Koordinata chizig'ini toping. Matematika darsi "koordinata chizig'i"

Dars mavzusi:

« To'g'ridan-to'g'ri koordinatalar»

Darsning maqsadi:

Talabalarni koordinata chizig‘i va manfiy sonlar bilan tanishtirish.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy: o‘quvchilarni koordinata chizig‘i va manfiy sonlar bilan tanishtirish.

Rivojlantiruvchi: mantiqiy fikrlashni rivojlantirish, dunyoqarashini kengaytirish.

Tarbiyaviy: kognitiv qiziqishni rivojlantirish, axborot madaniyatini tarbiyalash.

Dars rejasi:

Tashkilot momenti. Talabalar va ularning darsga tayyorgarligini tekshirish.

Asosiy bilimlarni yangilash. O'tilgan mavzu bo'yicha talabalarning og'zaki so'rovi.

Yangi materialni tushuntirish.

4. O'rganilgan materialni mustahkamlash.

5. Xulosa qilish. Darsda o'rganilgan narsalarning qisqacha mazmuni. Talabalar savollari.

6. Xulosa. Darsning asosiy fikrlarini umumlashtirish. Bilimlarni baholash. Belgilar qilish.

7. Uy vazifasi. Talabalarning o'rganilgan material bilan mustaqil ishlashi.

Uskunalar: bo'r, doska, slaydlar.

Batafsil kontur rejasi

Sahna nomi va mazmuni

Faoliyat

Faoliyat

talabalar

I bosqich

Tashkilot momenti. Salom.

Jurnalni to'ldirish.

sinf bilan salomlashadi, sinf rahbari qatnashmaganlar ro'yxatini beradi.

salom ayting

o'qituvchi

II bosqich

Asosiy bilimlarni yangilash.

Qadimgi yunon olimi Pifagor shunday degan edi: "Raqamlar dunyoni boshqaradi". Siz va men bu raqamlar dunyosida yashaymiz va maktab yillarida biz turli raqamlar bilan ishlashni o'rganamiz.

1 Bugungi dars uchun qanday raqamlarni bilamiz?

2 Bu raqamlar bizga qanday muammolarni hal qilishda yordam beradi?

Bugun biz "Ratsional sonlar" darsligimizning ikkinchi bobini o'rganishga o'tamiz, bu erda raqamlar haqidagi bilimlarimizni kengaytiramiz va "Ratsional sonlar" bobini to'liq o'rganib chiqqanimizdan so'ng ular bilan siz bilgan barcha harakatlarni bajarishni o'rganamiz. va koordinata chizig'i mavzusidan boshlang.

1.tabiiy, oddiy kasrlar, o‘nli kasrlar

2.qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, sondan kasrlarni, kasrdan esa sonni topish, turli tenglama va masalalar yechish.

III bosqich

Yangi materialni tushuntirish.

AB to'g'ri chiziqni olib, uni O nuqta bilan ikkita qo'shimcha nurlarga - OA va OBga ajratamiz. To'g'ri chiziqda birlik segmentini tanlaymiz va bosh va yo'nalish sifatida O nuqtani olamiz.

Ta'riflar:

Sanoat nuqtasi, birlik segmenti va unda tanlangan yo'nalishi bo'lgan to'g'ri chiziq koordinatali chiziq deyiladi.

Nuqtaning chiziqdagi o'rnini ko'rsatuvchi raqamga shu nuqtaning koordinatasi deyiladi.

Koordinata chizig'ini qanday qurish mumkin?

to'g'ridan-to'g'ri qiling

birlik segmentini o'rnating

yo'nalishini ko'rsating

Koordinata chizig'ini turli yo'llar bilan tasvirlash mumkin: gorizontal, vertikal va ufqqa har qanday boshqa burchak ostida va boshlanishi bor, lekin oxiri yo'q.

Vazifa 1. Quyidagi chiziqlardan qaysi biri koordinatali chiziqlar emas? (slayd)

Keling, koordinatali chiziq chizamiz, koordinata boshini, birlik segmentini belgilaymiz va 1,2,3,4 nuqtalarni va hokazolarni chapga va o'ngga chizamiz.

