Trigonometrisko vienādojumu vērtības. Trigonometrisko vienādojumu risināšana

Nepieciešamas zināšanas par trigonometrijas pamatformulām - sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pieskares izteiksmi caur sinusu un kosinusu un citām. Tiem, kas tos ir aizmirsuši vai nezina, iesakām izlasīt rakstu "".
Tātad, mēs zinām pamata trigonometriskās formulas, ir pienācis laiks tās likt lietā. Trigonometrisko vienādojumu risināšana ar pareizo pieeju tā ir diezgan aizraujoša nodarbe, kā, piemēram, Rubika kuba risināšana.

Pamatojoties uz pašu nosaukumu, ir skaidrs, ka trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir tā sauktie vienkāršie trigonometriskie vienādojumi. Lūk, kā tie izskatās: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Apsveriet, kā atrisināt šādus trigonometriskos vienādojumus, skaidrības labad izmantosim jau pazīstamo trigonometrisko apli.

sinx = a

cos x = a

iedegums x = a

gultiņa x = a

Jebkurš trigonometriskais vienādojums tiek atrisināts divos posmos: vienādojumu veido vienkāršākā formā un pēc tam atrisina kā vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Ir 7 galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

Mainīgo aizstāšana un aizstāšanas metode

Atrisiniet vienādojumu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Vienkāršības labad aizstāsim cos(x + /6) ar y un iegūsim parasto kvadrātvienādojumu:

2 g 2 – 3 g + 1 + 0

Kuru saknes y 1 = 1, y 2 = 1/2

Tagad iesim atpakaļ

Mēs aizvietojam atrastās y vērtības un iegūstam divas atbildes:

Trigonometrisko vienādojumu risināšana, izmantojot faktorizēšanu

Kā atrisināt vienādojumu sin x + cos x = 1?

Pārvietosim visu pa kreisi, lai 0 paliktu labajā pusē:

sin x + cos x - 1 = 0

Mēs izmantojam iepriekš minētās identitātes, lai vienkāršotu vienādojumu:

sin x — 2 sin 2 (x/2) = 0

Veiksim faktorizēšanu:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Mēs iegūstam divus vienādojumus

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Vienādojums ir viendabīgs attiecībā pret sinusu un kosinusu, ja visi tā noteikumi attiecībā uz sinusu un kosinusu ir vienādās vienādības leņķa pakāpēs. Lai atrisinātu viendabīgu vienādojumu, rīkojieties šādi:

a) pārnes visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;

b) izlikt visus izplatītos faktorus iekavās;

c) visus faktorus un iekavas pielīdzina 0;

d) iekavās tiek iegūts mazākas pakāpes viendabīgs vienādojums, kas savukārt tiek dalīts ar sinusu vai kosinusu augstākā pakāpē;

e) atrisiniet iegūto vienādojumu tg.

Atrisiniet vienādojumu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Izmantosim formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 un atbrīvosimies no atvērtajiem diviem labajā pusē:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Sadaliet ar cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Mēs aizstājam tg x ar y un iegūstam kvadrātvienādojumu:

y 2 + 4y +3 = 0, kuru saknes ir y 1 = 1, y 2 = 3

Šeit mēs atrodam divus sākotnējā vienādojuma risinājumus:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Vienādojumu risināšana, izmantojot pāreju uz pusleņķi

Atrisiniet vienādojumu 3sin x - 5cos x = 7

Pārejam pie x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pārbīdot visu pa kreisi:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dalīt ar cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Palīgleņķa ieviešana

Apsvēršanai ņemsim formas vienādojumu: a sin x + b cos x \u003d c,

kur a, b, c ir daži patvaļīgi koeficienti un x ir nezināms.

Sadaliet abas vienādojuma puses ar:

Tagad vienādojuma koeficientiem pēc trigonometriskām formulām ir sin un cos īpašības, proti: to modulis nav lielāks par 1 un kvadrātu summa = 1. Apzīmēsim tos attiecīgi kā cos un sin, kur ir tā sauktais palīgleņķis. Tad vienādojumam būs šāda forma:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

vai sin(x + ) = C

Šī vienkāršā trigonometriskā vienādojuma risinājums ir

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kur

Jāņem vērā, ka apzīmējumi cos un sin ir savstarpēji aizstājami.

Atrisiniet vienādojumu sin 3x - cos 3x = 1

Šajā vienādojumā koeficienti ir:

a \u003d, b \u003d -1, tāpēc mēs sadalām abas daļas ar \u003d 2

Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamata USE nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risinājumi, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.

