Parallel to'g'ridan-to'g'ri ta'rif va misollar. Parallel chiziqlar

Ikki chiziqning parallellik belgilari

Teorema 1. Agar ikkita chiziq sekant bilan kesishganda:

kesishgan burchaklar teng yoki

mos burchaklar teng yoki

bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 °, keyin

chiziqlar parallel(1-rasm).

Isbot. Biz 1-holati isbotlash bilan cheklanamiz.

Kesishgan a va b to'g'rilar ko'ndalang, AB burchaklari esa teng bo'lsin. Masalan, ∠ 4 = ∠ 6. A || ekanligini isbotlaylik b.

Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. Keyin ular M nuqtada kesishadi va shuning uchun 4 yoki 6 burchaklardan biri ABM uchburchakning tashqi burchagi bo'ladi. Aniqlik uchun ABM uchburchakning tashqi burchagi ∠ 4, ichki burchagi ∠ 6 bo'lsin. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremadan kelib chiqadiki, ∠ 4 ∠ 6 dan katta va bu shartga ziddir, ya'ni a va 6 chiziqlar kesishishi mumkin emas, shuning uchun ular parallel.

Xulosa 1. Bir tekislikka perpendikulyar bo'lgan ikki xil to'g'ri chiziq parallel(2-rasm).

Izoh. Biz hozirgina 1-teoremaning 1-holatini isbotlagan usulimiz qarama-qarshilik yoki absurdlikka qisqartirish orqali isbotlash usuli deb ataladi. Bu usul o'zining birinchi nomini oldi, chunki argumentning boshida isbotlanishi kerak bo'lgan narsaga zid (teskari) taxmin qilingan. Bu bema'nilikka olib boruvchi deb ataladi, chunki faraz asosida fikr yuritib, biz bema'ni xulosaga kelamiz (absurdga). Bunday xulosani qabul qilish bizni boshida qilingan taxminni rad etishga va isbotlanishi kerak bo'lgan taxminni qabul qilishga majbur qiladi.

Vazifa 1. Berilgan M nuqtadan o‘tuvchi va berilgan a to‘g‘riga parallel, M nuqtadan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziqni quring.

Yechim. M nuqta orqali a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar p to'g'ri chiziq o'tkazamiz (3-rasm).

Keyin M nuqta orqali p chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. 1-teoremaning xulosasiga ko'ra b chiziq a chiziqqa parallel.

Ko'rib chiqilgan muammodan muhim xulosa kelib chiqadi:
berilgan chiziqda yotmagan nuqta orqali har doim berilgan chiziqqa parallel chiziq chizish mumkin.

Parallel chiziqlarning asosiy xossasi quyidagicha.

Parallel chiziqlar aksiomasi. Berilgan to'g'rida yotmaydigan berilgan nuqta orqali berilgan nuqtaga parallel faqat bitta chiziq o'tadi.

Keling, bu aksiomadan kelib chiqadigan parallel chiziqlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

1) Agar chiziq ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan birini kesib oʻtsa, u boshqasini ham kesib oʻtadi (4-rasm).

2) Agar ikki xil chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi (5-rasm).

Quyidagi teorema ham to'g'ri.

Teorema 2. Agar ikkita parallel chiziq ko‘ndalang chiziq bilan kesishsa, u holda:

ko'ndalang burchaklar teng;

mos burchaklar teng;

bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180° ga teng.

Xulosa 2. Agar chiziq ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi(2-rasmga qarang).

Izoh. 2-teorema 1-teoremaning teskarisi deyiladi. 1-teoremaning xulosasi 2-teoremaning sharti, 1-teoremaning sharti esa 2-ning xulosasidir. Har bir teorema teskari emas, yaʼni berilgan teorema rost bo'lsa, teskari teorema noto'g'ri bo'lishi mumkin.

Buni vertikal burchaklar haqidagi teorema misolidan foydalanib tushuntiramiz. Bu teoremani quyidagicha shakllantirish mumkin: agar ikkita burchak vertikal bo'lsa, ular tengdir. Qarama-qarshi teorema quyidagicha bo'ladi: agar ikkita burchak teng bo'lsa, ular vertikaldir. Va bu, albatta, to'g'ri emas. Ikki teng burchak vertikal bo'lishi shart emas.

