Урок "Періодичність функцій y=sinx, y=cosx". Дослідження функції на періодичність

>> Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

§ 11. Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

У попередніх параграфах ми використали сім властивостей функцій: область визначення, парність або непарність, монотонність, обмеженість, найбільше та найменше значення, безперервність, область значень функції Використовували ми ці властивості або для того, щоб побудувати графік функції (так було, наприклад, § 9), або для того, щоб прочитати побудований графік (так було, наприклад, § 10). Тепер настав сприятливий моментдля введення ще однієї (восьмої) властивості функцій, яка чудово проглядається на побудованих вище графікахфункцій у = sin х(див. рис. 37), у=соs х(див. рис. 41).

Визначення.Функцію називають періодичною, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого х з множин виконується подвійне рівність:

Число Т, що задовольняє зазначеною умовоюназивають періодом функції у = f(х).
Звідси випливає, що для будь-якого х справедливі рівності:

то функції у = sin х, у = соs х є періодичними та число 2 пслужить періодом і тій, й іншій функції.
Періодичність функції - і є обіцяне восьме властивість функцій.

А тепер подивіться графік функції у = sin х (рис. 37). Щоб побудувати синусоїду, достатньо побудувати одну її хвилю (на відрізку, а потім зрушити цю хвилю по осі х на У результаті за допомогою однієї хвилі ми побудуємо весь графік.

Подивимося з цієї точки зору на графік функції у = соs х (рис. 41). Бачимо, що і тут для побудови графіка достатньо спочатку збудувати одну хвилю (наприклад, на відрізку

А потім зрушити її по осі х на
Узагальнюючи, робимо наступний висновок.

Якщо функція у = f(х) має період Т, то для побудови графіка функції потрібно спочатку побудувати гілка (хвилю, частина) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше беруть проміжок з кінцями в точках, а потім зрушити цю гілку по осі х вправо і ліворуч на Т, 2Т, ЗТ тощо.
У періодичної функції безліч періодів: якщо Т - період, то і 2Т - період, і ЗТ - період, і -Т - період; взагалі періодом є будь-яке число виду KТ, де = ±1, ±2, ± 3... Зазвичай намагаються, якщо це можливо, виділити найменший позитивний період, його називають основним періодом.
Отже, будь-яке число виду 2пк, де = ±1, ± 2, ± 3, є періодом функцій у = sinп х, у = соs х; 2п-основний період і тієї, і іншої функції.

приклад.Знайти основний період функції:

а)Нехай Т – основний період функції у = sin х. Покладемо

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність Але, оскільки мова йдепро відшукання основного періоду, отримуємо
б)Нехай Т - основний період функції у = 0,5х. Покладемо f(х) = 0,5х. Тоді f(х + Т) = соs 0,5 (х + Т) = соs (0,5 х + 0,5 Т).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значить, 0,5 т = 2пп. Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо 0.5Т = 2 л, Т = 4л.

Узагальненням результатів, отриманих у прикладі, є таке твердження: основний період функції

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

З центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Визначення
Сінус (sin α)- це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, Рівна відношенню довжини протилежного катета | BC | до довжини гіпотенузи | AC |

Косинус (cos α)- це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їхні основні властивості представлені в таблиці (n - ціле).

	y = sin x	y = cos x
Область визначення та безперервність	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Зростання
Зменшення
Максимуми, y = 1
Мінімуми, y = - 1
Нулі, y = 0
Крапки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косінусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косінусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціямидо синуса і косинусу є арксинус і арккосинус відповідно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Число T що для будь-якого x F(x + T) = F(x). Це число T називається періодом функції.

Періодів може бути кілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне й те саме значення, тому будь-яке число може вважатися її періодом.

Зазвичай цікавить найменший не рівний нулюперіод функції. Його для стислості і називають просто періодом.

Класичний приклад періодичних функцій – тригонометричні: синус, косинус та тангенс. Їх період однаковий і дорівнює 2π, тобто sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) тощо. Проте, зрозуміло, тригонометричні функції- не єдині періодичні.

Щодо простих, базових функційєдиний спосіб встановити їх періодичність чи неперіодичність – обчислення. Але для складних функцій вже є кілька простих правил.

Якщо F(x) - з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f(x) = F′(x) - теж періодична функція з періодом T. у цій точці до осі абсцис, а оскільки періодично повторюється, то має повторюватися. Наприклад, похідна від функції sin(x) дорівнює cos(x), і вона періодична. Беручи похідну cos(x), ви отримаєте –sin(x). Періодичність зберігається постійно.

Однак зворотне не завжди вірне. Так, функція f(x) = const періодична, та її первісна F(x) = const*x + C - немає.

Якщо F(x) - періодична функція з періодом T, то G(x) = a*F(kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T/k. Наприклад sin(2x) - періодична функція, та її період дорівнює π. Наочно це можна так: помножуючи x на якесь число, ви стискаєте функції по горизонталі саме в стільки разів

Якщо F1(x) і F2(x) - періодичні функції, та його періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій також може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 та T2. Якщо результат розподілу T1/T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, та її період дорівнює найменшому загальному кратному (НОК) періодів T1 та T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми дорівнюватиме НОК (12, 15) = 60.

Наочно це можна так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи (а точніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їхня сума почне новий період.

Але якщо співвідношення періодів , то сумарна функція нічого очікувати періодичної зовсім. Наприклад, нехай F1(x) = x mod 2 (залишок від розподілу x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут дорівнюватиме 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π - ірраціонального числа. Отже, функція sin(x) + x mod 2 не є періодичною.

Джерела:

• Теоретичні відомості про функції

Багато математичні функціїмають одну особливість, що полегшує їх побудову, - це періодичність, тобто повторюваність графіка координатної сітці через рівні проміжки.

Інструкція

Найвідомішими періодичними функціями математики синусоїда та косінусоїда. Ці функції мають хвилеподібний та основний період, що дорівнює 2П. Також окремим випадком періодичної функції є f(x)=const. На позицію х підходить будь-яке число, основного періоду дана функція не має, тому що є прямою.

Взагалі функція є періодичною, якщо є ціле число N, яке від нуля і задовольняє правилу f(x)=f(x+N), таким чином забезпечуючи повторюваність. Період функції – це і є найменша кількість N, але не нуль. Тобто, наприклад, функція sin x дорівнює функції sin (x+2ПN), де N=±1, ±2 тощо.

Іноді при функції може множник (наприклад, sin 2x), який збільшить або скоротить період функції. Для того щоб знайти період по