Beräkning av relativa och absoluta mätfel. Relativt och absolut fel: koncept, beräkning och egenskaper
Mätningar av många mängder som förekommer i naturen kan inte vara exakta. Mätningen ger ett tal som uttrycker ett värde med varierande noggrannhetsgrad (längdmätning med en noggrannhet på 0,01 cm, beräkning av värdet på en funktion i en punkt med en noggrannhet på upp till etc.), det vill säga ungefär med något fel. Felet kan ställas in i förväg, eller omvänt måste det hittas.
Teorin om fel har som föremål för sin studie huvudsakligen ungefärliga siffror. När man räknar istället för 
Använd vanligtvis ungefärliga siffror: (om noggrannheten inte är särskilt viktig), (om noggrannheten är viktig). Hur man utför beräkningar med ungefärliga siffror, bestäm deras fel - det här är teorin om ungefärliga beräkningar (felteori).
I framtiden kommer exakta siffror att betecknas med versaler, och motsvarande ungefärliga siffror kommer att betecknas med små bokstäver.
Fel som uppstår i ett eller annat skede av att lösa problemet kan delas in i tre typer:
1) Problemfel. Denna typ av fel uppstår vid konstruktion matematisk modell fenomen. Det är långt ifrån alltid möjligt att ta hänsyn till alla faktorer och graden av deras inverkan på slutresultatet. Det vill säga, den matematiska modellen av ett objekt är inte dess exakta bild, dess beskrivning är inte korrekt. Ett sådant fel är oundvikligt.
2) Metodfel. Detta fel uppstår som ett resultat av att den ursprungliga matematiska modellen ersätts med en mer förenklad, till exempel i vissa problem med korrelationsanalys är en linjär modell acceptabel. Ett sådant fel är borttagbart, eftersom det i beräkningsstadierna kan reduceras till ett godtyckligt litet värde.
3) Beräkningsfel ("maskin"). Uppstår när en dator utför aritmetiska operationer.
Definition 1.1. Låt vara - exakt värde kvantiteter (tal), - det ungefärliga värdet av samma kvantitet (). Riktigt absolut fel ungefärligt tal är modulen för skillnaden mellan de exakta och ungefärliga värdena:
. (1.1)
Låt till exempel =1/3. Vid beräkning på MK gav de resultatet av att dividera 1 med 3 som ett ungefärligt tal = 0,33. Sedan 
.
Men i verkligheten, i de flesta fall, är det exakta värdet av kvantiteten inte känt, vilket innebär att (1.1) inte kan tillämpas, det vill säga det sanna absoluta felet kan inte hittas. Därför introduceras ett annat värde som fungerar som en uppskattning (övre gräns för ).
Definition 1.2.
Begränsa absolut fel ungefärligt tal, som representerar ett okänt exakt tal, kallas ett sådant möjligen mindre tal, som inte överstiger det sanna absolut fel, dvs 
. (1.2)
För ett ungefärligt antal kvantiteter som uppfyller ojämlikhet (1,2) finns det oändligt många, men den mest värdefulla av dem kommer att vara den minsta av alla som hittas. Från (1.2), baserat på definitionen av modulen, har vi , eller förkortat som likheten
. (1.3)
Likhet (1.3) bestämmer inom vilka gränser ett okänt exakt tal ligger (de säger att ett ungefärligt tal uttrycker ett exakt tal med ett begränsande absolut fel). Det är lätt att se att ju mindre, desto mer exakt bestäms dessa gränser.
Till exempel, om mätningar av ett visst värde gav resultatet cm, medan noggrannheten för dessa mätningar inte översteg 1 cm, då den sanna (exakta) längden 
centimeter.
Exempel 1.1. Givet ett nummer. Hitta det begränsande absoluta felet för talet genom talet.
Beslut: Från likhet (1,3) för talet ( =1,243; =0,0005) har vi en dubbel olikhet , d.v.s.
Sedan ställs problemet på följande sätt: att hitta för talet det begränsande absoluta felet som uppfyller olikheten 
. Med hänsyn till villkoret (*) får vi (i (*) subtraherar vi från varje del av ojämlikheten)
Sedan i vårt fall 
, sedan , varifrån =0,0035.
Svar: =0,0035.
Det begränsande absoluta felet ger ofta en dålig uppfattning om noggrannheten i mätningar eller beräkningar. Till exempel kommer \u003d 1 m när man mäter längden på en byggnad att indikera att de inte utfördes korrekt, och samma fel \u003d 1 m vid mätning av avståndet mellan städer ger mycket kvalitetsbedömning. Därför introduceras ett annat värde.
Definition 1.3. Riktigt relativ fel tal, som är ett ungefärligt värde av det exakta talet, är förhållandet mellan det sanna absoluta felet för talet och modulen för själva talet:
. (1.4)
Till exempel, om de exakta respektive ungefärliga värdena, då
Formel (1.4) är dock inte tillämplig om det exakta värdet på numret inte är känt. Därför, i analogi med det begränsande absoluta felet, introduceras det begränsande relativa felet.
Definition 1.4. Begränsande relativa fel ett tal som är en approximation av ett okänt exakt tal kallas det minsta möjliga talet , som inte överskrids av det sanna relativa felet , dvs
.
(1.5)
Från ojämlikhet (1,2) har vi 
; varifrån, med hänsyn till (1.5)
Formel (1.6) har en större praktisk användbarhet jämfört med (1.5), eftersom det exakta värdet inte deltar i den. Med hänsyn till (1.6) och (1.3) kan man hitta de gränser som innehåller det exakta värdet av den okända kvantiteten.
Låt några slumpmässigt värde a mätt n gånger under samma förhållanden. Mätresultaten gav ett set n olika nummer
Absolut fel- dimensionellt värde. Bland n värden för absoluta fel uppfyller nödvändigtvis både positiva och negativa.
För det mest sannolika värdet av kvantiteten a brukar ta genomsnitt betydelsen av mätresultaten
.
På vilket sätt fler antal mätningar, ju närmare medelvärdet är det verkliga värdet.
Absolut feli
.
Relativt feli dimensionen kallas kvantiteten
Relativt fel är en dimensionslös storhet. Vanligtvis uttrycks det relativa felet i procent för detta e i multiplicera med 100 %. Värdet på det relativa felet kännetecknar mätnoggrannheten.
Genomsnittligt absolut fel definieras så här:
.
Vi betonar behovet av att summera de absoluta värdena (modulerna) av kvantiteterna D och jag . Annars kommer det identiska nollresultatet att erhållas.
Genomsnittligt relativt fel kallas kvantiteten
.
På stora nummer mätningar.
Relativt fel kan betraktas som värdet av felet per enhet av den uppmätta storheten.
Noggrannheten i mätningarna bedöms utifrån en jämförelse av felen i mätresultaten. Därför uttrycks mätfelen i en sådan form att det, för att bedöma noggrannheten, skulle räcka att endast jämföra resultatens fel, utan att jämföra storlekarna på de uppmätta objekten eller känna till dessa storlekar mycket ungefärligt. Det är känt från praktiken att det absoluta felet vid mätning av vinkeln inte beror på vinkelns värde, och det absoluta felet vid mätning av längden beror på längdens värde. Ju större längdvärde, desto större är det absoluta felet för denna metod och mätförhållanden. Därför, enligt det absoluta felet i resultatet, är det möjligt att bedöma noggrannheten för att mäta vinkeln, men det är omöjligt att bedöma noggrannheten för att mäta längden. Uttrycket av felet i relativ form gör det möjligt att i vissa fall jämföra noggrannheten för vinkelmätningar och linjära mätningar.
Grundläggande begrepp inom sannolikhetsteorin. Slumpmässigt fel.
Slumpmässigt fel kallas komponenten av mätfelet, som ändras slumpmässigt med upprepade mätningar av samma kvantitet.
När upprepade mätningar av samma konstanta, oföränderliga kvantitet utförs med samma omsorg och under samma förhållanden får vi mätresultat - några av dem skiljer sig från varandra, och några av dem sammanfaller. Sådana avvikelser i mätresultaten indikerar närvaron av slumpmässiga felkomponenter i dem.
Slumpmässiga fel uppstår vid samtidig verkan av många källor, som var och en i sig har en omärklig effekt på mätresultatet, men den totala effekten av alla källor kan vara ganska stark.
Slumpmässiga fel är en oundviklig konsekvens av alla mätningar och beror på:
a) felaktiga avläsningar på skalan för instrument och instrument;
b) inte identiska förhållanden för upprepade mätningar;
c) slumpmässiga förändringar yttre förhållanden(temperatur, tryck, kraftfält etc.) som inte kan kontrolleras;
d) all annan påverkan på mätningar, vars orsaker är okända för oss. Storleken på det slumpmässiga felet kan minimeras genom upprepad upprepning av experimentet och lämplig matematisk bearbetning av resultaten.
Ett slumpmässigt fel kan anta olika absoluta värden, som inte kan förutsägas för en given mätakt. Detta fel kan vara både positivt och negativt. Slumpmässiga fel finns alltid i ett experiment. I frånvaro av systematiska fel orsakar de att upprepade mätningar sprids kring det sanna värdet.
Låt oss anta att vi med hjälp av ett stoppur mäter pendelns oscillationsperiod, och mätningen upprepas många gånger. Fel vid start och stopp av stoppuret, ett fel i referensvärdet, en liten ojämn rörelse av pendeln - allt detta orsakar en spridning i resultaten av upprepade mätningar och kan därför klassificeras som slumpmässiga fel.
Om det inte finns några andra fel kommer vissa resultat att vara något överskattade, medan andra kommer att vara något underskattade. Men om klockan utöver detta också är efter, så kommer alla resultat att underskattas. Detta är redan ett systematiskt fel.
Vissa faktorer kan orsaka både systematiska och slumpmässiga fel samtidigt. Så genom att slå på och av stoppuret kan vi skapa en liten oregelbunden spridning i ögonblicken för start och stopp av klockan i förhållande till pendelns rörelse och därigenom introducera ett slumpmässigt fel. Men om vi dessutom varje gång skyndar oss att slå på stoppuret och är något sena med att stänga av det, kommer detta att leda till ett systematiskt fel.
Slumpmässiga fel orsakas av ett parallaxfel vid avläsning av instrumentskalans divisioner, skakningar av byggnadsgrunden, påverkan av lätt luftrörelse etc.
Även om det är omöjligt att utesluta slumpmässiga fel i individuella mätningar, matematisk teori slumpmässiga fenomen gör att vi kan minska inverkan av dessa fel på det slutliga mätresultatet. Det kommer att visas nedan att för detta är det nödvändigt att göra inte en, utan flera mätningar, och ju mindre felvärde vi vill få, desto fler mätningar måste göras.
På grund av det faktum att förekomsten av slumpmässiga fel är oundviklig och oundviklig, är huvuduppgiften för varje mätprocess att få felen till ett minimum.
Teorin om fel bygger på två huvudsakliga antaganden, bekräftade av erfarenhet:
1. Med ett stort antal mätningar, slumpmässiga fel av samma storlek, men olika tecken, det vill säga fel i riktning mot att öka och minska resultatet är ganska vanliga.