Olingan koordinata chizig'ini ko'rib chiqamiz. Nima uchun bunday to'g'ri chiziq noqulay?

Boshidan o'ngga yo'nalish musbat deyiladi va to'g'ri chiziqdagi yo'nalish o'q bilan ko'rsatiladi. O nuqtaning o'ng tomonida joylashgan raqamlar musbat deyiladi. Salbiy raqamlar O nuqtaning chap tomoniga joylashtiriladi va O nuqtadan chapga yo'nalish salbiy deb ataladi (salbiy yo'nalish ko'rsatilmagan). Agar koordinata chizig'i vertikal joylashgan bo'lsa, u holda koordinata boshidan yuqoridagi raqamlar musbat, koordinata chizig'i ostidagi raqamlar esa manfiydir. Salbiy raqamlar "-" belgisi bilan yoziladi. Ular o'qiydilar: "Minus bir", "Minus ikki", "Minus uch" va hokazo. 0 raqami - kelib chiqishi na ijobiy, na manfiy raqam. U ijobiy va salbiy sonlarni ajratadi.

Savdo hisob-kitoblarida tenglamalarni va "qarz" tushunchasini echish salbiy raqamlarning paydo bo'lishiga olib keldi.

Manfiy sonlar natural sonlar va oddiy kasrlarga qaraganda ancha kech paydo bo'lgan. Manfiy sonlar haqidagi birinchi maʼlumotlar 2-asrda Xitoy matematiklari orasida topilgan. Miloddan avvalgi e. Keyin ijobiy raqamlar mulk, salbiy raqamlar esa qarz, taqchillik sifatida talqin qilindi. Evropada tan olinish ming yil o'tgach paydo bo'ldi va hatto o'sha paytda ham uzoq vaqt davomida salbiy raqamlar "noto'g'ri", "xayoliy" yoki "absurd" deb ataldi. 17-asrda manfiy raqamlar sonlar o'qida vizual geometrik tasvirni oldi

Siz koordinatali chiziqqa misollar ham keltirishingiz mumkin: termometr, tog 'cho'qqilari va pastliklarni taqqoslash (dengiz sathi nol sifatida qabul qilinadi), xaritadagi masofa, lift shaxtasi, uylar, kranlar.

O'ylab ko'ring Koordinata chizig'ining boshqa misollarini bilasizmi?

Topshiriqlar.

Vazifa 2. Nuqtalarning koordinatalarini ayting.

Vazifa 3. Nuqtalarni koordinata chizig‘ida chizish

4-topshiriq . Gorizontal chiziq chizing va uning ustidagi A, B, C, K nuqtalarini belgilang, agar shuni bilsangiz:

A - O ning o'ng tomonidagi 9 katak;

B - O ning chap tomonida 6,5 ​​katakcha;

C - O ning o'ng tomonida 3½ kvadrat;

K - O ning chap tomonida 3 kvadrat .

Qo'llab-quvvatlovchi eslatmalarda qayd etilgan.

Ular tinglaydilar va to'ldiradilar.

Ular topshiriqni daftarlarida bajaradilar, so‘ng javoblarini ovoz chiqarib tushuntiradilar.

Birlik segmentining kelib chiqishini chizing va belgilang

Bunday to'g'ri chiziq noqulay, chunki to'g'ri chiziqdagi ikkita nuqta bir xil songa to'g'ri keladi.

Miloddan avvalgi va bizning davrimiz tarixi.

IV bosqich

O'rganilgan materialni birlashtirish.

1.Koordinata chizig‘i nima?

2.Koordinata chizig'i qanday quriladi?

1. Tayanch nuqtasi, birlik segmenti va uning ustida tanlangan yo‘nalishi bo‘lgan to‘g‘ri chiziq koordinatali chiziq deyiladi

2) to'g'ridan-to'g'ri qilish

undagi ortga hisoblash boshlanishini belgilang

birlik segmentini o'rnating

yo'nalishini ko'rsating

V bosqich

Xulosa qilish

Bugun biz qanday yangi narsalarni o'rgandik?