Nav noslēpums, ka panākumi vai neveiksmes gandrīz jebkuras problēmas risināšanas procesā galvenokārt ir atkarīgi no tipa definīcijas pareizības. dots vienādojums, kā arī par pareizu visu tā risinājuma posmu secības reproducēšanu. Taču trigonometrisko vienādojumu gadījumā nemaz nav grūti noteikt, ka vienādojums ir trigonometrisks. Bet, nosakot darbību secību, kas mūs novedīs pie pareizās atbildes, mēs varam saskarties ar zināmām grūtībām. No paša sākuma izdomāsim, kā pareizi atrisināt trigonometriskos vienādojumus.

Trigonometrisko vienādojumu risināšana

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, jums jāmēģina veikt šādus punktus:

Mēs visas funkcijas, kas ir iekļautas mūsu vienādojumā, novietojam uz "tiem pašiem leņķiem";
Vajag atnest dots vienādojums uz "pašām funkcijām";
Dotā vienādojuma kreiso pusi sadalām faktoros vai citos nepieciešamajos komponentos.

Metodes

1. metode. Šādus vienādojumus nepieciešams atrisināt divos posmos. Pirmkārt, mēs pārveidojam vienādojumu, lai iegūtu tā vienkāršāko (vienkāršāko) formu. Vienādojums: Cosx = a, Sinx = a un tamlīdzīgi tiek saukti par vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem. Otrais solis ir atrisināt iegūto vienkāršo vienādojumu. Jāpiebilst, ka visvienkāršāko vienādojumu var atrisināt ar algebrisko metodi, kas mums ir labi zināma no skolas algebras kursa. To sauc arī par aizstāšanas un mainīgā aizstāšanas metodi. Ar samazināšanas formulu palīdzību vispirms ir jāpārveido, pēc tam jāveic nomaiņa un pēc tam jāatrod saknes.

Tālāk jums ir jāsadala mūsu vienādojums iespējamajos faktoros, lai to izdarītu, visi termini ir jāpārvieto pa kreisi un pēc tam varat sadalīties faktoros. Tagad jums ir jāsavieno šis vienādojums līdz viendabīgam, kurā visi termini ir vienādi un kosinusam un sinusam ir vienāds leņķis.

Pirms trigonometrisko vienādojumu risināšanas jums tie jāpārnes uz kreiso pusi, ņemot tos no labās puses, un pēc tam iekavās izņemam visus kopsaucējus. Mēs pielīdzinām savas iekavas un faktorus nullei. Mūsu pielīdzinātās iekavas ir samazinātas pakāpes viendabīgs vienādojums, kas jāsadala ar sin(cos) līdz augstākajai pakāpei. Tagad mēs izlemjam algebriskais vienādojums, kas tika iegūts, attiecībā pret iedegumu.

2. metode. Vēl viena metode, ar kuras palīdzību var atrisināt trigonometrisko vienādojumu, ir pāreja uz pusleņķi. Piemēram, mēs atrisinām vienādojumu: 3sinx-5cosx=7.

Mums jāpāriet uz pusleņķi, mūsu gadījumā tas ir: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos². (x / 2) Un pēc tam mēs samazinām visus terminus vienā daļā (ērtības labad labāk izvēlēties pareizo) un turpinām atrisināt vienādojumu.

Ja nepieciešams, varat ievadīt papildu leņķi. Tas tiek darīts, ja ir jāaizstāj vesela skaitļa vērtība sin (a) vai cos (a), un zīme “a” darbojas tikai kā palīgleņķis.

produkts summā

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, izmantojot summas reizinājumu? Lai atrisinātu šādus vienādojumus, var izmantot arī metodi, kas pazīstama kā reizinājuma konvertēšana uz summu. Šajā gadījumā ir jāizmanto formulas, kas atbilst vienādojumam.

Piemēram, mums ir vienādojums: 2sinx * sin3x= cos4x

Mums ir jāatrisina šī problēma, pārvēršot kreiso pusi summā, proti:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ja iepriekš minētās metodes nav piemērotas un jūs joprojām nezināt, kā atrisināt vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, varat izmantot citu metodi - universālo aizstāšanu. Ar to jūs varat pārveidot izteiksmi un veikt nomaiņu. Piemēram: Cos(x/2)=u. Tagad mēs varam atrisināt vienādojumu ar doto parametru u. Un, saņemot vēlamo rezultātu, neaizmirstiet pārvērst šo vērtību pretējā virzienā.

