Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании. Подведение функции под знак дифференциала

Итак, продолжаем наше знакомство с основными приёмами интегрирования. В прошлый раз мы научились с вами пользоваться и рассмотрели самые простые самых простых функций. Теперь настала пора двигаться дальше и понемногу расширять наши возможности.

Итак, метод подведения функции под знак дифференциала – в чём его суть? Вообще говоря, данный метод не является самостоятельным методом интегрирования. Это, скорее, частный случай более общего и мощного метода – метода замены переменной . Или метода подстановки . Почему? А потому, что сам процесс интегрирования подведением под дифференциал всё равно сопровождается последующим введением новой переменной. Звучит пока малопонятно, но на примерах всё куда яснее будет.

Что нам потребуется в сегодняшнем материале:

1) Правило раскрытия дифференциала любой функции f (x ). Именно само правило. Строгое определение, что же такое дифференциал, нам здесь не нужно. А правило - вот:

d(f(x)) = f ’(x )dx

Всё просто, как в сказке: считаем производную функции f’(x) и помножаем её на dx (дифференциал аргумента).

2) Таблица производных. Да-да! Я серьёзно. :)

3) Ну, логично. Раз уж мы здесь вовсю интегрируем.) Это тема прошлых двух уроков.

4) Правило дифференцирования сложной функции.

Вот, собственно, и всё.

Когда чаще всего применяется данный метод? Чаще всего он применяется в двух типовых ситуациях:

Случай 1 - Сложная функция от линейного аргумента

Подынтегральная функция имеет вид:

f(kx + b)

В аргументе – линейная конструкция kx + b . Или, по-другому, под интегралом стоит какая-то сложная функция от линейного аргумента kx+b.

Например:

И тому подобные функции. Интегралы от таких функций очень легко сводятся к табличным и берутся в уме буквально через пару-тройку успешно решённых примеров. И мы порешаем.)

Случай 2 - Сложная функция от произвольного аргумента

В данном случае подынтегральная функция представляет собой произведение:

f (g (x ))· g ’(x )

Иными словами, под интегралом тусуется произведение некой сложной функции f (g (x )) и производной от её внутреннего аргумента g ’(x ) . Или интеграл легко сводится к такому виду. Это более сложный случай. О нём - во второй части урока.

Чтобы не томить народ долгими ожиданиями и разглагольствованиями, сразу приступаем к примерам на случай 1 . Будем интегрировать те функции, что я выписал выше. По порядочку.

Как подвести под дифференциал линейную функцию?

И сразу пример в студию.)

Пример 1

Лезем в таблицу интегралов и находим похожую формулу (это 4-я группа):

Всё бы хорошо, но… есть проблемка. :) В таблице интегралов в показателе экспоненты e x стоит просто икс . У нас же в показателе тусуется 3х. Три икс. Не катит… Не годится табличная формула для прямого применения: тройка всё испортила. Доцент! А, доцент! Что делать-то будем? (с)

Чтобы справиться с этим примером, нам придётся "подогнать" данный интеграл под табличную формулу. И сейчас я подробно покажу, как именно происходит подгонка. Для этого давайте-ка вернёмся в самое начала раздела и вспомним самую общую запись неопределённого интеграла. В общем виде. Вот она:

Так вот. Весь фокус состоит в том, что эта самая общая запись неопределённого интеграла будет справедлива не только для переменной икс , но и для любой другой буквы – y, z, t или даже целого сложного выражения . Какого хотим. Важно, чтобы соблюдалось одно единственное требование: в скобочках подынтегральной функции f(…), первообразной функции F(…) и под дифференциалом d(…) стояли одинаковые выражения . Во всех трёх местах! Это важно.

Например:

И так далее.) Какая бы буковка и какое бы сложное выражение ни стояли в этих трёх местах, табличная формула интегрирования всё равно сработает! И это неудивительно: любое сложное выражение мы имеем полное право обозначить одной буквой. И работать целиком со всей конструкцией как с одной буквой . А таблице по барабану, какая там буква стоит – икс, игрек, зэт, тэ… Для неё все буквы равноправны.) Поэтому сама конструкция во всех скобочках может при этом быть совершенно любой. Лишь бы одной и той же. )

Поэтому, для нашей конкретной табличной формулы ∫ e x dx = e x + C , мы можем записать:

А теперь порассуждаем. Для того чтобы в нашем примере у нас появилось право воспользоваться таблицей, нам надо добиться того, чтобы под интегралом образовалась вот такая конструкция:

И в показателе и под дифференциалом должно стоять выражение 3х . А теперь посмотрим ещё раз на наш пример:

С показателем и так всё как надо, там у нас 3х. По условию.) А вот под дифференциалом пока что стоит просто х . Непорядок! Как же нам из dx сделать d(3x) ?

Для достижения этой благородной цели нам надо как-то связать между собой два дифференциала - новый d(3х) и старый dx . В данном случае это очень легко сделать. Если, конечно, знать, как раскрывается дифференциал.)

Получим:

Отлично! Значит, связь между старым и новым дифференциалами будет вот такой:

Dx = d(3x)/3.

Что? Не помните, как раскрывать дифференциал? Это вопрос к первому семестру. К дифференциальному исчислению.)

А теперь что делаем? Правильно! Подставляем вместо старого дифференциала dx новое выражение d(3x)/3 в наш пример. Тройка в знаменателе нам уже не помеха: мы её того… наружу. За знак интеграла.)

Что получим:

Вот и отлично. В показателе экспоненты и под дифференциалом образовалось совершенно одинаковое выражение 3х. Чего мы, как раз, так усиленно добивались.) И с выражением 3х теперь можно работать целиком, как с одной новой буквой . Пусть t, например. Тогда после замены выражения 3x на t наш интеграл станет выглядеть вот так:

А новый интеграл по переменной t - уже так нужный нам табличный! И теперь можно с чистой совестью воспользоваться табличной формулой и твёрдой рукой записать:

Но расслабляться рано. Это пока ещё не ответ: нам икс нужен, а не t. Осталось лишь вспомнить, что t = 3x и выполнить обратную замену . И теперь наш ответ полностью готов! Вот он:

Вот всё и получилось.) Ну что, проверим? А вдруг, напортачили где-то? Дифференцируем результат:

Нет. Всё гуд.)

Пример 2

В таблице интегралов функции cos (x +4) нету. Есть просто косинус икс. Но! Если мы как-то организуем выражение х+4 и под дифференциалом d ( x +4) , то выйдем на табличный интеграл:

∫ cos x dx = sin x + C

Итак, связываем наш требуемый новый дифференциал d(x+4) со старым dx:

d (x +4) = (х+4)’· dx = 1· dx = dx

Ух ты, как хорошо! Оказывается, наш новый дифференциал d(x+4) это то же самое, что и просто dx! И безо всяких дополнительных коэффициентов. Халява сплошная!)

Да.) Так и есть. Смело заменяем dx на d(x+4), работаем со скобкой (x+4) как с новой буквой и с чистой совестью пользуемся таблицей.

В этот раз решение запишу чуть компактнее:

Проверяем результат интегрирования обратным дифференцированием:

(sin(x+4)+C)’ = (sin(x+4))’ + C’ = cos(x+4)∙(x+4)’+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Всё в шоколаде.)

Ну как, хлопотно? Согласен, хлопотно. Каждый раз выписывать дифференциалы, связывать один с другим, выражать старый дифференциал через новый… Не отчаивайтесь! Есть хорошая новость! Так обычно и не делают. :) Я так подробно расписал решение чисто для понимания сути алгоритма. На практике же поступают гораздо проще. Давайте ещё разок выпишем наши связи между старыми и новыми дифференциалами из обоих примеров:

Что можно заметить из этих записей? Два очень важных факта!

Запоминаем:

1) Любой ненулевой числовой коэффициент k (k≠0) можно внести под дифференциал, для компенсации разделив полученный результат на этот коэффициент:

2) Любое постоянное слагаемое b можно внести под дифференциал без последствий:

Строго доказывать данные факты не буду. Ибо просто это. Из примеров и так всё понятно, надеюсь.) Если хотите строгости – ради бога. Упрощайте правые части обоих равенств, раскрывая дифференциалы. И там и там получите просто dx. :)

Данные два факта можно легко объединить в один, более универсальный.

Любую линейную конструкцию kx+b можно внести под дифференциал dx по правилу:

Подобная процедура носит название подведение функции под знак дифференциала . В данном случае под дифференциал подводится линейная конструкция kx + b . Мы искусственно превращаем неудобный нам дифференциал dx в удобный d (kx + b ) .

И зачем нам такие ужасающие возможности - спросите вы? Просто так – незачем. Но зато с помощью такого искусного манёвра очень многие нетабличные интегралы теперь будут щёлкаться буквально в уме. Как орешки.)

Смотрите!

Пример 3

Этот пример будем сводить к табличному интегралу от степенной функции:

Для этого подведём под дифференциал нашу линейную конструкцию 2х+1, стоящую под квадратом. То есть, вместо dx пишем d(2x+1). Так нам надо. Но математике надо, чтобы от наших действий суть примера не изменилась! Поэтому идём на компромисс и, согласно нашему правилу, домножаем дополнительно всю конструкцию на коэффициент 1/2 (у нас k = 2, поэтому 1/k = 1/2).

Вот так:

И теперь считаем:

Готово дело.) А вот тут у некоторых читателей может возникнуть вопрос. Очень хороший вопрос, между прочим!

Мы ведь могли и не подводить выражение 2х+1 под дифференциал, не вводить никакую новую переменную, а просто взять и тупо возвести скобки в квадрат по школьной формуле квадрата суммы

(2х+1) 2 = 4х 2 +4х+1 ,

После чего почленно (в уме!) проинтегрировать каждое слагаемое. Можно так делать? Конечно! А почему – нет? Попробуйте! И сравните полученные результаты. Будет вам там сюрприз! Подробности – в конце урока. :)

А мы пока движемся дальше. Оставшиеся примеры распишу уже без особых комментариев… Подводим линейный аргумент kx+b под дифференциал, а образовавшийся коэффициент 1/k выносим за знак интеграла. И срабатываем по таблице. Окончательные ответы выделены жирным шрифтом.

Пример 4

Легко!

Пример 5

Без проблем!

И, наконец, последний пример.

Пример 6

И тут всё проще простого!

Ну как? Понравилось? И теперь такие примеры вы можете щёлкать в уме! Заманчивая возможность, правда?) Более того, сами подобные интегралы частенько бывают отдельными слагаемыми в более накрученных примерах.

Кстати сказать, после определённого навыка работы с таблицей первообразных, со временем полностью отпадает необходимость вводить новую промежуточную переменную t. За ненадобностью.

Например, очень скоро, вы сразу в уме на подобные примеры будете давать готовый ответ:

И даже в один присест расправляться с монстрами типа:

А вы попробуйте вычислить данный интеграл "в лоб", через возведение в 1000-ю степень по формуле бинома Ньютона! Придётся почленно интегрировать 1001 слагаемое, да… А вот с помощью подведения под дифференциал - в одну строчку!

Так, ну хорошо! С линейной функцией всё предельно ясно. Как именно подводить её под дифференциал – тоже. И тут я слышу закономерный вопрос: а только ли линейную функцию можно подвести под дифференциал?

Разумеется, нет! Любую функцию f(x) можно подвести под дифференциал! Ту, которая удобна в конкретном примере. А уж какая там удобна – от конкретного примера зависит, да… Просто на примере линейной функции очень просто демонстрировать саму процедуру подведения. На пальцах, что называется.) А теперь мы плавненько подходим к более общему случаю 2 .

Как подвести под дифференциал любую произвольную функцию?

Речь пойдёт о случае, когда подынтегральная функция имеет вот такой вид:

f (g (x ))· g ’(x ) .

Или, что то же самое, подынтегральное выражение имеет вид:

f (g (x ))· g ’(x )dx

Ничего особенного. Просто dx приписал.)

Одним словом, речь пойдёт об интегралах вида:

Не пугаемся всяких штрихов и скобочек! Сейчас всё куда яснее станет.)

В чём здесь суть. Из исходной подынтегральной функции можно выделить сложный аргумент g (x ) и его производную g ’(x ) . Но не просто выделить, а расписать именно в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) от этого самого аргумента на его производную g ’(x ) . Что и выражается записью:

f (g (x ))· g ’(x )

Перефразируем теперь всё в терминах дифференциала: подынтегральное выражение можно представить в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) и дифференциала её аргумента g ’(x ) dx .

И тогда, стало быть, всё наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:

Говоря по-русски, мы вносим промежуточную функцию g (x ) под знак дифференциала . Было dx, а стало d(g(x)). И зачем нам эти метаморфозы? А затем, что, если сейчас ввести новую переменную t = g(x) , то наш интеграл существенно упростится:

И, если новый интеграл по новой переменной t вдруг (!) окажется табличным, то всё в шоколаде. Празднуем победу!)

"Многа букафф", да. Но на примерах сейчас всё куда понятнее будет. :) Итак, вторая часть пьесы!

Пример 7

Это классика жанра. Под интегралом дробь. Напрямую таблицей не воспользуешься, никакими школьными формулами ничего не преобразуешь. Только подведение под дифференциал и спасает, да.) Для этого распишем нашу подынтегральную дробь в виде произведения. Хотя бы вот такого:

А теперь разбираемся. С логарифмом в квадрате всё ясно. Он и в Африке логарифм… А что такое 1/x? Вспоминаем нашу незабвенную таблицу производных… Да! Это производная логарифма!

Вставляем теперь в подынтегральную функцию вместо 1/х выражение (ln x) ’ :

Вот мы и представили исходную подынтегральную функцию в нужном нам виде f (g (x ))· g ’(x ) . Превратили её в произведение некой функции от логарифма f(ln x) и производной от этого самого логарифма (ln x) ’ . А именно - в произведение ln 2 x и (ln x) ’.

А теперь давайте подробно расшифруем, какие же именно действия у нас скрываются за каждой буковкой.

Ну, с функцией g(x) всё ясно. Это логарифм: g(x) = ln x .

А что же скрывается под буквой f? Не всех осеняет сразу… А под буквой f у нас скрывается действие - возведение в квадрат :

Вот и вся расшифровка.)

А всё подынтегральное выражение можно теперь переписать вот так:

И какую же функцию мы внесли под дифференциал в данном примере? В данном примере мы внесли под дифференциал логарифмическую функцию ln x!

Готово дело.) Для того чтобы убедиться в правильности результата, всегда можно (и нужно) продифференцировать ответ:

Ура! Всё ОК.)

А теперь обратите внимание, как именно мы дифференцируем окончательный ответ всех примеров этого урока. Неужели до сих пор не уловили закономерность? Да! Как сложную функцию! Оно и естественно: дифференцирование сложной функции и подведение функции под знак дифференциала – это два взаимно обратных действия. :)

Это был довольно несложный пример. Чтобы разобраться, что к чему. Теперь пример посолиднее.)

Пример 8

Опять же, впрямую ничего не решается. Попробуем метод подведения под дифференциал с последующей заменой. Вопрос – что подводить и заменять будем? А вот тут уже задачка.)

Нам надо попробовать подынтегральную функцию x·cos(x 2 +1) как-то представить в виде произведения функции от чего-то на производную этого самого чего-то :

Ну, произведение у нас и так уже есть - икса и косинуса.) Чутьё подсказывает, что функцией g(x), которую мы и будем подводить под дифференциал, будет выражение x 2 +1 , которое сидит внутри косинуса. Прямо таки напрашивается:

Всё чётко. Внутренняя функция g - это x 2 +1, а внешняя f - это косинус.

Хорошо. А теперь давайте проверим, не связан ли как-то оставшийся множитель x с производной выражения x 2 +1 , которое мы выбрали в качестве кандидата на подведение под венец дифференциал.

Дифференцируем:

Да! Связь налицо! Если 2x = (x 2 +1)’ , то для одинарного икса мы можем записать:

Или, в виде дифференциалов:

Всё. Кроме x 2 +1, никаких других выражений с иксом у нас больше нигде в примере нет. Ни в подынтегральной функции, ни под знаком дифференциала. Чего мы и добивались.

Переписываем теперь наш пример с учётом этого факта, заменяем выражение x 2 +1 новой буквой и – вперёд! Правда, это… Коэффициент 1/2 ещё вылез… Не беда, мы его наружу, наружу! :)

Вот и всё. Как мы видим, в предыдущем примере под дифференциал вносилась логарифмическая функция, а здесь - квадратичная.

Рассмотрим теперь более экзотический пример.

Пример 9

На вид ужас-ужас! Однако, горевать рано. Самое время вспомнить нашу горячо любимую таблицу производных.) А чуть конкретнее – производную арксинуса.

Вот она:

Тогда, если подвести этот самый арксинус под дифференциал, то этот злой пример решается в одну строчку:

И все дела!

А теперь, давайте на данном примере проанализируем весь наш увлекательный процесс подведения функции арксинус под дифференциал. Что нам пришлось сделать, чтобы успешно справиться с этой задачей? Нам пришлось опознать в выражении

производную другого выражения – арксинуса! Иными словами, сначала вспомнить (по таблице производных), что

И затем сработать справа налево. Вот так:

А вот это уже посложнее, чем простое дифференцирование, согласитесь! Точно так же, как и, например, извлекать квадратный корень сложнее, чем возводить в квадрат.) Нам приходится подбирать нужную функцию. По таблице производных.

Поэтому, помимо прямого дифференцирования, в интегрировании нам ещё надо будет постоянно проводить обратную операцию - распознавать в функциях производные других функций . Здесь чёткого алгоритма нет. Тут практика рулит.) Рецепт здесь один – решать примеры! Как можно больше. Прорешаете хотя бы 20-30 примеров – и такие замены вы будете замечать и проделывать достаточно быстро и легко. На автомате, я бы даже сказал. И обязательно надо знать таблицу производных! Наизусть.)

Я даже не поленюсь и самые популярные конструкции сведу в отдельную таблицу дифференциалов .

Этой небольшой сводной таблички уже вполне достаточно, чтобы успешно расправляться с большей частью примеров, решаемых методом подведения функции под знак дифференциала! Имеет смысл разобраться. :)

Скажу отдельно, что конструкция dx/x и соответствующий ей табличный интеграл ln|x| – одни из самых популярных в интегрировании!

К этой табличной формуле с логарифмом сводятся все интегралы от дробей, числитель которых является производной знаменателя . Смотрите сами:

Например, даже безо всякой замены, по этому правилу можно в одну строчку проинтегрировать тангенс, к примеру. Кто-то тут как-то спрашивал про тангенс? Пожалуйста!

И даже такие гиганты тоже интегрируются в одну строчку!

Забавно, правда? :)

Возможно, у особо глазастых возник вопрос, почему в первых трёх случаях я под логарифмом написал модуль, а в последнем случае – не написал?

Ответ: выражение e x +1 , стоящее под логарифмом в последнем примере, положительно при любом действительном x . Поэтому логарифм от выражения e x +1 всегда определён, и в данном случае вместо модуля можно использовать обычные скобки. :)

А зачем вообще под логарифмом в табличном интеграле стоит модуль? Ведь, в таблице производных у логарифма никакого модуля нету и при дифференцировании мы спокойненько пишем:

(ln x)’ = 1/х

А при интегрировании функции 1/x ещё и модуль зачем-то пишем…

На этот вопрос отвечу позже. В уроках, посвящённых определённому интегралу . Связан этот модуль с областью определения первообразной .

Заметьте: мы, как фокусники в цирке, по правде говоря, просто осуществляем какой-то набор махинаций с функциями, превращая их друг в друга по некой табличке. :) А с областью определения пока что вообще никак не паримся. И, по правде говоря, зря. Ведь мы работаем всё-таки с функциями! А область определения – важнейшая часть любой функции, между прочим! :) В том числе и тех функций, с которыми мы здесь работаем – подынтегральной f(x) и первообразной F(x) . Так что про область определения мы ещё вспомним. В специальном уроке.) Терпение, друзья!

