Движение тела брошенного вертикально формулы. Свободное падение тел

Вы знаете, что при падении любого тела на Землю его скорость увеличивается. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это.

Но только Галилею удалось опытным путем доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы. Для проверки своего предположения Галилей, по преданию, наблюдал падение со знаменитой наклонной Пизанской башни различных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д.). Все эти тела достигали поверхности Земли практически одновременно.

Особенно прост и убедителен опыт с так называемой трубкой Ньютона. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если теперь перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего промелькнет дробинка, за ней кусочки пробки и, наконец, плавно опустится пушинка (рис. 1, а). Но если выкачать из трубки воздух, то все произойдет совершенно иначе: пушинка будет падать, не отставая от дробинки и пробки (рис. 1, б). Значит, ее движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением.

Рис. 1

• Свободным падением называется движение тела только под влиянием притяжения к Земле (без сопротивления воздуха).

Ускорение, сообщаемое всем телам земным шаром, называют ускорением свободного падения . Его модуль мы будем обозначать буквой g . Свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнет падать вниз.

Движение тела по вертикали

• Уравнение проекции скорости на ось 0Y : $\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,$

уравнение движения вдоль оси 0Y : $y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,$

где y 0 - начальная координата тела; υ y - проекция конечной скорости на ось 0Y ; υ 0y - проекция начальной скорости на ось 0Y ; t - время, в течение которого изменяется скорость (с); g y - проекция ускорения свободного падения на ось 0Y .

• Если ось 0Y направить вверх (рис. 2), то g y = –g , и уравнения примут вид

$\begin{array}{c} {\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} -g\cdot t,} \\ {\, y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t-\dfrac{g\cdot t^{2} }{2} =y_{0} -\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g} .} \end{array}$

Рис. 2 Скрытые данные При движении тела вниз

• «тело падает» или «тело упало» - υ 0у = 0.

поверхность Земли , то:

• «тело упало на землю» - h = 0.

При движении тела вверх

• «тело достигло максимальной высоты» - υ у = 0.

Если за начало отсчета принять поверхность Земли , то:

• «тело упало на землю» - h = 0;

• «тело бросили с земли» - h 0 = 0.

• Время подъема тела до максимальной высоты t под равно времени падения с этой высоты в исходную точку t пад, а общее время полета t = 2t под.

• Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх c нулевой высоты (на максимальной высоте υ y = 0)

$h_{\max } =\dfrac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{-2g} =\dfrac{\upsilon _{0y}^{2} }{2g}.$

Движение тела, брошенного горизонтально

Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально. Траекторией является парабола с вершиной в точке бросания (рис. 3).

Рис. 3

Такое движение можно разложить на два:

1) равномерное движение по горизонтали со скоростью υ 0х (a x = 0)

• уравнение проекции скорости : $\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} =\upsilon _{0} $;
• уравнение движения : $x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t$;

2) равноускоренное движение по вертикали с ускорением g и начальной скоростью υ 0у = 0.

Для описания движения вдоль оси 0Y применяются формулы равноускоренного движения по вертикали:

• уравнение проекции скорости : $\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t$;

• уравнение движения : $y=y_{0} +\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g_{y} } $.

• Если ось 0Y направить вверх, то g y = –g , и уравнения примут вид:

$\begin{array}{c} {\upsilon _{y} =-g\cdot t,\, } \\ {y=y_{0} -\dfrac{g\cdot t^{2} }{2} =y_{0} -\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g} .} \end{array}$

• Дальность полета определяется по формуле: $l=\upsilon _{0} \cdot t_{nad} .$

• Скорость тела в любой момент времени t будет равна (рис. 4):

$\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} } ,$

где υ х = υ 0x , υ y = g y t или υ х = υ∙cos α, υ y = υ∙sin α.

Рис. 4

При решении задач на свободное падение

1. Выберите тело отсчета, укажите начальное и конечное положения тела, выберите направление осей 0Y и 0Х .

2. Изобразите тело, укажите направление начальной скорости (если она равна нулю, то направление мгновенной скорости) и направление ускорения свободного падения.

3. Запишите исходные уравнения в проекциях на ось 0Y (и, при необходимости, на ось 0X )

$\begin{array}{c} {0Y:\; \; \; \; \; \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,\; \; \; (1)} \\ {} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,\; \; \; \; (2)} \\ {} \\ {0X:\; \; \; \; \; \upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +g_{x} \cdot t,\; \; \; (3)} \\ {} \\ {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\dfrac{g_{x} \cdot t^{2} }{2} .\; \; \; (4)} \end{array}$

4. Найдите значения проекций каждой величины

x 0 = …, υ x = …, υ 0x = …, g x = …, y 0 = …, υ y = …, υ 0y = …, g y = ….

Примечание . Если ось 0Х направлена горизонтально, то g x = 0.

5. Подставьте полученные значения в уравнения (1) - (4).

6. Решите полученную систему уравнений.

Примечание . По мере наработки навыка решения таких задач, пункт 4 можно будет делать в уме, без записи в тетрадь.

Вопросы.

1. Действует ли сила тяжести на подброшенное вверх тело во время его подъема?

Сила тяжести действует на все тела, независимо от того, подброшено оно вверх или находится в состоянии покоя.

2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело при отсутствии трения? Как меняется при этом скорость движения тела?

3. От чего зависит наибольшая высота подъема брошенного вверх тела в том случае, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь?

Высота подъема зависит от начальной скорости. (Вычисления см. предыдущий вопрос).

4. Что можно сказать о знаках проекций векторов мгновенной скорости тела и ускорения свободного падения при свободном движении этого тела вверх?

При свободном движении тела вверх знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны.

5. Как ставились опыты, изображенные на рисунке 30, и какой вывод из них следует?

Описание опытов см. стр. 58-59. Вывод: Если на тело действует только сила тяжести, то его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.

Упражнения.

1. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля? Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч?

Движение тела, брошенного вертикально вверх

I уровень. Прочитайте текст

Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение, причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

Все формулы для равноускоренного движения применимы для движения тела, брошенного вверх. V0 всегда > 0

Движение тела, брошенного вертикально вверх является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли, то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу https://pandia.ru/text/78/086/images/image002_13.gif" width="151" height="57 src=">

Вблизи поверхности Земли, при условии отсутствия заметного влияния атмосферы скорость тела, брошенного вертикально вверх, изменяется во времени по линейному закону: https://pandia.ru/text/78/086/images/image004_7.gif" width="55" height="28">.

Скорость тела на некоторой высоте h, можно найти по формуле:

https://pandia.ru/text/78/086/images/image006_6.gif" width="65" height="58 src=">

Высота подъема тела за некоторое время, зная конечную скорость

https://pandia.ru/text/78/086/images/image008_5.gif" width="676" height="302 src=">

II I уровень. Решите задачи. Для 9 б. 9а решает из задачника!

1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 18 м/с. Ка­кое перемещение совершит он за 3 с?

2. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх со скоро­стью 25 м/с, поражает цель через 2 с. Какую скорость имела стрела к моменту достижения цели?

3. Из пружинного пистолета выстрелили вертикально вверх шариком, который поднялся на высоту 4,9 м. С какой скоро­стью вылетел шарик из пистолета?

4. Мальчик бросил вертикально вверх мячик и поймал его через 2 с. На какую высоту поднялся мячик и какова его на­чальная скорость?

5. С какой начальной скоростью нужно бросить тело верти­кально вверх, чтобы через 10 с оно двигалось со скоростью 20 м/с вниз?

6. «Шалтай-Болтай сидел на стене (высотой 20 м),

Шалтай-Болтай свалился во сне.

Нужна ли вся королевская конница, вся королевская рать,

чтобы Шалтая, чтобы Болтая, Шалтая-Болтая,

Болтая-Шалтая собрать»

(если он разбивается только при скорости 23 м/с?)

Так нужна ли вся королевская конница?

7. Теперь гром сабель, шпор, султан,
И камер-юнкерский кафтан
Узорчатый - красавицам прельщенье,
Не то ли ж было искушенье,
Когда из гвардии, иные от двора
Сюда на время приезжали!
Кричали женщины: ура!
И в воздух чепчики бросали.

«Горе от ума» .

Девица Екатерина кидала свой чепчик вверх со скоростью 10 м/с. При этом она стояла на балконе 2 этажа (на высоте 5 метров). Сколько времени чепчик будет находиться в полете, если упадет он под ноги храброму гусару Никите Петровичу (естественно стоящему под балконом на улице).

1588. Как определить ускорение свободного падения, имея в своем распоряжении секундомер, стальной шарик и шкалу высотой до 3 м?

1589. Какова глубина шахты, если свободно падающий в нее камень достигает дна через 2 с после начала падения.

1590. Высота Останкинской телебашни 532 м. С ее самой верхней точки уронили кирпич. За какое время он упадет на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.

1591. Здание Московского государственного университета на Воробьевых горах имеет высоту 240 м. С верхней части его шпиля оторвался кусок облицовки и свободно падает вниз. Через какое время он достигнет земли? Сопротивление воздуха не учитывать.

1592. Камень свободно падает с обрыва. Какой путь он пройдет за восьмую секунду с начала падения?

1593. Кирпич свободно падает с крыши здания высотой 122,5 м. Какой путь пройдет кирпич за последнюю секунду своего падения?

1594. Определите глубину колодца, если камень, упавший в него, коснулся дна колодца через 1 с.

1595. Со стола высотой 80 см на пол падает карандаш. Определить время падения.

1596. Тело падает с высоты 30 м. Какое расстояние оно проходит в течение последней секунды своего падения?

1597. Два тела падают с разной высоты, но достигают земли в один и тот же момент времени; при этом первое тело падает 1 с, а второе - 2 с. На каком расстоянии от земли было второе тело, когда первое начало падать?

1598. Докажите, что время, в течение которого движущееся вертикально вверх тело достигает наибольшей высоты h, равно времени, в течение которого тело падает с этой высоты.

1599. Тело движется вертикально вниз с начальной скоростью. На какие простейшие движения можно разложить такое движение тела? Напишите формулы для скорости и пройденного пути этого движения.

1600. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/с. Вычислите, на какой высоте будет тело через 2 с, 6 с, 8 с и 9 с, считая от начала движения. Ответы объясните. Для упрощения расчетов принять g равным 10 м/с2.

1601. С какой скоростью надо бросить тело вертикально вверх, чтобы оно вернулось назад через 10 с?

1602. Стрела пущена вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд она упадет обратно на землю? Для упрощения расчетов принять g равным 10 м/с2.

1603. Аэростат равномерно поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. К нему на веревке подвешен груз. На высоте 217 м веревка обрывается. Через сколько секунд груз упадет на землю? Принять g равным 10 м/с2.

1604. Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Через 3 с после начала движения первого камня бросили также вверх второй с начальной скоростью 45 м/с. На какой высоте камни встретятся? Принять g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1605. Велосипедист поднимается вверх по уклону длиной 100 м. Скорость в начале подъема 18 км/ч, а в конце 3 м/с. Предполагая движение равнозамедленным, определите, как долго длился подъем.

1606. Санки движутся вниз по горе равноускоренно с ускорением 0,8 м/с2. Длина горы 40 м. Скатившись с горы, санки продолжают двигаться равнозамедленно и останавливаются через 8 с….