1-misol. Ikki parallel chiziqni uchdan biri kesib o'tadi. Ma'lumki, ikkita ichki bir tomonlama burchaklar orasidagi farq 30 ° ga teng. Bu burchaklarni toping.

Yechim. 6-rasm shartga mos kelsin.

Ushbu maqola parallel chiziqlar va parallel chiziqlar haqida. Birinchidan, tekislikdagi va fazodagi parallel chiziqlarning ta'rifi beriladi, yozuvlar kiritiladi, parallel chiziqlarga misollar va grafik tasvirlar keltiriladi. Keyinchalik, chiziqlar parallelligining belgilari va shartlari muhokama qilinadi. Xulosa qilib aytganda, tekislikdagi va uch o'lchovli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqning ma'lum tenglamalari bilan berilgan chiziqlar parallelligini isbotlashning tipik muammolarining echimlari ko'rsatilgan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Parallel chiziqlar - asosiy ma'lumotlar.

Ta'rif.

Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.

Ta'rif.

Uch o'lchovli fazoda ikkita chiziq deyiladi parallel, agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalarga ega bo'lmasa.

E'tibor bering, kosmosdagi parallel chiziqlarni belgilashda "agar ular bir tekislikda yotsa" bandi juda muhimdir. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik: uch o'lchamli fazoda umumiy nuqtalari bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq parallel emas, balki kesishadi.

Bu erda parallel chiziqlarga misollar keltiramiz. Daftar varag'ining qarama-qarshi qirralari parallel chiziqlarda yotadi. Uyning devorining tekisligi shift va zaminning tekisliklarini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar parallel. Tekis yerdagi temir yo'l relslarini ham parallel chiziqlar deb hisoblash mumkin.

Parallel chiziqlarni belgilash uchun "" belgisidan foydalaning. Ya'ni, agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, biz qisqacha a b yozishimiz mumkin.

Iltimos, diqqat qiling: agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, u holda a chizig'i b chiziqqa parallel, shuningdek, b chiziq a chiziqqa parallel deb aytishimiz mumkin.

Tekislikdagi parallel chiziqlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydigan gapni aytaylik: berilgan to'g'rida yotmagan nuqta orqali unga parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq o'tadi. Bu fikr fakt sifatida qabul qilinadi (uni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi) va u parallel chiziqlar aksiomasi deb ataladi.

Kosmosdagi holat uchun teorema o'rinli: ma'lum to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali unga parallel bitta to'g'ri chiziq o'tadi. Bu teorema yuqoridagi parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osongina isbotlanadi (uning isbotini 10-11-sinflar uchun geometriya darsligidan topishingiz mumkin, adabiyotlar roʻyxatida maqola oxirida keltirilgan).

Kosmosdagi holat uchun teorema o'rinli: ma'lum to'g'rida yotmaydigan fazoning istalgan nuqtasi orqali unga parallel bitta to'g'ri chiziq o'tadi. Bu teoremani yuqoridagi parallel chiziq aksiomasi yordamida osongina isbotlash mumkin.

Chiziqlar parallelligi - parallellik belgilari va shartlari.

Chiziqlar parallelligi belgisi chiziqlar parallel bo'lishi uchun etarli shart, ya'ni bajarilishi chiziqlar parallel bo'lishini kafolatlaydigan shart. Boshqacha qilib aytganda, ushbu shartning bajarilishi chiziqlar parallel ekanligini aniqlash uchun etarli.

Tekislik va uch o'lchovli fazoda chiziqlar parallelligi uchun ham zarur va etarli shartlar mavjud.

Keling, "Paralel chiziqlar uchun zarur va etarli shart" iborasining ma'nosini tushuntiramiz.

Biz allaqachon parallel chiziqlar uchun etarli shartni ko'rib chiqdik. "Paralel chiziqlar uchun zaruriy shart" nima? "Zarur" nomidan ko'rinib turibdiki, bu shartning bajarilishi parallel chiziqlar uchun zarurdir. Boshqacha qilib aytganda, agar parallel chiziqlar uchun zarur shart bajarilmasa, u holda chiziqlar parallel emas. Shunday qilib, parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart bajarilishi parallel chiziqlar uchun ham zarur, ham yetarli shartdir. Ya'ni, bir tomondan, bu chiziqlar parallelligining belgisi bo'lsa, ikkinchi tomondan, bu parallel chiziqlarga ega bo'lgan xususiyatdir.

Chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartni shakllantirishdan oldin, bir nechta yordamchi ta'riflarni esga olish tavsiya etiladi.

Sekant chiziq berilgan ikkita to‘g‘ri kelmaydigan chiziqning har birini kesib o‘tuvchi chiziq.

Ikki to'g'ri chiziq ko'ndalang chiziq bilan kesishganda, sakkizta rivojlanmagan chiziq hosil bo'ladi. Chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shartni shakllantirishda, deyiladi ko'ndalang yotish, mos keladigan Va bir tomonlama burchaklar. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq koʻndalang kesishgan boʻlsa, ularning parallel boʻlishi uchun kesishuvchi burchaklar teng boʻlishi yoki mos burchaklar teng boʻlishi yoki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180 ga teng boʻlishi zarur va yetarlidir. daraja.

Keling, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartning grafik tasvirini ko'rsatamiz.

Chiziqlar parallelligi uchun ushbu shartlarning isbotini 7-9-sinflar uchun geometriya darsliklarida topishingiz mumkin.

E'tibor bering, bu shartlar uch o'lchovli fazoda ham qo'llanilishi mumkin - asosiysi ikkita to'g'ri chiziq va sekant bir tekislikda yotadi.

Bu erda ko'pincha chiziqlar parallelligini isbotlash uchun ishlatiladigan yana bir nechta teoremalar mavjud.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu mezonning isboti parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi.

Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar uchun ham xuddi shunday holat mavjud.

Teorema.

Agar fazodagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, ular parallel bo'ladi. Bu mezonning isboti 10-sinfda geometriya darslarida muhokama qilinadi.

Keling, aytilgan teoremalarni ko'rsatamiz.

Tekislikdagi chiziqlar parallelligini isbotlash imkonini beruvchi yana bir teoremani keltiraylik.

Teorema.

Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.

Kosmosdagi chiziqlar uchun ham xuddi shunday teorema mavjud.

Teorema.

Agar uch o'lchamli fazodagi ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u holda ular parallel.

Keling, ushbu teoremalarga mos keladigan rasmlarni chizamiz.

Yuqorida keltirilgan barcha teoremalar, mezonlar va zarur va etarli shartlar geometriya usullari yordamida chiziqlar parallelligini isbotlash uchun juda yaxshi. Ya'ni, berilgan ikkita to'g'ri chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi chiziqqa parallel ekanligini ko'rsatish yoki ko'ndalang yotgan burchaklarning tengligini ko'rsatish kerak va hokazo. O'rta maktabda geometriya darslarida shunga o'xshash ko'plab masalalar hal qilinadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p hollarda tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun koordinata usulini qo'llash qulay. To'rtburchaklar koordinatalar tizimida ko'rsatilgan chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartlarni tuzamiz.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi.

Maqolaning ushbu bandida biz shakllantiramiz parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab va biz xarakterli masalalarning batafsil echimlarini ham taqdim etamiz.

Oxy to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq parallellik shartidan boshlaylik. Uning isboti chiziqning yo'nalish vektorini aniqlashga va tekislikdagi chiziqning normal vektorini aniqlashga asoslangan.

Teorema.

Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita chiziq parallel boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki bu toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear boʻlishi yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori normalga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. ikkinchi qator vektori.

Shubhasiz, tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti (chiziqlarning yo'nalish vektorlari yoki chiziqlarning normal vektorlari) yoki (bir chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchi chiziqning normal vektori) ga kamayadi. Shunday qilib, agar va a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va Va mos ravishda a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, a va b chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart quyidagicha yoziladi. , yoki , yoki , bu yerda t qandaydir haqiqiy son. O'z navbatida, a va b chiziqlarning yo'riqnomalari va (yoki) normal vektorlarining koordinatalari chiziqlarning ma'lum tenglamalari yordamida topiladi.

Xususan, agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a to'g'ri chiziq tekislikdagi Oxy shaklning umumiy to'g'ri chiziq tenglamasini aniqlaydi. , va to'g'ri chiziq b - , u holda bu chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda koordinatalarga ega va a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.

Agar a chiziq burchak koeffitsientiga ega bo'lgan chiziq tenglamasiga to'g'ri kelsa va chiziq b - bo'lsa, u holda bu chiziqlarning normal vektorlari koordinatalarga ega va bu chiziqlarning parallellik sharti shaklni oladi. . Binobarin, agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi chiziqlar parallel bo'lsa va burchak koeffitsientlari bo'lgan chiziqlar tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, u holda chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan chiziqlar teng burchak koeffitsientlari bo'lgan chiziq tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, unda bunday chiziqlar parallel bo'ladi.

Agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a va b to'g'ri chiziq tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamalari bilan aniqlansa. Va , yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari Va shunga ko'ra, bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga va ga ega bo'lib, a va b chiziqlarning parallellik sharti sifatida yoziladi.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqlar parallelmi? Va ?

Yechim.

Keling, segmentlardagi chiziq tenglamasini chiziqning umumiy tenglamasi shaklida qayta yozamiz: . Endi biz chiziqning normal vektori ekanligini ko'rishimiz mumkin , a - chiziqning normal vektori. Bu vektorlar kollinear emas, chunki t tengligi ( ). Demak, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.

Javob:

Yo'q, chiziqlar parallel emas.

Misol.

To'g'ri va parallel chiziqlar bormi?

Yechim.

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasiga keltiramiz:. Shubhasiz, va chiziqlar tenglamalari bir xil emas (bu holda berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng, shuning uchun dastlabki chiziqlar parallel.

Ushbu maqolada biz parallel chiziqlar haqida gapiramiz, ta'riflar beramiz, parallellik belgilari va shartlarini belgilaymiz. Nazariy materialni aniqroq qilish uchun biz namunaviy misollar uchun rasmlar va echimlardan foydalanamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

Samolyotdagi parallel chiziqlar- tekislikdagi umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita to'g'ri chiziq.

Ta'rif 2

Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar- uch o'lchovli fazoda bitta tekislikda yotgan va umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita to'g'ri chiziq.

Shuni ta'kidlash kerakki, kosmosdagi parallel chiziqlarni aniqlash uchun "bir tekislikda yotgan" aniqligi juda muhim: uch o'lchovli fazoda umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq parallel emas. , lekin kesishgan.

Parallel chiziqlarni ko'rsatish uchun ∥ belgisidan foydalanish odatiy holdir. Ya'ni, agar berilgan a va b chiziqlar parallel bo'lsa, bu shartni qisqacha quyidagicha yozish kerak: a ‖ b. Og'zaki ravishda chiziqlar parallelligi quyidagicha ifodalanadi: a va b chiziqlar parallel yoki a chiziq b chiziqqa parallel yoki b chiziq a chiziqqa parallel.

Keling, o'rganilayotgan mavzuda muhim rol o'ynaydigan bayonotni tuzamiz.

Aksioma

Berilgan chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqta orqali unga parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq o'tadi. Bu fikrni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi.

Agar biz kosmos haqida gapiradigan bo'lsak, teorema to'g'ri:

Teorema 1

Fazoning berilgan to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan har qanday nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq bo'ladi.

Bu teoremani yuqoridagi aksioma (10 - 11 sinflar uchun geometriya dasturi) asosida isbotlash oson.

Parallellik mezoni etarli shart bo'lib, uning bajarilishi chiziqlar parallelligini kafolatlaydi. Boshqacha qilib aytganda, bu shartning bajarilishi parallellik faktini tasdiqlash uchun etarli.

Xususan, tekislik va fazoda chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart-sharoitlar mavjud. Tushuntiraylik: zarur - parallel chiziqlar uchun bajarilishi zarur bo'lgan shart; agar bajarilmasa, chiziqlar parallel emas.

Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, chiziqlar parallelligi uchun zaruriy va etarli shart - bu chiziqlar bir-biriga parallel bo'lishi uchun zarur va etarli bo'lgan shart. Bir tomondan, bu parallellik belgisi bo'lsa, boshqa tomondan, bu parallel chiziqlarga xos xususiyatdir.