2. Stora absoluta fel är mindre vanliga än små, så sannolikheten för ett fel minskar när dess värde ökar.
Slumpvariablernas beteende beskrivs av statistiska regelbundenheter, som är föremål för sannolikhetsteorin. Statistisk definition av sannolikhet w i evenemang iär attityden
var n - Totala numret experiment, n i- antalet experiment där händelsen i hände. I det här fallet bör det totala antalet experiment vara mycket stort ( n®¥). Med ett stort antal mätningar följer slumpmässiga fel en normalfördelning (gaussisk fördelning), vars huvuddrag är följande:
1. Ju större avvikelsen av värdet på det uppmätta värdet är från det verkliga värdet, desto mindre är sannolikheten för ett sådant resultat.
2. Avvikelser i båda riktningarna från det sanna värdet är lika sannolika.
Av ovanstående antaganden följer att för att minska påverkan av slumpmässiga fel är det nödvändigt att mäta denna kvantitet flera gånger. Anta att vi mäter något värde x. Låt produceras n mått: x 1, x 2, ... x n- med samma metod och med samma omsorg. Det kan förväntas att antalet dn erhållit resultat, som ligger i ett ganska snävt intervall från x innan x + dx, bör vara proportionell mot:
Värdet på det tagna intervallet dx;
Totalt antal mätningar n.
Sannolikhet dw(x) att något värde x ligger i intervallet från x innan x+dx, definieras enligt följande :
(med antalet mätningar n ®¥).
Fungera f(X) kallas fördelningsfunktionen eller sannolikhetstätheten.
Som ett postulat av teorin om fel antas det att resultaten av direkta mätningar och deras slumpmässiga fel, med ett stort antal av dem, följer normalfördelningslagen.
Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig slumpvariabel hittad av Gauss x har följande form:
, där mis -
fördelningsparametrar .
Parametern m för normalfördelningen är lika med medelvärdet á xñ en slumpvariabel, som, för en godtyckligt känd fördelningsfunktion, bestäms av integralen
.
Således, värdet m är det mest sannolika värdet av det uppmätta värdet x, dvs. hennes bästa uppskattning.
Parametern s 2 för normalfördelningen är lika med variansen D för den slumpmässiga variabeln, som i allmänhet bestäms av följande integral
.
Roten ur från variansen kallas standardavvikelsen för den slumpmässiga variabeln.
Medelavvikelsen (felet) för den slumpmässiga variabeln ásñ bestäms med hjälp av fördelningsfunktionen enligt följande
Det genomsnittliga mätfelet ásñ beräknat från den Gaussiska fördelningsfunktionen är relaterat till standardavvikelsen s enligt följande:
< s > = 0,8 s.
Parametrarna s och m är relaterade enligt följande:
.
Detta uttryck låter dig hitta standardavvikelsen s om det finns en normalfördelningskurva.
Grafen för den Gaussiska funktionen visas i figurerna. Fungera f(x) är symmetrisk med avseende på ordinatan ritad vid punkten x= m; passerar genom maximum vid punkten x= m och har en böjning i punkterna m ±s. Sålunda kännetecknar spridningen fördelningsfunktionens bredd, eller visar hur brett värdena för en slumpmässig variabel är spridda i förhållande till dess verkliga värde. På vilket sätt exakt mätning, ju närmare det verkliga värdet resultaten av individuella mätningar, dvs. värdet av s är mindre. Figur A visar funktionen f(x) för tre värden .
Arean av en figur avgränsad av en kurva f(x) och vertikala linjer ritade från punkter x 1 och x 2 (Fig. B) , är numeriskt lika med sannolikheten att mätresultatet faller inom intervallet D x = x 1 -x 2 , som kallas för konfidensnivå. Area under hela kurvan f(x) är lika med sannolikheten för att en stokastisk variabel faller in i intervallet från 0 till ¥, dvs.
,
eftersom sannolikheten för en viss händelse är lika med en.
Med hjälp av normalfördelningen ställer och löser felteori två huvudproblem. Den första är en bedömning av mätningarnas noggrannhet. Den andra är en bedömning av noggrannheten hos det aritmetiska medelvärdet av mätresultaten.5. Konfidensintervall. Elevens koefficient.
Sannolikhetsteori låter dig bestämma storleken på intervallet där med en känd sannolikhet wär resultatet av individuella mätningar. Denna sannolikhet kallas självförtroendenivå, och motsvarande intervall (<x>±D x)w kallad konfidensintervall. Konfidensnivån är också lika med den relativa andelen resultat som faller inom konfidensintervallet.
Om antalet mätningar när tillräckligt stor, så uttrycker konfidenssannolikheten andelen av det totala antalet n de mätningar där det uppmätta värdet låg inom konfidensintervallet. Varje konfidensnivå w motsvarar dess konfidensintervall w 2 80%. Ju bredare konfidensintervall, desto mer sannolikt är det att få ett resultat inom det intervallet. I sannolikhetsteorin etableras ett kvantitativt samband mellan värdet av konfidensintervallet, konfidenssannolikheten och antalet mätningar.
Om vi väljer det intervall som motsvarar medelfelet som konfidensintervall, det vill säga D a = AD añ, då motsvarar det för ett tillräckligt stort antal mätningar konfidenssannolikheten w 60 %. När antalet mätningar minskar kommer konfidenssannolikheten som motsvarar ett sådant konfidensintervall (á) añ ± AD añ) minskar.
För att uppskatta konfidensintervallet för en slumpvariabel kan man alltså använda värdet på medelfelet D añ .
För att karakterisera storleken på ett slumpmässigt fel är det nödvändigt att ställa in två siffror, nämligen storleken på konfidensintervallet och storleken på konfidenssannolikheten . Att endast specificera storleken på felet utan motsvarande konfidenssannolikhet är i stort sett meningslöst.
Om det genomsnittliga mätfelet ásñ är känt, skrivs konfidensintervallet som (<x> ±asñ) w, bestäms med tillförlitlig sannolikhet w= 0,57.
Om standardavvikelsen s är känd fördelning av mätresultat, det angivna intervallet har formen (<x>± tw s) w, var tw- koefficient beroende på värdet av konfidenssannolikheten och beräknad enligt Gaussfördelningen.
De mest använda kvantiteterna D x visas i tabell 1.
Måtten kallas hetero, om värdena för kvantiteterna bestäms direkt av instrumenten (till exempel mäta längden med en linjal, bestämma tiden med ett stoppur, etc.). Måtten kallas indirekt, om värdet på den uppmätta storheten bestäms av direkta mätningar av andra storheter som är associerade med det uppmätta specifika förhållandet.
Slumpmässiga fel i direkta mätningar
Absolut och relativ fel. Låt det hållas N mätningar av samma kvantitet x i frånvaro av systematiska fel. De individuella mätresultaten ser ut som: x 1 ,x 2 , …,x N. Medelvärdet för den uppmätta kvantiteten väljs som det bästa:
Absolut fel enkel mätning kallas skillnaden i formen:
.
Genomsnittligt absolut fel N enstaka mått:
(2)
kallad genomsnittligt absolut fel.
Relativt felär förhållandet mellan det genomsnittliga absoluta felet och medelvärdet för den uppmätta storheten:
.
(3)
Instrumentfel i direkta mätningar
Om det inte finns några speciella instruktioner är instrumentets fel lika med hälften av dess divisionsvärde (linjal, bägare).
Felet för instrument utrustade med en vernier är lika med divisionsvärdet för vernier (mikrometer - 0,01 mm, tjocklek - 0,1 mm).
Felet i tabellvärdena är lika med halva enheten för den sista siffran (fem enheter i nästa ordning efter den sista signifikanta siffran).
Felet för elektriska mätinstrument beräknas enligt noggrannhetsklassen Med anges på instrumentskalan:
Till exempel: 
och 
,
var U max och jag max– mätgräns för enheten.
Felet för enheter med digital indikering är lika med enheten för den sista siffran i indikeringen.
Efter att ha bedömt de slumpmässiga och instrumentella felen, beaktas den vars värde är större.
Beräkning av fel i indirekta mätningar
De flesta mätningar är indirekta. I detta fall är det önskade värdet X en funktion av flera variabler en,b, c… , vars värden kan hittas genom direkta mätningar: Х = f( a, b, c…).
Det aritmetiska medelvärdet av resultatet av indirekta mätningar kommer att vara lika med:
X = f( a, b, c…).
Ett av sätten att beräkna felet är sättet att differentiera den naturliga logaritmen för funktionen X = f( a,
b,
c...). Om t.ex. önskat värde X bestäms av relationen X = 
, sedan efter att ha tagit logaritmen får vi: lnX = ln a+ln b+ln( c+
d).
Skillnaden mellan detta uttryck är:
.
När det gäller beräkningen av ungefärliga värden kan det skrivas för det relativa felet i formen:
=
.
(4)
Det absoluta felet i detta fall beräknas med formeln:
Х = Х(5)
Således utförs beräkningen av fel och beräkningen av resultatet för indirekta mätningar i följande ordning:
1) Genomför mätningar av alla kvantiteter som ingår i den ursprungliga formeln för att beräkna slutresultatet.
2) Beräkna de aritmetiska medelvärdena för varje uppmätt värde och deras absoluta fel.
3) Ersätt medelvärdena för alla uppmätta värden i den ursprungliga formeln och beräkna medelvärdet för det önskade värdet:
X = f( a, b, c…).
4) Ta logaritmen för den ursprungliga formeln X = f( a, b, c...) och skriv ner uttrycket för det relativa felet i form av formel (4).
5) Beräkna det relativa felet = 
.
6) Beräkna det absoluta felet för resultatet med formeln (5).
7) Slutresultatet skrivs som:
|
X \u003d X jfr X |
De absoluta och relativa felen för de enklaste funktionerna ges i tabellen:
|
Absolut fel |
Relativ fel |
|
|
a+ b |
a+ b |
|
|
a+ b |
|
|
|
På grund av de inneboende felen i mätinstrumentet, den valda metoden och mättekniken, skillnaden i de yttre förhållandena under vilka mätningen utförs från de etablerade och andra orsaker, är resultatet av nästan varje mätning belastat med ett fel. Detta fel beräknas eller uppskattas och hänförs till det erhållna resultatet. Mätfel(kortfattat - mätfel) - avvikelse av mätresultatet från det verkliga värdet av den uppmätta storheten. Det verkliga värdet av kvantiteten på grund av förekomsten av fel förblir okänt. Det används för att lösa teoretiska uppgifter metrologi. I praktiken används det verkliga värdet av kvantiteten, vilket ersätter det verkliga värdet. Mätfelet (Δx) hittas av formeln: x = x mått. - x faktiskt (1.3) där x mäter. - Värdet av den kvantitet som erhållits på grundval av mätningar. x faktiskt är värdet av kvantiteten som tas som verklig. Det verkliga värdet för enstaka mätningar tas ofta som det värde som erhålls med hjälp av ett exemplariskt mätinstrument, för upprepade mätningar - det aritmetiska medelvärdet av värdena för individuella mätningar som ingår i denna serie. Mätfel kan klassificeras enligt följande kriterier: Av manifestationens natur - systematisk och slumpmässig; Som uttryck - absolut och relativ; Enligt villkoren för att ändra det uppmätta värdet - statisk och dynamisk; Enligt metoden för att bearbeta ett antal mätningar - aritmetiska och rotmedelkvadrater; Enligt fullständigheten av täckningen av mätuppgiften - privat och komplett; I förhållande till enhet fysisk kvantitet— Fel vid återgivning av enheten, lagring av enheten och överföring av enhetens storlek. Systematiskt mätfel(kortfattat - systematiskt fel) - en komponent av felet i mätresultatet, som förblir konstant för en given serie mätningar eller ändras regelbundet under upprepade mätningar av samma fysiska kvantitet. Enligt manifestationens karaktär är systematiska fel uppdelade i konstanta, progressiva och periodiska. Permanenta systematiska fel(kortfattat - konstanta fel) - fel, länge sedan bibehåller sitt värde (till exempel under hela mätserien). Detta är den vanligaste typen av fel. Progressiva systematiska fel(kortfattat - progressiva fel) - kontinuerligt ökande eller minskande fel (till exempel fel på grund av slitage på mätspetsar som kommer i kontakt med en del under slipning när den styrs av en aktiv styranordning). Periodiskt systematiskt fel(kort sagt - periodiskt fel) - ett fel vars värde är en funktion av tiden eller en funktion av pekarens rörelse mätinstrument(till exempel, förekomsten av excentricitet i goniometrar med en cirkulär skala orsakar ett systematiskt fel som varierar enligt en periodisk lag). Baserat på orsakerna till uppkomsten av systematiska fel finns instrumentella fel, metodfel, subjektiva fel och fel på grund av avvikelse av externa mätförhållanden från etablerade metoder. Instrumentellt mätfel(kortfattat - instrumentellt fel) är resultatet av ett antal orsaker: slitage på delar av enheten, överdriven friktion i enhetens mekanism, felaktiga slag på skalan, diskrepans mellan den faktiska och nominella värdenåtgärder osv. Mätmetodfel(kortfattat - metodens fel) kan uppstå på grund av ofullkomligheten i mätmetoden eller dess förenklingar, fastställda av mätproceduren. Till exempel kan ett sådant fel bero på den otillräckliga hastigheten hos mätinstrumenten som används vid mätning av parametrarna för snabba processer eller på oredovisade föroreningar vid bestämning av densiteten hos ett ämne baserat på resultaten av mätningen av dess massa och volym. Subjektivt mätfel(kortfattat - subjektivt fel) beror på operatörens individuella fel. Ibland kallas detta fel personlig skillnad. Det orsakas t.ex. av en försening eller framsteg i operatörens acceptans av en signal. Avvikelsefel(i en riktning) av de externa mätförhållandena från de som fastställts av mätproceduren leder till uppkomsten av en systematisk komponent av mätfelet. Systematiska fel förvränger mätresultatet, så de måste elimineras, så långt det är möjligt, genom att införa korrigeringar eller justera instrumentet för att få de systematiska felen till ett acceptabelt minimum. Ej uteslutet systematiskt fel(kortfattat - icke-exkluderat fel) - detta är felet i mätresultatet som beror på felet vid beräkning och införande av en korrigering för effekten av ett systematiskt fel, eller ett litet systematiskt fel, vars korrigering inte införs p.g.a. litenhet. Denna typ av fel kallas ibland icke-exkluderade bias-rester(kortfattat - icke-exkluderade saldon). Till exempel, vid mätning av längden på en linjemätare i referensstrålningens våglängder, avslöjades flera icke-exkluderade systematiska fel (i): på grund av felaktig temperaturmätning - 1 ; på grund av den felaktiga bestämningen av luftens brytningsindex - 2, på grund av det felaktiga värdet på våglängden - 3. Vanligtvis beaktas summan av icke-exkluderade systematiska fel (deras gränser sätts). Med antalet termer N ≤ 3, beräknas gränserna för icke-exkluderade systematiska fel med formeln När antalet termer är N ≥ 4 används formeln för beräkningar
där k är koefficienten för beroende av icke-exkluderade systematiska fel på den valda konfidenssannolikheten Р med deras enhetliga fördelning. Vid P = 0,99, k = 1,4, vid P = 0,95, k = 1,1. Slumpmässigt mätfel(kortfattat - slumpmässigt fel) - en komponent av felet i mätresultatet, som ändras slumpmässigt (i tecken och värde) i en serie mätningar av samma storlek som en fysisk storhet. Orsaker till slumpmässiga fel: avrundningsfel vid avläsning av avläsningar, variation i avläsningar, förändringar i mätförhållanden av slumpmässig karaktär, etc. Slumpmässiga fel orsakar spridning av mätresultat i en serie. Teorin om fel bygger på två bestämmelser, bekräftade av praktiken: 1. Vid ett stort antal mätningar uppträda lika ofta slumpmässiga fel av samma numeriska värde, men med ett annat tecken; 2. Stora (i absolut värde) fel är mindre vanliga än små. En viktig slutsats för praktiken följer från den första positionen: med en ökning av antalet mätningar minskar det slumpmässiga felet i resultatet från en serie mätningar, eftersom summan av felen för individuella mätningar i denna serie tenderar till noll, dvs.