Koordinata chizig'i va manfiy sonlar.

VI bosqich

Bilimlarni baholash. Belgilar qilish.

Uy vazifasi.

O'tilgan mavzu bo'yicha savollar tuzing (ularga javoblarni biling)

Alpha haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Misol tariqasida cheksiz natural sonlar to'plamini oladigan bo'lsak, ko'rib chiqilayotgan misollarni quyidagi ko'rinishda ko'rsatish mumkin:

Ularning to'g'ri ekanligini aniq isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni o'ylab topishdi. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqs tushishi kabi qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalar band bo'lmagani va yangi mehmonlar ko'chib o'tayotgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) koridorga uloqtirilgani bilan bog'liq. Men bunday qarorlar bo'yicha o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Mehmon uchun birinchi xonani bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasida bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh yotoqlari bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz "mehmon" koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmon" xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Qolaversa, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: har doim bitta Xudo-Alloh-Budda bor, faqat bitta mehmonxona bor, faqat bitta yo'lak bor. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar va bizni "mumkin bo'lmagan narsaga o'tish" mumkinligiga ishontirishmoqda.

Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz raqamlarni o'zimiz ixtiro qilganmiz, chunki tabiatda raqamlar mavjud emas; Ha, Tabiat hisoblashda zo'r, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiatning fikrini boshqa safar sizga aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimlarga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.

Birinchi variant. Tokchada tinchgina yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Hammasi joyida. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan birini olib, qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Men harakatlarni algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida, to‘plam elementlarining batafsil ro‘yxati bilan yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plami mavjudligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bitta ayirilsa va bir xil birlik qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizning javonimizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Keling, ushbu to'plamlardan birini olaylik. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Buni olamiz:

"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga boshqa cheksiz to‘plam qo‘shsangiz, natijada birinchi ikki to‘plamning elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.

Natural sonlar to'plami o'lchash uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu asl chiziqqa teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.

Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari bosib o'tgan noto'g'ri fikrlash yo'lidan yurasizmi yoki yo'qligini o'ylab ko'ring. Zero, matematikani o‘rganish, eng avvalo, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina aqliy qobiliyatimizni oshiradi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil

Men maqolaning postscriptini tugatayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi".

Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, men shaxsan quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.

Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va qoidalarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men bir qator nashrlarni zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

Shanba, 3-avgust, 2019-yil

To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Ushbu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf bilan belgilaymiz A, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jins" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsga asoslangan b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "gender xususiyatlariga ega odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri - erkak yoki ayol. Agar odamda bo'lsa, unda biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz oddiy maktab matematikasidan foydalanamiz. Qarang, nima bo'ldi.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamga ega bo'ldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw. Matematiklar to'plamlar nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarni aytmaydilar, lekin yakuniy natijani beradilar - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning bir qismidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin: yuqorida ko'rsatilgan o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llanilgan? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, o'zgartirishlar mohiyatan to'g'ri amalga oshirildi, buning uchun arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.

Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.

Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va oddiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishning yodgorligiga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar kabi harakat qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadi.

Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishini ko'rsatmoqchiman.

Dushanba, 7-yanvar, 2019-yil

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi; ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu tomonga yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o'rinda yana bir jihatga e'tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.

Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil

Men sizga aytdimki, qaysi shamanlar haqiqatni "" saralashga harakat qilishadi. Ular buni qanday qilishadi? To'plamning shakllanishi aslida qanday sodir bo'ladi?