Kerakli va etarli shartning aniq formulasini berishdan oldin, bir nechta qo'shimcha tushunchalarni eslaylik.

Ta'rif 3

Sekant chiziq- berilgan ikkita to'g'ri kelmaydigan to'g'ri chiziqning har birini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq.

Ikki to'g'ri chiziqni kesishgan ko'ndalang sakkizta rivojlanmagan burchak hosil qiladi. Kerakli va etarli shartni shakllantirish uchun biz kesishgan, mos keladigan va bir tomonlama burchak turlaridan foydalanamiz. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz:

Teorema 2

Agar tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq koʻndalang kesishgan boʻlsa, berilgan toʻgʻri toʻgʻrilar parallel boʻlishi uchun kesishuvchi burchaklar teng boʻlishi yoki mos burchaklar teng boʻlishi yoki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi teng boʻlishi zarur va yetarli boʻladi. 180 daraja.

Keling, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartni grafik tarzda ko'rsatamiz:

Bu shartlarning isboti 7-9-sinflar uchun geometriya dasturida mavjud.

Umuman olganda, bu shartlar ikki chiziq va sekant bir tekislikka tegishli bo'lsa, uch o'lchovli fazoga ham tegishli.

Chiziqlar parallel ekanligini isbotlash uchun tez-tez ishlatiladigan yana bir nechta teoremalarni ko'rsatamiz.

Teorema 3

Tekislikda uchdan biriga parallel bo'lgan ikkita chiziq bir-biriga parallel. Bu xususiyat yuqorida ko'rsatilgan parallellik aksiomasi asosida isbotlangan.

Teorema 4

Uch o'lchovli fazoda uchdan biriga parallel bo'lgan ikkita chiziq bir-biriga parallel.

Belgini isbotlash 10-sinf geometriya o‘quv dasturida o‘rganiladi.

Keling, ushbu teoremalarga misol keltiramiz:

Chiziqlar parallelligini isbotlovchi yana bir juft teoremani keltiramiz.

Teorema 5

Tekislikda uchdan biriga perpendikulyar ikkita chiziq bir-biriga parallel.

Keling, uch o'lchamli makon uchun shunga o'xshash narsani tuzamiz.

Teorema 6

Uch o'lchovli fazoda uchdan biriga perpendikulyar ikkita chiziq bir-biriga parallel.

Keling, misol qilib keltiramiz:

Yuqoridagi barcha teoremalar, belgilar va shartlar geometriya usullaridan foydalangan holda chiziqlar parallelligini qulay tarzda isbotlash imkonini beradi. Ya'ni, chiziqlar parallelligini isbotlash uchun mos burchaklar teng ekanligini ko'rsatish yoki berilgan ikkita chiziq uchinchisiga perpendikulyar ekanligini ko'rsatish va hokazo. Ammo shuni yodda tutingki, tekislikdagi yoki uch o'lchamli fazodagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun koordinata usulini qo'llash ko'pincha qulayroqdir.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi

Berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida to'g'ri chiziq mumkin bo'lgan tiplardan birining tekisligidagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan aniqlanadi. Xuddi shunday, uch o'lchamli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida aniqlangan to'g'ri chiziq fazodagi to'g'ri chiziq uchun ba'zi tenglamalarga mos keladi.

Berilgan chiziqlarni tavsiflovchi tenglama turiga qarab to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shartlarni yozamiz.

Tekislikdagi chiziqlar parallellik shartidan boshlaylik. U chiziqning yo'nalish vektori va tekislikdagi chiziqning normal vektorining ta'riflariga asoslanadi.

Teorema 7

Bir-biriga mos kelmaydigan ikkita toʻgʻri chiziq tekislikda parallel boʻlishi uchun berilgan toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki berilgan toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori unga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. boshqa chiziqning normal vektori.