Вот мы и рассмотрели с вами типовые примеры интегралов, решаемых подведением функции под знак дифференциала.) Сложно? Поначалу - да. Но после определённой тренировки и выработки навыка такие интегралы вам будут казаться одними из самых простых!

А теперь – обещанный сюрприз! :)

Давайте вновь вернёмся к примеру №3 . Там, подводя выражение 2х+1 под дифференциал, мы получили вот такой ответ:

Это правильный ответ. Продифференцируйте на бумажке, как сложную функцию, и убедитесь сами. :)

А теперь рассмотрим другой способ решения этого же примера. Не будем ничего подводить под дифференциал, а просто тупо раскроем квадрат суммы и почленно проинтегрируем каждое слагаемое. Имеем полное право!

Получим:

И это тоже правильный ответ!

Вопрос: первый и второй ответы к одному и тому же интегралу – одинаковы или различны?

Ведь, по логике, ответы к одному и тому же примеру, полученные двумя разными способами, должны совпадать, не так ли? Сейчас узнаем! Преобразуем первый результат, раскрыв куб суммы по формуле сокращённого умножения (a + b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 + b 3 .

Что получим:

А теперь сравниваем оба результата:

И… что-то тут не так! Откуда же в первом результате взялась "лишняя" дробь 1/6? Получается, что к одному и тому же интегралу получены два разных ответа!

Парадокс? Мистика?

Спокойствие! Разгадка тайны кроется в . Вспоминаем самый первый урок по интегрированию. :) Там зачем-то приведена оч-чень важная фраза: две первообразные одной и той же функции F 1 ( x ) и F 2 ( x ) отличаются друг от друга на константу.

А теперь вновь всматриваемся в наши результаты. И... видим, что в нашем случае так и есть: полученные двумя разными путями ответы как раз и отличаются на константу. На одну шестую. :)

F 1 (x) – F 2 (x) = 1/6

Вот и весь секрет. Так что никакого противоречия нет. :)

А его вообще можно взять аж... тремя различными способами! Не верите? Смотрите cами! :)

Способ №1 . Синус двойного угла не трогаем, а просто подводим аргумент 2x под дифференциал (как, собственно, уже делали в процессе разбора):

Способ №2 . Раскрываем синус двойного угла, под дифференциал подводим sin x :

Способ №3 . Снова раскрываем синус двойного угла, но под дифференциал подводим cos x:

А теперь дифференцируем все три ответа и удивляемся дальше:

Чудеса, да и только! Получилось три разных ответа! Причём в этот раз даже внешне не похожих друг на друга. А производная - одна и та же! :) Неужели дело опять в интегральной константе, и каждая из трёх функций отличается от другой на константу? Да! Как это ни странно, но это именно так.) А вы поисследуйте эти три функции самостоятельно! Не сочтите за труд. :) Преобразуйте каждую функцию к одному виду - либо к sin 2 x , либо к cos 2 x . И да помогут вам школьные формулы тригонометрии! :)

К чему я рассмотрел эти сюрпризы и вообще затеял все эти светские беседы про интегральную константу?

А дело вот в чём. Как вы видите, даже небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, да... Но фишка в том, что от этого ответ не перестаёт быть правильным! И, если в сборнике задач вы, вдруг, увидите ответ, не совпадающий с вашим, то огорчаться рано. Ибо этот факт вовсе не означает, что ваш ответ неверен! Возможно, что вы просто пришли к ответу иным путём, чем предполагал автор примера. Так бывает.) А убедиться в правильности ответа всегда поможет самая надёжная проверка, основанная на . Какая? Правильно! Дифференцирование окончательного ответа! Получили подынтегральную функцию - значит, всё ОК.

Ну как, прочувствовали теперь, насколько важен значок dx под интегралом? Во многих примерах только он и спасает, да. Мощная штука! Так что теперь не пренебрегаем им! :)

А теперь – тренируемся! Поскольку тема не самая простая, то и примеров для тренировки в этот раз будет больше обычного.

Методом подведения функции под знак дифференциала найти неопределённые интегралы:

Ответов в этот раз давать не буду. Так будет неинтересно. :) Не ленитесь дифференцировать результат! Получили подынтегральную функцию – ОК. Нет – ищите, где накосячили. Все примеры очень простые и решаются в одну (максимум две) строчки. Кому позарез нужны ответы, все примеры взяты из сборника задач по матанализу Г.Н. Бермана. Скачивайте, ищите свой пример, сверяйтесь. :) Успехов!

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала ;
– Собственно замена переменной .

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .

Пример 2

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:


Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл $\int g(x) \; dx$. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку $u=\varphi(x)$, которая сведёт наш интеграл $\int g(x) \; dx$ к какому-либо табличному интегралу $\int f(u) \; du=F(u)+C$. После применения формулы $\int f(u) \; du=F(u)+C$ нам останется только вернуть обратно переменную $x$. Формально это можно записать так:

$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Проблема в том, как выбрать такую подстановку $u$. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций , а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов . Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если $y=f(x)$, то:

\begin{equation}dy=y"dx\end{equation}

Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть $y=x+C$, где $C$ - некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо $y$ выражение $x+C$, получим следующее:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Так как $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, то указанная выше формула станет такой:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Запишем полученный результат отдельно, т.е.

\begin{equation}dx=d(x+C)\end{equation}

Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ и так далее.

Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть $y=Cx$, где $C$, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение $Cx$ вместо $y$:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Так как $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, то записанная выше формула $d(Cx)=(Cx)"dx$ станет такой: $d(Cx)=Cdx$. Если разделить обе части этой формулы на $C$ (при условии $C\neq 0$), то получим $\frac{d(Cx)}{C}=dx$. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:

\begin{equation}dx=\frac{1}{C}\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end{equation}

Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, $dx=\frac{1}{5} d(5x)$, $dx=-\frac{1}{19} d(-19x)$.

В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.

Замечание относительно формул

В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов , которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст "используем формулу №1", то означает он буквально следующее "используем формулу №1, расположенную на этой странице ". Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: "используем формулу №1 из таблицы интегралов".

И ещё одно небольшое примечание

Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и . Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.

Пример №1

Найти $\int \frac{dx}{x+4}$.

Если мы обратимся к , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int \frac{dx}{x+4}$. Наиболее близка к этому интегралу формула №2 таблицы интегралов, т.е. $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Проблема в следующем: формула $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$ предполагает, что в интеграле $\int \frac{du}{u}$ выражения в знаменателе и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int \frac{dx}{x+4}$ под дифференциалом находится буква $x$, а в знаменателе - выражение $x+4$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $x+4$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $x+4$ вместо $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Так как $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, то равенство $ d(x+4)=(x+4)"dx $ станет таким:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Итак, $dx=d(x+4)$. Честно говоря, этот же результат можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $4$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=d(x+4)$ подробно. Но что даёт нам равенство $dx=d(x+4)$?

А даёт оно нам следующий вывод: если $dx=d(x+4)$, то в интеграл $\int \frac{dx}{x+4}$ вместо $dx$ можно подставить $d(x+4)$, причём интеграл от этого не изменится:

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}$$

Сделали мы это преобразование лишь для того, чтобы полученный интеграл стал полностью соответствовать табличной формуле $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C$. Чтобы такое соответствие стало совсем явным, заменим выражение $x+4$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=x+4$):

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.$$

По сути, задача уже решена. Осталось лишь вернуть переменную $x$. Вспоминая, что $u=x+4$, получим: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ \int \frac{dx}{x+4}=\int \frac{d(x+4)}{x+4}=|u=x+4|=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Ответ : $\int \frac{dx}{x+4}=\ln|x+4|+C$.

Пример №2

Найти $\int e^{3x} dx$.

Если мы обратимся к таблице неопределённых интегралов , то не сможем найти формулу, которая точно соответствует интегралу $\int e^{3x} dx$. Наиболее близка к этому интегралу формула №4 из таблицы интегралов, т.е. $\int e^u du=e^u+C$. Проблема в следующем: формула $\int e^u du=e^u+C$ предполагает, что в интеграле $\int e^u du$ выражения в степени числа $e$ и под дифференциалом должны быть одинаковы (и там и там расположена одна буква $u$). В нашем случае в $\int e^{3x} dx$ под дифференциалом находится буква $x$, а в степени числа $e$ - выражение $3x$, т.е. налицо явное несоответствие табличной формуле. Попробуем "подогнать" наш интеграл под табличный. Что произойдёт, если под дифференциал вместо $x$ подставить $3x$? Для ответа на этот вопрос применим , подставив в неё выражение $3x$ вместо $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Так как $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, то равенство $d(3x)=(3x)"dx$ станет таким:

$$ d(3x)=3dx $$

Разделив обе части полученного равенства на $3$, будем иметь: $\frac{d(3x)}{3}=dx$, т.е. $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$. Вообще-то, равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ можно было получить, просто подставив в вместо константы $C$ число $3$. В дальнейшем мы так и будем делать, а на первый раз разобрали процедуру получения равенства $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$ подробно.

Что нам дало полученное равенство $dx=\frac{1}{3}\cdot d(3x)$? Оно означает, что в интеграл $\int e^{3x} dx$ вместо $dx$ можно подставить $\frac{1}{3}\cdot d(3x)$, причём интеграл от этого не изменится:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x) $$

Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла и заменим выражение $3x$ буквой $u$ (т.е. сделаем подстановку $u=3x$), после чего применим табличную формулу $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C.$$

Как и в предыдущем примере, нужно вернуть обратно исходную переменную $x$. Так как $u=3x$, то $\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$. Полное решение без комментариев выглядит так:

$$ \int e^{3x} dx= \int e^{3x} \cdot\frac{1}{3} d(3x)=\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} d(3x)=|u=3x|=\frac{1}{3}\cdot\int e^u du=\frac{1}{3}\cdot e^u+C=\frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C.$$

Ответ : $ \int e^{3x} dx= \frac{1}{3}\cdot e^{3x}+C$.

Пример №3

Найти $\int (3x+2)^2 dx$.

