Qoida - bu nur va segment nima. Geometriyadagi bo'shliqlar (chiziq, burchak, nur, segment, to'g'ri chiziq, egri chiziq, yopiq chiziq)

Nuqta va chiziq tekislikdagi asosiy geometrik figuralardir.

Qadimgi yunon olimi Evklid shunday degan edi: "nuqta" bo'laklarga ega bo'lmagan narsadir. dan tarjimasida "nuqta" so'zi lotin bir lahza tegish, sanchish natijasini bildiradi. Nuqta har qanday geometrik figurani qurish uchun asosdir.

To'g'ri chiziq yoki oddiy to'g'ri chiziq - bu ikki nuqta orasidagi masofa eng qisqa bo'lgan chiziq. To'g'ri chiziq cheksizdir va butun chiziqni tasvirlash va uni o'lchash mumkin emas.

Nuqtalar bosh harf bilan yozilgan. lotin harflari bilan A, B, C, D, E va boshqalar va bir xil harflar bilan yozilgan, lekin kichik a, b, c, d, e va hokazo bo'lgan to'g'ri chiziqlar. To'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalarga mos keladigan ikkita harf bilan ham belgilanishi mumkin. bu. Masalan, a chiziqni AB bilan belgilash mumkin.

Aytishimiz mumkinki, AB nuqtalari a to'g'rida yotadi yoki a to'g'riga tegishli. Va shuni aytishimiz mumkinki, a chiziq A va B nuqtalardan o'tadi.

Tekislikdagi eng oddiy geometrik figuralar bu chiziq segmenti, nur, singan chiziq.

Segment - bu chiziqning barcha nuqtalaridan iborat bo'lgan, ikkita tanlangan nuqta bilan chegaralangan chiziqning bir qismi. Bu nuqtalar segmentning oxiri hisoblanadi. Segment uning uchlarini ko'rsatish orqali ko'rsatiladi.

Nur yoki yarim chiziq - bu chiziqning barcha nuqtalaridan iborat bo'lgan, berilgan nuqtaning bir tomonida yotgan chiziqning bir qismi. Bu nuqta yarim chiziqning boshlang'ich nuqtasi yoki nurning boshlanishi deb ataladi. Nurning boshlang'ich nuqtasi bor, lekin oxiri yo'q.

Yarim chiziqlar yoki nurlar ikkita kichik lotin harflari bilan belgilanadi: boshlang'ich va yarim chiziqqa tegishli nuqtaga mos keladigan boshqa har qanday harf. Bunday holda, boshlang'ich nuqtasi birinchi o'ringa qo'yiladi.

Ma’lum bo‘lishicha, chiziq cheksizdir: uning na boshlanishi, na oxiri bor; nurning faqat boshlanishi bor, lekin oxiri yo'q, segment esa boshlanishi va oxiriga ega. Shuning uchun biz faqat segmentni o'lchashimiz mumkin.

Bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan segmentlar (qo'shni) bir xil to'g'ri chiziqda joylashmasligi uchun bir-biriga ketma-ket bog'langan bir nechta segmentlar siniq chiziqni ifodalaydi.

Polilin yopiq yoki ochiq bo'lishi mumkin. Agar oxirgi segmentning oxiri birinchisining boshiga to'g'ri kelsa, bizda yopiq singan chiziq bor, agar bo'lmasa, ochiq.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.

Nuqta va chiziq tekislikdagi asosiy geometrik figuralardir.

Qadimgi yunon olimi Evklid shunday degan edi: "nuqta" bo'laklarga ega bo'lmagan narsadir. Lotincha “nuqta” so‘zi bir zumda teginish, sanchish natijasi degan ma’noni anglatadi. Nuqta har qanday geometrik figurani qurish uchun asosdir.

To'g'ri chiziq yoki oddiy to'g'ri chiziq - bu ikki nuqta orasidagi masofa eng qisqa bo'lgan chiziq. To'g'ri chiziq cheksizdir va butun chiziqni tasvirlash va uni o'lchash mumkin emas.

Nuqtalar A, B, C, D, E va hokazo lotin bosh harflari bilan, toʻgʻri chiziqlar esa bir xil harflar bilan, lekin kichik a, b, c, d, e va hokazolar bilan belgilanadi. Toʻgʻri chiziqni ham shunday belgilash mumkin. uning ustida yotgan nuqtalarga mos keladigan ikkita harf. Masalan, a chiziqni AB bilan belgilash mumkin.

Aytishimiz mumkinki, AB nuqtalari a to'g'rida yotadi yoki a to'g'riga tegishli. Va shuni aytishimiz mumkinki, a chiziq A va B nuqtalardan o'tadi.

Tekislikdagi eng oddiy geometrik figuralar segment, nur, siniq chiziqdir.

Segment - bu chiziqning barcha nuqtalaridan iborat bo'lgan, ikkita tanlangan nuqta bilan chegaralangan chiziqning bir qismi. Bu nuqtalar segmentning oxiri hisoblanadi. Segment uning uchlarini ko'rsatish orqali ko'rsatiladi.

Nur yoki yarim chiziq - bu chiziqning barcha nuqtalaridan iborat bo'lgan, berilgan nuqtaning bir tomonida yotgan chiziqning bir qismi. Bu nuqta yarim chiziqning boshlang'ich nuqtasi yoki nurning boshlanishi deb ataladi. Nurning boshlang'ich nuqtasi bor, lekin oxiri yo'q.

Yarim chiziqlar yoki nurlar ikkita kichik lotin harflari bilan belgilanadi: boshlang'ich va yarim chiziqqa tegishli nuqtaga mos keladigan boshqa har qanday harf. Bunday holda, boshlang'ich nuqtasi birinchi o'ringa qo'yiladi.

Ma’lum bo‘lishicha, chiziq cheksizdir: uning na boshlanishi, na oxiri bor; nurning faqat boshlanishi bor, lekin oxiri yo'q, segment esa boshlanishi va oxiriga ega. Shuning uchun biz faqat segmentni o'lchashimiz mumkin.

Bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan segmentlar (qo'shni) bir xil to'g'ri chiziqda joylashmasligi uchun bir-biriga ketma-ket bog'langan bir nechta segmentlar siniq chiziqni ifodalaydi.

Polilin yopiq yoki ochiq bo'lishi mumkin. Agar oxirgi segmentning oxiri birinchisining boshiga to'g'ri kelsa, bizda yopiq singan chiziq bor, agar bo'lmasa, ochiq.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

tashrif buyurish qo'shimcha darslar nuqta, chiziq, burchak, nur, segment, to‘g‘ri chiziq, egri chiziq, yopiq chiziq tushunchalari bilan ishlay olmasligimizni va ularni chiza olmasligimizni, aniqroq chizishimiz mumkinligini, lekin ularni aniqlay olmasligimizni angladik.

Bolalar chiziqlar, egri chiziqlar, doiralarni farqlashlari kerak. Bu ularning grafikasini va chizish, applikatsiya qilishda to'g'rilik hissini rivojlantiradi. Qanday asosiy geometrik shakllar mavjudligini, ular nima ekanligini bilish muhimdir. Bolaning oldiga kartalarni qo'ying, rasmdagi kabi chizishni so'rang. Bir necha marta takrorlang.

Kurs davomida bizga quyidagi materiallar berildi:

Kichkina ertak.

Geometriya mamlakatida bir nuqta yashagan. U kichkina edi. U daftar varag‘iga qadam bosganida qalam bilan qolgan, hech kim buni sezmagan. Shunday qilib, u chiziqlarni ziyorat qilish uchun kelguniga qadar yashadi. (Doskada rasm chizish.)

Chiziqlarga qarang. (To'g'ri va egri.)

To'g'ri chiziqlar cho'zilgan ipga o'xshaydi va tortilmagan iplar egri chiziqlardir.

Qancha to'g'ri chiziq? (2.)

Qancha egri chiziq? (3.)

To'g'ri chiziq o'zini ko'rsata boshladi: “Men eng uzuniman! Mening boshim ham, oxirim ham yo'q! Men cheksizman!

Uning fikriga qarash juda qiziq bo'ldi. Gapning o'zi kichik. U tashqariga chiqdi va shu qadar hayajonlandiki, u qanday qilib to'g'ri chiziqqa qadam qo'yganini sezmay qoldi. Va birdan to'g'ri chiziq g'oyib bo'ldi. Uning o'rnida nur paydo bo'ldi.

Bu ham juda uzun edi, lekin baribir to'g'ri chiziqqa o'xshamasdi. U boshladi.

Gap qo'rqib ketdi: "Men nima qildim!" U qochib ketgisi keldi, lekin nasib qilgani uchun yana to‘singa qadam qo‘ydi.

Va nur o'rnida segment paydo bo'ldi. U o'zining kattaligi bilan maqtanmadi, uning allaqachon boshlanishi va oxiri bor edi.

Kichik nuqta katta chiziqlarning hayotini shunday o'zgartirishi mumkin.

Xo'sh, kim bizga mushuk bilan tashrif buyurganini kim taxmin qildi? (to'g'ri chiziq, nur, segment va nuqta)

To'g'ri, mushuk bilan birga, bizning darsimizga to'g'ri chiziq, nur, segment va nuqta keldi.

Bu darsda nima qilishimizni kim taxmin qildi? (To'g'ri chiziq, nur, segmentni tanib, chizishni o'rganing.)

Qaysi qatorlar haqida eshitdingiz? (To'g'ri chiziq, nur, segment haqida.)

To'g'ri chiziq haqida nimani bilib oldingiz? (Uning na boshlanishi, na oxiri bor. U cheksizdir.)

(Biz ikkita g'altak ipni olamiz, ularni tortamiz, to'g'ri chiziqni tasvirlaymiz va birini yoki boshqasini echib olamiz, bu to'g'ri chiziqni har ikki yo'nalishda ham cheksiz davom ettirish mumkinligini ko'rsatadi.)

Nur haqida nimani bilib oldingiz? (Uning boshlanishi bor, lekin oxiri yo'q.) (O'qituvchi qaychini oladi, ipni kesadi. Endi chiziqni faqat bir uchida davom ettirish mumkinligini ko'rsatadi.)

Segment haqida nimani bilib oldingiz? (Uning boshi ham, oxiri ham bor.) (O‘qituvchi ipning ikkinchi uchini kesib, ipning cho‘zilmasligini ko‘rsatadi. Uning boshi ham, oxiri ham bor).

To'g'ri chiziqni qanday chizish mumkin? (O'lchagich bo'ylab chiziq torting.)

Qanday qilib chiziq chizish mumkin? (Ikkita nuqta qo'ying va ularni ulang.)

Va, albatta, retsept:

Darsda siz tekislik tushunchasi, geometriyadagi turli minimal raqamlar bilan tanishasiz va ularning xususiyatlarini o'rganasiz. Chiziq, chiziq segmenti, nur, burchak va boshqalar nima ekanligini bilib oling.

Biz barcha geometrik shakllarni qog'oz varag'ida qalam bilan, maktab doskasida bo'r yoki marker bilan tasvirlaymiz. Ko'pincha yozda biz bo'r yoki oq tosh bilan yulka ustiga raqamlar chizamiz. Va har doim, biz o'z rejalarimizni chizishni boshlashdan oldin, biz uchun etarli joy mavjudligini baholaymiz. Va biz kamdan-kam bilamiz aniq o'lchamlar bizning kelajakdagi chizmamiz, keyin siz har doim chekka joyni egallashingiz kerak, va yaxshisi katta chegara bilan. Odatda biz chizilgan maydon chizmaning o'zidan bir necha baravar katta bo'lsa, chizilgan joy tugashidan qo'rqmaymiz. Shunday qilib, hovlidagi asfalt sakrash uchun maydonni chizish uchun etarli. O'rtada ikkita kesishgan segmentni chizish uchun daftar varag'i etarli.

Matematikada biz hamma narsani tasvirlaydigan bunday maydon tekislikdir (1-rasm).

Guruch. 1. Samolyot

U ikkita xususiyatga ega:

1. Unda biz allaqachon gaplashgan har qanday raqamni tasvirlashingiz mumkin yoki biz hali ham gaplashamiz.

2. Biz chekkaga etib bormaymiz. Uning o'lchamlari raqamning o'lchamlaridan ancha kattaroq deb hisoblanishi mumkin.

Samolyot chetiga hech qachon etib bormasligimizni qirralarning umuman yo'qligi deb tushunish mumkin. Bizga uning qirralari kerak emas, shuning uchun biz ular yo'q deb hisoblashga rozi bo'ldik (2-rasm).

Guruch. 2. Tekislik cheksizdir

Shu ma'noda, tekislik har qanday yo'nalishda cheksizdir.

Biz uni sifatida ifodalashimiz mumkin katta barg qog'oz, katta tekis asfalt yostiq yoki ulkan chizilgan taxta.

Cheksiz ko'p geometrik shakllar mavjud va ularning barchasini o'rganish mutlaqo mumkin emas. Ammo geometriya konstruktorga o'xshaydi. Asosiy qismlarning bir nechta turlari mavjud, ulardan siz hamma narsani, har qanday eng murakkab binoni qurishingiz mumkin.

Bu tamoyilni so'zlar va harflar bilan taqqoslash mumkin: biz barcha harflarni bilamiz, lekin biz barcha so'zlarni bilmaymiz. Notanish so'zni uchratib, biz uni o'qiy olamiz, chunki biz harflar qanday yozilishini va mos keladigan tovushlar qanday talaffuz qilinishini bilamiz.

Shunday qilib, matematikada - siz va men yaxshi bilishimiz kerak bo'lgan juda kam asosiy geometrik shakllar mavjud.

Bir segmentni ko'rib chiqing (3-rasm). Kesish eng qisqa chiziq ikkita nuqtani bog'laydi.

Guruch. 3. Kesish

Biz segmentni ikkala yo'nalishda ham cheksizgacha davom ettiramiz. Biz to'g'ridan-to'g'ri davom etamiz.

"To'g'ri" nimani anglatadi? Segmentlarni ko'rib chiqing va (4-rasm).

Guruch. 4. Segmentlar va

Keling, ikkala tomonda ham davom etaylik. Yuqori chiziq tekis, lekin pastki chiziq emas (5-rasm).

Yuqori va pastki chiziqlarga yana bitta nuqta qo'shamiz va (6-rasm). Yuqori chiziqning nuqtalar orasidagi qismi ham segmentdir, lekin pastki chiziqning nuqtalar va segment orasidagi qismi emas, chunki u bu nuqtalarni eng qisqa yo'l bo'ylab bog'lamaydi.

Guruch. 6. Chiziqlarning davomi va

Toʻgʻri chiziq har ikki yoʻnalishda ham cheksiz davom etuvchi chiziq boʻlib, uning istalgan qismi ikki nuqta bilan chegaralangan boʻlakdir.

To'g'ri chiziq chiziqning bir turi bo'lib, har qanday chiziq kabi to'g'ri chiziq ham figuradir. Va, har qanday chiziq uchun bo'lgani kabi, berilgan nuqta ham berilgan chiziqqa tegishli yoki tegishli emas (7-rasm).

Guruch. 7. Nuqtalar va chiziqqa tegishli, nuqtalar esa chiziqqa tegishli emas

1. To'g'ri chiziq tekislikni ikki qismga, ikkita yarim tekislikka ajratadi. 8-rasmda nuqtalar va nuqtalar bir xil yarim tekislikda, va - har xil yarim tekislikda yotadi.

Guruch. 8. Ikki yarim tekislik

2. Ikki nuqtadan va faqat bittadan to'g'ri chiziq o'tkazish har doim mumkin (9-rasm).

To'g'ri chiziq, har qanday chiziq kabi, bitta bilan belgilanishi mumkin kichik harf Lotin alifbosi yoki uning ustida joylashgan nuqtalar ketma-ketligi. Unda yotgan nuqtalar orqali chiziqni belgilash uchun ikkita nuqta kifoya qiladi.

Segmentni ikkala yo'nalishda ham cheksizlikka cho'zish orqali biz to'g'ri chiziqqa ega bo'ldik. Agar biz ham segmentni kengaytirsak, lekin faqat bir yo'nalishda cheksizlikka qadar, biz nur deb ataladigan figurani olamiz (10-rasm). Bu geometrik nur yorug'lik nuriga juda o'xshaydi, shuning uchun uning nomi. Agar siz uni qo'lingizga olsangiz lazer ko'rsatkichi, keyin yorug'lik nuri ko'rsatkichdan boshlanadi va to'g'ri chiziq bo'ylab cheksizlikka boradi.

Guruch. 10. Nur

Nuqta nurning boshlanishi deb ataladi. Rey belgilangan.

Agar siz to'g'ri chiziqdagi nuqtani belgilasangiz, u holda bu to'g'ri chiziqni ikkita nurga ajratadi (11-rasm). Ikkala nur ham nuqtadan kelib chiqadi, lekin turli yo'nalishlarga yo'naltiriladi. Bu ikki nur to'g'ri chiziqni tashkil qiladi, uning yarmi. Shuning uchun, nur ko'pincha "yarim chiziq" deb ham ataladi.

Guruch. 11. Nuqta chiziqni ikki nurga ajratadi

12-rasmni ko'rib chiqing.

Guruch. 12. Segment, chiziq va nur

Keling, qanday qilib segment, to'g'ri chiziq va nurning o'xshashligini va bir-biriga o'xshamasligini aniqlaylik:

Segment va nur osongina tekis chiziqqa to'ldiriladi, buning uchun segmentni har ikki yo'nalishda va nurni bittada davom ettirish kerak;

To'g'ri chiziqda siz har doim segment yoki nurni tanlashingiz mumkin;

Nuqta chiziqni ikkita nurga, ikkita yarim chiziqqa ajratadi;

To'g'ri chiziq segmentidagi nuqtalar va chegaralar;

Bu raqamlarning barchasi: segment, nur, to'g'ri chiziq - "to'g'ri chiziqlar". Ular uchlari mavjudligida farqlanadi. Segmentda ikkita, nurda bitta, to'g'ri chiziqda esa yo'q. Aks holda, biz buni ham aytishimiz mumkin: nur ham, segment ham to'g'ri chiziqning bir qismidir;

Biz segmentning uzunligini o'lchash mumkinligini bilamiz. Ikki segmentni solishtirish mumkin, qaysi biri uzunroq ekanligini toping;

To'g'ri chiziq har ikki yo'nalishda cheksiz davom etadi, nur - bir yo'nalishda. Shu sababli, to'g'ri chiziq yoki to'sinning uzunligini o'lchash mumkin emas, shuningdek, ikkita to'g'ri chiziq yoki ikkita nurni uzunligi bo'yicha taqqoslash ham mumkin emas. Ularning barchasi teng darajada cheksizdir.

Bir nuqtadan kelib chiqqan ikkita nur boshqasini hosil qiladi geometrik shakl asosiy to'plamdan - burchak. Ikkala nurning boshidagi nuqta burchakning cho'qqisi deb ataladi. Nurlarning o'zi burchakning tomonlari deb ataladi.

Demak, burchak bir nuqtadan chiqadigan ikkita nurdan tashkil topgan figuradir (13-rasm).

Guruch. 13. Burchak

Burchakni tepaning belgisiga mos keladigan bitta harf bilan belgilang. Bunday holda, burchakni burchak deb atash mumkin (14-rasm). Gap nuqta haqida emas, balki burchak haqida ketayotganini tushunish uchun uning nomidan oldin "burchak" so'zini yozishingiz yoki maxsus burchak belgisini ("") qo'yishingiz kerak.

Guruch. 14. Burchak

Agar tepada qaysi burchakni tushunish qiyin bo'lsa savol ostida, 15-rasmda bo'lgani kabi, keyin burchakning har ikki tomonida yana ikkita nuqtadan foydalaning.

Agar biz bu rasmdagi burchakni oddiygina nomlasak, unda qaysi biri haqida gapirayotganimiz aniq emas, chunki nuqtadagi tepa bilan biz bir nechta burchaklarni ko'ramiz. Shuning uchun biz kerakli burchakning yon tomonlariga nuqta qo'shamiz va burchakni (15-rasm) deb belgilaymiz.

Guruch. 15. Burchak

Belgilashda teskari yo'nalishda borish mumkin, lekin yana cho'qqi yozuvning o'rtasida bo'lishi uchun.

Yana bir umumiy belgi bitta Yunoncha harf: alfa, beta, gamma va boshqalar (16-rasm). Bunday holda, xat odatda burchak ichiga kiritiladi (17-rasm).

Guruch. 16. Yunon alifbosi

Guruch. 17. Burchak ichiga yozilgan burchak nomi

Demak, 18-rasmda , , belgilari ekvivalent, ular bir xil burchakni bildiradi.

Guruch. 18. , , - bir xil burchak

Ikki chiziq bir nuqtada kesishsin (19-rasm). Nuqta har bir chiziqni ikkita nurga, ya'ni jami 4 ta nurga ajratadi. Har bir nur juftligi burchakni belgilaydi.

Guruch. 19. To'g'ri va 4 ta nurni hosil qiling

Misol uchun, , , .

Ikki nuqta orqali va siz har doim chiziq chizishingiz mumkin. Uch nuqta bilan ham xuddi shundaymi?

20-rasmda uchta nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin, lekin 21-rasmda emas.

Guruch. 20. Uch nuqta orqali chiziq o‘tkazish mumkin

Guruch. 21. Uch nuqtadan to‘g‘ri chiziq o‘tkaza olmaysiz

Rasmdagi uchta nuqta bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan deyiladi. Shunday qilib, ular, agar chiziq o'zi chizilmagan bo'lsa ham, shunchaki uni chizish mumkinligini nazarda tutadi. Ikkinchi holda, nuqtalar bir xil to'g'rida yotmasligi aytiladi, bu uch nuqtadan ham chiziq o'tkazish mumkin emasligini anglatadi.

Agar avval 1 va 2-nuqtalarni, keyin 2- va 3-nuqtalarni ketma-ket bogʻlasak, hosil boʻlgan chiziq siniq chiziq deyiladi (22-rasm). Ism uning tashqi ko'rinishidan kelib chiqadi.

Guruch. 22. singan chiziq

Xuddi shunday, siniq chiziq istalgan miqdordagi nuqtalarni bog'lashi mumkin. , , , , nuqtalari ko'p chiziqli cho'qqilar, , , segmentlari ko'p chiziqli bog'lanishlar deyiladi.

Singan chiziq uning uchlari bilan belgilanadi.

Guruch. 23. singan chiziq

Agar oxirgi nuqta birinchisiga ulangan bo'lsa, unda hosil bo'lgan poliliniya yopiq deb ataladi (24-rasm).

Guruch. 24. Yopiq poliliniya

Qanday poliliniyani qurish mumkin minimal to'plam cho'qqilar va havolalar? Agar ikkita nuqta bo'lsa, ular segment orqali ulanishi mumkin. Bu eng ko'p bo'ladi oddiy misol polyline: ikkita cho'qqi va ularni bog'laydigan bitta havola. Segmentni minimal poliliniya deb aytishimiz mumkin.

Agar poliliniya yopiq bo'lishi talab etilsa, unda eng oddiy ko'p chiziq uchburchakdir. Agar siz ikkita nuqtani olsangiz, oxirgi nuqtani birinchisiga faqat mavjud bo'lgan segment bilan ulang. Ya'ni, singan chiziq avvalgidek ochiq qoladi. Va agar siz nuqtalar bilan bir xil chiziqda yotmaydigan yana bitta nuqta qo'shsangiz va barcha nuqtalarni uchta segment bilan bog'lasangiz, siz uchburchakka ega bo'lasiz (25-rasm).

Guruch. 25. Uchburchak

Uchburchak - bu uchta uchi bo'lgan yopiq ko'p chiziq. Yoki hatto shunday: uchburchak eng kichik yopiq ko'p chiziqdir.

, va nuqtalari uchburchakning uchlaridir. Ularni bog'laydigan segmentlar, siniq chiziqning bo'g'inlari uchburchakning tomonlari deb ataladi.

Uchburchak uchlari bilan belgilanadi. Misol uchun, . Belgilashdan oldin siz "uchburchak" so'zini yoki maxsus uchburchak belgisini ("") qo'yishingiz kerak.

Uchburchakning uchta burchagi bor. Har bir cho'qqidan ikkita tomon keladi, ya'ni uchburchakning tomonlari burchaklarning tomonlari (26-rasm).

Guruch. 26. Uchburchakning burchaklari

Shunday qilib, uchburchakning uchta cho'qqisi (uch nuqta va ), uchta tomoni (uch segment va ) mavjud.