Построить график y cos x. Тригонометрические функции
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Функции у= sin x и y = cos x и их графики (сопровождающая презентация к уроку) КОРПУСОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА учитель математики МБОУ ЛСОШ № 2 им. Н.Ф.Струченкова Брянская обл.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Числовые функции, заданные формулами у= sin x и y = cos x , называют соответственно синусом и косинусом. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Функция y=sin x , график и свойства. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Синусоида у 1 - π/2 π 2 π 3 π х -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
у = sin(x+a) ПРИМЕР y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
у = sin x + a 1) y = sin x + 1 ; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Функция y = cos x , её свойства и график. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
y = cos x у 1 - π/2 π 2 π 3 π х - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 График функции у= cos x получен при смещении синусоиды влево на π/2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Построение графиков y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.
Нахождение периода тригонометрических функций Если y=f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т₁, то функция y=A· f(kx+b), где А, k и b постоянные, а k ≠ 0 , также периодична с периодом Примеры: 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π
Построение графиков периодических функций 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Дана функция у= f(x) . Построить её график, если известен период. y x 1 1 3)T= 3
Построить график функции: y=2cos(2x- π/3)-0,5 и найти область определения и область значений функции 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. у х 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график
Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).
Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.
Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции
Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x на влево (рис.2).
Свойства функции
1) Область определения:
2) Область значений:
3) Функция четная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума:
12) Минимум функции: .
13) Точки максимума:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тема урока: “Функция у=cosx”
Урок №1
Цели урока: Ознакомить учащихся со свойствами функции
Задачи урока.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Ход урока
№ | Этап урока | Демонстрация слайдов | Время |
1 | Организационный момент. Приветствие | ||
2 | Объявление темы и цели урока | ||
3 | Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений. |
Фронтальный опрос |
|
4 | Изложение нового материала
Задача на построение графика у =cosx на отрезке Обсуждение свойств функции у =cosx на отрезке Задача на построение эскиза графика функции у = cosх Обсуждение свойств функции у = cosx |
Занесение свойств в таблицу |
|
5 | Решение задач по учебнику №708, №709 |
Решение проходит в сопровождении cлайда №4 | |
6 | Задача на построение графика
функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси
абсцисс.
Обсуждение свойств функции |
||
7 | Самостоятельная работа по учебнику | №710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3) |
|
Подведение итогов.
Итоги урока. Выставление оценок. |
|||
9 | Домашнее задание | §40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4).
Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой
функции. Дополнительно №717 (1) |
Цель урока: Ознакомить учащихся со свойствами функцииу=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2
3. Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений.
- Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
- Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а следовательно ее абсциссу и ординату, т.е. косинус и синус числа х: у = cosx и у = sinx, область определения которых – все действительные числа.
Затем учащиеся отвечают на вопросы:
- При каких значениях х функция у=cosx принимает значение, равное 0? 1? -1?
- Может ли функция у=cosx принимать значение больше 1, меньше -1?
- При каких значениях х функция у=cosx принимает наибольшее (наименьшее) значение?
- Каково множество значений функции у=cosx?
Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной окружности.
Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:
1) Какой знак имеет значение функции у=cosx, если х=, х=,
0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?
2) Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны.
3) Можно ли назвать все значения числа , косинус которых положителен, отрицателен?
4) Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны?
5) Четная или нечетная функция у= cosx.
6) Чему равен период этой функции?
4. Изложение нового материала.
Обобщение и конкретизация знаний полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке, затем на отрезке , а затем на всей числовой прямой. Объяснение сопровождается слайдом №3.
Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у= cosx по точкам (0;1), (;0),
(:-1), (;0), (;1) и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу.
Проверяем с помощью слайда №4.
(На этом этапе выдаются опорные конспекты (приложение 1))
5. Закрепление первичных знаний.
С помощью эскиза графика функции у=cosx учащиеся отвечают на вопросы №708, с помощью таблицы свойств функции у=cosх отвечают на вопросы №709
6. Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.
1. Слайд №5, 6
В ходе беседы обсуждаются свойства этих функций.
7. Самостоятельная работа по учебнику
№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cosx возрастала, а на другом убывала:
Убывает; - возрастает
Убывает; - возрастает
Используя свойство возрастания или убывания функции у = cosx, сравнить числа:
На отрезке функция у = cosx убывает; , следовательно, .
На отрезке функция у = cosx возрастает;
<, следовательно, cos < cos
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку :
1) cosx = х = ±+2n, n Z
Ответ: ; ; .
2) cosx = - х = ±
8. Подведение итогов.
Выставление оценок.
На уроке научились строить график функции у = cosx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = cosx.
9. Домашнее задание.
§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой функции.
Дополнительно №717(1).
Тема: “Функция у=cosx”
Урок №2
Цели урока: Повторить правила построения графика функцииу=cosx, научиться применять приемы преобразования графика, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
Задачи урока.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx при различных преобразованиях, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления.
Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
Оснащене: мультимедийный проектор, экран, операционная система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, программа MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.
Ход урока
№ | Этап урока | Демонстрация слайдов | Время |
1 | Организационный момент. Приветствие | 1 | |
2 | Объявление темы и цели урока | 2 | |
3 | Проверка домашнего задания | №717(1), Слайд №7 |
5 |
4 | Изложение нового материала
Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и
0 Задача на построение графика путем сжатия и
растяжения к ори ОУ Обсуждение свойств функции у = cos(k·x) при k>1 и
0 |
Слайд №8, 9 |
12 |
5 | Закрепление первичных знаний.
Решение
задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1) |
№717(2) учебник стр. 208. При решении №715(1), №716(1) использовать построенный график функции у = cos2x. Слайд №10 | 5 |
6 | Задача на построение графика
функции симметричного относительно оси абсцисс.
1. Организационный момент. Приветствие. 2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2. 3. Проверка домашнего задания 4. Изложение нового материала 1. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ. Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и
0 Слайд № 8 2. Задача на построение графика путем сжатия и
растяжения к оси ОУ. Обсуждение свойств функции у = cos(kx) при k>1 и
0 Слайд № 9 5. Закрепление первичных знаний Решение задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1) Задание №715(1) №716(1) проверяем с помощью слайда
№10 6. Задача на построение графика функции
симметричного относительно оси абсцисс Обсуждение свойств функции.
Слайд №11
(использовать опорный конспект (приложение
1)) 7. Самостоятельная работа Решение тестовых задач.
(Половина учащихся
решает тесты в XL (приложение 2), за
компьютерами,вторая половина на раздаточном
материале (приложение 3). Затем
учащиеся меняются местами.) 8. Итоги урока. В результате изучения темы учащиеся научились
строить график функции у = cosх, читать свойства
функции, строить графики функции используя
различные преобразования, читать свойства
графиков с преобразованиями, решать простейшие
задачи используя графики и свойства функции у =
cosх. Выставление оценок. 9. Домашнее задание. §40 №717(3), №713(4), №715(4), №716(2). Дополнительно №719(2)
(Проверка слайд №13) В начале следующего урока можно предложить
учащимся выполнить работу по построению
графиков на готовых раздаточных материалах ( |
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = -1 | ||
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.