Для нахождения данного интеграла применим два способа. Первый способ состоит в раскрытии скобок и непосредственном интегрировании . Второй способ заключается в применении метода подстановки.

Первый способ

Так как $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, то $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Представляя интеграл $\int (9x^2+12x+4)dx$ в виде суммы трёх интегралов и вынося константы за знаки соответствующих интегралов, получим:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx $$

Чтобы найти $\int x^2 dx$ подставим $u=x$ и $\alpha=2$ в формулу №1 таблицы интегралов: $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C$. Аналогично, подставляя $u=x$ и $\alpha=1$ в ту же формулу из таблицы, будем иметь: $\int x^1 dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^2}{2}+C$. Так как $\int 1 dx=x+C$, то:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac{x^3}{3}+12\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

Второй способ

Скобки раскрывать не будем. Попробуем сделать так, чтобы под дифференциалом вместо $x$ появилось выражение $3x+2$. Это позволит ввести новую переменную и применить табличную формулу. Нам нужно, чтобы под дифференциалом возник множитель $3$, посему подставляя в значение $C=3$, получим $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$. Кроме того, под дифференциалом не хватает слагаемого $2$. Согласно прибавление константы под знаком дифференциала не меняет оный дифференциал, т.е. $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$. Из условий $d(x)=\frac{1}{3}d(3x)$ и $\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}d(3x+2)$ имеем: $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$.

Отмечу, что равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$ можно получить и иным способом:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\\ dx=\frac{1}{3}d(3x+2). $$

Используем полученное равенство $dx=\frac{1}{3}d(3x+2)$, подставив в интеграл $\int (3x+2)^2 dx$ выражение $\frac{1}{3}d(3x+2)$ вместо $dx$. Константу $\frac{1}{3}$ вынесем за знак получившегося интеграла:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac{1}{3}d(3x+2)=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Дальнейшее решение состоит в осуществлении подстановки $u=3x+2$ и применении формулы №1 из таблицы интегралов:

$$ \frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{u^3}{9}+C. $$

Возвращая вместо $u$ выражение $3x+2$, получим:

$$ \frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$

Полное решение без пояснений таково:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^2 du=\frac{u^3}{9}+C=\frac{(3x+2)^3}{9}+C. $$

Предвижу пару вопросов, поэтому попробую сформулировать их дать ответы.

Вопрос №1

Что-то тут не сходится. Когда мы решали первым способом, что получили, что $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. При решении вторым путём, ответ стал таким: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако перейти от второго ответа к первому не получается! Если раскрыть скобки, то получаем следующее:

$$ \frac{(3x+2)^3}{9}+C=\frac{27x^3+54x^2+36x+8}{9}+C=\frac{27x^3}{9}+\frac{54x^2}{9}+\frac{36x}{9}+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C. $$

Ответы не совпадают! Откуда взялась лишняя дробь $\frac{8}{9}$?

Этот вопрос говорит о том, что Вам стоит обратиться к предыдущим темам. Почитать тему про понятие неопределённого интеграла (уделив особое внимание вопросу №2 в конце страницы) и непосредственному интегрированию (стоит обратить внимание на вопрос №4). В указанных темах этот вопрос освещается подробно. Если уж совсем коротко, то интегральная константа $C$ может быть представлена в разных формах. Например, в нашем случае переобозначив $C_1=C+\frac{8}{9}$, получим:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac{8}{9}+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Посему никакого противоречия нет, ответ может быть записан как в форме $3x^3+6x^2+4x+C$, так и в виде $\frac{(3x+2)^3}{9}+C$.

Вопрос №2

Зачем было решать вторым способом? Это же лишнее усложнение! Зачем применять кучу лишних формул, чтобы найти ответ, который первым способом получается в пару действий? Всего-то и нужно было, что скобки раскрыть, применив школьную формулу.

Ну, во-первых, не такое уж это и усложнение. Когда вы разберётесь в методе подстановки, то решения подобных примеров станете делать в одну строчку: $\int (3x+2)^2 dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=\frac{(3x+2)^3}{9}+C$. Однако давайте взглянем на этот пример по-иному. Представьте, что нужно вычислить не $\int (3x+2)^2 dx$, а $\int (3x+2)^{200} dx$. При решении вторым способом придётся лишь чуток подправить степени и ответ будет готов:

$$ \int (3x+2)^{200} dx=\frac{1}{3}\cdot \int (3x+2)^{200} d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ =\frac{1}{3}\cdot \int u^{200} du=\frac{u^{201}}{603}+C=\frac{(3x+2)^{201}}{603}+C. $$

А теперь представьте, что этот же интеграл $\int (3x+2)^{200} dx$ требуется взять первым способом. Для начала нужно будет раскрыть скобку $(3x+2)^{200}$, получив при этом сумму в двести одно слагаемое! А потом каждое слагаемое ещё и проинтегрировать придётся. Поэтому вывод тут такой: для больших степеней метод непосредственного интегрирования не годится. Второй способ, несмотря на кажущуюся сложность, более практичен.

Пример №4

Найти $\int \sin2x dx$.

Решение этого примера проведём тремя различными способами.

Первый способ

Заглянем в таблицу интегралов . Ниболее близка к нашему примеру формула №5 из этой таблицы, т.е. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Чтобы подогнать интеграл $\int \sin2x dx$ под вид $\int \sin u du$, воспользуемся , внеся множитель $2$ под знак дифференциала. Собственно, мы это делали уже в примере №2, так что обойдёмся без подробных комментариев:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac{1}{2}\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac{1}{2}d(2x)=\\ =\frac{1}{2} \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac{1}{2} \int \sin u du=-\frac{1}{2}\cos u+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Второй способ

Для решения вторым способом применим простую тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

Какова цель такого преобразования? В таблице интеграла $\int \sin x\cos x dx$ нет, но мы можем немного препобразовать $\int \sin x\cos x dx$, чтобы он стал больше походить на табличный. Для этого найдем $d(\cos x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\cos x$ вместо $y$:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Так как $d(\cos x)=-\sin x dx$, то $\sin x dx=-d(\cos x)$. Так как $\sin x dx=-d(\cos x)$, то мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\sin x dx$ подставить $-d(\cos x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\cos x$. Теперь, сделав подстановку $u=\cos x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ получен. Вообще, можно не вводить букву $u$. Когда вы приобретёте достаточный навык в решении подобного рода интегралов, то необходимость в дополнительных обозначениях отпадёт. Полное решение без пояснений таково:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac{u^2}{2}+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Третий способ

Для решения третьим способом применим ту же тригонометрическую формулу: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим вместо $\sin 2x$ выражение $2 \sin x \cos x$, при этом константу $2$ вынесем за знак интеграла:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Найдем $d(\sin x)$, используя . Подставим в упомянутую формулу $\sin x$ вместо $y$:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Итак, $d(\sin x)=\cos x dx$. Из полученного равенства следует, что мы можем в $\int \sin x\cos x dx$ вместо $\cos x dx$ подставить $d(\sin x)$. Значение интеграла при этом не изменится:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Говоря иными словами, мы внесли под дифференциал $\sin x$. Теперь, сделав подстановку $u=\sin x$, мы сможем применить формулу №1 из таблицы интегралов:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ получен. Полное решение без пояснений имеет вид:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac{u^2}{2}+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Ответ : $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Возможно, что после прочтения этого примера, особенно трёх различных (на первый взгляд) ответов, возникнет вопрос. Рассмотрим его.

Вопрос №3

Погодите. Ответы должны совпадать, но они отличаются! В примере №3 различие было всего-то в константе $\frac{8}{9}$, но здесь даже внешне ответы не похожи: $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$, $-\cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Неужели всё дело опять в интегральной константе $C$?

Да, дело именно в этой константе. Давайте сведём все ответы к одной форме, после чего это различие в константах станет совсем явным. Начнём с $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$. Используем простое тригонометрическое равенство: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда выражение $-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ станет таким:

$$ -\frac{1}{2}\cos 2x+C=-\frac{1}{2}\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac{1}{2}. $$

Теперь поработаем со вторым ответом, т.е. $-\cos^2x+C$. Так как $\cos^2 x=1-\sin^2x$, то:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Три ответа, которые мы получили в примере №4, стали такими: $\sin^2 x+C-\frac{1}{2}$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+C$. Полагаю, теперь видно, что отличаются они друг от друга лишь некоторым числом. Т.е. дело опять оказалось в интегральной константе. Как видите, небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, - но от этого ответ не перестанет быть правильным. К чему я веду: если в сборнике задач вы увидите ответ, не совпадающий с вашим, то это вовсе не означает, что ваш ответ неверен. Возможно, что вы просто пришли к ответу иным способом, чем предполагал автор задачи. А убедиться в правильности ответа поможет проверка, основанная на определении неопределённого интеграла . Например, если интеграл $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ найден верно, то должно выполняться равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$. Вот и проверим, правда ли, что производная от $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)$ равна подынтегральной функции $\sin 2x$:

$$ \left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)"+C"=-\frac{1}{2}\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac{1}{2}\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Проверка пройдена успешно. Равенство $\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ выполнено, поэтому формула $\int \sin2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ верна. В примере №5 также осуществим проверку результата, дабы убедиться в его правильности. Наличие проверки не является обязательным, хотя в некоторых типовых расчётах и контрольных работах требование проверять результат присутствует.

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или

(коэффициенты a , b и f не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.

1) Когда дан интеграл вида

Или

(где коэффициенты a , b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: .

3) Раскрываем дифференциал:

Смотрим на числитель нашего интеграла:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x . В данном случае с подходящим множителем получится:

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла:

Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2).

5) К нашему дифференциалу

приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)

наше «не то» слагаемое:

– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

.

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:

.

Пример 15: Решение:

Пример 16: Решение:

.

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f (g (x)) d (g (x)) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

Пример 1

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = - cos x + C , значит, ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C .

Ответ: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Пример 3

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = - d (cos x) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C , где C = - C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d (x 3) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d (x 3) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Пример 5

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d (x + 1) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Пример 6

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 " d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter