Квадратичная функция примеры решения 9. Квадратичная функция и ее график

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части квадратичных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему .

Начнем с небольшой проверки :

Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
Как называется график квадратичной функции?
Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по .

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она: .

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты .

Старший коэффициент отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше, тем парабола у́же (круче), а чем меньше, тем парабола шире (более пологая).
Свободный член - это координата пересечения параболы с осью ординат.
А коэффициент каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина . А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

Вот так: чем больше , тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив в функцию:

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

Получается, что чем больше по модулю , тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ - строить параболу, начиная с вершины.

Пример:

Построить график функции.

Решение:

Для начала определим коэффициенты: .

Теперь вычислим координаты вершины:

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково. Значит, если мы построим параболу и переместим ее вершиной в точку, получится нужный нам график:

Просто, правда?

Остается только один вопрос: как быстро рисовать параболу? Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу. Построим ее по точкам:

Закономерность здесь такая. Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси) на, и вверх (вдоль оси) на, то попадем в точку параболы. Дальше: если из этой точки сместиться вправо на и вверх на, снова попадем в точку параболы. Дальше: вправо на и вверх на. Дальше что? Вправо на и вверх на. И так далее: смещаемся на вправо, и на следующее нечетное число вверх. То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным. Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке. Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Построил?

Должно получиться так:

Теперь соединяем полученные точки:

Вот и все.

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если.

Рассмотрим несколько типичных случаев.

Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

Итак, нарисуй графики таких функций:

Ответы:

3. Вершина: .

Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше?

Смотрим на знаменатель дроби: он равен. Значит, будем двигаться так:

вправо - вверх
вправо - вверх
вправо - вверх

и так же влево:

4. Вершина: .

Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями?..

А мы схитрим. Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку. Даже нет, поступим еще хитрее: Нарисуем параболу, а потом переместим оси: - на вниз , а - на вправо :

Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

Напомню, что мы можем представить функцию в таком виде:

Например: .

Что это нам дает?

Дело в том, что число, которое вычитается из в скобках () - это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками () - ордината вершины.

Это значит, что, построив параболу, нужно будет просто сместить ось на влево и ось на вниз.

Пример: построим график функции.

Выделим полный квадрат:

Какое число вычитается из в скобках? Это (а не, как можно решить не подумав).

Итак, строим параболу:

Теперь смещаем ось на вниз, то есть на вверх:

А теперь - на влево, то есть на вправо:

Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу вершиной из начала координат в точку, только прямые ось двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам:

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой - очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - функция вида, где, и -- любые числа (коэффициенты), - свободный член.

График квадратичной функции - парабола .

Вершина параболы:
, т.е. чем больше \displaystyle b , тем левее смещается вершина параболы.
Подставляем в функцию, и получаем:
, т.е. чем \displaystyle b больше по модулю , тем выше будет вершина параболы

Свободный член - это координата пересечения параболы с осью ординат.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y 2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей;
найти координаты вершины;
найти пересечение с осью ординат;
найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
с осью ординат пересекается в значении у = 4;
найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
ищем корни:

Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.