Till exempel, som ett resultat av mätningar, erhölls en serie värden elektrisk resistans(som är korrigerade för effekterna av systematiska fel): R1 = 15,5 ohm, R2 = 15,6 ohm, R3 = 15,4 ohm, R4 = 15,6 ohm och R5 = 15,4 ohm. R = 15,5 ohm. Avvikelser från R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm och R 5 \u003d -0,1 Ohm) är slumpmässiga fel av individuella mätningar i en given serie. Det är lätt att se att summan R i = 0,0. Detta indikerar att felen för individuella mätningar i denna serie är korrekt beräknade. Trots det faktum att med en ökning av antalet mätningar tenderar summan av slumpmässiga fel till noll (i detta exempel hon råkade vara det noll-), måste det slumpmässiga felet för mätresultatet uppskattas. I teorin om slumpvariabler fungerar spridningen av o2 som en egenskap för spridningen av värdena för en slumpvariabel. "| / o2 \u003d a kallas standardavvikelsen för den allmänna befolkningen eller standardavvikelse. Det är bekvämare än spridning, eftersom dess dimension sammanfaller med dimensionen på den uppmätta kvantiteten (till exempel erhålls värdet på kvantiteten i volt, standardavvikelsen kommer också att vara i volt). Eftersom man i praktiken av mätningar handlar om termen "fel", bör termen "root mean square error" som härrör från det användas för att karakterisera ett antal mätningar. Ett antal mätningar kan karakteriseras av det aritmetiska medelfelet eller intervallet av mätresultat. Mätresultatintervallet (kortfattat - intervall) är den algebraiska skillnaden mellan de största och minsta resultaten av individuella mätningar som bildar en serie (eller ett urval) av n mätningar: R n \u003d X max - X min (1,7) där Rn är området; X max och X min - den största och minsta värde värden i en given serie mätningar. Till exempel, av fem mätningar av håldiametern d, visade sig värdena R 5 = 25,56 mm och R 1 = 25,51 mm vara dess maximala och lägsta värden. I det här fallet, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Detta innebär att de återstående felen i denna serie är mindre än 0,05 mm. Genomsnittligt aritmetiskt fel för en enskild mätning i en serie(kortfattat - det aritmetiska medelfelet) - den generaliserade spridningskarakteristiken (på grund av slumpmässiga skäl) för individuella mätresultat (av samma värde), inkluderade i en serie av n lika exakta oberoende mätningar, beräknas med formeln
där X i är resultatet av den i:te mätningen som ingår i serien; x är det aritmetiska medelvärdet av n värden av kvantiteten: |X i - X| är det absoluta värdet av felet i den i:te mätningen; r är det aritmetiska medelfelet. Det sanna värdet av det aritmetiska medelfelet p bestäms från förhållandet p = lim r, (1,9) Med antalet mätningar n > 30, mellan det aritmetiska medelvärdet (r) och medelkvadraten (s) det finns samband s = 1,25r; r och = 0,80 s. (1,10) Fördelen med det aritmetiska medelfelet är enkelheten i dess beräkning. Men bestämmer fortfarande oftare medelkvadratfelet. Root mean square error individuell mätning i en serie (kortfattat - rotmedelkvadratfel) - en generaliserad spridningskarakteristik (på grund av slumpmässiga orsaker) för individuella mätresultat (av samma värde) som ingår i en serie av P lika exakta oberoende mätningar, beräknade med formeln
Rotmedelvärdesfelet för det allmänna urvalet o, som är den statistiska gränsen för S, kan beräknas för /i-mx > med formeln: Σ = lim S (1.12) I verkligheten är antalet dimensioner alltid begränsat, så det är inte σ som beräknas , och dess ungefärliga värde (eller uppskattning), som är s. Ju mer P, ju närmare s är dess gräns σ . Med en normalfördelning är sannolikheten liten att felet för en enstaka mätning i en serie inte överstiger det beräknade rotmedelkvadratfelet: 0,68. Därför, i 32 fall av 100 eller 3 fall av 10, kan det faktiska felet vara större än det beräknade.
Figur 1.2 Minskning av värdet av det slumpmässiga felet av resultatet av flera mätningar med en ökning av antalet mätningar i en serie I en serie mätningar finns det ett samband mellan rms-felet för en enskild mätning s och rms-felet för det aritmetiska medelvärdet S x: som ofta kallas "regeln för Y n". Det följer av denna regel att mätfelet på grund av inverkan av slumpmässiga orsaker kan minskas med n gånger om n mätningar av samma storlek av vilken storhet som helst utförs och det aritmetiska medelvärdet tas som slutresultat (Fig. 1.2) ). Att utföra minst 5 mätningar i en serie gör det möjligt att minska effekten av slumpmässiga fel med mer än 2 gånger. Med 10 mätningar reduceras effekten av slumpmässiga fel med en faktor 3. En ytterligare ökning av antalet mätningar är inte alltid ekonomiskt genomförbar och utförs i regel endast för kritiska mätningar som kräver hög noggrannhet. Rotmedelvärdesfelet för en enkel mätning från en serie homogena dubbelmätningar S α beräknas med formeln
där x"i och x""i är i:te resultaten av mätningar av samma storleksmängd i riktning framåt och bakåt med ett mätinstrument. Med ojämna mätningar bestäms rotmedelkvadratfelet för det aritmetiska medelvärdet i serien av formeln
där p i är vikten av det i:te måttet i en serie ojämna mätningar. Rotmedelkvadratfelet för resultatet av indirekta mätningar av kvantiteten Y, som är en funktion av Y \u003d F (X 1, X 2, X n), beräknas med formeln
där S1, S2, Sn är rot-medelkvadratfel för mätresultaten för X1, X2, Xn. Om flera serier av mätningar utförs för större tillförlitlighet för att erhålla ett tillfredsställande resultat, hittas rot-medelkvadratfelet för en individuell mätning från m-serien (S m) av formeln
Där n är antalet mätningar i serien; N är det totala antalet mätningar i alla serier; m är antalet serier. Med ett begränsat antal mätningar är det ofta nödvändigt att känna till RMS-felet. För att bestämma felet S, beräknat med formeln (2.7), och felet S m, beräknat med formeln (2.12), kan du använda följande uttryck
där S och S m är medelkvadratfelen för S respektive S m . Till exempel, när vi bearbetade resultaten av en serie mätningar av längden x, fick vi
Värdet S = ±0,7 mm betyder att s, på grund av räknefelet, ligger i intervallet från 2,4 till 3,8 mm, därför är tiondels millimeter otillförlitliga här. I det aktuella fallet är det nödvändigt att skriva ner: S = ±3 mm. För att få större tilltro till uppskattningen av felet i mätresultatet beräknas konfidensfelet eller konfidensgränserna för felet. Med en normalfördelningslag beräknas konfidensgränserna för felet som ±t-s eller ±t-s x, där s och s x är rotmedelkvadratfelen för en enskild mätning i en serie och det aritmetiska medelvärdet; t är ett tal beroende på konfidensnivån P och antalet mätningar n. Ett viktigt begrepp är tillförlitligheten hos mätresultatet (α), d.v.s. sannolikheten att det önskade värdet för den uppmätta storheten faller inom ett givet konfidensintervall. Till exempel, vid bearbetning av delar på verktygsmaskiner i ett stabilt tekniskt läge, följer fördelningen av fel den normala lagen. Antag att dellängdstoleransen är inställd på 2a. I det här fallet kommer konfidensintervallet i vilket det önskade värdet på längden på delen a är beläget att vara (a - a, a + a). Om 2a = ±3s, då är tillförlitligheten av resultatet a = 0,68, dvs i 32 fall av 100, bör delstorleken förväntas gå utöver toleransen på 2a. Vid utvärdering av delens kvalitet enligt toleransen 2a = ±3s, blir resultatets tillförlitlighet 0,997. I detta fall kan endast tre delar av 1000 förväntas gå utöver den fastställda toleransen. En ökning av tillförlitligheten är dock möjlig endast med en minskning av felet i delens längd. Så för att öka tillförlitligheten från a = 0,68 till a = 0,997, måste felet i delens längd reduceras med en faktor tre. Nyligen mottagen bred användning begreppet "mättillförlitlighet". I vissa fall används det orimligt istället för uttrycket "mätnoggrannhet". Till exempel kan man i vissa källor hitta uttrycket "att etablera enhet och tillförlitlighet av mätningar i landet." Medan det skulle vara mer korrekt att säga "etablering av enhet och den erforderliga noggrannheten i mätningarna". Tillförlitlighet betraktas av oss som en kvalitativ egenskap, som återspeglar närheten till noll av slumpmässiga fel. Kvantitativt kan det bestämmas genom mätningarnas opålitlighet. Osäkerhet vid mätningar(kortfattat - opålitlighet) - en bedömning av diskrepansen mellan resultaten i en serie mätningar på grund av påverkan av den totala effekten av slumpmässiga fel (bestämda av statistiska och icke-statistiska metoder), kännetecknad av värdeintervallet i vilket det verkliga värdet av den uppmätta storheten finns. I enlighet med rekommendationerna från International Bureau of Weights and Measures uttrycks osäkerheten som det totala rms-mätfelet - Su inklusive rms-felet S (bestämt med statistiska metoder) och rms-felet u (bestämt med icke-statistiska metoder) , dvs.
Begränsa mätfel(kortfattat - marginellt fel) - det maximala mätfelet (plus, minus), vars sannolikhet inte överstiger värdet av P, medan skillnaden 1 - P är obetydlig. Till exempel, med en normalfördelning är sannolikheten för ett slumpmässigt fel på ±3s 0,997, och skillnaden 1-P = 0,003 är obetydlig. Därför tas i många fall konfidensfelet ±3s som gräns, dvs. pr = ±3s. Vid behov kan pr även ha andra samband med s för tillräckligt stort P (2s, 2,5s, 4s, etc.). I samband med att man i GSI-standarderna istället för termen "root mean square error" använder termen "root mean square deviation", kommer vi i vidare resonemang att hålla oss till denna term. Absolut mätfel(kortfattat - absolut fel) - mätfel, uttryckt i enheter av det uppmätta värdet. Så, felet X för att mäta längden på delen X, uttryckt i mikrometer, är ett absolut fel. Begreppen "absolut fel" och "absolut felvärde" ska inte blandas ihop, vilket förstås som värdet av felet utan att ta hänsyn till tecknet. Så om det absoluta mätfelet är ±2 μV, kommer det absoluta värdet av felet att vara 0,2 μV. Relativt mätfel(kortfattat - relativt fel) - mätfel, uttryckt som en bråkdel av värdet på det uppmätta värdet eller i procent. Det relativa felet δ hittas från förhållandena:
Till exempel finns det ett reellt värde på dellängden x = 10,00 mm och ett absolut värde för felet x = 0,01 mm. Det relativa felet blir Statiskt felär felet i mätresultatet på grund av förhållandena för den statiska mätningen. Dynamiskt felär felet i mätresultatet på grund av förhållandena för dynamisk mätning. Enhetsreproduktionsfel- fel i resultatet av mätningar som utförts vid reproduktion av en fysisk kvantitetsenhet. Så felet vid reproduktion av en enhet med hjälp av tillståndsstandarden indikeras i form av dess komponenter: ett icke-exkluderat systematiskt fel, kännetecknat av dess gräns; slumpmässigt fel som kännetecknas av standardavvikelsen s och årlig instabilitet ν. Enhetsstorlek överföringsfelär felet i resultatet av mätningar som utförts vid överföring av enhetens storlek. Enhetsstorleksöverföringsfelet inkluderar icke-exkluderade systematiska fel och slumpmässiga fel i metoden och medel för enhetsstorleksöverföring (till exempel en komparator). abstrakt Absolut och relativ fel Introduktion Absolut fel - är en uppskattning av det absoluta mätfelet. Beräknad olika sätt. Beräkningsmetoden bestäms av fördelningen av den slumpmässiga variabeln. Följaktligen