Paaugstināšana, noteikumi, piemēri. Grāds un tā īpašības

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram, lai atrastu visnoderīgāko resursu

Kāpēc nepieciešami grādi? Kur tev tās vajadzīgas? Kāpēc jums jāvelta laiks to pētīšanai?

Lai uzzinātu visu par grādiem, kam tie paredzēti, kā savas zināšanas izmantot ikdienā, izlasiet šo rakstu.

Un, protams, zinot grādus, jūs tuvināsies veiksmīgai OGE jeb Vienotā valsts eksāmena nokārtošanai un iestāšanai sapņu universitātē.

Ejam... (Ejam!)

PIRMAIS LĪMENIS

Eksponentēšana ir tāda pati matemātiska darbība kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana.

Tagad es visu izskaidrošu cilvēku valodā, izmantojot ļoti vienkāršus piemērus. Pievērs uzmanību. Piemēri ir elementāri, bet izskaidro svarīgas lietas.

Sāksim ar papildinājumu.

Te nav ko skaidrot. Jūs jau visu zināt: mēs esam astoņi. Katrā ir divas kolas pudeles. Cik daudz kolas? Tieši tā – 16 pudeles.

Tagad reizināšana.

To pašu piemēru ar kolu var uzrakstīt savādāk: . Matemātiķi ir viltīgi un slinki cilvēki. Viņi vispirms pamana dažus modeļus un pēc tam izdomā veidu, kā tos ātrāk “skaitīt”. Mūsu gadījumā viņi pamanīja, ka katram no astoņiem cilvēkiem ir vienāds kolas pudeļu skaits, un viņi izdomāja paņēmienu, ko sauc par reizināšanu. Piekrītu, tas tiek uzskatīts par vieglāku un ātrāku nekā.

Tātad, lai skaitītu ātrāk, vienkāršāk un bez kļūdām, jums vienkārši jāatceras reizināšanas tabula. Protams, visu var darīt lēnāk, grūtāk un ar kļūdām! Bet…

Šeit ir reizināšanas tabula. Atkārtojiet.

Un vēl viens, skaistāks:

Un kādus citus viltīgus skaitīšanas trikus izdomāja slinkie matemātiķi? Pareizi - skaitļa paaugstināšana pakāpē.

Skaitļa palielināšana pakāpē

Ja jums ir jāreizina skaitlis ar sevi piecas reizes, tad matemātiķi saka, ka jums šis skaitlis jāpalielina līdz piektajai pakāpei. Piemēram, . Matemātiķi atceras, ka divi līdz piektā pakāpe ir. Un viņi šādas problēmas risina savā prātā – ātrāk, vienkāršāk un bez kļūdām.

Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams tikai atcerieties, kas skaitļu pakāpju tabulā ir iezīmēts ar krāsu. Tici man, tas padarīs tavu dzīvi daudz vieglāku.

Starp citu, kāpēc sauc otro pakāpi kvadrāts cipari, un trešais kubs? Ko tas nozīmē? Ļoti labs jautājums. Tagad jums būs gan kvadrāti, gan kubi.

Reālās dzīves piemērs #1

Sāksim ar kvadrātu vai skaitļa otro pakāpi.

Iedomājieties kvadrātveida baseinu, kura izmēri ir metri ar metriem. Baseins atrodas jūsu pagalmā. Ir karsts, un es ļoti gribu peldēt. Bet ... baseins bez dibena! Ir nepieciešams segt baseina dibenu ar flīzēm. Cik flīžu jums vajag? Lai to noteiktu, jums jāzina baseina dibena laukums.

Jūs varat vienkārši saskaitīt, bakstot ar pirkstu, ka baseina dibens sastāv no kubiņiem metrs pēc metra. Ja jūsu flīzes ir metrs pēc metra, jums būs nepieciešami gabali. Tas ir vienkārši... Bet kur tu tādu flīzi redzēji? Flīze drīzāk būs cm pa cm.. Un tad jūs mocīs "skaitīšana ar pirkstu". Tad jums ir jāreizina. Tātad vienā baseina dibena pusē liksim flīzes (gabalus), bet otrā arī flīzes. Reizinot ar, jūs iegūstat flīzes ().

Vai pamanījāt, ka mēs reizinājām to pašu skaitli, lai noteiktu baseina dibena laukumu? Ko tas nozīmē? Tā kā tiek reizināts viens un tas pats skaitlis, mēs varam izmantot eksponēšanas paņēmienu. (Protams, ja jums ir tikai divi skaitļi, jums tie joprojām ir jāreizina vai jāpalielina līdz pakāpei. Bet, ja jums to ir daudz, tad paaugstināšana līdz pakāpei ir daudz vienkāršāka un arī aprēķinos ir mazāk kļūdu. Eksāmenam tas ir ļoti svarīgi).
Tātad, trīsdesmit līdz otrajai pakāpei būs (). Vai arī jūs varat teikt, ka trīsdesmit kvadrātā būs. Citiem vārdiem sakot, skaitļa otro pakāpi vienmēr var attēlot kā kvadrātu. Un otrādi, ja jūs redzat kvadrātu, tas VIENMĒR ir kāda skaitļa otrais pakāpe. Kvadrāts ir skaitļa otrās pakāpes attēls.

Reālās dzīves piemērs #2

Šeit jums ir uzdevums, saskaitiet, cik rūtiņu ir uz šaha galdiņa, izmantojot skaitļa kvadrātu... Vienā šūnu pusē un arī otrā. Lai saskaitītu to skaitu, jums ir jāreizina astoņi ar astoņiem vai ... ja pamanāt, ka šaha galdiņš ir kvadrāts ar malu, tad varat kvadrātā astoņi. Iegūstiet šūnas. () Tātad?

Reālās dzīves piemērs #3

Tagad kubs jeb skaitļa trešais pakāpe. Tas pats baseins. Bet tagad jānoskaidro, cik daudz ūdens būs jāielej šajā baseinā. Jums jāaprēķina skaļums. (Tilpumus un šķidrumus, starp citu, mēra kubikmetros. Negaidīti, vai ne?) Uzzīmē baseinu: metra lielumā un metra dziļumā dibenu un mēģini izrēķināt, cik metru pa metram kubu ieplūdīs tavā baseinā.

Vienkārši rādi ar pirkstu un skaita! Viens, divi, trīs, četri...divdesmit divi, divdesmit trīs... Cik sanāca? Nepazuda? Vai ir grūti skaitīt ar pirkstu? Tā ka! Ņemiet piemēru no matemātiķiem. Viņi ir slinki, tāpēc pamanīja, ka, lai aprēķinātu baseina tilpumu, ir jāreizina tā garums, platums un augstums savā starpā. Mūsu gadījumā baseina tilpums būs vienāds ar kubiņiem ... Vieglāk, vai ne?

Tagad iedomājieties, cik slinki un viltīgi ir matemātiķi, ja viņi to padara pārāk vienkāršu. Viss tika samazināts līdz vienai darbībai. Viņi pamanīja, ka garums, platums un augstums ir vienādi un ka viens un tas pats skaitlis tiek reizināts ar sevi ... Un ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka jūs varat izmantot grādu. Tātad, ko jūs kādreiz saskaitījāt ar pirkstu, viņi izdara vienu darbību: trīs kubā ir vienādi. Tas ir rakstīts šādi:

Paliek tikai iegaumēt grādu tabulu. Ja vien jūs, protams, neesat tik slinks un viltīgs kā matemātiķi. Ja jums patīk smagi strādāt un kļūdīties, varat turpināt skaitīt ar pirkstu.

Nu, lai jūs beidzot pārliecinātu, ka grādus izdomājuši klaiši un viltīgi cilvēki, lai atrisinātu savas dzīves problēmas, nevis radītu problēmas jums, šeit ir vēl pāris piemēri no dzīves.

Reālās dzīves piemērs #4

Jums ir miljons rubļu. Katra gada sākumā jūs nopelnāt vēl vienu miljonu par katru miljonu. Tas ir, katrs jūsu miljons katra gada sākumā dubultojas. Cik daudz naudas jums būs pēc gadiem? Ja tu tagad sēdi un “skaiti ar pirkstu”, tad esi ļoti strādīgs cilvēks un .. stulbs. Bet visticamāk atbildi sniegsi pāris sekunžu laikā, jo esi gudrs! Tātad pirmajā gadā - divas reizes divas ... otrajā gadā - kas notika, vēl par diviem, trešajā gadā ... Stop! Jūs pamanījāt, ka skaitlis tiek reizināts ar sevi vienu reizi. Tātad divi līdz piektajai pakāpei ir miljons! Tagad iedomājieties, ka jums ir konkurss un tas, kurš aprēķina ātrāk, saņems šos miljonus ... Vai ir vērts atcerēties skaitļu pakāpes, kā jūs domājat?

Reālās dzīves piemērs #5

Tev ir miljons. Katra gada sākumā jūs nopelnāt par diviem vairāk par katru miljonu. Tas ir lieliski, vai ne? Katrs miljons tiek trīskāršots. Cik daudz naudas jums būs pēc gada? Skaitīsim. Pirmais gads - reizini ar, tad rezultāts ar citu... Tas jau ir garlaicīgi, jo tu jau visu saprati: trīs tiek reizināts ar sevi reizēs. Tātad ceturtā jauda ir miljons. Jums tikai jāatceras, ka trīs līdz ceturtā pakāpe ir vai.

Tagad jūs zināt, ka, paaugstinot skaitli līdz spēkam, jūs ievērojami atvieglosit savu dzīvi. Apskatīsim sīkāk, ko varat darīt ar grādiem un kas jums par tiem jāzina.

Termini un jēdzieni ... lai neapjuktu

Tātad, pirmkārt, definēsim jēdzienus. Ko tu domā, kas ir eksponents? Tas ir ļoti vienkārši – tas ir skaitlis, kas atrodas skaitļa jaudas "augšpusē". Nav zinātnisks, bet skaidrs un viegli iegaumējams ...

Nu, tajā pašā laikā, ko tāda grādu bāze? Vēl vienkāršāks ir skaitlis, kas atrodas apakšā, pamatnē.

Šeit ir attēls, lai pārliecinātos.

Nu, vispārīgi runājot, lai vispārinātu un labāk atcerētos... Grāds ar bāzi "" un rādītāju "" tiek lasīts kā "grādā" un tiek rakstīts šādi:

Skaitļa spēks ar naturālo eksponentu

Jūs droši vien jau uzminējāt: jo eksponents ir naturāls skaitlis. Jā, bet kas ir dabiskais skaitlis? Elementāri! Dabiskie skaitļi ir tie, ko izmanto skaitīšanā, uzskaitot vienumus: viens, divi, trīs ... Kad mēs saskaitām vienumus, mēs nesakām: "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi". Mēs arī nesakām "viena trešdaļa" vai "nulle komats piecas desmitdaļas". Tie nav dabiski skaitļi. Kādi, jūsuprāt, ir šie skaitļi?

Tādi skaitļi kā "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi" attiecas uz veseli skaitļi. Kopumā veseli skaitļi ietver visus naturālos skaitļus, skaitļus, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem (tas ir, ņemti ar mīnusa zīmi) un skaitļus. Nulle ir viegli saprotama – tas ir tad, kad nekā nav. Un ko nozīmē negatīvie ("mīnus") skaitļi? Bet tie tika izgudroti galvenokārt, lai apzīmētu parādus: ja jūsu tālrunī ir atlikums rubļos, tas nozīmē, ka esat parādā operatoram rubļus.

Visas daļas ir racionāli skaitļi. Kā tie radās, kā tu domā? Ļoti vienkārši. Pirms vairākiem tūkstošiem gadu mūsu senči atklāja, ka viņiem nav pietiekami daudz naturālo skaitļu, lai izmērītu garumu, svaru, laukumu utt. Un viņi izdomāja racionālie skaitļi… Interesanti, vai ne?

Ir arī neracionāli skaitļi. Kādi ir šie skaitļi? Īsāk sakot, bezgalīga decimāldaļdaļa. Piemēram, ja jūs dalāt apļa apkārtmēru ar tā diametru, tad iegūstat neracionālu skaitli.

Kopsavilkums:

Definēsim pakāpes jēdzienu, kura eksponents ir naturāls skaitlis (tas ir, vesels skaitlis un pozitīvs).

1. Jebkurš skaitlis pirmajā pakāpē ir vienāds ar sevi:
2. Lai dalītu skaitli kvadrātā, tas ir jāreizina ar sevi:
3. Lai skaitli kubētu, tas nozīmē to trīs reizes reizināt ar sevi:

Definīcija. Lai palielinātu skaitli līdz dabiskajam pakāpēm, tas nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi reizināt:
.

Grāda īpašības

No kurienes radās šie īpašumi? Es jums tagad parādīšu.

Paskatīsimies, kas ir un ?

A-prioritāte:

Cik reizinātāju ir kopā?

Tas ir ļoti vienkārši: mēs faktoriem pievienojām faktorus, un rezultāts ir faktori.

Bet pēc definīcijas šī ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir: , kas bija jāpierāda.

Piemērs: vienkāršojiet izteiksmi.

Lēmums:

Piemērs: Vienkāršojiet izteiksmi.

Lēmums: Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā obligāti tam jābūt vienam un tam pašam iemeslam!
Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:

tikai spēku produktiem!

Nekādā gadījumā nevajadzētu to rakstīt.

2. tas ir -skaitļa pakāpe

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi vienreiz, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Faktiski to var saukt par "indikatora iekavēšanu". Bet jūs nekad nevarat to izdarīt kopumā:

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt?

Bet tā nav taisnība, tiešām.

Grāds ar negatīvu bāzi

Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kādam jābūt eksponentam.

Bet kam vajadzētu būt par pamatu?

Grādos no dabiskais rādītājs pamats var būt jebkurš skaitlis. Patiešām, mēs varam reizināt jebkuru skaitli ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat.

Padomāsim par to, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?

Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? BET? ? Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Galu galā no 6. klases atceramies vienkāršu likumu: "mīnus reiz mīnus dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar, izrādās.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vai jums izdevās?

Šeit ir atbildes: Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs.

Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Pamats nav tas pats, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs vairs nav tik vienkāršs!

6 prakses piemēri

Risinājuma analīze 6 piemēri

vesels mēs nosaucam naturālos skaitļus, to pretstati (tas ir, ņemti ar zīmi "") un skaitli.

pozitīvs vesels skaitlis, un tas ne ar ko neatšķiras no dabīgā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.

Tagad apskatīsim jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu:

Kā vienmēr, mēs sev jautājam: kāpēc tas tā ir?

Apsveriet kādu spēku ar pamatni. Ņemiet, piemēram, un reiziniet ar:

Tātad, mēs reizinājām skaitli ar un saņēmām tādu pašu, kāds tas bija -. Ar kādu skaitli jāreizina, lai nekas nemainītos? Tieši tā, uz. Līdzekļi.

Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu skaitli:

Atkārtosim noteikumu:

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu.

Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).

No vienas puses, tam jābūt vienādam ar jebkuru grādu - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt nulli ar sevi, jūs joprojām saņemat nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim līdz nulles grādiem, tam jābūt vienādam. Tātad, kāda ir šī patiesība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli uz nulles jaudu. Tas ir, tagad mēs varam ne tikai dalīt ar nulli, bet arī palielināt to līdz nulles jaudai.

Ejam tālāk. Papildus naturālajiem skaitļiem un skaitļiem veseli skaitļi ietver negatīvus skaitļus. Lai saprastu, kas ir negatīvā pakāpe, darīsim to pašu, ko pagājušajā reizē: mēs reizinām kādu normālu skaitli ar to pašu negatīvā pakāpē:

No šejienes jau ir viegli izteikt vēlamo:

Tagad mēs paplašinām iegūto noteikumu līdz patvaļīgai pakāpei:

Tātad, formulēsim noteikumu:

Skaitlis negatīvam posmam ir tā paša skaitļa apgriezts pozitīvā pakāpē. Bet tajā pašā laikā bāze nevar būt nulle:(jo nav iespējams sadalīt).

Apkoposim:

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Nu, kā parasti, piemēri neatkarīgam risinājumam:

Uzdevumu analīze patstāvīgam risinājumam:

Zinu, zinu, cipari ir biedējoši, bet eksāmenā jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumu, ja nevarat to atrisināt, un eksāmenā uzzināsiet, kā ar tiem viegli tikt galā!

Turpināsim paplašināt skaitļu diapazonu, kas "piemērots" kā eksponents.

Tagad apsveriet racionālie skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?

Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļskaitli, kur un ir veseli skaitļi, turklāt.

Lai saprastu, kas ir "daļēja pakāpe" Apskatīsim daļu:

Paaugstināsim abas vienādojuma puses līdz pakāpei:

Tagad atcerieties noteikumu "no pakāpes līdz pakāpei":

Kāds skaitlis jāpalielina līdz pakāpei, lai iegūtu?

Šis formulējums ir th pakāpes saknes definīcija.

Atgādināšu: skaitļa () pakāpes sakne ir skaitlis, kas, paaugstinot līdz pakāpei, ir vienāds.

Tas nozīmē, ka th pakāpes sakne ir kāpināšanas apgrieztā darbība: .

Izrādās, ka. Acīmredzot šo īpašo gadījumu var pagarināt: .

Tagad pievienojiet skaitītāju: kas tas ir? Atbildi ir viegli iegūt, izmantojot jaudas pārvēršanas noteikumu:

Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar iegūt no visiem skaitļiem.

Nekādu!

Atcerieties noteikumu: jebkurš skaitlis, kas palielināts līdz pāra pakāpei, ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, no negatīviem skaitļiem nav iespējams iegūt pāra pakāpes saknes!

Un tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt līdz daļējai pakāpei ar pāra saucēju, tas ir, izteiksmei nav jēgas.

Kā ar izteiksmi?

Bet šeit rodas problēma.

Skaitli var attēlot kā citas, samazinātas daļas, piemēram, vai.

Un izrādās, ka tā pastāv, bet neeksistē, un tie ir tikai divi dažādi viena un tā paša numura ieraksti.

Vai cits piemērs: vienreiz, tad varat to pierakstīt. Bet, tiklīdz indikatoru rakstām savādāk, mums atkal rodas problēmas: (tas ir, mēs saņēmām pavisam citu rezultātu!).

Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, apsveriet tikai pozitīvs bāzes eksponents ar daļēju eksponentu.

Tātad ja:

• - naturālais skaitlis;
• ir vesels skaitlis;

Piemēri:

Pakāpes ar racionālu eksponentu ir ļoti noderīgas, lai pārveidotu izteiksmes ar saknēm, piemēram:

5 prakses piemēri

5 apmācības piemēru analīze

Nu, tagad - visgrūtākais. Tagad mēs analizēsim pakāpe ar iracionālu eksponentu.

Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādiem ar racionālu eksponentu, izņemot

Patiešām, pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).

Studējot grādus ar naturālu, veselu skaitli un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos.

Piemēram, naturālais eksponents ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes;

...nulles jauda- tas it kā ir vienreiz ar sevi reizināts skaitlis, tas ir, tas vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikta "sagatavošana numurs”, proti, numurs;

...negatīva vesela skaitļa eksponents- it kā būtu noticis zināms “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.

Starp citu, zinātne bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis.

Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

KUR MĒS ESAM PĀRLIECINĀTI, TU DOSIET! (ja iemācīsies risināt šādus piemērus :))

Piemēram:

Izlemiet paši:

Risinājumu analīze:

1. Sāksim ar jau ierasto noteikumu grāda paaugstināšanai līdz grādam:

PAPILDINĀJUMS

Pakāpes definīcija

Pakāpe ir formas izteiksme: , kur:

• — grāda bāze;
• - eksponents.

Pakāpe ar naturālo eksponentu (n = 1, 2, 3,...)

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm n nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi:

Jauda ar veselu eksponentu (0, ±1, ±2,...)

Ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis numurs:

erekcija uz nulles jaudu:

Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē ir tas, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz th pakāpei ir šis.

Ja eksponents ir vesels skaitlis negatīvs numurs:

(jo nav iespējams sadalīt).

Vēlreiz par nullēm: izteiksme gadījumā nav definēta. Ja tad.

Piemēri:

Grāds ar racionālu eksponentu

• - naturālais skaitlis;
• ir vesels skaitlis;

Piemēri:

Grāda īpašības

Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes radās šīs īpašības? Pierādīsim tos.

Apskatīsim: kas ir un?

A-prioritāte:

Tātad šīs izteiksmes labajā pusē tiek iegūts šāds produkts:

Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir:

Q.E.D.

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Lēmums : .

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Lēmums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā obligāti jābūt tādam pašam pamatam. Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:

Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums - tikai spēku produktiem!

Es nekādā gadījumā nedrīkstu to rakstīt.

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Pārkārtosim to šādi:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi vienreiz, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Faktiski to var saukt par "indikatora iekavēšanu". Bet jūs nekad to nevarat izdarīt kopumā:!

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet tā nav taisnība, tiešām.

Jauda ar negatīvu bāzi.

Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kam vajadzētu būt indikators grāds. Bet kam vajadzētu būt par pamatu? Grādos no dabisks indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .

Patiešām, mēs varam reizināt jebkuru skaitli ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim par to, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?

Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? BET? ?

Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Galu galā no 6. klases atceramies vienkāršu likumu: "mīnus reiz mīnus dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam -.

Un tā tālāk bezgalīgi: ar katru nākamo reizināšanu zīme mainīsies. Jūs varat formulēt šos vienkāršos noteikumus:

1. pat grāds, - numurs pozitīvs.
2. Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
3. Pozitīvs skaitlis jebkurai pakāpei ir pozitīvs skaitlis.
4. Nulle pret jebkuru jaudu ir vienāda ar nulli.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vai jums izdevās? Šeit ir atbildes:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Pamats nav tas pats, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs) vairs nav tik vienkāršs. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja jūs to atceraties, tas kļūst skaidrs, kas nozīmē, ka bāze ir mazāka par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. noteikumu: rezultāts būs negatīvs.

Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:

Viss ir kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:

Pirms pēdējā noteikuma analīzes atrisināsim dažus piemērus.

Aprēķiniet izteiksmju vērtības:

Risinājumi :

Atgriezīsimies pie piemēra:

Un atkal formula:

Tātad tagad pēdējais noteikums:

Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim:

Nu, tagad atvērsim iekavas. Cik burtu būs? reizes ar reizinātājiem - kā tas izskatās? Tas nav nekas cits kā darbības definīcija reizināšana: kopā izrādījās reizinātāji. Tas ir, pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:

Piemērs:

Grāds ar iracionālu eksponentu

Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim grādu ar iracionālu rādītāju. Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā pakāpei ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu - galu galā iracionālie skaitļi pēc definīcijas ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir , iracionālie skaitļi ir reāli skaitļi, izņemot racionālos).

Studējot grādus ar naturālu, veselu skaitli un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos. Piemēram, naturālais eksponents ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes; skaitlis līdz nulles pakāpei ir it kā vienreiz ar sevi reizināts skaitlis, tas ir, tas vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl nav pat parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikta “skaitļa sagatavošana”, proti, numurs; grāds ar negatīvu veselu skaitli - it kā būtu noticis noteikts “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.

Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā ir grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Drīzāk tas ir tīri matemātisks objekts, ko matemātiķi ir radījuši, lai paplašinātu pakāpes jēdzienu uz visu skaitļu telpu.

Starp citu, zinātne bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

Tātad, ko mēs darām, ja redzam iracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no tā atbrīvoties! :)

Piemēram:

Izlemiet paši:

1)

2)

3)

Atbildes:

SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

Grāds sauc par izteiksmi formā: , kur:

Grāds ar veselu eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).

Grāds ar racionālu eksponentu

pakāpe, kuras rādītājs ir negatīvi un daļskaitļi.

Grāds ar iracionālu eksponentu

eksponents, kura eksponents ir bezgalīga decimāldaļdaļa vai sakne.

Grāda īpašības

Pakāpju pazīmes.

• Negatīvs skaitlis palielināts līdz pat grāds, - numurs pozitīvs.
• Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
• Pozitīvs skaitlis jebkurai pakāpei ir pozitīvs skaitlis.
• Nulle ir vienāda ar jebkuru jaudu.
• Jebkurš skaitlis ar nulles pakāpi ir vienāds.

TAGAD JUMS IR VĀRDS...

Kā jums patīk raksts? Paziņojiet man tālāk esošajos komentāros, vai jums tas patika vai nē.

Pastāstiet mums par savu pieredzi ar jaudas īpašībām.

Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.

Raksti komentāros.

Un veiksmi eksāmenos!

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu eksāmena nokārtošanu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (ne obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Kad skaitlis reizina pats sevi sev, strādāt sauca grāds.

Tātad 2,2 = 4, 2 kvadrāts vai otrā pakāpe
2.2.2 = 8, kubs vai trešā pakāpe.
2.2.2.2 = 16, ceturtā pakāpe.

Arī 10,10 = 100, otrā pakāpe ir 10.
10.10.10 = 1000, trešā pakāpe.
10.10.10.10 = 10000 ceturtā pakāpe.

Un a.a = aa, a otrais pakāpe
a.a.a = aaa, trešais a pakāpe
a.a.a.a = aaaa, a ceturtais pakāpe

Tiek izsaukts sākotnējais numurs saknešī skaitļa grādi, jo tas ir skaitlis, no kura tika izveidoti grādi.

Taču nav īpaši ērti, īpaši lielu spēku gadījumā, pierakstīt visus faktorus, kas veido pilnvaras. Tāpēc tiek izmantota saīsināta apzīmējuma metode. Pakāpes sakne ir rakstīta tikai vienu reizi, un pa labi un nedaudz augstāk blakus, bet nedaudz mazākā fontā ir rakstīts, cik reizes sakne darbojas kā faktors. Šo numuru vai burtu sauc eksponents vai grāds cipariem. Tātad 2 ir vienāds ar a.a vai aa, jo a sakne ir jāreizina ar sevi divas reizes, lai iegūtu aa jaudu. Arī 3 nozīmē aaa, tas ir, šeit atkārtojas a trīs reizes kā reizinātājs.

Pirmā pakāpes eksponents ir 1, bet to parasti nepieraksta. Tātad 1 tiek rakstīts kā a.

Nevajadzētu jaukt grādus ar koeficienti. Koeficients parāda, cik bieži vērtība tiek pieņemta daļa vesels. Eksponents norāda, cik bieži vērtība tiek pieņemta kā faktors darbā.
Tātad, 4a = a + a + a + a. Bet a 4 = a.a.a.a

Eksponenciālajam apzīmējumam ir īpaša priekšrocība, kas ļauj mums izteikties nezināms grāds. Šim nolūkam skaitļa vietā tiek rakstīts eksponents vēstule. Problēmas risināšanas procesā mēs varam iegūt vērtību, kas, kā mēs zinām, ir daži cita lieluma pakāpe. Bet līdz šim mēs nezinām, vai tas ir kvadrāts, kubs vai cita, augstāka pakāpe. Tātad izteiksmē a x eksponents nozīmē, ka šai izteiksmei ir daži grāds, lai gan tas nav definēts kāda pakāpe. Tātad b m un d n tiek palielināti līdz m un n pakāpēm. Kad eksponents ir atrasts, numuru aizstāta ar vēstuli. Tātad, ja m=3, tad b m = b3; bet ja m = 5, tad b m =b 5 .

Liela priekšrocība ir arī vērtību rakstīšanas metode ar eksponentiem izteiksmes. Tādējādi (a + b + d) 3 ir (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), tas ir, trinoma (a + b + d) kubs. . Bet, ja mēs rakstīsim šo izteiksmi pēc kuba, tas izskatīsies
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3 ad 2 + b 3 + d 3 .

Ja ņemam pakāpju virkni, kuru eksponenti palielinās vai samazinās par 1, mēs atklājam, ka reizinājums palielinās par kopīgs faktors vai samazināts par kopīgs dalītājs, un šis koeficients vai dalītājs ir sākotnējais skaitlis, kas tiek palielināts līdz pakāpei.

Tātad, sērijā aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
vai a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
rādītāji, ja tos skaita no labās puses uz kreiso, ir 1, 2, 3, 4, 5; un atšķirība starp to vērtībām ir 1. Ja mēs sākam pa labi vairoties a, mēs veiksmīgi iegūsim vairākas vērtības.

Tātad a.a = a 2 , otrais loceklis. Un a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , trešais loceklis. a 4 .a = a 5 .

Ja mēs sākam pa kreisi dalīties uz,
mēs iegūstam 5:a = a 4 un 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Bet šādu dalīšanas procesu var turpināt, un mēs iegūstam jaunu vērtību kopumu.

Tātad, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Pilna rinda būs: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Vai arī 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a3.

Šeit vērtības pa labi no vienības ir otrādi vērtības pa kreisi no viena. Tāpēc šos grādus var saukt apgrieztās pilnvaras a. Var arī teikt, ka kreisās puses pilnvaras ir apgrieztas labās puses pakāpēm.

Tātad 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Un 1:(1/a 3) = a 3 .

Var piemērot to pašu ierakstīšanas plānu polinomi. Tātad, a + b, mēs iegūstam kopu,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Ērtības labad tiek izmantots cits apgriezto spēku rakstīšanas veids.

Saskaņā ar šo formu 1/a vai 1/a 1 = a -1 . Un 1/aaa vai 1/a 3 = a -3 .
1/aa vai 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa vai 1/a 4 = a -4 .

Un, lai eksponenti būtu pilnīga virkne ar 1 kā kopējo starpību, a/a vai 1 tiek uzskatīts par tādu, kam nav pakāpes, un to raksta kā 0 .

Tad, ņemot vērā tiešās un apgrieztās pilnvaras
vietā aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
Jūs varat rakstīt 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Vai arī +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, a -4.

Un tikai atsevišķi ņemtu grādu sērijai būs šāda forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Pakāpes sakni var izteikt ar vairāk nekā vienu burtu.

Tādējādi aa.aa vai (aa) 2 ir aa otrais pakāpe.
Un aa.aa.aa vai (aa) 3 ir aa trešais pakāpe.

Visas skaitļa 1 pakāpes ir vienādas: 1,1 vai 1,1,1. būs vienāds ar 1.

Eksponentēšana ir jebkura skaitļa vērtības atrašana, reizinot šo skaitli ar sevi. Paaugstināšanas noteikums:

Reiziniet vērtību ar sevi tik reižu, cik norādīts skaitļa pakāpē.

Šis noteikums ir kopīgs visiem piemēriem, kas var rasties paaugstināšanas procesā. Bet būs pareizi paskaidrot, kā tas attiecas uz konkrētiem gadījumiem.

Ja pakāpē tiek paaugstināts tikai viens loceklis, tad tas tiek reizināts ar sevi tik reižu, cik norāda eksponents.

Ceturtā pakāpe a ir 4 vai aaaa. (195. pants.)
Y sestais pakāpe ir y 6 vai yyyyyy.
X n-tā pakāpe ir x n vai xxx..... n reizes atkārtojas.

Ja ir nepieciešams vairāku terminu izteiksmi paaugstināt pakāpē, princips, ka vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru reizinājumu, kas paaugstināts līdz pakāpei.

Tātad (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Bet ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Tātad (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Tāpēc, meklējot produkta pakāpi, mēs varam vai nu strādāt ar visu produktu uzreiz, vai arī mēs varam strādāt ar katru faktoru atsevišķi un pēc tam reizināt to vērtības ar grādiem.

1. piemērs. dhy ceturtā pakāpe ir (dhy) 4 vai d 4 h 4 y 4 .

2. piemērs. 4b trešā pakāpe ir (4b) 3 vai 4 3 b 3 vai 64b 3 .

3. piemērs. 6ad n-tais pakāpe ir (6ad) n vai 6 n a n d n .

4. piemērs. 3m.2y trešā pakāpe ir (3m.2y) 3 vai 27m 3 .8y 3 .

Binoma pakāpi, kas sastāv no vārdiem, kas savienoti ar + un -, aprēķina, reizinot tā vārdus. Jā,

(a + b) 1 = a + b, pirmā pakāpe.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, otrā pakāpe (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, trešā pakāpe.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, ceturtā pakāpe.

Kvadrāts a - b, ir 2 - 2ab + b 2 .

Kvadrāts a + b + h ir a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1. uzdevums. Atrodiet kubu a + 2d + 3

2. uzdevums. Atrodi ceturto pakāpju b + 2.

3. uzdevums Atrodi x + 1 piekto pakāpi.

4. uzdevums. Atrodi sesto pakāpi 1 - b.

Summa kvadrāti summas un atšķirība binomi algebrā ir tik izplatīti, ka tie ir ļoti labi jāzina.

Ja mēs reizinām a + h ar sevi vai a - h ar sevi,
mēs iegūstam: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 arī (a - h) (a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Tas parāda, ka katrā gadījumā pirmais un pēdējais termins ir a un h kvadrāti, bet vidējais vārds ir divreiz lielāks par a un h reizinājumu. Tādējādi binomiālu summas un starpības kvadrātu var atrast, izmantojot šādu noteikumu.

Binoma kvadrāts, kura abi vārdi ir pozitīvi, ir vienāds ar pirmā locekļa kvadrātu + divkāršu abu vārdu reizinājumu + pēdējā vārda kvadrātu.

Kvadrāts atšķirība binomiāls ir vienāds ar pirmā vārda kvadrātu, no kura atņemts divkāršs abu vārdu reizinājums plus otrā vārda kvadrāts.

1. piemērs. Kvadrāts 2a + b, ir 4a 2 + 4ab + b 2 .

2. piemērs. Kvadrāts ab + cd ir a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

3. piemērs. Kvadrāts 3d - h ir 9d 2 + 6dh + h 2 .

4. piemērs. Kvadrāts a - 1 ir 2 - 2a + 1.

Lai uzzinātu, kā atrast augstāku binomiālu pakāpju pakāpi, skatiet turpmākās sadaļas.

Daudzos gadījumos rakstīt ir efektīvi grāds nav reizināšanas.

Tātad kvadrāts a + b ir (a + b) 2 .
N-tā pakāpe bc + 8 + x ir (bc + 8 + x) n

Šādos gadījumos kronšteini pārklāj visi locekļi ar grādu.

Bet, ja pakāpes sakne sastāv no vairākiem reizinātāji, iekavas var aptvert visu izteiksmi vai var tikt piemērotas atsevišķiem faktoriem atkarībā no ērtības.

Tādējādi kvadrāts (a + b)(c + d) ir vai nu [(a + b).(c + d)] 2 vai (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Pirmajai no šīm izteiksmēm rezultāts ir divu faktoru reizinājuma kvadrāts, bet otrajai - to kvadrātu reizinājumam. Bet viņi ir līdzvērtīgi viens otram.

Kubs a.(b + d), ir 3 vai a 3 .(b + d) 3 .

Jāņem vērā arī zīme iesaistīto biedru priekšā. Ir ļoti svarīgi atcerēties, ka tad, kad spēka sakne ir pozitīva, visas tās pozitīvās spējas ir arī pozitīvas. Bet, ja sakne ir negatīva, vērtības no nepāra pilnvaras ir negatīvas, savukārt vērtības pat grādi ir pozitīvi.

Otrā pakāpe (-a) ir +a 2
Trešā pakāpe (-a) ir -a 3
Ceturtā pakāpe (-a) ir +a 4
Piektā pakāpe (-a) ir -a 5

Līdz ar to jebkura nepāra eksponentam ir tāda pati zīme kā skaitlim. Bet pat grāds ir pozitīvs, neatkarīgi no tā, vai skaitlim ir negatīva vai pozitīva zīme.
Tātad +a.+a = +a 2
UN -a.-a = +a 2

Vērtība, kas jau ir paaugstināta līdz pakāpei, tiek atkal palielināta līdz pakāpei, reizinot eksponentus.

2 trešā pakāpe ir a 2,3 = a 6 .

Ja a 2 = aa; kubs aa ir aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; kas ir a sestais, bet 2 trešais.

Ceturtā pakāpe a 3 b 2 ir a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Trešā pakāpe 4a 2 x ir 64a 6 x 3 .

(a + b) 2 piektā pakāpe ir (a + b) 10 .

N-tā pakāpe 3 ir 3n

(x - y) m n-tā pakāpe ir (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Noteikums attiecas vienlīdz uz negatīvs grādiem.

1. piemērs. Trešais a -2 pakāpe ir -3.3 =a -6 .

Ja a -2 = 1/aa, un šī trešā pakāpe
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Ceturtā pakāpe a 2 b -3 ir 8 b -12 vai 8 / b 12 .

Kvadrāts b 3 x -1 ir b 6 x -2 .

N-tā pakāpe ax -m ir x -mn vai 1/x .

Tomēr šeit jāatceras, ka, ja zīme iepriekšējā grāds ir "-", tad tas jāmaina uz "+", ja grāds ir pāra skaitlis.

1. piemērs. Kvadrāts -a 3 ir +a 6 . -a 3 kvadrāts ir -a 3 .-a 3 , kas saskaņā ar reizināšanas zīmju noteikumiem ir +a 6 .

2. Bet kubs -a 3 ir -a 9 . Ja -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-tā pakāpe -a 3 ir 3n .

Šeit rezultāts var būt pozitīvs vai negatīvs atkarībā no tā, vai n ir pāra vai nepāra.

Ja frakcija paaugstināts līdz pakāpei, skaitītājs un saucējs tiek palielināts līdz pakāpei.

Kvadrāts a/b ir a 2/b 2 . Saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas likumu,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a otrā, trešā un n-tā pakāpe ir 1/a 2 , 1/a 3 un 1/a n .

Piemēri binomiāli kur viens no vārdiem ir daļskaitlis.

1. Atrodiet kvadrātu x + 1/2 un x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadrāts a + 2/3 ir 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrāts x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kvadrāts x - b/m ir x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Iepriekš tas tika parādīts daļskaitļu koeficients var pārvietot no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju. Izmantojot apgriezto spēku rakstīšanas shēmu, var redzēt, ka jebkurš reizinātājs var arī pārvietot ja tiek mainīta grāda zīme.

Tātad daļā ax -2 /y mēs varam pārvietot x no skaitītāja uz saucēju.
Tad ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Daļdaļā a/ar 3 mēs varam pārvietot y no saucēja uz skaitītāju.
Tad a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Tādā pašā veidā mēs varam pārvietot faktoru, kuram ir pozitīvs eksponents, uz skaitītāju vai faktoru ar negatīvu eksponentu uz saucēju.

Tātad, ax 3 / b = a / bx -3 . Attiecībā uz x 3 apgrieztā vērtība ir x -3 , kas ir x 3 = 1/x -3 .

Tāpēc jebkuras frakcijas saucēju var pilnībā noņemt vai skaitītāju var samazināt līdz vienam, nemainot izteiksmes nozīmi.

Tātad a/b = 1/ba -1 vai ab -1 .

Paaugstināšana ir darbība, kas ir cieši saistīta ar reizināšanu, šī darbība ir skaitļa vairākkārtējas reizināšanas rezultāts. Attēlosim formulu: a1 * a2 * ... * an = an.

Piemēram, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Kopumā kāpināšanu bieži izmanto dažādās matemātikas un fizikas formulās. Šai funkcijai ir zinātniskāks mērķis nekā četrām pamata funkcijām: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Skaitļa palielināšana pakāpē

Skaitļa palielināšana pakāpē nav sarežģīta darbība. Tas ir saistīts ar reizināšanu, piemēram, attiecības starp reizināšanu un saskaitīšanu. Ieraksts an - īss ieraksts ar n-to skaitļu skaitu "a", kas reizināts viens ar otru.

Apsveriet kāpināšanu vienkāršākajos piemēros, pārejot pie sarežģītiem piemēriem.

Piemēram, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Četri kvadrātā (līdz otrajai pakāpei) ir vienāds ar sešpadsmit. Ja jūs nesaprotat reizināšanu 4 * 4, izlasiet mūsu rakstu par reizināšanu.

Apskatīsim citu piemēru: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pieci kubi (līdz trešajai pakāpei) ir vienādi ar simts divdesmit pieci.

Vēl viens piemērs: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deviņi kubi ir septiņi simti divdesmit deviņi.

Paaugstināšanas formulas

Lai pareizi palielinātu jaudu, jums jāatceras un jāzina tālāk norādītās formulas. Šajā nav nekas tālāk par dabisku, galvenais ir saprast būtību un tad tie ne tikai paliks atmiņā, bet arī liksies viegli.

Monomāla paaugstināšana līdz jaudai

Kas ir monoms? Tas ir skaitļu un mainīgo reizinājums jebkurā daudzumā. Piemēram, divi ir monomāls. Un šis raksts ir par šādu monomu pacelšanu līdz varai.

Izmantojot kāpināšanas formulas, nebūs grūti aprēķināt monoma paaugstināšanu pakāpē.

Piemēram, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ja paaugstināsit monomu līdz pakāpei, tad katra monoma sastāvdaļa tiek paaugstināta līdz pakāpei.

Paaugstinot mainīgo, kuram jau ir pakāpe, pakāpes tiek reizinātas. Piemēram, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Paaugstināšana līdz negatīvam spēkam

Negatīvs eksponents ir skaitļa reciproks. Kas ir savstarpējs? Jebkuram skaitlim X apgrieztā vērtība ir 1/X. Tas ir X-1=1/X. Tāda ir negatīvās pakāpes būtība.

Apsveriet piemēru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Kāpēc ir tā, ka? Tā kā pakāpē ir mīnuss, mēs vienkārši pārnesam šo izteiksmi uz saucēju un pēc tam paaugstinām to uz trešo pakāpi. Vai tikai pareizi?

Paaugstināšana līdz daļējai jaudai

Sāksim ar konkrētu piemēru. 43/2. Ko nozīmē jauda 3/2? 3 - skaitītājs, nozīmē skaitļa (šajā gadījumā 4) palielināšanu kubā. Skaitlis 2 ir saucējs, tas ir skaitļa otrās saknes iegūšana (šajā gadījumā 4).

Tad mēs iegūstam kvadrātsakni no 43 = 2^3 = 8 . Atbilde: 8.

Tātad daļējas pakāpes saucējs var būt vai nu 3, vai 4, un līdz bezgalībai jebkurš skaitlis, un šis skaitlis nosaka kvadrātsaknes pakāpi, kas iegūta no dotā skaitļa. Protams, saucējs nevar būt nulle.

Saknes paaugstināšana līdz spēkam

Ja sakne tiek pacelta līdz pakāpei, kas vienāda ar pašas saknes jaudu, tad atbilde ir radikālā izteiksme. Piemēram, (√x)2 = x. Un tā jebkurā gadījumā saknes pakāpes un saknes celšanas pakāpes vienlīdzības gadījumā.

Ja (√x)^4. Pēc tam (√x)^4=x^2. Lai pārbaudītu risinājumu, mēs tulkojam izteiksmi izteiksmē ar daļēju pakāpi. Tā kā sakne ir kvadrāts, tad saucējs ir 2. Un, ja sakne tiek pacelta līdz ceturtajai pakāpei, tad skaitītājs ir 4. Iegūstam 4/2=2. Atbilde: x = 2.

Jebkurā gadījumā labākā iespēja ir vienkārši pārvērst izteiksmi daļējā eksponentā. Ja daļskaitlis netiek samazināts, tad šāda atbilde būs ar nosacījumu, ka nav piešķirta dotā skaitļa sakne.

Kompleksā skaitļa kāpināšana

Kas ir kompleksais skaitlis? Komplekss skaitlis ir izteiksme, kuras formula ir a + b * i; a, b ir reāli skaitļi. i ir skaitlis, kuru kvadrātā saliekot, iegūst skaitli -1.

Apsveriet piemēru. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Pierakstieties kursam "Paātrināt skaitīšanu prātā, NEVIS prāta aritmētiku", lai uzzinātu, kā ātri un pareizi saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt, kvadrātā un pat iesakņoties. 30 dienu laikā jūs uzzināsit, kā izmantot vienkāršus trikus, lai vienkāršotu aritmētiskās darbības. Katra nodarbība satur jaunus paņēmienus, skaidrus piemērus un noderīgus uzdevumus.

Paaugstināšana tiešsaistē

Ar mūsu kalkulatora palīdzību jūs varat aprēķināt skaitļa paaugstināšanu pakāpē:

Paaugstināšanas pakāpe 7

Paaugstināšana pie varas sāk iziet skolēni tikai septītajā klasē.

Paaugstināšana ir darbība, kas ir cieši saistīta ar reizināšanu, šī darbība ir skaitļa vairākkārtējas reizināšanas rezultāts. Attēlosim formulu: a1 * a2 * … * an=an .

Piemēram, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Risinājumu piemēri:

Paaugstināšanas prezentācija

Prezentācija par kāpināšanu, paredzēta septīto klašu skolēniem. Prezentācija var precizēt dažus nesaprotamus punktus, bet, iespējams, šādu punktu nebūs, pateicoties mūsu rakstam.

Rezultāts

Esam apsvēruši tikai aisberga virsotni, lai labāk izprastu matemātiku - piesakieties mūsu kursam: Paātrināt skaitīšanu prātā - NEVIS prāta aritmētiku.

Kursā jūs ne tikai apgūsiet desmitiem triku vienkāršotai un ātrai reizināšanai, saskaitīšanai, reizināšanai, dalīšanai, procentu aprēķināšanai, bet arī izstrādāsiet tos īpašos uzdevumos un izglītojošās spēlēs! Arī prāta skaitīšana prasa lielu uzmanību un koncentrēšanos, kas tiek aktīvi trenēta interesantu problēmu risināšanā.

Turpinot sarunu par skaitļa pakāpi, loģiski ir nodarboties ar pakāpes vērtības atrašanu. Šis process ir nosaukts eksponenci. Šajā rakstā mēs tikai pētīsim, kā tiek veikta eksponēšana, savukārt mēs pieskarsimies visiem iespējamiem eksponentiem - dabiskajiem, veselajiem skaitļiem, racionālajiem un iracionālajiem. Un pēc tradīcijas mēs detalizēti apsvērsim risinājumus skaitļu palielināšanas piemēriem dažādās pilnvarās.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē “paaugstināšana”?

Sāksim ar skaidrojumu, ko sauc par eksponenci. Šeit ir attiecīgā definīcija.

Definīcija.

Paaugstināšana ir atrast skaitļa pakāpju vērtību.

Tādējādi a pakāpju vērtības atrašana ar eksponentu r un skaitļa a paaugstināšana līdz r pakāpei ir tas pats. Piemēram, ja uzdevums ir “aprēķināt jaudas (0,5) vērtību 5”, tad to var pārformulēt šādi: “Palieliniet skaitli 0,5 līdz pakāpei 5”.

Tagad varat pāriet tieši uz noteikumiem, saskaņā ar kuriem tiek veikta eksponēšana.

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam spēkam

Praksē vienlīdzība, kuras pamatā ir, parasti tiek piemērota formā . Tas ir, paaugstinot skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, vispirms tiek iegūta n-tās pakāpes sakne no skaitļa a, pēc tam rezultāts tiek palielināts līdz veselam skaitļa pakāpei m.

Apsveriet risinājumus piemēriem, kā palielināt līdz daļējai pakāpei.

Piemērs.

Aprēķiniet grāda vērtību.

Lēmums.

Mēs parādām divus risinājumus.

Pirmais veids. Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu. Mēs aprēķinām pakāpes vērtību zem saknes zīmes, pēc kuras izņemam kuba sakni: .

Otrais veids. Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un pamatojoties uz sakņu īpašībām, vienādības ir patiesas . Tagad izvelciet sakni Visbeidzot, mēs palielinām līdz veselam skaitlim .

Acīmredzot iegūtie paaugstināšanas rezultāti līdz daļējai jaudai sakrīt.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka daļskaitli var uzrakstīt kā decimāldaļskaitli vai jauktu skaitli, šajos gadījumos tas jāaizstāj ar atbilstošo parasto daļskaitli un pēc tam jāveic eksponēšana.

Piemērs.

Aprēķināt (44,89) 2,5 .

Lēmums.

Eksponentu rakstām parastas daļskaitļa formā (ja nepieciešams, skatiet rakstu): . Tagad mēs veicam paaugstināšanu līdz daļējai jaudai:

Atbilde:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Jāsaka arī, ka skaitļu celšana līdz racionālam pakāpēm ir diezgan darbietilpīgs process (it īpaši, ja daļskaitļa eksponenta skaitītājs un saucējs ir diezgan lieli skaitļi), ko parasti veic, izmantojot datortehnoloģiju.

Šīs rindkopas noslēgumā mēs pakavēsimies pie skaitļa nulles konstruēšanas daļskaitlī. Formas daļējai nulles pakāpei mēs piešķīrām šādu nozīmi: jo mums ir , savukārt nulle pret jaudu m/n nav definēta. Tātad, no nulles līdz pozitīvai daļējai jaudai ir nulle, piemēram, . Un nullei daļējā negatīvā pakāpē nav jēgas, piemēram, izteiksmēm un 0 -4,3 nav jēgas.

Paaugstināšana līdz iracionālam spēkam

Dažreiz kļūst nepieciešams noskaidrot skaitļa pakāpes vērtību ar iracionālu eksponentu. Šajā gadījumā praktiskiem nolūkiem parasti pietiek iegūt grāda vērtību līdz noteiktai zīmei. Mēs uzreiz atzīmējam, ka praksē šī vērtība tiek aprēķināta, izmantojot elektroniskās skaitļošanas tehnoloģiju, jo manuāla palielināšana līdz neracionālai jaudai prasa lielu skaitu apgrūtinošu aprēķinu. Bet tomēr mēs vispārīgi aprakstīsim darbību būtību.

Lai iegūtu aptuvenu eksponenta a vērtību ar iracionālu eksponentu, tiek ņemta eksponenta decimālā tuvināšana un aprēķināta eksponenta vērtība. Šī vērtība ir aptuvenā skaitļa a pakāpes vērtība ar iracionālu eksponentu. Jo precīzāka ir skaitļa decimālā tuvināšana sākotnēji, jo precīzāka būs grādu vērtība.

Kā piemēru aprēķināsim jaudas aptuveno vērtību 2 1,174367... . Ņemsim šādu iracionālā rādītāja decimālo tuvinājumu: . Tagad mēs paaugstinām 2 līdz racionālai pakāpei 1,17 (šī procesa būtību mēs aprakstījām iepriekšējā punktā), iegūstam 2 1,17 ≈ 2,250116. Tādējādi 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ja mēs ņemam precīzāku iracionālā eksponenta decimālo aproksimāciju, piemēram, , tad iegūstam precīzāku sākotnējās pakāpes vērtību: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).