Formula per la superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare. Superficie laterale di diverse piramidi

L'area totale della superficie laterale di una piramide è costituita dalla somma delle aree delle sue facce laterali.

In una piramide quadrangolare ci sono due tipi di facce: un quadrilatero alla base e triangoli con un vertice comune, che formano la superficie laterale.
Per prima cosa devi calcolare l'area delle facce laterali. Per fare ciò puoi utilizzare la formula per l'area di un triangolo, oppure puoi anche utilizzare la formula per l'area della superficie di una piramide quadrangolare (solo se il poliedro è regolare). Se la piramide è regolare e si conosce la lunghezza dello spigolo a della base e dell'apotema h disegnato su di essa, allora:

Se, secondo le condizioni, vengono fornite la lunghezza del bordo c di una piramide regolare e la lunghezza del lato della base a, puoi trovare il valore utilizzando la seguente formula:

Se vengono indicati la lunghezza del bordo alla base e l'angolo acuto opposto in alto, l'area della superficie laterale può essere calcolata dal rapporto tra il quadrato del lato a e il doppio coseno della metà del angolo α:

Consideriamo un esempio di calcolo della superficie di una piramide quadrangolare attraverso il bordo laterale e il lato della base.

Problema: Sia data una piramide quadrangolare regolare. Lunghezza del bordo b = 7 cm, lunghezza del lato di base a = 4 cm. Sostituisci i valori indicati nella formula:

Abbiamo mostrato i calcoli dell'area di una faccia laterale per una piramide regolare. Rispettivamente. Per trovare l'area dell'intera superficie, è necessario moltiplicare il risultato per il numero di facce, cioè per 4. Se la piramide è arbitraria e le sue facce non sono uguali tra loro, è necessario calcolare l'area per ogni singolo lato. Se la base è un rettangolo o un parallelogramma, vale la pena ricordare le loro proprietà. I lati di queste figure sono paralleli a coppie, e di conseguenza anche le facce della piramide saranno identiche a coppie.
La formula per l'area della base di una piramide quadrangolare dipende direttamente da quale quadrilatero si trova alla base. Se la piramide è corretta, l'area della base viene calcolata utilizzando la formula, se la base è un rombo, dovrai ricordare come si trova. Se alla base c'è un rettangolo, trovare la sua area sarà abbastanza semplice. È sufficiente conoscere le lunghezze dei lati della base. Consideriamo un esempio di calcolo dell'area della base di una piramide quadrangolare.

Problema: Sia data una piramide, alla base della quale si trova un rettangolo con i lati a = 3 cm, b = 5 cm. Dalla sommità della piramide si abbassa un apotema su ciascuno dei lati. h-a = 4 cm, h-b = 6 cm La sommità della piramide giace sulla stessa linea del punto di intersezione delle diagonali. Trova l'area totale della piramide.
La formula per l'area di una piramide quadrangolare è costituita dalla somma delle aree di tutte le facce e dell'area della base. Per prima cosa troviamo l'area della base:


Ora diamo un'occhiata ai lati della piramide. Sono identici a coppie, perché l'altezza della piramide interseca il punto di intersezione delle diagonali. Cioè, nella nostra piramide ci sono due triangoli con base a e altezza h-a, nonché due triangoli con base b e altezza h-b. Ora troviamo l'area del triangolo utilizzando la nota formula:


Ora eseguiamo un esempio per calcolare l'area di una piramide quadrangolare. Nella nostra piramide con un rettangolo alla base, la formula sarebbe simile a questa:

Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.

Come trovare l'area della base della piramide?

Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.

Triangolo regolare

Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Piazza

La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:

N-gon regolare arbitrario

Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?

Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.

L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:

S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.

Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:

S = n/2 * in 2 sin α .

Compito n. 1

Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.

Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Risposta. 10√3 cm2.

Problema n.2

Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.

Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.

I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.

Risulta: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.

Problema n.3

Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.

Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. Il secondo cateto è pari alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade al centro.

L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Risposta. 96 cm2.

Problema n.4

Condizione. Viene fornito il lato corretto: i lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?

Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.

Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che utilizzare la formula di Erone per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.

Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.

Risposta. La base è 726√3 cm2, la superficie laterale è 3960 cm2, l'area totale è 5217 cm2.

Superficie della piramide. In questo articolo esamineremo i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.

La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo tracciato dal vertice di una piramide regolare si chiama apotema, SF - apotema:

Nel tipo di problema presentato di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già discusso diversi problemi con le piramidi regolari, in cui la domanda riguardava la ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale).

I compiti dell'esame di stato unificato di solito esaminano piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato alcun problema con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.

La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:

Consideriamo i compiti:

I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.

La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:

*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.

Possiamo calcolare l'area del lato della piramide utilizzando:

Pertanto, la superficie della piramide è:

Risposta: 28224

I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 22, i bordi laterali sono pari a 61. Trova la superficie laterale di questa piramide.

La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.

La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:

Troviamo l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone:

Pertanto la superficie laterale è:

Risposta: 3240

*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando un'altra formula del triangolo, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.

27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.

Per trovare l'area della piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:

L'area della base è 36 poiché è un quadrato di lato 6.

La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):

*L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.

La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):

Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:

Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide è:

Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:

Risposta: 96

27069. I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie di questa piramide.

27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie laterale di questa piramide.

Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:

P- perimetro della base, l- apotema della piramide

*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.

Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.È tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Tipici problemi geometrici nel piano e nello spazio tridimensionale sono i problemi di determinazione delle aree superficiali di diverse figure. In questo articolo presentiamo la formula per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare.

Cos'è una piramide?

Diamo una definizione geometrica rigorosa di piramide. Supponiamo di avere un poligono con n lati e n angoli. Scegliamo un punto arbitrario nello spazio che non si troverà nel piano dell'n-gono specificato e colleghiamolo a ciascun vertice del poligono. Otterremo una figura con un certo volume, chiamata piramide n-gonale. Ad esempio, mostriamo nella figura sotto come appare una piramide pentagonale.

I due elementi importanti di ogni piramide sono la base (n-gon) e il suo apice. Questi elementi sono collegati tra loro da n triangoli, che in generale non sono uguali tra loro. La perpendicolare che scende dall'alto alla base si chiama altezza della figura. Se interseca la base nel centro geometrico (coincide con il centro di massa del poligono), tale piramide viene chiamata linea retta. Se, oltre a questa condizione, la base è un poligono regolare, allora l'intera piramide si dice regolare. L'immagine qui sotto mostra come appaiono le piramidi regolari con basi triangolari, quadrangolari, pentagonali ed esagonali.

Superficie della piramide

Prima di passare alla questione della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare, è opportuno soffermarsi più in dettaglio sul concetto di superficie stessa.

Come accennato in precedenza e mostrato nelle figure, qualsiasi piramide è formata da un insieme di facce o lati. Un lato è la base e n lati sono i triangoli. La superficie dell'intera figura è la somma delle aree di ciascuno dei suoi lati.

Conviene studiare una superficie utilizzando l'esempio dello sviluppo di una figura. Lo sviluppo di una piramide quadrangolare regolare è mostrato nelle figure seguenti.

Vediamo che la sua superficie è pari alla somma di quattro aree di triangoli isosceli identici e l'area di un quadrato.

L'area totale di tutti i triangoli che formano i lati di una figura è solitamente chiamata area della superficie laterale. Successivamente mostreremo come calcolarlo per una piramide quadrangolare regolare.

Superficie laterale di una piramide regolare quadrangolare

Per calcolare la superficie laterale della figura indicata, torniamo nuovamente allo sviluppo di cui sopra. Supponiamo di conoscere il lato della base quadrata. Indichiamolo con il simbolo a. Si può vedere che ciascuno dei quattro triangoli identici ha una base di lunghezza a. Per calcolare la loro area totale, devi conoscere questo valore per un triangolo. Dal corso di geometria sappiamo che l'area S t di un triangolo è uguale al prodotto della base per l'altezza, che va divisa a metà. Questo è:

Dove h b è l'altezza di un triangolo isoscele disegnato con la base a. Per una piramide, questa altezza è un apotema. Resta ora da moltiplicare l'espressione risultante per 4 per ottenere l'area S b della superficie laterale della piramide in questione:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Questa formula contiene due parametri: l'apotema e il lato della base. Se quest'ultima è nota nella maggior parte delle condizioni problematiche, la prima deve essere calcolata conoscendo altre quantità. Ecco le formule per calcolare l'apotema h b per due casi:

• quando è nota la lunghezza della nervatura laterale;
• quando si conosce l'altezza della piramide.

Se indichiamo la lunghezza del bordo laterale (lato di un triangolo isoscele) con il simbolo L, allora l'apotema h b è determinato dalla formula:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Questa espressione è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo della superficie laterale.

Se si conosce l'altezza h della piramide, l'apotema h b può essere calcolato come segue:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Non è difficile ottenere questa espressione anche se consideriamo un triangolo rettangolo interno alla piramide, formato dai cateti h e a/2 e dall'ipotenusa h b.

Mostriamo come applicare queste formule risolvendo due problemi interessanti.

Problema con l'area superficiale nota

È noto che l'area della superficie laterale del quadrangolare è di 108 cm 2. È necessario calcolare la lunghezza del suo apotema h b se l'altezza della piramide è di 7 cm.

Scriviamo la formula per l'area S b della superficie laterale in termini di altezza. Abbiamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Qui abbiamo semplicemente sostituito la formula dell'apotema appropriata nell'espressione per S b. Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:

Sb2 = 4*a2 *h2 + a4.

Per trovare il valore di a, effettuiamo un cambio di variabili:

t2 + 4*h2 *t - Sb2 = 0.

Ora sostituiamo i valori noti e risolviamo l'equazione quadratica:

t2 + 196*t - 11664 = 0.

Abbiamo scritto solo la radice positiva di questa equazione. Quindi i lati della base della piramide saranno uguali a:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Per ottenere la lunghezza dell'apotema basta usare la formula:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Superficie laterale della piramide di Cheope

Determiniamo il valore della superficie laterale della più grande piramide egizia. È noto che alla sua base si trova un quadrato con il lato lungo 230,363 metri. L'altezza della struttura era originariamente di 146,5 metri. Sostituiamo questi numeri nella formula corrispondente per S b, otteniamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

Il valore riscontrato è leggermente più grande dell’area di 17 campi da calcio.

Quale figura chiamiamo piramide? Innanzitutto, è un poliedro. In secondo luogo, alla base di questo poliedro c'è un poligono arbitrario, e i lati della piramide (facce laterali) hanno necessariamente la forma di triangoli convergenti su un vertice comune. Adesso, compreso il termine, scopriamo come trovare l’area della superficie della piramide.

È chiaro che la superficie di un tale corpo geometrico è costituita dalla somma delle aree della base e di tutta la sua superficie laterale.

Calcolo dell'area della base di una piramide

La scelta della formula di calcolo dipende dalla forma del poligono sottostante la nostra piramide. Può essere regolare, cioè con i lati della stessa lunghezza, oppure irregolare. Consideriamo entrambe le opzioni.

La base è un poligono regolare

Dal percorso scolastico sappiamo:

• l'area del quadrato sarà pari alla lunghezza del suo lato al quadrato;
• L'area di un triangolo equilatero è uguale al quadrato del suo lato diviso per 4 e moltiplicato per la radice quadrata di tre.

Ma esiste anche una formula generale per calcolare l'area di qualsiasi poligono regolare (Sn): è necessario moltiplicare il perimetro di questo poligono (P) per il raggio del cerchio in esso inscritto (r), quindi dividere il risultato per due: Sn=1/2P*r .

Alla base c'è un poligono irregolare

Lo schema per trovare la sua area consiste nel dividere prima l'intero poligono in triangoli, calcolare l'area di ciascuno di essi utilizzando la formula: 1/2a*h (dove a è la base del triangolo, h è l'altezza abbassata a questa base), sommare tutti i risultati.

Superficie laterale della piramide

Ora calcoliamo l'area della superficie laterale della piramide, cioè la somma delle aree di tutti i suoi lati laterali. Ci sono anche 2 opzioni qui.

1. Prendiamo una piramide arbitraria, cioè uno con un poligono irregolare alla base. Quindi dovresti calcolare l'area di ciascuna faccia separatamente e aggiungere i risultati. Poiché i lati di una piramide, per definizione, possono essere solo triangoli, il calcolo viene effettuato utilizzando la formula sopra menzionata: S=1/2a*h.
2. Lascia che la nostra piramide sia corretta, cioè alla sua base si trova un poligono regolare e al centro si trova la proiezione della sommità della piramide. Quindi, per calcolare l'area della superficie laterale (Sb), è sufficiente trovare la metà del prodotto tra il perimetro del poligono di base (P) e l'altezza (h) del lato laterale (uguale per tutte le facce) ): Sb = 1/2 P*h. Il perimetro di un poligono si determina sommando le lunghezze di tutti i suoi lati.

La superficie totale di una piramide regolare si trova sommando l'area della sua base con l'area dell'intera superficie laterale.

Esempi

Ad esempio, calcoliamo algebricamente le aree superficiali di diverse piramidi.

Area superficiale di una piramide triangolare

Alla base di una tale piramide c'è un triangolo. Utilizzando la formula So=1/2a*h troviamo l'area della base. Usiamo la stessa formula per trovare l'area di ciascuna faccia della piramide, anch'essa di forma triangolare, e otteniamo 3 aree: S1, S2 e S3. L'area della superficie laterale della piramide è la somma di tutte le aree: Sb = S1+ S2+ S3. Sommando le aree dei lati e della base, otteniamo la superficie totale della piramide desiderata: Sp= So+ Sb.

Area superficiale di una piramide quadrangolare

L'area della superficie laterale è la somma di 4 termini: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, ciascuno dei quali si calcola utilizzando la formula per l'area di un triangolo. E dovrai cercare l'area della base, a seconda della forma del quadrilatero: regolare o irregolare. La superficie totale della piramide si ottiene nuovamente sommando l'area della base e la superficie totale della piramide data.