beror storleken på det absoluta felet på fördelningen av den slumpmässiga variabeln kan vara annorlunda. Om en är det uppmätta värdet, och är det sanna värdet, sedan ojämlikheten måste nöjas med någon sannolikhet nära 1. Om den slumpmässiga variabeln fördelat enligt normallagen, brukar dess standardavvikelse tas som det absoluta felet. Absolut fel mäts i samma enheter som själva värdet. Det finns flera sätt att skriva en kvantitet tillsammans med dess absoluta fel. · Vanligtvis används signerad notation ± . Till exempel är rekordet på 100 m som sattes 1983 9,930±0,005 s. · För att registrera värden som mäts med mycket hög noggrannhet används en annan notation: siffrorna som motsvarar felet i de sista siffrorna i mantissan läggs till inom parentes. Till exempel är det uppmätta värdet för Boltzmann-konstanten 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, som också kan skrivas mycket längre som 1,380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K. Relativt fel- Mätfel, uttryckt som förhållandet mellan det absoluta mätfelet och det faktiska eller genomsnittliga värdet av den uppmätta storheten (RMG 29-99):. Relativt fel är en dimensionslös storhet eller mäts i procent. 1. Vad kallas ett ungefärligt värde? För mycket och för lite? I beräkningsprocessen har man ofta att göra med ungefärliga siffror. Låt vara MEN- det exakta värdet av en viss kvantitet, nedan kallad exakt antal MEN.Under det ungefärliga värdet av kvantiteten MEN,eller ungefärliga siffrorringde ett nummer a, som ersätter det exakta värdet av kvantiteten MEN.Om en a< MEN,sedan akallas talets ungefärliga värde Och i brist.Om en a> MEN,- då i överskott.Till exempel är 3,14 en uppskattning av antalet ? vid brist och 3,15 vid överskott. För att karakterisera graden av noggrannhet av denna approximation används begreppet fel eller fel. fel ?aungefärligt antal akallas skillnaden i formen ?a = A - a, var MENär motsvarande exakta nummer. Figuren visar att längden på segmentet AB är mellan 6 cm och 7 cm. Detta betyder att 6 är det ungefärliga värdet på längden på segmentet AB (i centimeter)\u003e med en brist, och 7 är med ett överskott. Genom att beteckna segmentets längd med bokstaven y får vi: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentetAB (se fig. 149) är närmare 6 cm än 7 cm. Det är ungefär lika med 6 cm. De säger att talet 6 erhölls genom att avrunda segmentets längd till heltal. . Vad är ett approximationsfel? A) absolut? B) Släkting? A) Det absoluta approximationsfelet är modulen för skillnaden mellan det sanna värdet av en storhet och dess approximativa värde. |x - x_n|, där x är det sanna värdet, x_n är det ungefärliga värdet. Till exempel: Längden på ett A4-ark är (29,7 ± 0,1) cm och avståndet från St. Petersburg till Moskva är (650 ± 1) km. Det absoluta felet i det första fallet överstiger inte en millimeter och i det andra - en kilometer. Frågan är att jämföra noggrannheten i dessa mätningar. Om du tror att längden på arket mäts mer exakt eftersom det absoluta felet inte överstiger 1 mm. Då har du fel. Dessa värden kan inte direkt jämföras. Låt oss resonera lite. Vid mätning av längden på ett ark överstiger det absoluta felet inte 0,1 cm gånger 29,7 cm, det vill säga i procent är det 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% av det uppmätta värdet. När vi mäter avståndet från St Petersburg till Moskva överstiger det absoluta felet inte 1 km per 650 km, vilket är 1/650 * 100% = 0,15% av det uppmätta värdet i procent. Vi ser att avståndet mellan städer mäts mer exakt än längden på ett A4-ark. B) Det relativa approximationsfelet är förhållandet mellan det absoluta felet och modulen för det approximativa värdet av storheten. matematisk felfraktion där x är det sanna värdet, x_n är det ungefärliga värdet. Relativt fel kallas vanligtvis som en procentsats. Exempel. Att avrunda talet 24,3 till enheter resulterar i talet 24. Det relativa felet är lika. De säger att det relativa felet i detta fall är 12,5%. ) Vilken sorts avrundning kallas avrundning? A) med en nackdel? b) För mycket? A) avrundning nedåt Vid avrundning av ett tal uttryckt som ett decimaltal till inom 10^(-n), med en brist, behålls de första n siffrorna efter decimalkomma, och de efterföljande slängs. Till exempel, avrundning av 12,4587 till närmaste tusendel med en brist ger 12,458. B) Avrundning uppåt Vid avrundning av ett tal uttryckt som ett decimaltal, upp till 10^(-n), behålls de första n siffrorna efter decimalkomma med ett överskott, och de efterföljande siffrorna kasseras. Till exempel, avrundning av 12,4587 till närmaste tusendel med en brist ger 12,459. ) Regeln för avrundning av decimaler. Regel. För att avrunda en decimal till en viss siffra i heltals- eller bråkdelen, ersätts alla mindre siffror med nollor eller kasseras, och siffran före siffran som kasseras under avrundningen ändrar inte sitt värde om den följs av siffrorna 0, 1, 2, 3, 4 och ökar med 1 (ett) om siffrorna är 5, 6, 7, 8, 9. Exempel. Avrunda bråket 93,70584 till: tiotusendelar: 93,7058 tusendelar: 93,706 hundradelar: 93,71 tiondelar: 93,7 heltal: 94 tiotal: 90 Trots likheten av absoluta fel, sedan uppmätta mängder är olika. Ju större den uppmätta storleken är, desto mindre är det relativa felet vid en konstant absolut. HandledningBehöver du hjälp med att lära dig ett ämne?
Våra experter kommer att ge råd eller tillhandahålla handledningstjänster i ämnen av intresse för dig. Vi rekommenderar också
 Läser in... |
(1.5)
(1.6)
(1.8)
(1.11)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
= 86 mm 2 vid n = 10,
= 3,1 mm
= 0,7 mm eller S = ±0,7 mm
(1.20)
(1.21)