Ko'rinib turibdiki, tekislikdagi chiziqlarning parallellik sharti vektorlarning kollinearlik sharti yoki ikkita vektorning perpendikulyarlik shartiga asoslanadi. Ya'ni, agar a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa;

va n b → = (n b x, n b y) a va b chiziqlarning normal vektorlari bo‘lsa, yuqoridagi zarur va yetarli shartni quyidagicha yozamiz: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y yoki n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y yoki a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, bu erda t - qandaydir haqiqiy son. Qo'llanmalar yoki to'g'ri vektorlarning koordinatalari to'g'ri chiziqlarning berilgan tenglamalari bilan aniqlanadi. Keling, asosiy misollarni ko'rib chiqaylik.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi a chiziq chiziqning umumiy tenglamasi bilan aniqlanadi: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; to'g'ri chiziq b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. U holda berilgan chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda (A 1, B 1) va (A 2, B 2) koordinatalariga ega bo'ladi. Parallellik shartini quyidagicha yozamiz:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

a chiziq qiyaligi y = k 1 x + b 1 ko'rinishdagi chiziq tenglamasi bilan tasvirlanadi. To'g'ri chiziq b - y = k 2 x + b 2. U holda berilgan chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda (k 1, - 1) va (k 2, - 1) koordinatalarga ega bo'ladi va parallellik shartini quyidagicha yozamiz:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Shunday qilib, to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi parallel chiziqlar burchak koeffitsientlari bilan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda berilgan chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng bo'ladi. Va qarama-qarshi bayonot to'g'ri: agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan chiziqlar bir xil burchak koeffitsientlari bo'lgan chiziq tenglamalari bilan aniqlansa, bu berilgan chiziqlar parallel bo'ladi.

To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidagi a va b chiziqlar tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamalari bilan aniqlanadi: x - x 1 a x = y - y 1 a y va x - x 2 b x = y - y 2 b y yoki parametrik tenglamalar bilan. tekislikdagi chiziq: x = x 1 + l · a x y = y 1 + l · a y va x = x 2 + l · b x y = y 2 + l · b y .

U holda berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlari mos ravishda: a x, a y va b x, b y bo'ladi va parallellik shartini quyidagicha yozamiz:

a x = t b x a y = t b y

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Ikki qator berilgan: 2 x - 3 y + 1 = 0 va x 1 2 + y 5 = 1. Ularning parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Yechim

To'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarda umumiy tenglama shaklida yozamiz:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

n a → = (2, - 3) 2 x - 3 y + 1 = 0 chiziqning normal vektori, n b → = 2, 1 5 esa x 1 2 + y 5 chiziqning normal vektori ekanligini ko'ramiz. = 1.

Olingan vektorlar kollinear emas, chunki t ning tengligi to'g'ri bo'ladigan bunday qiymati yo'q:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Shunday qilib, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shart bajarilmaydi, bu berilgan chiziqlar parallel emasligini anglatadi.

Javob: berilgan chiziqlar parallel emas.

2-misol

y = 2 x + 1 va x 1 = y - 4 2 chiziqlari berilgan. Ular parallelmi?

Yechim

X 1 = y - 4 2 to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasiga aylantiramiz:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Ko'ramizki, y = 2 x + 1 va y = 2 x + 4 chiziqlar tenglamalari bir xil emas (agar boshqacha bo'lsa, chiziqlar bir xil bo'lar edi) va chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng, ya'ni berilgan chiziqlar parallel.

Keling, muammoni boshqacha hal qilishga harakat qilaylik. Birinchidan, berilgan chiziqlar mos keladimi yoki yo'qligini tekshiramiz. Biz y = 2 x + 1 chizig'idagi istalgan nuqtadan foydalanamiz, masalan, (0, 1), bu nuqtaning koordinatalari x 1 = y - 4 2 chiziq tenglamasiga mos kelmaydi, ya'ni chiziqlar bajaradi mos kelmaydi.

Keyingi bosqichda berilgan chiziqlarning parallellik sharti bajarilganligini aniqlash kerak.

y = 2 x + 1 chiziqning normal vektori n a → = (2 , - 1) vektor, ikkinchi berilgan chiziqning yo'nalish vektori esa b → = (1 , 2) dir. Ushbu vektorlarning skalyar mahsuloti nolga teng:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Shunday qilib, vektorlar perpendikulyar: bu bizga asl chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shartning bajarilishini ko'rsatadi. Bular. berilgan chiziqlar parallel.

Javob: bu chiziqlar parallel.

Uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimidagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun quyidagi zarur va etarli shart qo'llaniladi.

