Równoległa definicja bezpośrednia i przykłady. Równoległe linie

Znaki równoległości dwóch linii

Twierdzenie 1. Jeżeli dwie proste przecinają się z sieczną:

skrzyżowane kąty są równe, lub

odpowiednie kąty są równe, lub

suma kątów jednostronnych wynosi zatem 180°

linie są równoległe(ryc. 1).

Dowód. Ograniczamy się do udowodnienia przypadku 1.

Niech przecinające się linie a i b będą poprzeczne, a kąty AB będą równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || B.

Załóżmy, że linie aib nie są równoległe. Następnie przecinają się w pewnym punkcie M i dlatego jeden z kątów 4 lub 6 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM. Dla pewności niech ∠ 4 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM, a ∠ 6 – kątem wewnętrznym. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że ∠ 4 jest większe od ∠ 6, co jest sprzeczne z warunkiem, który oznacza, że proste a i 6 nie mogą się przecinać, więc są równoległe.

Wniosek 1. Dwie różne linie leżące na płaszczyźnie prostopadłej do tej samej linii są równoległe(ryc. 2).

Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywany jest metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Metoda ta otrzymała swoją pierwszą nazwę, ponieważ na początku wywodu przyjmuje się założenie sprzeczne (przeciwne) z tym, co należy udowodnić. Nazywa się to doprowadzeniem do absurdu, gdyż rozumując na podstawie przyjętych założeń, dochodzimy do absurdalnego wniosku (do absurdu). Otrzymanie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia przyjętego na początku założenia i przyjęcia tego, które wymagało udowodnienia.

Zadanie 1. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt M i równoległą do danej prostej a, ale nie przechodzącą przez punkt M.

Rozwiązanie. Rysujemy prostą p przez punkt M prostopadle do prostej a (ryc. 3).

Następnie rysujemy linię b przechodzącą przez punkt M prostopadle do prostej p. Linia b jest równoległa do linii a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.

Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
przez punkt nie leżący na danej prostej zawsze można poprowadzić prostą równoległą do danej.

Główna właściwość linii równoległych jest następująca.

Aksjomat prostych równoległych. Przez dany punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej.

Rozważmy niektóre właściwości linii równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.

1) Jeżeli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą (ryc. 4).

2) Jeżeli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe (ryc. 5).

Poniższe twierdzenie jest również prawdziwe.

Twierdzenie 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, to:

kąty poprzeczne są równe;

odpowiednie kąty są równe;

suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Konsekwencja 2. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej(patrz ryc. 2).

Komentarz. Twierdzenie 2 nazywane jest odwrotnością Twierdzenia 1. Konkluzja Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. Natomiast warunek Twierdzenia 1 jest konkluzją Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, to znaczy, jeśli dane twierdzenie jest prawda, to twierdzenie odwrotne może być fałszywe.

Wyjaśnimy to na przykładzie twierdzenia o kątach pionowych. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są one równe. Twierdzenie odwrotne brzmiałoby: jeśli dwa kąty są równe, to są pionowe. A to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty nie muszą być pionowe.

Przykład 1. Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.

Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunek.

Ten artykuł dotyczy linii równoległych i linii równoległych. Najpierw podano definicję prostych równoległych na płaszczyźnie i w przestrzeni, wprowadzono oznaczenia, podano przykłady i ilustracje graficzne prostych równoległych. Następnie omówiono znaki i warunki równoległości prostych. W podsumowaniu pokazano rozwiązania typowych problemów udowadniania równoległości prostych, które dane są poprzez pewne równania prostej w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Nawigacja strony.

Linie równoległe - podstawowe informacje.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli nie mają punktów wspólnych.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej równoległy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Należy pamiętać, że klauzula „jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie” w definicji linii równoległych w przestrzeni jest bardzo ważna. Wyjaśnijmy tę kwestię: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe, ale przecinają się.

Oto kilka przykładów linii równoległych. Przeciwległe krawędzie kartki notesu leżą na równoległych liniach. Linie proste, wzdłuż których płaszczyzna ściany domu przecina płaszczyzny sufitu i podłogi, są równoległe. Szyny kolejowe na równym podłożu można również uznać za linie równoległe.

