काम। स्थिर रूप से अनिश्चित बीम के लिए आरेख Q और M बनाएं।हम सूत्र के अनुसार बीम की गणना करते हैं:

एन= Σ आर- वू— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

खुशी से उछलना एक बारस्थिर रूप से अनिश्चित है, जिसका अर्थ है एकप्रतिक्रियाओं का है "अतिरिक्त" अज्ञात. "अतिरिक्त" अज्ञात के लिए हम समर्थन की प्रतिक्रिया लेंगे पर — आर बी.

एक स्थिर रूप से निर्धारित बीम, जो "अतिरिक्त" कनेक्शन को हटाकर किसी दिए गए से प्राप्त की जाती है, मुख्य प्रणाली कहलाती है। (बी)।

अब इस प्रणाली को प्रस्तुत किया जाना चाहिए समकक्षदिया हुआ। ऐसा करने के लिए, मुख्य सिस्टम लोड करें दिया गयालोड, और बिंदु पर पर लागू "अतिरिक्त" प्रतिक्रिया आर बी(चावल। में).

हालांकि, के लिए समानकयह पर्याप्त नहीं, क्योंकि ऐसे बीम में बिंदु पर शायद लंबवत ले जाएँ, और किसी दिए गए बीम में (चित्र। ए ) यह नहीं हो सकता। इसलिए, हम जोड़ते हैं स्थिति, क्या विक्षेपण टी. परमुख्य प्रणाली में 0 . के बराबर होना चाहिए. विक्षेपण टी. पर के होते हैं अभिनय भार से विक्षेपण एफ और यहां ये "अतिरिक्त" प्रतिक्रिया से विक्षेपण आर।

फिर हम रचना करते हैं विस्थापन अनुकूलता स्थिति:

Δ एफ + Δ आर=0 (1)

अब इनकी गणना करना बाकी है आंदोलनों (विक्षेपण)).

लोड हो रहा है बुनियादीप्रणाली दिया गया भार(चावल ।जी) और निर्माण कार्गो आरेखएम एफ (चावल। डी ).

पर टी। पर एपी लागू करें और निर्माण करें। (चावल। कांटेदार जंगली चूहा ).

सिम्पसन सूत्र द्वारा, हम परिभाषित करते हैं भार विक्षेपण.

अब परिभाषित करते हैं "अतिरिक्त" प्रतिक्रिया की क्रिया से विक्षेपण आर बी , इसके लिए हम मुख्य सिस्टम लोड करते हैं आर बी (चावल। एच ) और इसकी क्रिया से क्षणों की साजिश रचें श्री (चावल। और ).

लिखें और निर्णय लें समीकरण (1):

चलो बनाते हैं अवधि क्यू और एम (चावल। करने के लिए, मैं ).

आरेख बनाना क्यू।

आइए एक आरेख बनाएं एम तरीका विशेषता बिंदु. हम बीम पर बिंदुओं की व्यवस्था करते हैं - ये बीम की शुरुआत और अंत के बिंदु हैं ( डी, ए ), केंद्रित क्षण ( बी ), और एक समान रूप से वितरित भार के मध्य में एक विशिष्ट बिंदु के रूप में भी नोट करें ( क ) परवलयिक वक्र के निर्माण के लिए एक अतिरिक्त बिंदु है।

बिंदुओं पर झुकने के क्षण निर्धारित करें। संकेतों का नियमसे। मी। - ।

पल में पर निम्नानुसार परिभाषित किया जाएगा। आइए पहले परिभाषित करें:

बिंदु सेवा चलो अंदर लेते हैं मध्यसमान रूप से वितरित भार वाला क्षेत्र।

आरेख बनाना एम . भूखंड अब – परवलयिक वक्र("छाता" का नियम), प्लॉट बीडी – सीधी तिरछी रेखा.

एक बीम के लिए, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें और झुकने वाले क्षण आरेखों को प्लॉट करें ( एम) और कतरनी बल ( क्यू).

1. हम नामित करते हैं का समर्थन करता हैपत्र लेकिन और पर और समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्देशित करें आर ए और आर बी .

संकलन संतुलन समीकरण.

इंतिहान

मान लिखिए आर ए और आर बी पर गणना योजना.

2. प्लॉटिंग अनुप्रस्थ बलतरीका धारा. हम अनुभागों को रखते हैं विशिष्ट क्षेत्र(परिवर्तनों के बीच)। आयामी सूत्र के अनुसार - 4 खंड, 4 खंड.

सेकंड 1-1 हिलाना बाएं.

अनुभाग के साथ अनुभाग से गुजरता है समान रूप से वितरित भार, आकार नोट करें जेड 1 अनुभाग के बाईं ओर खंड की शुरुआत से पहले. प्लॉट की लंबाई 2 मी. संकेतों का नियमके लिए क्यू - से। मी।

हम पाए गए मूल्य पर निर्माण करते हैं आरेखक्यू.

सेकंड 2-2 दाएँ चलें.

अनुभाग फिर से समान रूप से वितरित भार वाले क्षेत्र से गुजरता है, आकार पर ध्यान दें जेड 2 अनुभाग के दाईं ओर अनुभाग की शुरुआत तक। प्लॉट की लंबाई 6 मी.

आरेख बनाना क्यू.

सेकंड 3-3 दाएँ चलें.

सेकंड 4-4 दाईं ओर ले जाएं।

हम निर्माण कर रहे हैं आरेखक्यू.

3. निर्माण आरेख एमतरीका विशेषता बिंदु.

विशेषता बिंदु- एक बिंदु, बीम पर कोई ध्यान देने योग्य। ये बिंदु हैं लेकिन, पर, साथ में, डी , साथ ही बिंदु सेवा , जिसमें क्यू=0 और झुकने के क्षण में चरम सीमा होती है. मे भी मध्यकंसोल ने एक अतिरिक्त बिंदु रखा इ, चूंकि इस क्षेत्र में एक समान रूप से वितरित लोड आरेख के तहत एमवर्णित कुटिललाइन, और इसे बनाया गया है, कम से कम, के अनुसार 3 अंक।

तो, अंक रखे जाते हैं, हम उनमें मूल्यों को निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ते हैं झुकने के क्षण. संकेतों का नियम - देखें।.

भूखंडों एनए, एडी – परवलयिक वक्र(यांत्रिक विशिष्टताओं के लिए "छाता" नियम या निर्माण के लिए "पाल नियम"), अनुभाग डीसी, एसडब्ल्यू – सीधी तिरछी रेखाएँ।

एक बिंदु पर पल डी निर्धारित किया जाना चाहिए बाएँ और दाएँ दोनोंबिन्दु से डी . इन भावों में वही क्षण छोड़ा गया. बिंदु पर डी हम पाते हैं दोसे मान अंतरराशि से एम – कूदनाइसके आकार को।

अब हमें बिंदु पर क्षण निर्धारित करने की आवश्यकता है सेवा (क्यू=0). हालाँकि, पहले हम परिभाषित करते हैं बिंदु स्थिति सेवा , अज्ञात द्वारा खंड की शुरुआत से इसकी दूरी को दर्शाता है एक्स .

टी। सेवा अंतर्गत आता है दूसराविशेषता क्षेत्र, अपरूपण बल समीकरण(ऊपर देखें)

लेकिन अनुप्रस्थ बल में t. सेवा के बराबर है 0 , ए जेड 2 अज्ञात के बराबर एक्स .

हमें समीकरण मिलता है:

अब जानना एक्स, एक बिंदु पर पल निर्धारित करें सेवा दाहिने तरफ़।

आरेख बनाना एम . निर्माण के लिए संभव है यांत्रिकविशेषता, सकारात्मक मूल्यों को स्थगित करना यूपीशून्य रेखा से और "छाता" नियम का उपयोग करके।

एक ब्रैकट बीम की दी गई योजना के लिए, अनुप्रस्थ बल Q और झुकने वाले क्षण M के आरेखों का निर्माण करना आवश्यक है, एक गोलाकार खंड का चयन करके एक डिजाइन गणना करें।

सामग्री - लकड़ी, सामग्री का डिज़ाइन प्रतिरोध R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

कठोर समाप्ति के साथ एक ब्रैकट बीम में आरेख बनाने के दो तरीके हैं - सामान्य एक, जो पहले समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करता है, और समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित किए बिना, यदि हम अनुभागों पर विचार करते हैं, बीम के मुक्त छोर से जा रहे हैं और त्याग रहे हैं समाप्ति के साथ बाईं ओर। आइए आरेख बनाते हैं साधारणमार्ग।

1. परिभाषित करें समर्थन प्रतिक्रियाएं.

समान रूप से वितरित भार क्यूसशर्त बल बदलें क्यू = क्यू 0.84 = 6.72 केएन

एक कठोर एम्बेड में, तीन समर्थन प्रतिक्रियाएं होती हैं - लंबवत, क्षैतिज और क्षण, हमारे मामले में, क्षैतिज प्रतिक्रिया 0 है।

हमे पता करने दें खड़ासमर्थन प्रतिक्रिया आर एऔर संदर्भ क्षण एम एसंतुलन समीकरणों से

दाईं ओर के पहले दो खंडों में कोई अनुप्रस्थ बल नहीं है। समान रूप से वितरित भार वाले अनुभाग की शुरुआत में (दाएं) क्यू = 0, पीठ में - प्रतिक्रिया का परिमाण आर.ए.
3. निर्माण करने के लिए, हम वर्गों पर उनकी परिभाषा के लिए भावों की रचना करेंगे। हम तंतुओं पर क्षण आरेख की साजिश करते हैं, अर्थात। नीचे।

(एकल पलों का प्लॉट पहले ही बनाया जा चुका है)

हम समीकरण (1) को हल करते हैं, EI से घटाते हैं

स्थैतिक अनिश्चितता का पता चला, "अतिरिक्त" प्रतिक्रिया का मूल्य पाया जाता है। आप एक स्थिर रूप से अनिश्चित बीम के लिए क्यू और एम आरेखों को प्लॉट करना शुरू कर सकते हैं ... हम दी गई बीम योजना को स्केच करते हैं और प्रतिक्रिया मान इंगित करते हैं आरबी. इस बीम में, यदि आप दाईं ओर जाते हैं, तो समाप्ति में होने वाली प्रतिक्रियाओं का निर्धारण नहीं किया जा सकता है।

इमारत भूखंड क्यूएक स्थिर रूप से अनिश्चित बीम के लिए

प्लॉट Q.

प्लॉटिंग एम

हम एम को चरम बिंदु पर परिभाषित करते हैं - बिंदु पर सेवा. सबसे पहले, आइए इसकी स्थिति को परिभाषित करें। हम इसकी दूरी को अज्ञात के रूप में निरूपित करते हैं " एक्स". फिर

हम प्लॉट एम.

I-सेक्शन में अपरूपण प्रतिबल का निर्धारण. अनुभाग पर विचार करें मैं दमक। एस एक्स \u003d 96.9 सेमी 3; वाईएक्स=2030 सेमी 4; क्यू = 200 केएन

अपरूपण प्रतिबल ज्ञात करने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है सूत्र, जहां क्यू खंड में अनुप्रस्थ बल है, एस एक्स 0 परत के एक तरफ स्थित क्रॉस सेक्शन के हिस्से का स्थिर क्षण है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किए जाते हैं, I x पूरे क्रॉस की जड़ता का क्षण है खंड, बी उस स्थान पर खंड की चौड़ाई है जहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है

गणना करना ज्यादा से ज्यादाअपरूपण तनाव:

आइए हम के लिए स्थिर क्षण की गणना करें सबसे ऊपर वाला खांचा:

अब गणना करते हैं कतरनी तनाव:

हम निर्माण कर रहे हैं कतरनी तनाव आरेख:

डिजाइन और सत्यापन गणना। आंतरिक बलों के निर्मित आरेखों के साथ एक बीम के लिए, सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थिति से दो चैनलों के रूप में एक खंड का चयन करें। कतरनी ताकत की स्थिति और ऊर्जा शक्ति मानदंड का उपयोग करके बीम की ताकत की जांच करें। दिया गया:

आइए निर्माण के साथ एक बीम दिखाएं प्लॉट क्यू और एम

झुकने वाले क्षणों के आरेख के अनुसार, खतरनाक है खंड सी,जिसमें एम सी \u003d एम अधिकतम \u003d 48.3 केएनएम।

सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थितिइस बीम के लिए फॉर्म है σ अधिकतम \u003d एम सी / डब्ल्यू एक्स एडम।एक अनुभाग का चयन करना आवश्यक है दो चैनलों से।

आवश्यक गणना मूल्य निर्धारित करें अक्षीय खंड मापांक:

दो चैनलों के रूप में एक खंड के लिए, स्वीकार के अनुसार दो चैनल 20a, प्रत्येक चैनल की जड़ता का क्षण मैं एक्स =1670 सेमी 4, तब पूरे खंड के प्रतिरोध का अक्षीय क्षण:

ओवरवॉल्टेज (अंडरवॉल्टेज)खतरनाक बिंदुओं पर, हम सूत्र के अनुसार गणना करते हैं: तब हमें मिलता है वोल्टेज के तहत:

अब आइए बीम की ताकत की जांच करें, इसके आधार पर कतरनी तनाव के लिए ताकत की स्थिति।इसके अनुसार कतरनी बलों का आरेख खतरनाकखंड हैं सेक्शन बीसी और सेक्शन डी में।जैसा कि आरेख से देखा जा सकता है, क्यू अधिकतम \u003d 48.9 केएन।

कतरनी तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

चैनल नंबर 20 ए के लिए: क्षेत्र का स्थिर क्षण एस एक्स 1 \u003d 95.9 सेमी 3, खंड I x 1 \u003d 1670 सेमी 4 की जड़ता का क्षण, दीवार की मोटाई डी 1 \u003d 5.2 मिमी, औसत शेल्फ मोटाई टी 1 \u003d 9.7 मिमी , चैनल की ऊँचाई h 1 \u003d 20 सेमी, शेल्फ की चौड़ाई b 1 \u003d 8 सेमी।

अनुप्रस्थ के लिए दो चैनलों के खंड:

एस एक्स \u003d 2S x 1 \u003d 2 95.9 \u003d 191.8 सेमी 3,

मैं x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 सेमी 4,

बी \u003d 2d 1 \u003d 2 0.52 \u003d 1.04 सेमी।

मूल्य का निर्धारण अधिकतम कतरनी तनाव:

अधिकतम \u003d 48.9 10 3 191.8 10 -6 / 3340 10 -8 1.04 10 -2 \u003d 27 एमपीए।

जैसा देख गया, अधिकतम<τ adm (27एमपीए<75МПа).

इसलिये, ताकत की स्थिति पूरी होती है।

हम ऊर्जा मानदंड के अनुसार बीम की ताकत की जांच करते हैं.

विचार से बाहर आरेख क्यू और एमउसका अनुसरण करता है धारा सी खतरनाक है,जिसमें एम सी = एम अधिकतम = 48.3 केएनएम और क्यू सी = क्यू अधिकतम = 48.9 केएन।

चलो खर्च करें खंड सी . के बिंदुओं पर तनाव की स्थिति का विश्लेषण

आइए परिभाषित करें सामान्य और कतरनी तनावकई स्तरों पर (अनुभाग आरेख पर चिह्नित)

स्तर 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm।

सामान्य और स्पर्शरेखा वोल्टेज:

मुख्य वोल्टेज:

स्तर 2-2: y 2-2 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20 / 2-0.97 \u003d 9.03 सेमी।

मुख्य तनाव:

स्तर 3-3: y 3-3 \u003d ज 1 / 2-टी 1 \u003d 20 / 2-0.97 \u003d 9.03 सेमी।

सामान्य और कतरनी तनाव:

मुख्य तनाव:

अत्यधिक कतरनी तनाव:

स्तर 4-4: y 4-4 = 0।

(बीच में, सामान्य तनाव शून्य के बराबर होते हैं, स्पर्शरेखा तनाव अधिकतम होते हैं, वे स्पर्शरेखा तनाव के लिए शक्ति परीक्षण में पाए गए थे)

मुख्य तनाव:

अत्यधिक कतरनी तनाव:

स्तर 5-5:

सामान्य और कतरनी तनाव:

मुख्य तनाव:

अत्यधिक कतरनी तनाव:

स्तर 6-6:

सामान्य और कतरनी तनाव:

मुख्य तनाव:

अत्यधिक कतरनी तनाव:

स्तर 7-7:

सामान्य और कतरनी तनाव:

मुख्य तनाव:

अत्यधिक कतरनी तनाव:

प्रदर्शन गणना के अनुसार तनाव आरेख σ, , σ 1 , σ 3 , अधिकतम और मिनटअंजीर में प्रस्तुत किए जाते हैं।

विश्लेषणये आरेख दिखाता है, जो बीम के क्रॉस सेक्शन में है खतरनाक बिंदु स्तर 3-3 (या 5-5 .) पर हैं), जिसमें:

का उपयोग करते हुए शक्ति की ऊर्जा मानदंड,हम पाते हैं

समतुल्य और स्वीकार्य तनावों की तुलना से, यह निम्नानुसार है कि शक्ति की स्थिति भी संतुष्ट है

(135.3 एमपीए<150 МПа).

निरंतर बीम सभी स्पैन में भरी हुई है। एक सतत बीम के लिए आरेख Q और M बनाएं।

1. परिभाषित करें स्थिर अनिश्चितता की डिग्रीसूत्र के अनुसार बीम:

एन = सोप -3 = 5-3 = 2,कहाँ पे सोप - अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या, 3 - स्टैटिक्स के समीकरणों की संख्या. इस किरण को हल करने के लिए, यह आवश्यक है दो अतिरिक्त समीकरण।

2. निरूपित करें नंबर शून्य के साथ समर्थन करता हैक्रम में ( 0,1,2,3 )

3. निरूपित करें अवधि संख्या पहले सेक्रम में ( वी 1, वी 2, वी 3)

4. प्रत्येक अवधि को माना जाता है साधारण बीमऔर प्रत्येक साधारण बीम के लिए आरेख बनाएं क्यू और एम।किससे संबंधित है साधारण बीम, हम निरूपित करेंगे सूचकांक के साथ "0", जो संदर्भित करता है निरंतरबीम, हम निरूपित करेंगे इस सूचकांक के बिना।इस प्रकार, अनुप्रस्थ बल और झुकने का क्षण है एक साधारण बीम के लिए।

निर्माण करते समय झुकने के क्षण आरेखएम पर बिल्डर्सस्वीकृत: एक निश्चित पैमाने में व्यक्त करने का निर्देश सकारात्मकझुकने वाले क्षणों के मूल्य, एक तरफ रख दें बढ़ायाफाइबर, यानी - नीचे, ए नकारात्मक - ऊपरकिरण की धुरी से। इसलिए, वे कहते हैं कि बिल्डर्स स्ट्रेच्ड फाइबर्स पर डायग्राम बनाते हैं। यांत्रिकीकतरनी बल और झुकने के क्षण दोनों के सकारात्मक मूल्यों को प्लॉट किया जाता है यूपी।यांत्रिकी आरेखों का निर्माण करते हैं दबा हुआफाइबर।

प्रधानाचार्य जोर देते हैं झुकते समय। समतुल्य वोल्टेज.

बीम के क्रॉस सेक्शन में सीधे झुकने के सामान्य मामले में, सामान्यऔर स्पर्शरेखावोल्टेज. ये वोल्टेज बीम की लंबाई और ऊंचाई दोनों में भिन्नता है।

इस प्रकार, झुकने के मामले में, विमान तनाव की स्थिति।

एक योजना पर विचार करें जहां बीम एक बल P . से भरी हुई है

सबसे बड़ा सामान्यतनाव होता है चरम,तटस्थ रेखा से सबसे दूर बिंदु, और उनमें अपरूपण प्रतिबल अनुपस्थित होते हैं।के लिए चरमफाइबर गैर-शून्य प्रमुख तनाव सामान्य तनाव हैंक्रॉस सेक्शन में।

तटस्थ रेखा के स्तर परबीम के क्रॉस सेक्शन में उत्पन्न होता है सबसे बड़ा कतरनी तनाव,ए सामान्य तनाव शून्य हैं. मतलब रेशों में तटस्थपरत प्रमुख प्रतिबल अपरूपण प्रतिबलों के मानों द्वारा निर्धारित होते हैं।

इस डिजाइन मॉडल में, बीम के ऊपरी तंतुओं को बढ़ाया जाएगा, और निचले वाले को संकुचित किया जाएगा। प्रमुख तनावों को निर्धारित करने के लिए, हम प्रसिद्ध अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं:

भरा हुआ तनाव राज्य विश्लेषणचित्र में मौजूद है।

झुकने में तनाव की स्थिति का विश्लेषण

सबसे बड़ा प्रमुख तनाव σ 1पर स्थित है ऊपरअत्यधिक फाइबर और निचले चरम तंतुओं पर शून्य के बराबर है। प्रधान तनाव 3यह है निचले तंतुओं पर सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य।

प्रधान तनाव प्रक्षेपवक्रपर निर्भर करता है लोड प्रकारऔर बीम को ठीक करने का तरीका।

समस्याओं को हल करते समय, यह पर्याप्त है अलग सेजाँच करना सामान्यऔर अलग कतरनी तनाव।हालाँकि, कभी-कभी सबसे तनावपूर्णउपस्थित होना मध्यमफाइबर जिसमें सामान्य और कतरनी दोनों तनाव होते हैं। यह उन वर्गों में होता है जहां एक साथ झुकने का क्षण और अनुप्रस्थ बल दोनों बड़े मूल्यों तक पहुँचते हैं- यह एक ब्रैकट बीम की समाप्ति में, एक ब्रैकट के साथ एक बीम के समर्थन पर, एक केंद्रित बल के तहत वर्गों में, या तेजी से बदलती चौड़ाई वाले वर्गों में हो सकता है। उदाहरण के लिए, I-सेक्शन में, सबसे खतरनाक शेल्फ से दीवार का जंक्शन- वहाँ हैं महत्वपूर्ण और सामान्य और कतरनी तनाव।

सामग्री समतल तनाव की स्थिति में है और इसकी आवश्यकता है समकक्ष वोल्टेज परीक्षण।

तन्य सामग्री से बने बीम के लिए मजबूती की स्थितिपर तीसरा(सबसे बड़े स्पर्शरेखा तनाव के सिद्धांत) और चौथी(रूप परिवर्तन की ऊर्जा का सिद्धांत) शक्ति सिद्धांत।

एक नियम के रूप में, लुढ़के हुए बीम में, समतुल्य तनाव बाहरी तंतुओं में सामान्य तनाव से अधिक नहीं होते हैं और किसी विशेष सत्यापन की आवश्यकता नहीं होती है। एक और बात - मिश्रित धातु बीम,कौन सा पतली दीवारएक ही ऊंचाई पर लुढ़का हुआ प्रोफाइल की तुलना में। स्टील शीट से बने वेल्डेड कंपोजिट बीम आमतौर पर अधिक उपयोग किए जाते हैं। ताकत के लिए ऐसे बीम की गणना: ए) खंड का चयन - बीम तार की ऊंचाई, मोटाई, चौड़ाई और मोटाई; बी) सामान्य और कतरनी तनाव के लिए शक्ति परीक्षण; सी) समकक्ष तनाव द्वारा ताकत का सत्यापन।

I-सेक्शन में अपरूपण प्रतिबल का निर्धारण. अनुभाग पर विचार करें मैं दमक। एस एक्स \u003d 96.9 सेमी 3; वाईएक्स=2030 सेमी 4; क्यू = 200 केएन

अपरूपण प्रतिबल ज्ञात करने के लिए इसका प्रयोग किया जाता है सूत्र, जहां क्यू खंड में अनुप्रस्थ बल है, एस एक्स 0 परत के एक तरफ स्थित क्रॉस सेक्शन के हिस्से का स्थिर क्षण है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किए जाते हैं, I x पूरे क्रॉस की जड़ता का क्षण है खंड, बी उस स्थान पर खंड की चौड़ाई है जहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है

गणना करना ज्यादा से ज्यादाअपरूपण तनाव:

आइए हम के लिए स्थिर क्षण की गणना करें सबसे ऊपर वाला खांचा:

अब गणना करते हैं कतरनी तनाव:

हम निर्माण कर रहे हैं कतरनी तनाव आरेख:

प्रपत्र में मानक प्रोफ़ाइल के एक भाग पर विचार करें मैं दमकऔर परिभाषित करें कतरनी तनावअनुप्रस्थ बल के समानांतर कार्य करना:

गणना स्थिर क्षणसाधारण आंकड़े:

इस मान की गणना भी की जा सकती है अन्यथा, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक आई-बीम और एक गर्त खंड के लिए, आधे खंड का स्थिर क्षण एक ही समय में दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, स्थिर क्षण के ज्ञात मूल्य से स्थिर क्षण के मान को रेखा में घटाना आवश्यक है ए 1 बी 1:

दीवार परिवर्तन के लिए निकला हुआ किनारा के जंक्शन पर कतरनी जोर देती है अंतर डालते हुए, जैसा तेज़दीवार की मोटाई से बदलती है टी स्टूइससे पहले बी.