Teorema 8

Uch o'lchovli fazoda bir-biriga to'g'ri kelmaydigan ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari kollinear bo'lishi zarur va etarli.

Bular. uch o'lchovli fazodagi chiziqlar tenglamalari berilgan bo'lsa, ular parallelmi yoki parallel emasmi, degan savolga javob berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini aniqlash, shuningdek, ularning kollinearlik holatini tekshirish orqali topiladi. Boshqacha qilib aytganda, a va b chiziqlarning mos ravishda a → = (a x, a y, a z) va b → = (b x, b y, b z) yo‘nalish vektorlari bo‘lsa, u holda ular parallel bo‘lishi uchun mavjudlik. Bunday haqiqiy sondan t zarur, shuning uchun tenglik bajariladi:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3-misol

x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 va x = 2 + 2 l y = 1 z = - 3 - 6 l qatorlar berilgan. Bu chiziqlarning parallelligini isbotlash kerak.

Yechim

Masalaning shartlari fazodagi bir chiziqning kanonik tenglamalari va fazodagi boshqa chiziqning parametrik tenglamalari bilan berilgan. Yo'naltiruvchi vektorlar a → va b → berilgan chiziqlar koordinatalariga ega: (1, 0, - 3) va (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, keyin a → = 1 2 · b →.

Binobarin, fazoda chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajariladi.

Javob: berilgan chiziqlarning parallelligi isbotlangan.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

3/3 sahifa

21-savol. Uchburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi nimaga teng?
Javob. ABC uchburchakning A uchidagi burchagi AB va AC yarim chiziqlari hosil qilgan burchakdir. Uchburchakning B va C uchlaridagi burchaklari ham aniqlanadi.

22-savol. Qaysi segmentlar teng deb ataladi?
Javob. Agar ularning uzunligi teng bo'lsa, segmentlar teng deb ataladi.
Savol 23. Qanday burchaklar teng deb ataladi?
Javob. Burchaklar, agar ularning daraja o'lchovlari teng bo'lsa, ular teng deyiladi.
24-savol. Qaysi uchburchaklar teng deb ataladi?
Javob. Uchburchaklar, agar ularning mos tomonlari teng va mos burchaklari teng bo'lsa, ular konngruent deyiladi. Bunday holda, tegishli burchaklar mos keladigan tomonlarga qarama-qarshi yotishi kerak.
25-savol. Teng uchburchaklar uchun rasmda mos tomonlar va burchaklar qanday belgilangan?
Javob. Chizmada teng segmentlar odatda bir, ikki yoki uchta chiziq bilan, teng burchaklar esa bir, ikki yoki uchta yoy bilan belgilanadi.

26-savol. 23-rasmdan foydalanib, shunga teng uchburchak mavjudligini tushuntiring.
Javob.

Keling, ABC uchburchagi va a nuriga ega bo'lsin (23-rasm, a). ABC uchburchagini shunday ko‘chiramizki, uning A cho‘qqisi a nurning boshiga, B cho‘qqisi a nurda, C cho‘qqisi a nuriga va uning kengayishiga nisbatan berilgan yarim tekislikda bo‘lsin. Biz bu yangi holatda uchburchakmizning uchlarini A 1, B 1, C 1 deb belgilaymiz (23-rasm, b).
A 1 B 1 C 1 uchburchak ABC uchburchakka teng.
27-savol. Qaysi chiziqlar parallel deyiladi? Parallel chiziqlarni ko'rsatish uchun qanday belgi qo'llaniladi?
Javob. Ikki chiziq kesishmasa, parallel deyiladi. Chiziqlarning parallelligini ko'rsatish uchun belgi ishlatiladi

28-savol. Parallel chiziqlarning asosiy xossasini ayting.
Javob. Berilgan to‘g‘rida yotmagan nuqta orqali tekislikda berilganiga parallel bo‘lgan ko‘pi bilan bitta to‘g‘ri chiziq chizish mumkin.
29-savol. Teoremaga misol keltiring.
Javob. Agar uchburchakning hech bir cho‘qqisidan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziq uning bir tomonini kesib o‘tsa, u holda u qolgan ikki tomonining faqat bittasini kesib o‘tadi.