Aby oznaczyć linie równoległe, użyj symbolu „”. Oznacza to, że jeśli linie a i b są równoległe, to możemy krótko napisać a b.

Uwaga: jeśli linie aib są równoległe, to możemy powiedzieć, że linia a jest równoległa do linii b, a także, że linia b jest równoległa do linii a.

Wyraźmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badaniu prostych równoległych na płaszczyźnie: przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenie to przyjmuje się za fakt (nie da się go udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii) i nazywa się aksjomatem prostych równoległych.

Dla przypadku w przestrzeni obowiązuje twierdzenie: przez dowolny punkt przestrzeni, który nie leży na danej prostej, przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej. Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą powyższego aksjomatu prostych równoległych (jego dowód można znaleźć w podręczniku geometrii dla klas 10-11, który znajduje się na końcu artykułu w spisie literatury).

Równoległość linii - znaki i warunki równoległości.

Znak równoległości linii jest warunkiem wystarczającym, aby proste były równoległe, czyli warunkiem, którego spełnienie gwarantuje, że proste są równoległe. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby stwierdzić, że proste są równoległe.

Istnieją także warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Wyjaśnijmy znaczenie wyrażenia „warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych”.

Zajmowaliśmy się już warunkiem wystarczającym dla prostych równoległych. Jaki jest „warunek konieczny dla linii równoległych”? Z nazwy „konieczne” wynika, że spełnienie tego warunku jest konieczne w przypadku linii równoległych. Innymi słowy, jeśli warunek konieczny dla linii równoległych nie jest spełniony, wówczas linie nie są równoległe. Zatem, warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych jest warunkiem, którego spełnienie jest zarówno konieczne, jak i wystarczające dla linii równoległych. Oznacza to, że z jednej strony jest to znak równoległości linii, z drugiej strony jest to właściwość, którą mają linie równoległe.

Przed sformułowaniem warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii warto przypomnieć kilka definicji pomocniczych.

Sieczna linia to linia przecinająca każdą z dwóch podanych, nie pokrywających się linii.

Kiedy dwie linie proste przecinają się z poprzeczną, powstaje osiem niezabudowanych. Przy formułowaniu warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii stosuje się tzw leżące w poprzek, odpowiadające I kąty jednostronne. Pokażmy je na rysunku.

Twierdzenie.

Jeżeli dwie proste w płaszczyźnie przecinają się przez poprzeczkę, to aby były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby kąty przecinające się były równe, albo kąty odpowiadające były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.

Pokażmy graficzną ilustrację tego warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii na płaszczyźnie.

Dowody tych warunków równoległości prostych można znaleźć w podręcznikach do geometrii dla klas 7-9.

Należy pamiętać, że warunki te można zastosować również w przestrzeni trójwymiarowej - najważniejsze jest to, że dwie linie proste i sieczna leżą w tej samej płaszczyźnie.

Oto kilka innych twierdzeń często używanych do udowodnienia równoległości linii.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe. Dowód tego kryterium wynika z aksjomatu prostych równoległych.

Podobny warunek obowiązuje dla linii równoległych w przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie w przestrzeni są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe. Dowód tego kryterium omawiany jest na lekcjach geometrii w 10. klasie.

Zilustrujmy podane twierdzenia.

Przedstawmy kolejne twierdzenie, które pozwala nam udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są prostopadłe do trzeciej linii, to są one równoległe.

Podobne twierdzenie dotyczy linii w przestrzeni.

Twierdzenie.

Jeżeli dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są one równoległe.

Narysujmy rysunki odpowiadające tym twierdzeniom.

Wszystkie sformułowane powyżej twierdzenia, kryteria oraz warunki konieczne i wystarczające doskonale nadają się do udowodnienia równoległości prostych metodami geometrii. Oznacza to, że aby udowodnić równoległość dwóch danych linii, musisz wykazać, że są one równoległe do trzeciej linii lub wykazać równość kątów leżących poprzecznie itp. Wiele podobnych problemów rozwiązuje się na lekcjach geometrii w szkole średniej. Należy jednak zauważyć, że w wielu przypadkach wygodnie jest zastosować metodę współrzędnych, aby udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Sformułujmy warunki konieczne i wystarczające na równoległość linii określonych w prostokątnym układzie współrzędnych.

Równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych.

W tym akapicie artykułu sformułowamy warunki konieczne i wystarczające dla prostych równoległych w prostokątnym układzie współrzędnych, w zależności od rodzaju równań definiujących te proste, a także podamy szczegółowe rozwiązania charakterystycznych problemów.

Zacznijmy od warunku równoległości dwóch prostych na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy. Jego dowód opiera się na definicji wektora kierunku linii i definicji wektora normalnego linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Aby dwie nie pokrywające się linie były równoległe w płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych prostych były współliniowe lub wektory normalne tych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do normalnej wektor drugiej linii.

Oczywiście warunek równoległości dwóch linii na płaszczyźnie sprowadza się do (wektorów kierunkowych linii lub wektorów normalnych linii) lub do (wektora kierunku jednej linii i wektora normalnego drugiej linii). Zatem, jeśli i są wektorami kierunkowymi linii a i b oraz I są wektorami normalnymi odpowiednio prostych a i b, to warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych a i b zostanie zapisany jako , Lub lub , gdzie t jest pewną liczbą rzeczywistą. Z kolei współrzędne prowadnic i (lub) wektorów normalnych linii a i b wyznacza się za pomocą znanych równań linii.

W szczególności, jeśli linia prosta a w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie definiuje ogólne równanie prostej postaci i linia prosta b - , wówczas wektory normalne tych linii mają odpowiednio współrzędne i, a warunek równoległości linii a i b zostanie zapisany jako .

Jeżeli prosta a odpowiada równaniu prostej ze współczynnikiem kątowym postaci , a prosta b - to wektory normalne tych prostych mają współrzędne i , a warunek równoległości tych prostych przyjmuje postać . W konsekwencji, jeśli proste na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są równoległe i można je określić za pomocą równań prostych ze współczynnikami kątowymi, to współczynniki kątowe prostych będą równe. I odwrotnie: jeśli nie pokrywające się linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można określić za pomocą równań prostej o równych współczynnikach kątowych, to takie proste są równoległe.

Jeżeli prostą a i prostą b w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie postaci I lub równania parametryczne linii prostej na płaszczyźnie formy I odpowiednio wektory kierunkowe tych linii mają współrzędne i , a warunek równoległości linii aib jest zapisany jako .

Spójrzmy na rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Czy linie są równoległe? I ?

Rozwiązanie.

Przepiszmy równanie prostej w odcinkach w postaci ogólnego równania prostej: . Teraz widzimy, że jest to wektor normalny linii , a jest wektorem normalnym linii. Wektory te nie są współliniowe, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej t, dla której równość ( ). W konsekwencji warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, dlatego podane proste nie są równoległe.

Odpowiedź:

Nie, linie nie są równoległe.

Przykład.

Czy linie są proste i równoległe?

Rozwiązanie.

Sprowadźmy równanie kanoniczne prostej do równania prostej ze współczynnikiem kątowym: . Oczywiście równania prostych i nie są takie same (w tym przypadku podane proste byłyby takie same), a współczynniki kątowe prostych są równe, dlatego pierwotne proste są równoległe.

W tym artykule porozmawiamy o liniach równoległych, podamy definicje oraz zarysujemy znaki i warunki równoległości. Aby uczynić materiał teoretyczny bardziej przejrzystym, posłużymy się ilustracjami i rozwiązaniami typowych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Linie równoległe na płaszczyźnie– dwie proste na płaszczyźnie, które nie mają punktów wspólnych.

Definicja 2

Linie równoległe w przestrzeni trójwymiarowej– dwie linie proste w przestrzeni trójwymiarowej, leżące w tej samej płaszczyźnie i niemające punktów wspólnych.

Należy zauważyć, że aby określić równoległe linie w przestrzeni, niezwykle ważne jest wyjaśnienie „leżące w tej samej płaszczyźnie”: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe , ale przecinające się.

Aby wskazać linie równoległe, często używa się symbolu ∥. Oznacza to, że jeśli dane proste aib są równoległe, to warunek ten należy w skrócie zapisać w następujący sposób: a ‖ b. Słownie równoległość linii oznacza się następująco: linie aib są równoległe, linia a jest równoległa do linii b lub linia b jest równoległa do linii a.

Sformułujmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badanym temacie.

Aksjomat

Przez punkt nie należący do danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenia tego nie da się udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii.

W przypadku, gdy mówimy o przestrzeni, prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie 1

Przez dowolny punkt przestrzeni, który nie należy do danej linii, przejdzie pojedyncza linia prosta równoległa do danej.

Twierdzenie to łatwo udowodnić na podstawie powyższego aksjomatu (program z geometrii dla klas 10 - 11).

Kryterium równoległości jest warunkiem wystarczającym, którego spełnienie gwarantuje równoległość linii. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby potwierdzić fakt paralelizmu.

W szczególności istnieją warunki konieczne i wystarczające równoległości linii na płaszczyźnie i w przestrzeni. Wyjaśnijmy: konieczny oznacza warunek, którego spełnienie jest konieczne dla prostych równoległych; jeżeli nie jest to spełnione, linie nie są równoległe.

Reasumując, warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości linii jest warunek, którego spełnienie jest konieczne i wystarczające, aby linie były do siebie równoległe. Z jednej strony jest to oznaka równoległości, z drugiej strony jest to właściwość nieodłączna liniom równoległym.

Zanim podamy dokładne sformułowanie warunku koniecznego i wystarczającego, przypomnijmy sobie kilka dodatkowych pojęć.

Definicja 3

Sieczna linia– linia prosta przecinająca każdą z dwóch danych, nie pokrywających się linii prostych.

Przecinając dwie proste linie, poprzeczna tworzy osiem nierozwiniętych kątów. Aby sformułować warunek konieczny i wystarczający, będziemy używać takich rodzajów kątów jak skrzyżowane, odpowiadające i jednostronne. Pokażmy je na ilustracji:

Twierdzenie 2

Jeżeli dwie proste na płaszczyźnie przecinają się przez przekątną, to aby dane proste były równoległe konieczne i wystarczające jest, aby kąty przecinające się były równe, albo kąty odpowiadające były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.

Zilustrujmy graficznie warunek konieczny i wystarczający równoległości linii na płaszczyźnie:

Dowód spełnienia tych warunków znajduje się w programie geometrii dla klas 7-9.

Generalnie warunki te dotyczą również przestrzeni trójwymiarowej, pod warunkiem, że dwie proste i sieczna należą do tej samej płaszczyzny.

Wskażmy jeszcze kilka twierdzeń, które często wykorzystuje się do udowodnienia równoległości prostych.

Twierdzenie 3

Na płaszczyźnie dwie linie równoległe do trzeciej są do siebie równoległe. Cechę tę udowadnia się na podstawie wskazanego powyżej aksjomatu równoległości.

Twierdzenie 4

W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie równoległe do trzeciej są do siebie równoległe.

Dowód znaku jest przedmiotem zajęć z geometrii w 10. klasie.

Podajmy ilustrację tych twierdzeń:

Wskażmy jeszcze jedną parę twierdzeń dowodzących równoległości prostych.

Twierdzenie 5

Na płaszczyźnie dwie linie prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.

Sformułujmy podobne sformułowanie dla przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie 6

W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.

Zilustrujmy:

Wszystkie powyższe twierdzenia, znaki i warunki pozwalają w wygodny sposób udowodnić równoległość prostych metodami geometrii. Oznacza to, że aby udowodnić równoległość linii, można wykazać, że odpowiednie kąty są równe lub wykazać, że dwie dane linie są prostopadłe do trzeciej itp. Należy jednak pamiętać, że często wygodniej jest zastosować metodę współrzędnych, aby udowodnić równoległość linii na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej.

Równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych

W danym prostokątnym układzie współrzędnych linię prostą wyznacza się poprzez równanie linii prostej na płaszczyźnie jednego z możliwych typów. Podobnie linia prosta zdefiniowana w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej odpowiada pewnym równaniom linii prostej w przestrzeni.

Zapiszmy warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych w prostokątnym układzie współrzędnych w zależności od rodzaju równania opisującego dane proste.

Zacznijmy od warunku równoległości prostych na płaszczyźnie. Opiera się na definicjach wektora kierunku linii i wektora normalnego linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie 7

Aby dwie nie pokrywające się proste były równoległe na płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe danych prostych były współliniowe lub wektory normalne danych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do wektor normalny drugiej linii.

Staje się oczywiste, że warunek równoległości prostych na płaszczyźnie opiera się na warunku współliniowości wektorów lub warunku prostopadłości dwóch wektorów. Oznacza to, że jeśli a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunkowymi prostych aib ;

i n b → = (n b x , n b y) są wektorami normalnymi prostych a i b, wówczas powyższy warunek konieczny i wystarczający zapisujemy następująco: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y lub n a → = t · n b → ⇔ n za x = t · n b x n za y = t · n b y lub a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdzie t jest pewną liczbą rzeczywistą. Współrzędne prowadnic lub wektorów prostych wyznaczają podane równania prostych. Spójrzmy na główne przykłady.

Linię a w prostokątnym układzie współrzędnych wyznacza ogólne równanie linii: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linia prosta b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Wtedy wektory normalne danych linii będą miały odpowiednio współrzędne (A 1, B 1) i (A 2, B 2). Warunek równoległości zapisujemy następująco:

ZA 1 = t ZA 2 B 1 = t B 2

Linię a opisuje równanie prostej o nachyleniu postaci y = k 1 x + b 1 . Linia prosta b - y = k 2 x + b 2. Wtedy wektory normalne danych prostych będą miały odpowiednio współrzędne (k 1, - 1) i (k 2, - 1), a warunek równoległości zapiszemy następująco:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jeżeli zatem linie równoległe na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych zostaną dane równaniami ze współczynnikami kątowymi, to współczynniki kątowe danych prostych będą równe. Prawdziwe jest natomiast stwierdzenie przeciwne: jeśli nie pokrywające się linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są określone przez równania prostej o identycznych współczynnikach kątowych, to te podane linie są równoległe.

Linie a i b w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y lub równania parametryczne linia na płaszczyźnie: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Wtedy wektorami kierunkowymi danych prostych będą odpowiednio: a x, a y i b x, b y, a warunek równoległości zapiszemy następująco:

za x = t b x za y = t b y

Spójrzmy na przykłady.

Przykład 1

Dane są dwie linie: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Konieczne jest ustalenie, czy są one równoległe.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie prostej w odcinkach w postaci równania ogólnego:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Widzimy, że n a → = (2, - 3) jest wektorem normalnym linii 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 jest wektorem normalnym linii x 1 2 + y 5 = 1.

Otrzymane wektory nie są współliniowe, ponieważ nie ma takiej wartości tat, przy której równość będzie prawdziwa:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, co oznacza, że dane proste nie są równoległe.

Odpowiedź: podane proste nie są równoległe.

Przykład 2

Podane są linie y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Czy są one równoległe?

Rozwiązanie

Przekształćmy równanie kanoniczne prostej x 1 = y - 4 2 do równania prostej o nachyleniu:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Widzimy, że równania prostych y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nie są takie same (gdyby było inaczej, proste byłyby zbieżne) oraz współczynniki kątowe prostych są równe, co oznacza, że dane proste są równoległe.

Spróbujmy rozwiązać problem inaczej. Najpierw sprawdźmy, czy podane linie pokrywają się. Używamy dowolnego punktu na prostej y = 2 x + 1, na przykład (0, 1), współrzędne tego punktu nie odpowiadają równaniu prostej x 1 = y - 4 2, co oznacza, że proste nie nie pokrywają się.

Kolejnym krokiem jest sprawdzenie, czy spełniony jest warunek równoległości danych prostych.

Wektor normalny linii y = 2 x + 1 to wektor n a → = (2 , - 1) , a wektor kierunku drugiej danej linii to b → = (1 , 2) . Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi zero:

n za → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Zatem wektory są prostopadłe: pokazuje to nam spełnienie warunku koniecznego i wystarczającego równoległości pierwotnych linii. Te. podane linie są równoległe.

Odpowiedź: te linie są równoległe.

Aby udowodnić równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, stosuje się następujący warunek konieczny i wystarczający.

Twierdzenie 8

Aby dwie nie pokrywające się linie w przestrzeni trójwymiarowej były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych linii były współliniowe.

Te. mając równania prostych w przestrzeni trójwymiarowej, odpowiedź na pytanie: czy są one równoległe, czy nie, uzyskuje się poprzez wyznaczenie współrzędnych wektorów kierunkowych danych prostych oraz sprawdzenie warunku ich kolinearności. Innymi słowy, jeśli a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) są wektorami kierunkowymi odpowiednio prostych a i b, to aby były one równoległe, istnienie konieczna jest taka liczba rzeczywista t, aby równość zachodziła:

za → = t b → ⇔ za x = t b x za y = t b y a z = t b z

Przykład 3

Podane są linie x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Należy udowodnić równoległość tych prostych.

Rozwiązanie

Warunki zadania są określone przez równania kanoniczne jednej prostej w przestrzeni i równania parametryczne drugiej prostej w przestrzeni. Wektory prowadzące a → i b → podane proste mają współrzędne: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , wtedy a → = 1 2 · b → .

Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości linii w przestrzeni jest spełniony.

Odpowiedź: udowodniona jest równoległość danych prostych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Strona 3 z 3

Pytanie 21. Jaki jest kąt trójkąta w danym wierzchołku?
Odpowiedź. Kąt trójkąta ABC przy wierzchołku A jest kątem utworzonym przez półproste AB i AC. Wyznaczane są również kąty trójkąta w wierzchołkach B i C.

Pytanie 22. Które segmenty nazywamy równymi?
Odpowiedź. Segmenty nazywamy równymi, jeśli ich długości są równe.
Pytanie 23. Jakie kąty nazywane są równymi?
Odpowiedź. Kąty nazywamy równymi, jeżeli ich miary stopnia są równe.
Pytanie 24. Które trójkąty nazywamy równymi?
Odpowiedź. Trójkąty nazywamy przystającymi, jeśli odpowiadające im boki są równe i odpowiadające im kąty są równe. W takim przypadku odpowiednie kąty muszą leżeć naprzeciwko odpowiednich boków.
Pytanie 25. Jak zaznaczono odpowiednie boki i kąty na rysunku dla równych trójkątów?
Odpowiedź. Na rysunku równe odcinki są zwykle zaznaczane jedną, dwiema lub trzema liniami, a równe kąty jednym, dwoma lub trzema łukami.

Pytanie 26. Korzystając z rysunku 23, wyjaśnij istnienie trójkąta równego temu.
Odpowiedź.

Miejmy trójkąt ABC i promień a (ryc. 23, a). Przesuńmy trójkąt ABC tak, aby jego wierzchołek A pokrywał się z początkiem półprostej a, wierzchołek B znajdował się na półprostej a, a wierzchołek C znajdował się w danej półpłaszczyźnie względem półprostej a i jej przedłużenia. Oznaczymy wierzchołki naszego trójkąta w tej nowej pozycji jako A 1, B 1, C 1 (ryc. 23, b).
Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest równy trójkątowi ABC.
Pytanie 27. Które linie nazywamy równoległymi? Jaki znak służy do oznaczania prostych równoległych?
Odpowiedź. Dwie linie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają. Aby wskazać równoległość linii, używany jest znak

Pytanie 28. Podaj główną właściwość prostych równoległych.
Odpowiedź. Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić na płaszczyźnie co najwyżej jedną prostą równoległą do danej.
Pytanie 29. Podaj przykład twierdzenia.
Odpowiedź. Jeżeli prosta, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta, przecina jeden z jego boków, to przecina tylko jeden z dwóch pozostałych boków.