Keling, to'plamning ta'rifini batafsil ko'rib chiqaylik: "bir butun sifatida o'ylab topilgan turli elementlarning to'plami". Endi ikkita ibora o'rtasidagi farqni his qiling: "bir butun sifatida tasavvur qilish mumkin" va "butun holda tasavvur qilish mumkin". Birinchi ibora - yakuniy natija, to'plam. Ikkinchi ibora - ko'pchilikni shakllantirish uchun dastlabki tayyorgarlik. Ushbu bosqichda voqelik alohida elementlarga ("butun") bo'linadi, undan keyin ko'pchilik ("yagona butun") hosil bo'ladi. Shu bilan birga, "butun" ni "yagona bir butun" ga birlashtirishga imkon beradigan omil diqqat bilan kuzatiladi, aks holda shamanlar muvaffaqiyatga erisha olmaydi. Axir, shamanlar bizga qanday to'plamni ko'rsatishni xohlashlarini oldindan bilishadi.

Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng, biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining to'plam nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali oziq-ovqatlarini shunday olishadi.

Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "kamon bilan pimple bilan qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butunlarni" rangga ko'ra birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi yakuniy savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'ladi.

Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "pimple va kamon bilan qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligida sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimply), bezak (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu shunday ko'rinadi.

Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Dastlabki bosqichda "butun" ajralib turadigan o'lchov birliklari qavs ichida ta'kidlangan. Qavs ichidan to‘plam hosil bo‘ladigan o‘lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqsga tushishi emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishlari mumkin, bu "aniq" ekanligini ta'kidlaydilar, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenalining bir qismi emas.

O'lchov birliklaridan foydalanib, bitta to'plamni ajratish yoki bir nechta to'plamni bitta supersetga birlashtirish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqaylik.

Shanba, 30-iyun, 2018-yil

Agar matematiklar kontseptsiyani boshqa tushunchalarga qisqartira olmasalar, ular matematika haqida hech narsani tushunmaydilar. Men javob beraman: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Javob juda oddiy: raqamlar va o'lchov birliklari.

Bugungi kunda biz qabul qilmagan hamma narsa ma'lum bir to'plamga tegishli (matematiklar bizni ishontirganidek). Aytgancha, peshonangizdagi oynada o'zingiz tegishli bo'lgan to'plamlar ro'yxatini ko'rdingizmi? Va men bunday ro'yxatni ko'rmaganman. Ko'proq aytaman - aslida biron bir narsada bu narsa tegishli bo'lgan to'plamlar ro'yxati ko'rsatilgan teg yo'q. To'plamlarning barchasi shamanlarning ixtirolaridir. Ular buni qanday qilishadi? Keling, tarixga biroz chuqurroq qaraylik va matematik shamanlar ularni o'z to'plamlariga olishdan oldin to'plam elementlari qanday ko'rinishga ega bo'lganini ko'rib chiqaylik.

Uzoq vaqt oldin, hech kim matematika haqida eshitmagan va faqat daraxtlar va Saturn halqalariga ega bo'lganida, to'plamlarning yovvoyi elementlarining ulkan podalari jismoniy maydonlarni kezib yurgan (oxir-oqibat, shamanlar hali matematik maydonlarni ixtiro qilmagan). Ular shunday ko'rinishga ega edilar.

Ha, hayron bo'lmang, matematika nuqtai nazaridan, to'plamlarning barcha elementlari dengiz kirpilariga juda o'xshash - bir nuqtadan, ignalar kabi, o'lchov birliklari barcha yo'nalishlarda chiqib turadi. Men sizga eslatib o'tamanki, har qanday o'lchov birligi geometrik ravishda ixtiyoriy uzunlik segmenti, raqam esa nuqta sifatida ifodalanishi mumkin. Geometrik jihatdan har qanday miqdor bir nuqtadan turli yo'nalishlarda chiqib turadigan segmentlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu nuqta nol nuqtadir. Men bu geometrik san'at asarini chizmayman (ilhom yo'q), lekin siz buni osongina tasavvur qilishingiz mumkin.

Qanday o'lchov birliklari to'plam elementini tashkil qiladi? Berilgan elementni turli nuqtai nazardan tavsiflovchi barcha turdagi narsalar. Bu ota-bobolarimiz ishlatgan va hamma uzoq vaqt unutgan qadimiy o'lchov birliklari. Bu biz hozir ishlatadigan zamonaviy o'lchov birliklari. Bular ham bizga noma'lum bo'lgan o'lchov birliklari bo'lib, ularni avlodlarimiz o'ylab topadilar va ular haqiqatni tasvirlash uchun foydalanadilar.

Biz geometriyani saralab oldik - to'plam elementlarining tavsiya etilgan modeli aniq geometrik tasvirga ega. Fizika haqida nima deyish mumkin? O'lchov birliklari matematika va fizika o'rtasidagi bevosita bog'liqlikdir. Agar shamanlar o'lchov birliklarini matematik nazariyalarning to'liq elementi sifatida tan olmasalar, bu ularning muammosi. Shaxsan men matematikaning haqiqiy fanini o'lchov birliklarisiz tasavvur qila olmayman. Shuning uchun to'plamlar nazariyasi haqidagi hikoyaning boshida men uning tosh asrida bo'lganini aytdim.

Ammo keling, eng qiziqarli narsaga - to'plamlar elementlari algebrasiga o'tamiz. Algebraik nuqtai nazardan, to'plamning har qanday elementi turli miqdorlarning mahsulotidir (ko'paytirish natijasi).

Men ataylab to'plam nazariyasi konventsiyalaridan foydalanmadim, chunki biz to'plamning elementini uning tabiiy muhitida to'plam nazariyasi paydo bo'lishidan oldin ko'rib chiqamiz. Qavslar ichidagi har bir juft harf harf bilan ko'rsatilgan raqamdan iborat alohida miqdorni bildiradi. n"va o'lchov birligi" harfi bilan ko'rsatilgan a". Harflar yonidagi indekslar raqamlar va o'lchov birliklari har xil ekanligini ko'rsatadi. To'plamning bir elementi cheksiz miqdordagi miqdorlardan iborat bo'lishi mumkin (biz va bizning avlodlarimiz etarli tasavvurga ega). Har bir qavs geometrik tarzda tasvirlangan. alohida segment sifatida dengiz kirpi bilan misolda bitta qavs bitta igna.

Shamanlar qanday qilib turli elementlardan to'plam hosil qiladi? Aslida, o'lchov birliklari yoki raqamlar bilan. Matematika haqida hech narsani tushunmay, ular turli xil dengiz kirpilarini olib, o'sha bitta ignani qidirishda ularni sinchkovlik bilan tekshiradilar va ular bo'ylab to'plam hosil qiladilar. Agar shunday igna bo'lsa, unda bu element to'plamga tegishli bo'lsa, unda bunday igna bo'lmasa, bu element bu to'plamdan emas. Shamanlar bizga fikrlash jarayonlari va butunligi haqida ertak aytib berishadi.

Siz taxmin qilganingizdek, bir xil element juda boshqacha to'plamlarga tegishli bo'lishi mumkin. Keyinchalik men sizga to'plamlar, kichik to'plamlar va boshqa shamanik bema'niliklarning qanday shakllanishini ko'rsataman. Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.

Bir vaqtlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.

Matematiklar "menga e'tibor bering, men uydaman" yoki to'g'rirog'i, "matematika mavhum tushunchalarni o'rganadi" iborasi orqasida qanchalik yashirinmasin, ularni haqiqat bilan chambarchas bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Keling, matematik to'plamlar nazariyasini matematiklarning o'zlariga tatbiq qilaylik.

Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, maosh beramiz. Shunday qilib, bir matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va uni stolimizga turli xil qoziqlarga qo'yamiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "ish haqining matematik to'plamini" beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning “Buni boshqalarga nisbatan qo‘llash mumkin, lekin menga emas!” degan mantig‘i ishlaydi. Keyin ular bizni bir xil nomdagi veksellar turli xil veksel raqamlariga ega ekanligiga ishontirishni boshlaydilar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng qiziqarli savol bor: ko'p to'plamning elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.

Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset mavjudligini anglatadi. Ammo bir xil stadionlarning nomlariga qarasak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'plarini olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qaysi biri to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.

Ushbu darsda biz koordinatali chiziq tushunchasi bilan tanishamiz, uning asosiy xarakteristikalari va xossalarini olamiz. Keling, asosiy muammolarni shakllantirish va hal qilishni o'rganamiz. Keling, ushbu muammolarni birlashtirishning bir nechta misollarini hal qilaylik.

Geometriya kursidan biz to'g'ri chiziq nima ekanligini bilamiz, lekin oddiy to'g'ri chiziq koordinatali chiziqqa aylanishi uchun nima qilish kerak?

1) Boshlanish nuqtasini tanlang;

2) yo'nalishni tanlang;

3) masshtabni tanlash;

1-rasmda muntazam chiziq, 2-rasmda koordinatali chiziq ko'rsatilgan.

Koordinata chizig'i l chiziq bo'lib, unda boshlang'ich nuqta O tanlangan - mos yozuvlar kelib chiqishi, masshtab birlik segmenti, ya'ni uzunligi birga teng deb hisoblangan segment va musbat yo'nalish.

Koordinata chizig'i koordinata o'qi yoki X o'qi deb ham ataladi.

Buning uchun koordinata chizig'i nima uchun kerakligini aniqlaymiz, biz uning asosiy xususiyatini aniqlaymiz; Koordinata chizig'i barcha raqamlar to'plami va ushbu chiziqdagi barcha nuqtalar to'plami o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatadi. Mana bir nechta misollar:

Ikkita raqam berilgan: (“+” belgisi, modul uchga teng) va (“-” belgisi, modul uchga teng).

Bu yerda son koordinata A, son koordinata B deyiladi.

Shuningdek, ular raqamning tasviri koordinatali C nuqta, raqamning tasviri esa koordinatali D nuqtasi ekanligini aytadilar:

Shunday qilib, koordinata chizig'ining asosiy xususiyati nuqtalar va raqamlar o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatish bo'lganligi sababli, ikkita asosiy vazifa paydo bo'ladi: nuqtani berilgan raqam bilan ko'rsatish, biz buni yuqorida bajarganmiz va ko'rsatish. berilgan nuqta bo'yicha raqam. Keling, ikkinchi vazifaning misolini ko'rib chiqaylik:

M nuqta berilsin:

Berilgan nuqtadan raqamni aniqlash uchun, avvalo, boshlang'ich nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofani aniqlash kerak. Bunday holda, masofa ikkiga teng. Endi sonning ishorasini, ya'ni M nuqta to'g'ri chiziqning qaysi nurida yotishini aniqlashingiz kerak, bu holda nuqta ko'rgazmaning o'ng tomonida, musbat nurda yotadi, bu raqam bo'ladi "+" belgisiga ega.

Keling, yana bir nuqtani ko'rib chiqaylik va undan raqamni aniqlash uchun foydalanamiz:

Boshlanish nuqtasidan nuqtagacha bo'lgan masofa oldingi misolga o'xshaydi, ikkiga teng, ammo bu holda nuqta koordinatalarning chap tomonida, manfiy nurda yotadi, ya'ni N nuqta sonni tavsiflaydi.

Koordinata chizig'i bilan bog'liq barcha tipik muammolar u yoki bu tarzda uning asosiy xususiyati va biz tuzgan va hal qilgan ikkita asosiy muammo bilan bog'liq.

Odatdagi vazifalarga quyidagilar kiradi:

-nuqtalar va ularning koordinatalarini joylashtira olish;

-raqamlarni taqqoslashni tushunish:

ifoda 4 koordinatali C nuqta 2 koordinatali M nuqtadan o'ng tomonda joylashganligini bildiradi:

Va aksincha, agar bizga koordinata chizig'idagi nuqtalarning joylashuvi berilgan bo'lsa, ularning koordinatalari ma'lum bir munosabat bilan bog'liqligini tushunishimiz kerak:

M(x M) va N(x N) nuqtalar berilsin:

Biz M nuqta n nuqtadan o'ng tomonda joylashganligini ko'ramiz, bu ularning koordinatalari bilan bog'liqligini bildiradi

-Nuqtalar orasidagi masofani aniqlash.

X va A nuqtalari orasidagi masofa sonning moduliga teng ekanligini bilamiz. ikkita nuqta berilsin:

Keyin ular orasidagi masofa teng bo'ladi:

Yana bir juda muhim vazifa sonlar to‘plamining geometrik tavsifi.

Koordinata o'qida joylashgan, uning kelib chiqishini o'z ichiga olmaydi, lekin boshqa barcha nuqtalarni o'z ichiga olgan nurni ko'rib chiqing:

Shunday qilib, bizga koordinata o'qida joylashgan nuqtalar to'plami beriladi. Keling, ushbu nuqtalar to'plami bilan tavsiflangan raqamlar to'plamini tavsiflaymiz. Bunday raqamlar va nuqtalar son-sanoqsiz, shuning uchun bu yozuv quyidagicha ko'rinadi:

Keling, izoh beramiz: ikkinchi yozish variantida, agar siz "(") qavs qo'ysangiz, u holda ekstremal raqam - bu holda 3 raqami to'plamga kiritilmaydi, lekin agar siz kvadrat qavs qo'ysangiz "[" ”, keyin ekstremal raqam to'plamga kiritilgan.

Shunday qilib, biz analitik tarzda berilgan nuqtalar to'plamini tavsiflovchi sonlar to'plamini yozdik. analitik belgi, aytganimizdek, tengsizlik yoki interval shaklida bajariladi.

Ballar to'plami berilgan:

Bunda a=3 nuqta to'plamga kiradi. Keling, analitik tarzda raqamlar to'plamini tavsiflaymiz:

Esda tutingki, qavs har doim cheksizlik belgisidan keyin yoki oldin joylashtiriladi, chunki biz hech qachon cheksizlikka erisha olmaymiz va topshiriq shartlariga qarab raqam yonida qavs yoki kvadrat qavs bo'lishi mumkin.

Teskari masala misolini ko'rib chiqamiz.

Koordinata chizig'i berilgan. Unga raqamli to'plamga mos keladigan nuqtalar to'plamini chizing va:

Koordinata chizig'i har qanday nuqta va son o'rtasida, shuning uchun sonlar to'plami va nuqtalar to'plami o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatadi. Biz ijobiy va salbiy yo'nalishlarga yo'naltirilgan nurlarni ko'rib chiqdik, ularning cho'qqisini o'z ichiga olgan holda va uni o'z ichiga olmaydi. Endi segmentlarni ko'rib chiqaylik.

10-misol:

Raqamlar to'plami berilgan. Tegishli nuqtalar to'plamini chizing

11-misol:

Raqamlar to'plami berilgan. Nuqtalar to'plamini chizish:

Ba'zan, segmentning uchlari to'plamga kiritilmaganligini ko'rsatish uchun o'qlar chiziladi:

12-misol:

Raqamlar to'plami berilgan. Uning geometrik modelini tuzing:

Intervaldan eng kichik sonni toping:

Agar mavjud bo'lsa, intervaldagi eng katta raqamni toping:

Sakkiztadan o'zboshimchalik bilan kichik sonni ayirib, natija eng katta son bo'ladi, deyishimiz mumkin, lekin biz darhol undan ham kichikroq sonni topamiz va ayirish natijasi ortadi, shuning uchun eng katta sonni topish mumkin emas. bu interval.

Keling, koordinata chizig'ida biron bir raqamga eng yaqin raqamni tanlashning iloji yo'qligiga e'tibor qarataylik, chunki har doim undan ham yaqinroq raqam mavjud.

Berilgan oraliqda nechta natural son bor?

Intervaldan quyidagi natural sonlarni tanlaymiz: 4, 5, 6, 7 - to'rtta natural son.

Eslatib o'tamiz, natural sonlar hisoblash uchun ishlatiladigan sonlardir.

Keling, yana bir to'plamni olaylik.

13-misol:

Raqamlar to'plami berilgan

Uning geometrik modelini tuzing: