल्क लिया जाता है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।

कसरत करना।

1. एक गुणोत्तर श्रेणी का पद ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि, तथा
2. एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि, तथा
3. एमडीएम कैपिटल ने 2003 में एक डॉलर की पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया था। 2004 से हर साल, उसने एक लाभ कमाया है जो पिछले वर्ष की पूंजी के बराबर है। कंपनी "एमएसके कैश फ्लो" ने 2005 में $10,000 की राशि में उद्योग में निवेश करना शुरू किया, 2006 में लाभ कमाना शुरू किया। 2007 के अंत में एक कंपनी की पूंजी कितने डॉलर से अधिक हो जाती है, यदि लाभ संचलन से वापस नहीं लिया गया था?

उत्तर:

1. चूंकि समस्या की स्थिति यह नहीं कहती है कि प्रगति अनंत है और इसके सदस्यों की एक विशिष्ट संख्या का योग ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
2. 
   कंपनी "एमडीएम कैपिटल":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007।
   - 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
   क्रमश:
   रूबल
   एमएसके कैश फ्लो:

   2005, 2006, 2007।
   - से बढ़ता है, अर्थात् समय।
   क्रमश:
   रूबल
   रूबल

आइए संक्षेप करते हैं।

1) एक ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

2) एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का समीकरण -।

3) और को छोड़कर, कोई भी मूल्य ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्यों का एक ही चिन्ह है - वे सकारात्मक;
• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्य वैकल्पिक संकेत;
• कब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटते हुए कहा जाता है।

4), पर - एक ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति (पड़ोसी शब्द)

या
, पर (समतुल्य शब्द)

जब मिल जाए तो उसे मत भूलना दो उत्तर होने चाहिए।.

उदाहरण के लिए,

5) एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या

यदि प्रगति असीम रूप से घट रही है, तो:
या

जरूरी!हम अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि अनंत संख्या में पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है।

6) चक्रवृद्धि ब्याज के कार्यों की गणना ज्यामितीय प्रगति के वें सदस्य के सूत्र के अनुसार भी की जाती है, बशर्ते कि धन संचलन से वापस नहीं लिया गया हो:

ज्यामितीय अनुक्रम। संक्षेप में मुख्य के बारे में

ज्यामितीय अनुक्रम( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस नंबर को कहा जाता है एक ज्यामितीय प्रगति के भाजक।

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर को छोड़कर कोई भी मूल्य ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्यों का एक ही चिन्ह है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति के बाद के सभी सदस्य वैकल्पिक संकेत देते हैं;
• कब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटते हुए कहा जाता है।

एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों का समीकरण - .

एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का योगसूत्र द्वारा गणना:
या

अंकगणित के साथ-साथ ज्यामितीय प्रगति एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है जिसका अध्ययन कक्षा 9 में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस लेख में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर पर विचार करेंगे, और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करता है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा

आरंभ करने के लिए, हम इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा देते हैं। एक ज्यामितीय प्रगति परिमेय संख्याओं की एक श्रृंखला है जो अपने पहले तत्व को एक स्थिर संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करके बनाई जाती है जिसे हर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला 3, 6, 12, 24, ... की संख्याएँ एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि हम 3 (पहला तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें 6 प्राप्त होता है। यदि हम 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है। 12, और इसी तरह।

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक ai द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i एक पूर्णांक है जो श्रृंखला में तत्व की संख्या को दर्शाता है।

एक प्रगति की उपरोक्त परिभाषा गणित की भाषा में इस प्रकार लिखी जा सकती है: a = bn-1 * a1, जहाँ b हर है। इस सूत्र की जांच करना आसान है: यदि n = 1, तो b1-1 = 1, और हमें a1 = a1 मिलता है। यदि n = 2, तो a = b * a1, और हम फिर से विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला की परिभाषा पर आते हैं। n के बड़े मानों के लिए भी इसी तरह का तर्क जारी रखा जा सकता है।

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक

संख्या बी पूरी तरह से निर्धारित करती है कि पूरी संख्या श्रृंखला में कौन सा वर्ण होगा। भाजक b धनात्मक, ऋणात्मक या एक से अधिक या कम हो सकता है। उपरोक्त सभी विकल्प विभिन्न अनुक्रमों की ओर ले जाते हैं:

• b > 1. परिमेय संख्याओं की श्रृंखला बढ़ती जा रही है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो पूरे अनुक्रम में केवल मॉड्यूलो में वृद्धि होगी, लेकिन संख्याओं के संकेत को ध्यान में रखते हुए घट जाएगी।
• b = 1. अक्सर ऐसे मामले को प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि समरूप परिमेय संख्याओं की एक साधारण श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4।

योग के लिए सूत्र

विचाराधीन प्रगति के प्रकार के हर का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, इसके पहले n तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र है: एसएन = (बीएन -1) * ए 1 / (बी -1)।

यदि आप प्रगति के सदस्यों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं तो आप स्वयं यह अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में, मनमाने पदों की संख्या का योग ज्ञात करने के लिए केवल पहले तत्व और हर को जानना पर्याप्त है।

असीम रूप से घटते क्रम

ऊपर एक स्पष्टीकरण था कि यह क्या है। अब, Sn का सूत्र जानते हुए, इसे इस संख्या श्रंखला पर लागू करते हैं। चूँकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं होता है, बड़ी घातों तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, अर्थात b∞ => 0 यदि -1

चूंकि अंतर (1 - बी) हमेशा सकारात्मक रहेगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति S∞ के योग का संकेत विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के संकेत द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अब हम कई समस्याओं पर विचार करेंगे, जहां हम यह दिखाएंगे कि अर्जित ज्ञान को विशिष्ट संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।

कार्य संख्या 1. प्रगति और योग के अज्ञात तत्वों की गणना

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए, प्रगति का हर 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसका 7वाँ और 10वाँ पद क्या होगा, और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या है?

समस्या की स्थिति काफी सरल है और इसमें उपरोक्त सूत्रों का प्रत्यक्ष उपयोग शामिल है। इसलिए, संख्या n के साथ तत्व की गणना करने के लिए, हम व्यंजक a = bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। 7वें तत्व के लिए हमारे पास है: a7 = b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: a7 = 26 * 3 = 192। हम 10 वें सदस्य के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 = 29 * 3 = 1536।

हम योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए यह मान निर्धारित करते हैं। हमारे पास है: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381।

कार्य संख्या 2. प्रगति के मनमाने तत्वों का योग निर्धारित करना

माना -2 घातांकीय प्रगति bn-1 * 4 का हर हो, जहाँ n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5वें से 10वें तत्व तक का योग, समावेशी निर्धारित करना आवश्यक है।

ज्ञात फ़ार्मुलों का उपयोग करके उत्पन्न समस्या को सीधे हल नहीं किया जा सकता है। इसे 2 अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है। पूर्णता के लिए, हम दोनों को प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1। इसका विचार सरल है: आपको पहले पदों के दो संगत योगों की गणना करनी होगी, और फिर दूसरे को एक से घटाना होगा। छोटी राशि की गणना करें: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364। अब हम बड़ी राशि की गणना करते हैं: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20। ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में, केवल 4 शब्दों का योग किया गया था, क्योंकि 5 वां पहले से ही उस राशि में शामिल है जिसे समस्या की स्थिति के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। अंत में, हम अंतर लेते हैं: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344।

विधि 2. संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गिनने से पहले, आप संबंधित श्रृंखला के पदों m और n के बीच के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम ठीक उसी तरह से कार्य करते हैं जैसे विधि 1 में, केवल हम योग के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ पहले काम करते हैं। हमारे पास है: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . आप ज्ञात संख्याओं को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344।

कार्य संख्या 3. भाजक क्या है?

मान लीजिए a1 = 2, ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इसका अनंत योग 3 हो, और यह ज्ञात हो कि यह संख्याओं की घटती श्रृंखला है।

समस्या की स्थिति के अनुसार यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि इसे हल करने के लिए किस सूत्र का प्रयोग किया जाए। बेशक, एक असीम रूप से घटती प्रगति के योग के लिए। हमारे पास है: S∞ = a1 / (1 - b)। जहाँ से हम हर को व्यक्त करते हैं: b = 1 - a1 / S∞। यह ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: बी \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 या -0.333 (3)। हम इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांच सकते हैं यदि हमें याद है कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए, मापांक b 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, |-1 / 3|

कार्य संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना

मान लीजिए कि एक संख्या श्रृंखला के 2 तत्व दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, 5वां 30 के बराबर है और 10वां 60 के बराबर है। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात सदस्य के लिए संबंधित व्यंजक लिखना होगा। हमारे पास है: a5 = b4 * a1 और a10 = b9 * a1। अब हम दूसरी अभिव्यक्ति को पहले से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5। यहाँ से हम समस्या की स्थिति से ज्ञात सदस्यों के अनुपात का पाँचवाँ अंश मूल लेकर हर का निर्धारण करते हैं, b = 1.148698. हम परिणामी संख्या को ज्ञात तत्व के व्यंजकों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966।

इस प्रकार, हमने पाया है कि प्रगति bn का हर क्या है, और ज्यामितीय प्रगति bn-1 * 17.2304966 = a, जहाँ b = 1.148698 है।

ज्यामितीय प्रगति का उपयोग कहाँ किया जाता है?

यदि इस संख्यात्मक श्रृंखला को व्यवहार में लागू नहीं किया जाता, तो इसका अध्ययन विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि में सिमट कर रह जाता। लेकिन एक ऐसा आवेदन है।

3 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं:

• ज़ेनो का विरोधाभास, जिसमें फुर्तीला अकिलीज़ धीमे कछुए को नहीं पकड़ सकता, संख्याओं के असीम रूप से घटते क्रम की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है।
• यदि बिसात की प्रत्येक कोठरी पर गेहूँ के दाने इस प्रकार रखे जाएँ कि 1 दाना पहली कोठरी पर, 2 - 2 पर, 3 - 3 और इसी तरह रखा जाए, तो 18446744073709551615 अनाज की सभी कोशिकाओं को भरने के लिए आवश्यक होगा बोर्ड!
• खेल "हनोई के टॉवर" में, डिस्क को एक रॉड से दूसरी रॉड में पुनर्व्यवस्थित करने के लिए, 2n - 1 ऑपरेशन करना आवश्यक है, अर्थात, उपयोग किए गए डिस्क n की संख्या से उनकी संख्या तेजी से बढ़ती है।

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा आदि। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का वां सदस्य , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक और एक +1 सदस्य क्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

धनात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

यदि एक एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से कई सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम नंबर अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . अवरोही क्रम है। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, नहीं बढ़ते हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ पे डी - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ एक अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवां पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	एक एन-1 + एक एन+1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इसलिये,

ए एन+1 + ए एन-1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन -एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक = एक को + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-को + केडी,

एक = एक एन+के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-को +ए एन+के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, जैसा

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

प्रथम एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, पदों की संख्या के चरम पदों के योग के आधे के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक समांतर श्रेणी दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहाँ पे क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

बी 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन -वाँ पद सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

बी नहीं = बी 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

एक गुणोत्तर श्रेणी का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = बी 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम भी सत्य है, निम्नलिखित अभिकथन मानता है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी नहीं= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 एन,

बी नहीं -1 = -3 2 एन -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 एन +1 .

इसलिये,

बी नहीं 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 .) एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक अभिकथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला पद बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · क्यू 3,

ख 5 = ख 3 · क्यू2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होकर, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , जैसा

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी नहीं

प्रथम एन एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस नहीं- एसके -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी नहीं = बी के ·	1 - क्यू नहीं - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी जाती है, तो मात्राएँ बी 1 , बी नहीं, क्यू, एनऔर एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित होता है एकरसता गुण :

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

यदि एक क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति साइन-अल्टरनेटिंग होती है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · बी 2 · ख 3 · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक . से कम है 1 , अर्थात

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम साइन-अल्टरनेटिंग है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताइए जिसमें पहले का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

एस= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . =	बी 1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरणों पर विचार करें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , तब

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है क्यू , तब

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