गर्त, खोखले आयताकार और अन्य वर्गों की दीवारों में स्पर्शरेखा तनाव के भूखंडों का एक ही रूप है जैसा कि आई-सेक्शन के मामले में होता है। सूत्र में एक्स अक्ष के सापेक्ष अनुभाग के छायांकित भाग का स्थिर क्षण शामिल होता है, और हर उस परत में खंड चौड़ाई (नेट) होता है जहां कतरनी तनाव निर्धारित होता है।

आइए हम एक वृत्ताकार खंड के लिए अपरूपण प्रतिबल ज्ञात करें।

चूंकि खंड के समोच्च पर स्पर्शरेखा तनाव को निर्देशित किया जाना चाहिए समोच्च के स्पर्शरेखा,फिर बिंदुओं पर लेकिनऔर परव्यास के समानांतर किसी भी जीवा के सिरों पर एबी,कतरनी तनाव निर्देशित हैं त्रिज्या OA के लंबवतऔर ओवी।इसलिये, दिशाओंबिंदुओं पर कतरनी तनाव लेकिन, वीकेकिसी बिंदु पर अभिसरण एचवाई अक्ष पर।

कट-ऑफ भाग का स्थिर क्षण:

अर्थात् अपरूपण प्रतिबल के अनुसार परिवर्तन होता है अणुवृत्त आकार काकानून और तटस्थ रेखा के स्तर पर अधिकतम होगा जब वाई 0 = 0

अपरूपण प्रतिबल निर्धारित करने का सूत्र (सूत्र)

एक आयताकार खंड पर विचार करें

दूरी पर 0 . परकेंद्रीय अक्ष से ड्रा करें खंड 1-1और अपरूपण प्रतिबल ज्ञात कीजिए। स्थिर क्षण क्षेत्रकटा हुआ हिस्सा:

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि मूल रूप से उदासीन, क्षेत्र का स्थिर क्षण लें छायांकित या आरामअनुप्रस्थ काट। दोनों स्थिर क्षण बराबर और विपरीत चिह्न में, ताकि वे जोड़,जो दर्शाता है पूरे खंड के क्षेत्र का स्थिर क्षणतटस्थ रेखा के सापेक्ष, अर्थात् केंद्रीय अक्ष x, के बराबर होगा शून्य।

एक आयताकार खंड की जड़ता का क्षण:

फिर कतरनी तनावसूत्र के अनुसार

चर y 0 के दौरान सूत्र में शामिल किया गया है दूसराडिग्री, यानी। एक आयताकार खंड में अपरूपण प्रतिबल अलग-अलग होते हैं एक वर्ग परवलय का नियम।

शीयर स्ट्रेस पहुंच गया ज्यादा से ज्यादातटस्थ रेखा के स्तर पर, अर्थात्। जब वाई 0 = 0:

, कहाँ पे ए पूरे खंड का क्षेत्र है।

कतरनी तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

, कहाँ पे एस एक्स 0परत के एक तरफ स्थित क्रॉस सेक्शन के हिस्से का स्थिर क्षण है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, मैं एक्सपूरे क्रॉस सेक्शन की जड़ता का क्षण है, बी- उस स्थान पर खंड की चौड़ाई जहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, क्यू- अनुप्रस्थ बल, τ - अपरूपण तनाव, [τ] - स्वीकार्य कतरनी तनाव।

यह ताकत की स्थिति उत्पादन करना संभव बनाती है तीनगणना का प्रकार (शक्ति विश्लेषण में तीन प्रकार की समस्याएं):

1. अपरूपण तनावों के लिए सत्यापन गणना या शक्ति परीक्षण:

2. खंड की चौड़ाई का चयन (आयताकार खंड के लिए):

3. अनुमेय अनुप्रस्थ बल का निर्धारण (एक आयताकार खंड के लिए):

निर्धारण के लिए स्पर्शरेखातनाव, बलों से भरी हुई किरण पर विचार करें।

प्रतिबलों को निर्धारित करने का कार्य सदैव होता है स्थिर रूप से अनिश्चितऔर भागीदारी की आवश्यकता है ज्यामितिकऔर शारीरिकसमीकरण हालाँकि, कोई ले सकता है तनाव वितरण की प्रकृति के बारे में परिकल्पनाकि कार्य बन जाएगा स्थिर रूप से निर्धारित।

दो असीम रूप से करीबी क्रॉस सेक्शन 1-1 और 2-2 चुनें डीजे तत्व,इसे बड़े पैमाने पर बनाएं, फिर एक अनुदैर्ध्य खंड 3-3 बनाएं।

खंड 1-1 और 2-2 में, सामान्य 1 , 2 तनाव, जो प्रसिद्ध सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ पे एम - झुकने का क्षणक्रॉस सेक्शन में डीएम - वेतन वृद्धिलंबाई dz . पर झुकने का क्षण

बहुत ताकतखंड 1–1 और 2–2 में मुख्य केंद्रीय अक्ष Y के साथ निर्देशित है और जाहिर है, का प्रतिनिधित्व करता है क्रॉस सेक्शन पर वितरित आंतरिक कतरनी तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग. सामग्री की ताकत में, इसे आमतौर पर लिया जाता है खंड की चौड़ाई पर उनके समान वितरण की धारणा।

दूरी पर स्थित अनुप्रस्थ काट के किसी भी बिंदु पर अपरूपण प्रतिबल का परिमाण निर्धारित करने के लिए 0 . परतटस्थ एक्स अक्ष से, इस बिंदु के माध्यम से तटस्थ परत (3-3) के समानांतर एक विमान बनाएं, और कट-ऑफ तत्व को बाहर निकालें। हम ABSD साइट पर अभिनय करने वाले वोल्टेज का निर्धारण करेंगे।

आइए सभी बलों को Z अक्ष पर प्रक्षेपित करें

दाहिनी ओर आंतरिक अनुदैर्ध्य बलों का परिणाम बराबर होगा:

कहाँ पे ए 0 मुखौटा चेहरे का क्षेत्र है, एस एक्स 0 एक्स अक्ष के सापेक्ष कट-ऑफ भाग का स्थिर क्षण है. इसी तरह बाईं ओर:

दोनों परिणाम एक दूसरे की ओर निर्देशितक्योंकि तत्व में है दबा हुआबीम क्षेत्र। उनके अंतर को निचले चेहरे पर 3-3 स्पर्शरेखा बलों द्वारा संतुलित किया जाता है।

चलो दिखावा करते हैं कि कतरनी तनावबीम क्रॉस सेक्शन की चौड़ाई में वितरित b के बराबर. यह धारणा अधिक संभावना है, खंड की ऊंचाई की तुलना में चौड़ाई जितनी कम होगी। फिर स्पर्शरेखा बलों का परिणाम dTचेहरे के क्षेत्र से गुणा किए गए तनाव मूल्य के बराबर है:

अभी लिखें संतुलन समीकरण z=0:

या कहाँ से

चलो याद करते हैं अंतर निर्भरता, किसके अनुसार तब हमें सूत्र मिलता है:

इस सूत्र को कहा जाता है सूत्रों. यह सूत्र 1855 में प्राप्त किया गया था। यहाँ एस एक्स 0 - क्रॉस सेक्शन के एक हिस्से का स्थिर क्षण,परत के एक तरफ स्थित है जिसमें कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, मैं एक्स - जड़ता का क्षणसंपूर्ण क्रॉस सेक्शन बी - खंड चौड़ाईजहां कतरनी तनाव निर्धारित किया जाता है, क्यू - अनुप्रस्थ बलअनुभाग में।

झुकने की ताकत की स्थिति है,कहाँ पे

- झुकने वाले क्षणों के आरेख से अधिकतम क्षण (मॉड्यूलो); - अक्षीय खंड मापांक, ज्यामितीय विशेषता; - स्वीकार्य तनाव (σadm)

- अधिकतम सामान्य तनाव।

यदि गणना पर आधारित है सीमा राज्य विधि, फिर गणना में स्वीकार्य तनाव के बजाय पेश किया जाता है सामग्री का डिजाइन प्रतिरोध आर।

झुकने की ताकत की गणना के प्रकार

1. चेकिंगसामान्य तनाव शक्ति की गणना या सत्यापन

2. परियोजनागणना या अनुभाग चयन

3. परिभाषा अनुमति हैभार (परिभाषा उठाने की क्षमताऔर या परिचालन वाहकक्षमताएं)

सामान्य तनावों की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते समय, झुकने के ऐसे मामले पर विचार करें, जब बीम के वर्गों में आंतरिक बल केवल कम हो जाते हैं झुकने का पल, ए अनुप्रस्थ बल शून्य है. झुकने के इस मामले को कहा जाता है शुद्ध झुकना. शुद्ध झुकने वाले बीम के मध्य भाग पर विचार करें।

लोड होने पर, बीम झुक जाता है ताकि यह निचला तंतु लंबा हो जाता है और ऊपरी तंतु छोटा हो जाता है।

चूंकि बीम के कुछ तंतु खिंचे हुए होते हैं और कुछ संकुचित होते हैं, और तनाव से संपीड़न में संक्रमण होता है सुचारू रूप से, बिना छलांग के, में मध्यबीम का हिस्सा है एक परत जिसके तंतु केवल झुकते हैं, लेकिन तनाव या संपीड़न का अनुभव नहीं करते हैं।ऐसी परत कहलाती है तटस्थपरत। वह रेखा जिसके साथ तटस्थ परत बीम के अनुप्रस्थ काट को काटती है, कहलाती है तटस्थ रेखाया तटस्थ अक्षखंड। बीम की धुरी पर तटस्थ रेखाएं लगी होती हैं। तटस्थ रेखावह रेखा है जिसमें सामान्य तनाव शून्य हैं।

अक्ष के लंबवत बीम की पार्श्व सतह पर खींची गई रेखाएँ बनी रहती हैं समतलझुकते समय। ये प्रयोगात्मक डेटा सूत्रों की व्युत्पत्तियों को आधार बनाना संभव बनाते हैं समतल वर्गों की परिकल्पना (परिकल्पना). इस परिकल्पना के अनुसार, बीम के खंड झुकने से पहले अपनी धुरी पर सपाट और लंबवत होते हैं, सपाट रहते हैं और झुकने पर बीम के मुड़े हुए अक्ष के लंबवत हो जाते हैं।

सामान्य तनाव सूत्रों की व्युत्पत्ति के लिए मान्यताएँ: 1) समतल वर्गों की परिकल्पना की पूर्ति होती है। 2) अनुदैर्ध्य तंतु एक-दूसरे पर दबाव नहीं डालते (गैर-दबाव परिकल्पना) और इसलिए, प्रत्येक तंतु एक अक्षीय तनाव या संपीड़न की स्थिति में होता है। 3) रेशों की विकृति खंड की चौड़ाई के साथ उनकी स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। नतीजतन, सामान्य तनाव, खंड की ऊंचाई के साथ बदलते हुए, चौड़ाई में समान रहते हैं। 4) बीम में समरूपता का कम से कम एक तल होता है, और सभी बाहरी बल इस तल में होते हैं। 5) बीम की सामग्री हुक के नियम का पालन करती है, और तनाव और संपीड़न में लोच का मापांक समान होता है। 6) बीम के आयामों के बीच का अनुपात ऐसा है कि यह बिना मुड़े या घुमाए फ्लैट झुकने की स्थिति में काम करता है।

मनमाना खंड के एक बीम पर विचार करें, लेकिन समरूपता की धुरी है। झुकने का पलप्रतिनिधित्व करता है आंतरिक सामान्य बलों का परिणामी क्षणअसीम रूप से छोटे क्षेत्रों पर उत्पन्न होने वाले और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अभिन्नप्रपत्र: (1), जहाँ y, x अक्ष के सापेक्ष प्राथमिक बल की भुजा है

सूत्र (1) व्यक्त स्थिरएक सीधी पट्टी झुकने की समस्या का पक्ष, लेकिन इसके साथ एक ज्ञात झुकने वाले क्षण के अनुसार जब तक उनके वितरण का कानून स्थापित नहीं हो जाता, तब तक सामान्य तनावों को निर्धारित करना असंभव है।

मध्य भाग में बीम का चयन करें और विचार करें लंबाई dz का खंड,झुकने के अधीन। आइए इसे ज़ूम इन करें।

अनुभाग dz को बाध्य करने वाले अनुभाग, विरूपण से पहले एक दूसरे के समानांतर, और लोड लगाने के बाद उनकी तटस्थ रेखाओं को एक कोण पर घुमाएँ . तटस्थ परत के तंतुओं के खंड की लंबाई नहीं बदलेगी।और इसके बराबर होगा: , वह कहां है वक्रता त्रिज्याबीम की घुमावदार धुरी। लेकिन कोई अन्य फाइबर झूठ बोल रहा है नीचे या ऊपरतटस्थ परत, इसकी लंबाई बदल जाएगी. गणना करना तटस्थ परत से y दूरी पर स्थित तंतुओं का सापेक्ष बढ़ाव।सापेक्ष बढ़ाव मूल लंबाई के पूर्ण विरूपण का अनुपात है, फिर:

हम समान पदों को घटाते और घटाते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: (2) यह सूत्र व्यक्त करता है ज्यामितिकशुद्ध झुकने की समस्या का पक्ष: फाइबर विकृतियां तटस्थ परत से उनकी दूरी के सीधे आनुपातिक हैं।

अब चलते हैं तनाव, अर्थात। हम विचार करेंगे शारीरिककार्य का पक्ष। के अनुसार गैर-दबाव धारणाफाइबर का उपयोग अक्षीय तनाव-संपीड़न में किया जाता है: फिर, सूत्र को ध्यान में रखते हुए (2) अपने पास (3), वे। सामान्य तनावअनुभाग की ऊंचाई के साथ झुकते समय एक रैखिक कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं. चरम तंतुओं पर, सामान्य तनाव अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाते हैं, और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में, क्रॉस सेक्शन शून्य के बराबर होते हैं। विकल्प (3) समीकरण में (1) और अभिन्न चिह्न से भिन्न को एक स्थिर मान के रूप में लेते हैं, तो हमारे पास है . लेकिन अभिव्यक्ति है x-अक्ष के परितः खंड की जड़ता का अक्षीय आघूर्ण - मैं एक्स. इसका आयाम सेमी 4, एम 4

फिर ,कहाँ पे (4) , कहाँ है बीम के मुड़े हुए अक्ष की वक्रता, झुकने के दौरान बीम खंड की कठोरता है।

परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें वक्रता (4)एक अभिव्यक्ति में (3) और पाओ क्रॉस सेक्शन के किसी भी बिंदु पर सामान्य तनावों की गणना के लिए सूत्र: (5)

उस। ज्यादा से ज्यादातनाव पैदा होता है तटस्थ रेखा से सबसे दूर के बिंदुओं पर।रवैया (6) बुलाया अक्षीय खंड मापांक. इसका आयाम सेमी 3, मी 3. प्रतिरोध का क्षण तनाव के परिमाण पर क्रॉस सेक्शन के आकार और आयामों के प्रभाव की विशेषता है।

फिर अधिकतम वोल्टेज: (7)

झुकने की ताकत की स्थिति: (8)

अनुप्रस्थ झुकने के दौरान न केवल सामान्य, बल्कि कतरनी तनाव भी, क्योंकि उपलब्ध बहुत ताकत. कतरनी तनाव विरूपण की तस्वीर को जटिल, वे करने के लिए नेतृत्व वक्रताबीम के क्रॉस सेक्शन, जिसके परिणामस्वरूप समतल वर्गों की परिकल्पना का उल्लंघन होता है. हालांकि, अध्ययनों से पता चलता है कि कतरनी तनाव द्वारा शुरू की गई विकृतियां थोड़ासूत्र द्वारा गणना किए गए सामान्य तनावों को प्रभावित करते हैं (5) . इस प्रकार, अनुप्रस्थ झुकने के मामले में सामान्य तनाव का निर्धारण करते समय शुद्ध झुकने का सिद्धांत काफी लागू है।

तटस्थ रेखा। तटस्थ रेखा की स्थिति के बारे में प्रश्न।

झुकते समय कोई अनुदैर्ध्य बल नहीं होता है, इसलिए हम लिख सकते हैं सामान्य प्रतिबलों के लिए सूत्र को यहाँ रखिए (3) और पाओ चूंकि बीम सामग्री की लोच का मापांक गैर-शून्य है और बीम के मुड़े हुए अक्ष में वक्रता का एक परिमित त्रिज्या है, यह मान लेना बाकी है कि यह अभिन्न है क्षेत्र का स्थिर क्षणतटस्थ रेखा-अक्ष x . के सापेक्ष बीम का क्रॉस सेक्शन , और तब से यह शून्य के बराबर है, तो तटस्थ रेखा खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।

स्थिति (क्षेत्र रेखा के सापेक्ष आंतरिक बलों के क्षण की अनुपस्थिति) देगी या खाते में लेना (3) . उन्हीं कारणों से (ऊपर देखें) . एकीकृत में - x और y कुल्हाड़ियों के बारे में खंड की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य है, तो ये कुल्हाड़ियाँ हैं मुख्य और केंद्रीयऔर श्रृंगार सीधाइंजेक्शन। इसलिये, एक सीधे मोड़ में शक्ति और तटस्थ रेखाएँ परस्पर लंबवत होती हैं।

व्यवस्थित करके तटस्थ रेखा स्थिति, बनाने में आसान सामान्य तनाव आरेखखंड की ऊंचाई से। उसकी रैखिकचरित्र निर्धारित है पहली डिग्री का समीकरण।

आरेख की प्रकृति तटस्थ रेखा के संबंध में सममित वर्गों के लिए, M<0

झुकने में समतल वर्गों की परिकल्पनाएक उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है: चलो एक विकृत बीम की साइड सतह पर एक ग्रिड लागू करते हैं, जिसमें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ (अक्ष के लंबवत) सीधी रेखाएं होती हैं। बीम के झुकने के परिणामस्वरूप, अनुदैर्ध्य रेखाएं एक घुमावदार आकार ले लेंगी, जबकि अनुप्रस्थ रेखाएं बीम की मुड़ी हुई धुरी के लिए व्यावहारिक रूप से सीधी और लंबवत रहेंगी।

तलीय खंड परिकल्पना का निरूपण: क्रॉस-सेक्शन जो पहले बीम की धुरी के समतल और लंबवत होते हैं, विकृत होने के बाद घुमावदार अक्ष के समतल और लंबवत रहते हैं।

यह परिस्थिति इंगित करती है कि जब समतल खंड परिकल्पना, के रूप में और

समतल वर्गों की परिकल्पना के अलावा, एक धारणा बनाई गई है: बीम के अनुदैर्ध्य तंतु मुड़े होने पर एक दूसरे को नहीं दबाते हैं।

समतल वर्गों की परिकल्पना और धारणा कहलाती है बर्नौली का अनुमान.

शुद्ध झुकने का अनुभव करने वाले आयताकार क्रॉस सेक्शन के बीम पर विचार करें ()। आइए लंबाई के साथ एक बीम तत्व का चयन करें (चित्र। 7.8। ए)। झुकने के परिणामस्वरूप, बीम के क्रॉस सेक्शन एक कोण बनाते हुए घूमेंगे। ऊपर के तंतु संपीड़न में हैं और नीचे के तंतु तनाव में हैं। उदासीन तंतु की वक्रता त्रिज्या को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है।

हम सशर्त रूप से मानते हैं कि तंतु अपनी लंबाई बदलते हैं, जबकि सीधे रहते हैं (चित्र। 7.8। बी)। फिर फाइबर का निरपेक्ष और सापेक्ष बढ़ाव, तटस्थ फाइबर से y की दूरी पर होता है:

आइए हम दिखाते हैं कि अनुदैर्ध्य तंतु, जो बीम झुकने के दौरान या तो तनाव या संपीड़न का अनुभव नहीं करते हैं, मुख्य केंद्रीय अक्ष x से गुजरते हैं।

चूंकि झुकने के दौरान बीम की लंबाई नहीं बदलती है, इसलिए क्रॉस सेक्शन में उत्पन्न होने वाला अनुदैर्ध्य बल (N) शून्य होना चाहिए। प्राथमिक अनुदैर्ध्य बल।

अभिव्यक्ति को देखते हुए :

गुणक को अभिन्न चिह्न से निकाला जा सकता है (एकीकरण चर पर निर्भर नहीं करता है)।

व्यंजक तटस्थ x-अक्ष के सापेक्ष बीम के अनुप्रस्थ काट का प्रतिनिधित्व करता है। यह शून्य होता है जब तटस्थ अक्ष क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। नतीजतन, बीम के मुड़ने पर तटस्थ अक्ष (शून्य रेखा) क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।

जाहिर है: झुकने का क्षण सामान्य तनाव से जुड़ा होता है जो रॉड के क्रॉस सेक्शन के बिंदुओं पर होता है। मौलिक बल द्वारा निर्मित प्राथमिक झुकने का क्षण:

,

जहां तटस्थ अक्ष x के बारे में क्रॉस सेक्शन की जड़ता का अक्षीय क्षण है, और अनुपात बीम अक्ष की वक्रता है।

कठोरता झुकने में बीम(बड़ा, छोटा वक्रता त्रिज्या)।

परिणामी सूत्र प्रतिनिधित्व करता है रॉड के लिए झुकने में हुक का नियम: क्रॉस सेक्शन में होने वाला झुकने वाला क्षण बीम अक्ष की वक्रता के समानुपाती होता है।

एक छड़ के लिए हुक के नियम के सूत्र से व्यक्त करना जब वक्रता त्रिज्या () को मोड़ना और सूत्र में इसके मान को प्रतिस्थापित करना , हम सामान्य तनाव () के लिए बीम के क्रॉस सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर सूत्र प्राप्त करते हैं, जो तटस्थ अक्ष x: से दूरी y पर होता है।

बीम के क्रॉस सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव () के सूत्र में, झुकने वाले क्षण के निरपेक्ष मान () और बिंदु से तटस्थ अक्ष (y निर्देशांक) की दूरी को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए . किसी दिए गए बिंदु पर तनाव तन्य होगा या संपीड़ित बीम के विरूपण की प्रकृति या झुकने वाले क्षणों के आरेख द्वारा स्थापित करना आसान है, जिसके निर्देशांक बीम के संपीड़ित तंतुओं के किनारे से प्लॉट किए जाते हैं।

इसे सूत्र से देखा जा सकता है: सामान्य तनाव () एक रैखिक कानून के अनुसार बीम के क्रॉस सेक्शन की ऊंचाई के साथ बदलते हैं। अंजीर पर। 7.8, प्लॉट दिखाया गया है। बीम झुकने के दौरान सबसे बड़ा तनाव तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं पर होता है। यदि तटस्थ अक्ष x के समानांतर बीम के क्रॉस सेक्शन में एक रेखा खींची जाती है, तो उसके सभी बिंदुओं पर समान सामान्य तनाव उत्पन्न होता है।

सरल विश्लेषण सामान्य तनाव आरेखदिखाता है कि जब बीम मुड़ी हुई होती है, तो तटस्थ अक्ष के पास स्थित सामग्री व्यावहारिक रूप से काम नहीं करती है। इसलिए, बीम के वजन को कम करने के लिए, क्रॉस-अनुभागीय आकृतियों को चुनने की सिफारिश की जाती है जिसमें अधिकांश सामग्री को तटस्थ अक्ष से हटा दिया जाता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, एक आई-प्रोफाइल।

झुकना एक बार के लोडिंग के प्रकार को कहा जाता है, जिसमें उस पर एक पल लगाया जाता है, जो अनुदैर्ध्य अक्ष से गुजरने वाले विमान में होता है। झुकने के क्षण बीम के क्रॉस सेक्शन में होते हैं। झुकते समय, विरूपण होता है, जिसमें सीधी बीम की धुरी मुड़ी हुई होती है या घुमावदार बीम की वक्रता बदल जाती है।

झुकने में काम करने वाली किरण कहलाती है खुशी से उछलना . एक संरचना जिसमें कई झुकने वाली छड़ें होती हैं, जो अक्सर 90 ° के कोण पर एक-दूसरे से जुड़ी होती हैं, कहलाती हैं चौखटा .

मोड़ कहा जाता है सपाट या सीधा , यदि भार की क्रिया का तल खंड की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष से होकर गुजरता है (चित्र। 6.1)।

चित्र 6.1

बीम में एक सपाट अनुप्रस्थ झुकने के साथ, दो प्रकार के आंतरिक बल उत्पन्न होते हैं: अनुप्रस्थ बल क्यूऔर झुकने का क्षण एम. एक सपाट अनुप्रस्थ झुकने वाले फ्रेम में, तीन बल उत्पन्न होते हैं: अनुदैर्ध्य एन, अनुप्रस्थ क्यूबल और झुकने का क्षण एम.

यदि झुकने का क्षण एकमात्र आंतरिक बल कारक है, तो ऐसे मोड़ को कहा जाता है साफ़ (अंजीर.6.2)। अनुप्रस्थ बल की उपस्थिति में मोड़ कहलाता है आड़ा . कड़ाई से बोलते हुए, केवल शुद्ध झुकने का संबंध सरल प्रकार के प्रतिरोध से है; अनुप्रस्थ झुकने को सशर्त रूप से सरल प्रकार के प्रतिरोध के लिए संदर्भित किया जाता है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में (पर्याप्त रूप से लंबे बीम के लिए) एक अनुप्रस्थ बल की कार्रवाई को ताकत की गणना में उपेक्षित किया जा सकता है।

22.फ्लैट अनुप्रस्थ मोड़। आंतरिक बलों और बाहरी भार के बीच अंतर निर्भरता।झुकने के क्षण, अनुप्रस्थ बल और वितरित भार की तीव्रता के बीच, ज़ुरावस्की प्रमेय पर आधारित अंतर निर्भरताएं हैं, जिसका नाम रूसी पुल इंजीनियर डी। आई। ज़ुराव्स्की (1821-1891) के नाम पर रखा गया है।

यह प्रमेय निम्नानुसार तैयार किया गया है:

अनुप्रस्थ बल बीम खंड के भुज के साथ झुकने वाले क्षण के पहले व्युत्पन्न के बराबर है।

23. फ्लैट अनुप्रस्थ मोड़। अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेखों का निर्माण। कतरनी बलों और झुकने के क्षणों का निर्धारण - खंड 1

हम बीम के दाहिने हिस्से को त्याग देते हैं और बाईं ओर इसकी क्रिया को अनुप्रस्थ बल और झुकने वाले क्षण से बदल देते हैं। गणना की सुविधा के लिए, हम कागज की एक शीट के साथ बीम के छोड़े गए दाहिने हिस्से को बंद कर देते हैं, शीट के बाएं किनारे को माना खंड 1 के साथ संरेखित करते हैं।

बीम के खंड 1 में अनुप्रस्थ बल उन सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है जो बंद होने के बाद दिखाई देते हैं

हम समर्थन की केवल नीचे की ओर प्रतिक्रिया देखते हैं। इस प्रकार, अनुप्रस्थ बल है:

केएन

हमने ऋण चिह्न लिया क्योंकि बल पहले खंड के सापेक्ष बीम के दृश्य भाग को वामावर्त घुमाता है (या क्योंकि यह समान रूप से संकेतों के नियम के अनुसार अनुप्रस्थ बल की दिशा के साथ निर्देशित होता है)

बीम के खंड 1 में झुकने का क्षण उन सभी प्रयासों के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है, जिन्हें हम खंड 1 के सापेक्ष बीम के छोड़े गए हिस्से को बंद करने के बाद देखते हैं।

हम दो प्रयास देखते हैं: समर्थन की प्रतिक्रिया और क्षण एम। हालांकि, बल की भुजा लगभग शून्य है। तो झुकने का क्षण है:

केएन एम

यहाँ धन का चिन्ह हमारे द्वारा लिया जाता है क्योंकि बाहरी क्षण M बीम के दृश्य भाग को उत्तलता के साथ नीचे की ओर झुकाता है। (या क्योंकि यह संकेतों के नियम के अनुसार झुकने वाले क्षण की दिशा के विपरीत है)

अपरूपण बलों और झुकने वाले क्षणों का निर्धारण - खंड 2

पहले खंड के विपरीत, प्रतिक्रिया बल का एक कंधा बराबर होता है।

अनुप्रस्थ बल:

केएन;

झुकने का पल:

अपरूपण बलों और झुकने वाले क्षणों का निर्धारण - खंड 3

अनुप्रस्थ बल:

झुकने का पल:

अपरूपण बलों और झुकने वाले क्षणों का निर्धारण - खंड 4

अब और अधिक आरामदायक बीम के बाईं ओर एक पत्ते के साथ कवर करें.

अनुप्रस्थ बल:

झुकने का पल:

अपरूपण बलों और झुकने वाले क्षणों का निर्धारण - खंड 5

अनुप्रस्थ बल:

झुकने का पल:

कतरनी बलों और झुकने के क्षणों का निर्धारण - खंड 1

अनुप्रस्थ बल और झुकने का क्षण:

.

प्राप्त मूल्यों के आधार पर, हम अनुप्रस्थ बलों (चित्र। 7.7, बी) और झुकने वाले क्षणों (चित्र। 7.7, सी) का एक आरेख बनाते हैं।

भौतिकी के सही निर्माण का नियंत्रण

हम आरेखों के निर्माण के नियमों का उपयोग करते हुए, बाहरी विशेषताओं के अनुसार आरेखों के निर्माण की शुद्धता को सत्यापित करेंगे।

शीयर फोर्स प्लॉट की जाँच करना

हम आश्वस्त हैं: अनलोड किए गए वर्गों के तहत, अनुप्रस्थ बलों का आरेख बीम की धुरी के समानांतर चलता है, और एक वितरित भार q के तहत, नीचे की ओर झुकी हुई सीधी रेखा के साथ। अनुदैर्ध्य बल आरेख पर तीन छलांगें हैं: प्रतिक्रिया के तहत - 15 kN से नीचे, बल P के तहत - 20 kN से नीचे और प्रतिक्रिया के तहत - 75 kN से ऊपर।

बेंडिंग मोमेंट प्लॉट की जाँच करना

झुकने वाले क्षणों के आरेख पर, हम केंद्रित बल P के तहत और समर्थन प्रतिक्रियाओं के तहत विराम देखते हैं। फ्रैक्चर कोण इन बलों की ओर निर्देशित होते हैं। एक वितरित भार q के तहत, झुकने वाले क्षणों का आरेख एक द्विघात परवलय के साथ बदलता है, जिसकी उत्तलता भार की ओर निर्देशित होती है। खंड 6 में, झुकने वाले क्षण के आरेख पर एक चरम है, क्योंकि इस स्थान पर अनुप्रस्थ बल का आरेख शून्य से गुजरता है।

10.1. सामान्य अवधारणाएं और परिभाषाएं

झुकना- यह एक प्रकार का लोडिंग है जिसमें रॉड को रॉड के अनुदैर्ध्य अक्ष से गुजरने वाले विमानों में क्षणों के साथ लोड किया जाता है।

एक छड़ जो झुकने में काम करती है उसे बीम (या बीम) कहा जाता है। भविष्य में, हम सीधे बीम पर विचार करेंगे, जिसके क्रॉस सेक्शन में समरूपता का कम से कम एक अक्ष होता है।

सामग्री के प्रतिरोध में, झुकना सपाट, तिरछा और जटिल होता है।

सपाट मोड़- झुकना, जिसमें बीम को झुकाने वाले सभी बल बीम के समरूपता के विमानों में से एक में होते हैं (मुख्य विमानों में से एक में)।

बीम की जड़ता के मुख्य विमान क्रॉस सेक्शन के मुख्य अक्षों और बीम के ज्यामितीय अक्ष (x अक्ष) से ​​गुजरने वाले विमान हैं।

तिरछा मोड़- झुकना, जिसमें भार एक विमान में कार्य करता है जो जड़ता के मुख्य विमानों से मेल नहीं खाता है।

जटिल मोड़- झुकना, जिसमें भार विभिन्न (मनमाने ढंग से) विमानों में कार्य करता है।

10.2 आंतरिक झुकने वाले बलों का निर्धारण

आइए हम झुकने के दो विशिष्ट मामलों पर विचार करें: पहले मामले में, ब्रैकट बीम केंद्रित क्षण मो द्वारा मुड़ा हुआ है; दूसरे में, केंद्रित बल द्वारा F.

मानसिक वर्गों की विधि का उपयोग करके और बीम के कटे हुए हिस्सों के लिए संतुलन समीकरणों को संकलित करते हुए, हम दोनों मामलों में आंतरिक बलों का निर्धारण करते हैं:

शेष संतुलन समीकरण स्पष्ट रूप से शून्य के बराबर हैं।

इस प्रकार, बीम खंड में फ्लैट झुकने के सामान्य मामले में, छह आंतरिक बलों में से दो उत्पन्न होते हैं - झुकने का पलएमजेड और बहुत ताकत Qy (या किसी अन्य मुख्य अक्ष के बारे में झुकते समय - झुकने का क्षण My और अनुप्रस्थ बल Qz)।

इस मामले में, लोडिंग के दो माने जाने वाले मामलों के अनुसार, फ्लैट झुकने को शुद्ध और अनुप्रस्थ में विभाजित किया जा सकता है।

शुद्ध मोड़- सपाट झुकना, जिसमें छड़ के वर्गों में छह आंतरिक बलों में से केवल एक उत्पन्न होता है - एक झुकने वाला क्षण (पहला मामला देखें)।

अनुप्रस्थ मोड़- झुकना, जिसमें आंतरिक झुकने के क्षण के अलावा, छड़ के वर्गों में एक अनुप्रस्थ बल भी उत्पन्न होता है (दूसरा मामला देखें)।

कड़ाई से बोलते हुए, केवल शुद्ध झुकने का संबंध सरल प्रकार के प्रतिरोध से है; अनुप्रस्थ झुकने को सशर्त रूप से सरल प्रकार के प्रतिरोध के लिए संदर्भित किया जाता है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में (पर्याप्त रूप से लंबे बीम के लिए) एक अनुप्रस्थ बल की कार्रवाई को ताकत की गणना में उपेक्षित किया जा सकता है।

आंतरिक बलों का निर्धारण करते समय, हम संकेतों के निम्नलिखित नियम का पालन करेंगे:

1) अनुप्रस्थ बल क्यू को सकारात्मक माना जाता है यदि यह बीम तत्व को दक्षिणावर्त घुमाता है;

2) झुकने का क्षण Mz को सकारात्मक माना जाता है, यदि बीम तत्व मुड़ा हुआ है, तो तत्व के ऊपरी तंतु संकुचित होते हैं, और निचले तंतु खिंच जाते हैं (छाता नियम)।

इस प्रकार, झुकने के दौरान आंतरिक बलों को निर्धारित करने की समस्या का समाधान निम्नलिखित योजना के अनुसार बनाया जाएगा: 1) पहले चरण में, संरचना की संतुलन स्थितियों को समग्र रूप से देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं, यदि आवश्यक हो, तो अज्ञात प्रतिक्रियाएं समर्थनों की (ध्यान दें कि एक ब्रैकट बीम के लिए, एम्बेड में प्रतिक्रियाएं हो सकती हैं और नहीं मिल सकती हैं यदि हम मुक्त छोर से बीम पर विचार करते हैं); 2) दूसरे चरण में, हम बीम के विशिष्ट वर्गों का चयन करते हैं, वर्गों की सीमाओं के रूप में बलों के आवेदन के बिंदु, बीम के आकार या आयामों में परिवर्तन के बिंदु, बीम के बन्धन के बिंदु; 3) तीसरे चरण में, हम प्रत्येक खंड में बीम तत्वों के लिए संतुलन की स्थिति पर विचार करते हुए, बीम वर्गों में आंतरिक बलों का निर्धारण करते हैं।

10.3. झुकने में अंतर निर्भरता

आइए हम आंतरिक बलों और बाहरी झुकने वाले भारों के साथ-साथ क्यू और एम आरेखों की विशिष्ट विशेषताओं के बीच कुछ संबंध स्थापित करें, जिनके ज्ञान से आरेखों के निर्माण की सुविधा होगी और आपको उनकी शुद्धता को नियंत्रित करने की अनुमति मिलेगी। अंकन की सुविधा के लिए, हम निरूपित करेंगे: M≡Mz, Q≡Qy।

आइए बीम के एक खंड में एक मनमाना भार के साथ एक छोटा तत्व dx आवंटित करें जहां कोई केंद्रित बल और क्षण नहीं हैं। चूंकि संपूर्ण बीम संतुलन में है, तत्व dx भी उस पर लागू अनुप्रस्थ बलों की कार्रवाई के तहत संतुलन में होगा, झुकने वाले क्षण और बाहरी भार। चूंकि क्यू और एम आम तौर पर भिन्न होते हैं

बीम की धुरी, फिर तत्व dx के वर्गों में अनुप्रस्थ बल Q और Q + dQ होंगे, साथ ही झुकने वाले क्षण M और M + dM भी होंगे। चयनित तत्व की संतुलन स्थिति से, हम प्राप्त करते हैं

दो लिखित समीकरणों में से पहला शर्त देता है

दूसरे समीकरण से, q dx (dx/2) पद को दूसरे क्रम की एक अपरिमित मात्रा के रूप में नकारते हुए, हम पाते हैं

व्यंजकों (10.1) और (10.2) को मिलाकर हम प्राप्त कर सकते हैं

संबंध (10.1), (10.2) और (10.3) अवकल कहलाते हैं झुकने में D. I. Zhuravsky की निर्भरता।

झुकने में उपरोक्त अंतर निर्भरताओं का विश्लेषण हमें झुकने वाले क्षणों और कतरनी बलों के आरेखों के निर्माण के लिए कुछ विशेषताओं (नियमों) को स्थापित करने की अनुमति देता है: ए - उन क्षेत्रों में जहां कोई वितरित भार q नहीं है, आरेख क्यू समानांतर सीधी रेखाओं तक सीमित हैं आधार और आरेख M झुकी हुई सीधी रेखाएँ हैं; बी - उन वर्गों में जहां एक वितरित भार q बीम पर लागू होता है, क्यू आरेख झुकी हुई सीधी रेखाओं द्वारा सीमित होते हैं, और एम आरेख द्विघात परवलय द्वारा सीमित होते हैं।

इस मामले में, यदि हम आरेख M "एक खिंचे हुए फाइबर पर" बनाते हैं, तो परवलय की उत्तलता को q की क्रिया की दिशा में निर्देशित किया जाएगा, और चरम उस खंड में स्थित होगा जहां आरेख Q आधार को काटता है रेखा; सी - उन वर्गों में जहां बीम पर एक केंद्रित बल लगाया जाता है, क्यू आरेख पर मूल्य और इस बल की दिशा में कूदता है, और एम आरेख पर किंक होते हैं, इस दिशा में निर्देशित टिप बल; डी - उन वर्गों में जहां बीम पर एक केंद्रित क्षण लागू होता है, क्यू आरेख में कोई बदलाव नहीं होगा, और एम आरेख पर इस क्षण के मूल्य से कूद जाएगा; ई - उन वर्गों में जहां क्यू> 0, पल एम बढ़ता है, और उन वर्गों में जहां क्यू<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. सीधे बीम के शुद्ध झुकने में सामान्य तनाव

आइए हम एक बीम के शुद्ध तलीय झुकने के मामले पर विचार करें और इस मामले के लिए सामान्य तनावों को निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

ध्यान दें कि लोच के सिद्धांत में शुद्ध झुकने में सामान्य तनाव के लिए सटीक निर्भरता प्राप्त करना संभव है, लेकिन यदि सामग्री के प्रतिरोध के तरीकों से इस समस्या को हल करने के लिए, कुछ मान्यताओं को पेश करना आवश्यक है।

झुकने के लिए ऐसी तीन परिकल्पनाएँ हैं:

a - समतल वर्गों की परिकल्पना (बर्नौली की परिकल्पना) - खंड विरूपण से पहले सपाट होते हैं और विरूपण के बाद सपाट रहते हैं, लेकिन केवल एक निश्चित रेखा के बारे में घूमते हैं, जिसे बीम खंड का तटस्थ अक्ष कहा जाता है। इस मामले में, तटस्थ अक्ष के एक तरफ पड़े बीम के तंतु खिंचे जाएंगे, और दूसरी तरफ, संकुचित; तटस्थ अक्ष पर पड़े तंतु अपनी लंबाई नहीं बदलते हैं;

बी - सामान्य तनाव की स्थिरता की परिकल्पना - तटस्थ अक्ष से समान दूरी पर अभिनय करने वाले तनाव बीम की चौड़ाई में स्थिर होते हैं;

ग - पार्श्व दबावों की अनुपस्थिति के बारे में परिकल्पना - पड़ोसी अनुदैर्ध्य तंतु एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं।

समस्या का स्थिर पक्ष

बीम के क्रॉस सेक्शन में तनाव को निर्धारित करने के लिए, हम सबसे पहले, समस्या के स्थिर पक्षों पर विचार करते हैं। मानसिक वर्गों की विधि को लागू करने और बीम के कटे हुए हिस्से के लिए संतुलन समीकरणों को संकलित करने से, हम झुकने के दौरान आंतरिक बल पाते हैं। जैसा कि पहले दिखाया गया था, शुद्ध झुकने के साथ बार के खंड में अभिनय करने वाला एकमात्र आंतरिक बल आंतरिक झुकने वाला क्षण है, जिसका अर्थ है कि इससे जुड़े सामान्य तनाव यहां उत्पन्न होंगे।

हम बीम खंड में आंतरिक बलों और सामान्य तनावों के बीच संबंध पाते हैं, प्राथमिक क्षेत्र डीए पर तनाव पर विचार करके, बीम के क्रॉस सेक्शन ए में निर्देशांक y और z के साथ एक बिंदु पर चुना जाता है (y अक्ष को आसानी के लिए नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है) विश्लेषण के):

जैसा कि हम देख सकते हैं, समस्या आंतरिक रूप से सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है, क्योंकि क्रॉस सेक्शन पर सामान्य तनावों के वितरण की प्रकृति अज्ञात है। समस्या को हल करने के लिए, विकृतियों के ज्यामितीय पैटर्न पर विचार करें।

समस्या का ज्यामितीय पक्ष

समन्वय x के साथ एक मनमाना बिंदु पर झुकने वाली छड़ से चयनित लंबाई dx के बीम तत्व के विरूपण पर विचार करें। फ्लैट सेक्शन की पहले से स्वीकृत परिकल्पना को ध्यान में रखते हुए, बीम सेक्शन को झुकने के बाद, न्यूट्रल एक्सिस (n.r.) के सापेक्ष कोण dϕ से घुमाएं, जबकि फाइबर ab, जो कि न्यूट्रल एक्सिस से y की दूरी पर है, में बदल जाएगा। एक गोलाकार चाप a1b1, और इसकी लंबाई कुछ आकार से बदल जाएगी। यहां हम याद करते हैं कि तटस्थ अक्ष पर स्थित तंतुओं की लंबाई नहीं बदलती है, और इसलिए चाप a0b0 (वक्रता की त्रिज्या जिसे हम ρ द्वारा निरूपित करते हैं) की लंबाई खंड के समान होती है a0b0 विरूपण से पहले a0b0=dx।

आइए हम घुमावदार बीम के फाइबर ab के सापेक्ष रैखिक विरूपण x को खोजें।