Daudziem "pieredzējušiem" studentiem ir ieteicams vērsties pie cilvēkiem tiešsaistē, lai atrisinātu vienādojumus. Kā tiešsaistē atrisināt trigonometrisko vienādojumu, jūs jautājat. Priekš tiešsaistes risinājumi problēmas, varat vērsties attiecīgo tēmu forumos, kur tie var palīdzēt ar padomu vai problēmas risināšanā. Bet vislabāk ir mēģināt tikt galā pašiem.

Prasmes un iemaņas trigonometrisko vienādojumu risināšanā ir ļoti svarīgas un noderīgas. To attīstība prasīs no jums daudz pūļu. Ar šādu vienādojumu atrisināšanu ir saistītas daudzas problēmas fizikā, stereometrijā u.c. Un pats šādu problēmu risināšanas process nozīmē prasmju un zināšanu klātbūtni, kuras var iegūt, pētot trigonometrijas elementus.

Apgūstiet trigonometriskās formulas

Vienādojuma risināšanas procesā var rasties nepieciešamība izmantot jebkuru trigonometrijas formulu. Jūs, protams, varat sākt to meklēt savās mācību grāmatās un krāpšanās lapās. Un, ja šīs formulas tiks ieliktas galvā, jūs ne tikai ietaupīsiet nervus, bet arī ievērojami atvieglosiet savu uzdevumu, netērējot laiku vajadzīgās informācijas meklēšanai. Tādējādi jums būs iespēja pārdomāt racionālāko problēmas risināšanas veidu.

Nodarbība sarežģīts pielietojums zināšanas.

Nodarbības mērķi.

Apsveriet dažādas metodes trigonometrisko vienādojumu atrisinājumi.
Attīstība radošums studenti, risinot vienādojumus.
Mudināt skolēnus uz paškontroli, savstarpēju kontroli, savu izglītojošo darbību pašanalīzi.

Aprīkojums: ekrāns, projektors, izziņas materiāls.

Nodarbību laikā

Iepazīšanās saruna.

Galvenā trigonometrisko vienādojumu risināšanas metode ir to vienkāršākā samazināšana. Šajā gadījumā tiek izmantotas parastās metodes, piemēram, faktorizēšana, kā arī metodes, ko izmanto tikai trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Šo triku ir diezgan daudz, piemēram, dažādas trigonometriskās aizstāšanas, leņķu transformācijas, trigonometrisko funkciju transformācijas. Jebkuru trigonometrisko transformāciju bezatbildīga piemērošana parasti nevienkāršo vienādojumu, bet gan katastrofāli sarežģī. Trenēties iekšā vispārīgi runājot Vienādojuma risināšanas plāns, ieskicēts veids, kā samazināt vienādojumu līdz vienkāršākajam, vispirms jāanalizē leņķi - vienādojumā iekļauto trigonometrisko funkciju argumenti.

Šodien mēs runāsim par trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodēm. Pareizi izvēlēta metode bieži vien ļauj būtiski vienkāršot risinājumu, tāpēc visas mūsu pētītās metodes vienmēr jāpatur mūsu uzmanības zonā, lai vispiemērotākajā veidā atrisinātu trigonometriskos vienādojumus.

II. (Izmantojot projektoru, mēs atkārtojam vienādojumu risināšanas metodes.)

1. Metode trigonometriskā vienādojuma reducēšanai uz algebrisko vienādojumu.

Viss ir jāizsaka trigonometriskās funkcijas caur vienu, ar to pašu argumentu. To var izdarīt, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti un tās sekas. Mēs iegūstam vienādojumu ar vienu trigonometrisko funkciju. Ņemot to par jaunu nezināmo, mēs iegūstam algebrisko vienādojumu. Mēs atrodam tās saknes un atgriežamies pie vecā nezināmā, atrisinot vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

2. Faktorizācijas metode.

Leņķu maiņai bieži vien noder reducēšanas formulas, argumentu summas un atšķirības, kā arī formulas trigonometrisko funkciju summas (starpības) pārvēršanai reizinājumā un otrādi.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Papildu leņķa ieviešanas metode.

4. Universālās aizstāšanas izmantošanas metode.

Formas F(sinx, cosx, tgx) = 0 vienādojumi tiek reducēti uz algebriskiem vienādojumiem, izmantojot universālo trigonometrisko aizstāšanu

Izsakot sinusu, kosinusu un tangensu pusleņķa pieskares izteiksmē. Šis triks var radīt augstākas kārtas vienādojumu. Par kuru lēmums ir grūts.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.