Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.

Ця стаття відкриває серію уроків, на яких я розгляну типові завдання, пов'язані з теорією функцій комплексної змінної Для успішного освоєння прикладів необхідно мати базовими знаннямипро комплексні числа. З метою закріплення та повторення матеріалу достатньо відвідати сторінку. Також потрібні навички знаходження приватних похідних другого порядку. Ось які, ці приватні похідні… навіть сам зараз трохи здивувався, наскільки часто зустрічаються…

Тема, яку ми починаємо розбирати, не становить особливих складнощів, і у функціях комплексної змінної, в принципі, все зрозуміло та доступно. Головне, дотримуватись основного правила, яке виведено мною досвідченим шляхом. Читайте далі!

Поняття функції комплексної змінної

Спочатку свіжим знання про шкільну функцію однієї змінної:

Функція однієї змінної-це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і лише одне значення функції. Звичайно, «ікс» і «ігрок» – справжні цифри.

У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:

Однозначна функція комплексної змінної- це правило, за яким кожному комплексномузначення незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне комплекснезначення функції. Теоретично розглядаються також багатозначні і деякі інші типи функцій, але для простоти я зупинюся одному визначенні.

Чим відрізняється функція комплексної змінної?

Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Бо зараз літера «зет» стала змінної, то її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «игрек» можуть приймати різні дійснізначення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З даного фактулогічно випливає наступний пункт:

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де і – дві функції двох дійснихзмінних.

Функція називається дійсною частиноюфункції.
Функція називається уявною частиноюфункції.

Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно все прояснити, розглянемо практичні приклади:

Приклад 1

Рішення:Незалежна змінна «зет», як ви пам'ятаєте, записується у вигляді , тому:

(1) У вихідну функцію підставили.

(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення. У доданку – розкрили дужки.

(3) Акуратно звели в квадрат, не забуваючи, що

(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки , в яких немає уявної одиниці(перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, та даний етапможна пропустити (фактично виконавши його усно).

(5) У другої групи виносимо за дужки.

В результаті наша функція виявилася у вигляді

Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.

Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади – шукатимемо. Але трохи згодом.

Коротко алгоритм вирішеного завдання можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі доданки на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).

Приклад 2

Знайти дійсну та уявну частину функції

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутись у бій на комплексній площині, дозвольте дати самий важлива порадапо темі:

БУДЬТЕ УВАЖНІ!Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.

Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес вирішення.

Диференціювання функцій комплексної змінної.

У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Таким чином, похідна береться точно так, як і у випадку функції дійсної змінної .

Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної немає взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи диференційованата чи інша функція. А з'ясовувати, як чує ваше серце, пов'язане з додатковими заморочками.

Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того, щоб ця функція була диференційована, необхідно і достатньо:

1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки в теорії функції комплексного змінного традиційно використовується інший варіант запису: .

2) Щоб виконувалися так звані умови Коші-Рімана:

Тільки в цьому випадку буде похідна!

Приклад 3

Рішеннярозкладається на три послідовні етапи:

1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:

Оскільки , то:

Таким чином:

- Уявна частина функції.

Зупинюся ще на одному технічному моменті: В якому порядкузаписувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , А уявний – так: .

2) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.

Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:

Таким чином, умова виконана.

Безперечно, приємна новина – приватні похідні майже завжди дуже прості.

Перевіряємо виконання другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.

3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться за звичайними правилами:

Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.

Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.

Існують ще два способи знаходження похідної, вони звичайно застосовуються рідше, але інформація буде корисна для розуміння другого уроку – Як визначити функцію комплексної змінної?

Похідну можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Таким чином

Потрібно вирішити обернену задачу - в отриманому виразі потрібно вичленувати. Для того, щоб це зробити, необхідно до доданків і винести за дужку:

Зворотне дію виконувати трохи важче, для перевірки завжди краще взяти вираз і на чернетці або усно розкрити назад дужки, переконавшись, що вийде саме

Дзеркальна формула для знаходження похідної:

В даному випадку: тому:

Приклад 4

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.

Коротке рішенняі зразокчистового оформлення наприкінці уроку.

Чи завжди виконуються умови Коші-Рімана? Теоретично вони частіше не виконуються, аніж виконуються. Але в практичні прикладия не пригадаю випадку, щоб вони не виконувалися =) Таким чином, якщо у вас «не зійшлися» приватні похідні, то з дуже великою ймовірністю можна сказати, що ви десь припустилися помилки.

Ускладнимо наші функції:

Приклад 5

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити

Рішення:Алгоритм рішення повністю зберігається, але в кінці додасться новий пункт: знаходження похідної в точці. Для куба потрібна формула виведена:

Визначимо дійсну та уявну частини цієї функції:

Увага та ще раз увага!

Оскільки , то:


Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Перевірка другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція є диференційованою:

Обчислимо значення похідної у потрібній точці:

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані,

Функції з кубами часто зустрічаються, тому приклад для закріплення:

Приклад 6

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити.

Рішення та зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Теоретично комплексного аналізу визначено та інші функції комплексного аргументу: експонента, синус, косинус тощо. Дані функції мають незвичайні і навіть химерні властивості – і це дійсно цікаво! Дуже хочеться розповісти, але тут, так уже вийшло, не довідник чи підручник, а решільник, тому я розгляну те саме завдання з деякими поширеними функціями.

Спочатку про так звані формулах Ейлера:

Для будь-кого дійсногочисла справедливі такі формули:

Також можете переписати в зошит як довідковий матеріал.

Строго кажучи, формула лише одна, але зазвичай для зручності пишуть і окремий випадокз мінусом у показнику. Параметр не повинен бути самотньою літерою, як може виступати складне вираження, функція, важливо лише, щоб вони приймали тільки дійснізначення. Власне, ми це побачимо прямо зараз:

Приклад 7

Знайти похідну.

Рішення:Генеральна лінія партії залишається непохитною – необхідно виділити дійсну та уявну частини функції. Наведу докладне рішення і нижче закоментую кожен крок:

Оскільки , то:

(1) Підставляємо замість "зет".

(2) Після підстановки потрібно виділити дійсну та уявну частину спочатку у показникуекспонентів. Для цього розкриваємо дужки.

(3) Групуємо уявну частину показника, виносячи уявну одиницю за дужки.

(4) Використовуємо шкільна діязі ступенями.

(5) Для множника використовуємо формулу Ейлера, при цьому.

(6) Розкриваємо дужки, в результаті:

- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Подальші дії стандартні, перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Приклад 9

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Похідну, так і бути, не знаходимо.

Рішення:Алгоритм рішення дуже схожий на попередні два приклади, але є дуже важливі моментитому початковий етапя знову закоментую покроково:

Оскільки , то:

1) Підставляємо замість "зет".

(2) Спочатку виділяємо дійсну та уявну частину всередині синуса. З цією метою розкриваємо дужки.

(3) Використовуємо формулу, при цьому .

(4) Використовуємо парність гіперболічного косинуса: і непарність гіперболічного синуса: . Гіперболіки, хоч і не від цього світу, але багато в чому нагадують аналогічні тригонометричні функції.

В підсумку:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Увага!Знак «мінус» відноситься до уявної частини, і його в жодному разі не втрачаємо! Для наочної ілюстрації отриманий результат можна переписати так:

Перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Умови Коші-Рімана виконані.

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані.

З косинусом, пані та панове, знаємося самостійно:

Приклад 10

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Я спеціально підібрав приклади складніше, оскільки з чимось начебто все впораються, як з очищеним арахісом. Заодно увагу потренуєте! Орехокол наприкінці уроку.

Ну і насамкінець розгляну ще один цікавий прикладколи комплексний аргумент знаходиться в знаменнику. Пару разів у практиці зустрічалося, розберемо щось просте. Ех, старію…

Приклад 11

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Рішення:Знову необхідно виділити дійсну та уявну частину функції.
Якщо то

Виникає питання, що робити, коли «зет» перебуває у знаменнику?

Все просто - допоможе стандартний прийом множення чисельника та знаменника на сполучене вираження, він уже застосовувався на прикладах уроку Комплексні числа для чайників. Згадуємо шкільну формулу. У знаменнику у нас вже є, значить, сполученим виразом буде. Таким чином, потрібно помножити чисельник і знаменник на: