Daļas pacelšana kubā. Algebriskās daļas paaugstināšana līdz pakāpei

Ir pienācis laiks iepazīties ar erekcija algebriskā daļa līdz pakāpei. Šī darbība ar algebriskajām daļām pakāpes izteiksmē tiek samazināta līdz reizināšanai identiskas frakcijas. Šajā rakstā mēs sniegsim atbilstošo noteikumu un aplūkosim piemērus algebrisko daļskaitļu paaugstināšanai līdz dabiskajiem pakāpēm.

Lapas navigācija.

Noteikums par algebriskās daļas paaugstināšanu pakāpē, tā pierādījums

Pirms runāt par algebriskās daļas paaugstināšanu līdz pakāpei, nav slikti atcerēties, kāds ir to pašu faktoru reizinājums, kas atrodas pakāpes pamatā, un to skaitu nosaka rādītājs. Piemēram, 2 3 = 2 2 2 = 8 .

Un tagad atcerēsimies noteikumu par paaugstināšanu līdz parastas daļskaitļa pakāpei - šim nolūkam jums atsevišķi jāpaaugstina skaitītājs līdz norādītajai pakāpei un atsevišķi saucējs. Piemēram, . Šis noteikums attiecas uz algebriskās daļas paaugstināšanu līdz dabiskajam pakāpēm.

Algebriskās daļas paaugstināšana līdz dabiskajam pakāpēm dod jaunu daļskaitli, kuras skaitītājā ir norādītā sākotnējās daļas skaitītāja pakāpe, bet saucējā - saucēja pakāpe. Burtiskā formā šis noteikums atbilst vienādībai , kur a un b ir patvaļīgi polinomi (konkrētos gadījumos monomi vai skaitļi), un b ir polinoms, kas nav nulles polinoms, un n ir .

Pierādījums izteiktajam noteikumam algebriskās daļas paaugstināšanai līdz pakāpei ir balstīts uz pakāpes definīciju ar naturālo eksponentu un to, kā mēs definējām algebrisko daļu reizināšanu: .

Piemēri, risinājumi

Iepriekšējā rindkopā iegūtais noteikums samazina algebriskās daļskaitļa paaugstināšanu līdz pakāpei līdz sākotnējās daļskaitļa skaitītāja un saucēja paaugstināšanai līdz šai pakāpei. Un tā kā sākotnējās algebriskās daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi (konkrētajā gadījumā monomi vai skaitļi), sākotnējais uzdevums tiek reducēts līdz polinomu palielināšanai pakāpē. Pēc šīs darbības veikšanas tiks iegūta jauna algebriskā daļa, kas ir identiski vienāda ar sākotnējās algebriskās daļas norādīto jaudu.

Apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs.

Kvadrātveida algebriskā daļa.

Lēmums.

Rakstīsim grādu. Tagad mēs pievēršamies likumam algebriskās daļskaitļa paaugstināšanai līdz pakāpei, tas dod mums vienādību . Atliek iegūto daļskaitli pārvērst algebriskās daļas formā, paaugstinot monomālus līdz pakāpei. Tātad .

Parasti, paaugstinot algebrisko daļskaitli līdz pakāpei, risinājuma gaita netiek izskaidrota, un risinājums tiek uzrakstīts īsi. Mūsu piemērs atbilst ierakstam .

Atbilde:

.

Ja polinomi, īpaši binomi, atrodas algebriskās daļskaitļa skaitītājā un/vai saucējā, tad, paaugstinot to līdz pakāpei, ieteicams izmantot atbilstošās saīsinātās reizināšanas formulas.

Piemērs.

Paaugstināt algebrisko daļu līdz otrajai pakāpei.

Lēmums.

Saskaņā ar noteikumu, ka daļa tiek palielināta par spēku, mums ir .

Lai pārveidotu iegūto izteiksmi skaitītājā, mēs izmantojam starpības kvadrāta formula, un saucējā - trīs terminu summas kvadrāta formula:

Atbilde:

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka, ja mēs paaugstināsim nereducējamu algebrisko daļu līdz dabiskajai pakāpei, tad rezultāts būs arī nereducējams daļskaitlis. Ja sākotnējā daļa ir atceļama, tad pirms tās paaugstināšanas līdz pakāpei ieteicams algebrisko daļu samazināt, lai pēc paaugstināšanas līdz pakāpei neveiktu samazināšanu.

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1.daļa Skolēna mācību grāmata izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena daļa no www.website, ieskaitot iekšējie materiāli un ārējais dizains nedrīkst reproducēt vai izmantot bez autortiesību īpašnieka iepriekšējas rakstiskas atļaujas.

Turpinot sarunu par skaitļa pakāpi, loģiski ir nodarboties ar pakāpes vērtības atrašanu. Šis process ir nosaukts eksponenci. Šajā rakstā mēs tikai pētīsim, kā tiek veikta eksponēšana, savukārt mēs pieskarsimies visiem iespējamiem eksponentiem - dabiskajiem, veselajiem skaitļiem, racionālajiem un iracionālajiem. Un pēc tradīcijas mēs detalizēti apsvērsim risinājumus skaitļu palielināšanas piemēriem dažādās pakāpēs.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē “paaugstināšana”?

Sāksim ar skaidrojumu, ko sauc par eksponenci. Šeit ir attiecīgā definīcija.

Definīcija.

Paaugstināšana ir atrast skaitļa pakāpju vērtību.

Tādējādi a pakāpju vērtības atrašana ar eksponentu r un skaitļa a paaugstināšana līdz r pakāpei ir tas pats. Piemēram, ja uzdevums ir “aprēķināt jaudas vērtību (0,5) 5”, tad to var pārformulēt šādi: “Palieliniet skaitli 0,5 līdz pakāpei 5”.

Tagad varat pāriet tieši uz noteikumiem, saskaņā ar kuriem tiek veikta eksponēšana.

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam spēkam

Praksē vienlīdzība, kuras pamatā ir, parasti tiek piemērota formā . Tas ir, paaugstinot skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, vispirms tiek iegūta n-tās pakāpes sakne no skaitļa a, pēc tam rezultāts tiek palielināts līdz veselam skaitļa pakāpei m.

Apsveriet risinājumus piemēriem, kā palielināt līdz daļējai pakāpei.

Piemērs.

Aprēķiniet grāda vērtību.

Lēmums.

Mēs parādām divus risinājumus.

Pirmais veids. Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu. Mēs aprēķinām pakāpes vērtību zem saknes zīmes, pēc kuras mēs ekstrahējam kuba sakne: .

Otrais veids. Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un pamatojoties uz sakņu īpašībām, vienādības ir patiesas . Tagad izvelciet sakni Visbeidzot, mēs palielinām līdz veselam skaitlim .

Acīmredzot iegūtie paaugstināšanas rezultāti līdz daļējai jaudai sakrīt.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka daļskaitli var uzrakstīt kā decimāldaļskaitli vai jauktu skaitli, šajos gadījumos tas jāaizstāj ar atbilstošo parasto daļskaitli un pēc tam jāveic eksponēšana.

Piemērs.

Aprēķināt (44,89) 2,5 .

Lēmums.

Eksponentu rakstām parastas daļskaitļa formā (ja nepieciešams, skatiet rakstu): . Tagad mēs veicam paaugstināšanu līdz daļējai jaudai:

Atbilde:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Jāsaka arī, ka skaitļu palielināšana līdz racionālam pakāpēm ir diezgan darbietilpīgs process (īpaši, ja daļskaitļa eksponenta skaitītājs un saucējs satur pietiekami daudz lieli cipari), ko parasti veic, izmantojot datortehnoloģiju.

Šīs rindkopas noslēgumā mēs pakavēsimies pie skaitļa nulles konstruēšanas daļskaitlī. Formas daļējai nulles pakāpei mēs piešķīrām šādu nozīmi: jo mums ir , savukārt nulle pret jaudu m/n nav definēta. Tātad no nulles līdz pozitīvai daļējai jaudai nulle, Piemēram, . Un nullei daļējā negatīvā pakāpē nav jēgas, piemēram, izteiksmēm un 0 -4,3 nav jēgas.

Paaugstināšana līdz iracionālam spēkam

Dažreiz kļūst nepieciešams noskaidrot skaitļa pakāpes vērtību ar iracionālu eksponentu. Šajā gadījumā praktiskiem nolūkiem parasti pietiek iegūt grāda vērtību līdz noteiktai zīmei. Mēs uzreiz atzīmējam, ka šī vērtība praksē tiek aprēķināta, izmantojot elektroniskās skaitļošanas tehnoloģiju, kopš paaugstināšanas līdz ir racionāla pakāpe manuāli pieprasa liels skaits apgrūtinoši aprēķini. Tomēr mēs aprakstīsim vispārīgi runājot darbības būtība.

Lai iegūtu aptuvenu a jaudas vērtību ar neracionāls rādītājs, tiek ņemta eksponenta decimālā aproksimācija un tiek aprēķināta eksponenta vērtība. Šī vērtība ir aptuvenā skaitļa a pakāpes vērtība ar iracionālu eksponentu. Jo precīzāks ir skaitļa decimālais tuvinājums sākotnēji, jo vairāk precīza vērtība beigās tiks iegūts grāds.

Kā piemēru aprēķināsim jaudas aptuveno vērtību 2 1,174367... . Ņemsim šādu iracionālā rādītāja decimālo tuvinājumu: . Tagad mēs paaugstinām 2 līdz racionālai pakāpei 1,17 (šī procesa būtību mēs aprakstījām iepriekšējā punktā), iegūstam 2 1,17 ≈ 2,250116. Tādējādi 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ja ņemam precīzāku iracionālā eksponenta decimālo aproksimāciju, piemēram, , tad iegūstam precīzāku sākotnējās pakāpes vērtību: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Nodarbībā tiks aplūkota vispārīgāka daļskaitļu reizināšanas versija - tā ir eksponēšana. Pirmkārt, mēs runāsim par daļskaitļa dabisko pakāpi un piemēriem, kas parāda līdzīgas darbības ar daļskaitļiem. Nodarbības sākumā atkārtosim arī veselu skaitļu izteiksmju paaugstināšanu līdz dabiskajam pakāpēm un redzēsim, kā tas noder turpmāko piemēru risināšanai.

Tēma: Algebriskās daļas. Aritmētiskās darbības ar algebriskām daļām

Nodarbība: algebriskās daļas palielināšana līdz pakāpei

1. Noteikumi daļskaitļu un veselu skaitļu izteiksmju paaugstināšanai līdz dabiskajiem pakāpēm ar elementāriem piemēriem

Noteikums parasto un algebrisko daļskaitļu paaugstināšanai līdz dabiskajiem pakāpēm:

Varat izdarīt analoģiju ar vesela skaitļa izteiksmes pakāpi un atcerēties, kas ir domāts, palielinot to pakāpē:

1. piemērs .

Kā redzams no piemēra, daļdaļas paaugstināšana līdz pakāpei ir īpašs gadījums daļskaitļu reizināšana, kas tika pētīta iepriekšējā nodarbībā.

Piemērs 2. a), b) - mīnuss iet prom, jo ​​mēs pacēlām izteiksmi līdz vienmērīgai jaudai.

Lai ērtāk strādātu ar grādiem, mēs atgādinām pamatnoteikumus dabiskā spēka paaugstināšanai:

- grādu reizinājums;

- grādu sadalījums;

Paaugstināt grādu līdz spēkam;

Darba pakāpe.

Piemērs 3. - tas mums ir zināms kopš tēmas "Paaugstināšana līdz veselu skaitļu izteiksmēm", izņemot vienu gadījumu: tas neeksistē.

2. Vienkāršākie piemēri algebrisko daļskaitļu paaugstināšanai naturālajos pakāpēs

4. piemērs. Palieliniet daļu līdz pakāpei.

Lēmums. Paaugstinot līdz vienmērīgai jaudai, mīnuss pazūd:

5. piemērs. Palieliniet daļu līdz pakāpei.

Lēmums. Tagad mēs izmantojam noteikumus pakāpes paaugstināšanai līdz jaudai nekavējoties bez atsevišķa grafika:

.

Tagad apsveriet kombinētos uzdevumus, kuros mums vajadzēs palielināt daļskaitļus līdz pakāpei, tās reizināt un dalīt.

6. piemērs. Veiciet darbības.

Lēmums. . Tālāk jums jāveic samazinājums. Mēs vienreiz detalizēti aprakstīsim, kā mēs to darīsim, un pēc tam nekavējoties norādīsim rezultātu pēc analoģijas:. Līdzīgi (vai saskaņā ar grādu dalīšanas likumu). Mums ir: .

7. piemērs. Veiciet darbības.

Lēmums. . Samazināšanu veic pēc analoģijas ar iepriekš apskatīto piemēru.

8. piemērs. Veiciet darbības.

Lēmums. . AT šis piemērs mēs vēlreiz sīkāk aprakstījām jaudu samazināšanas procesu daļās, lai konsolidētu šo metodi.

3. Sarežģītāki piemēri algebrisko daļu paaugstināšanai līdz naturālajiem pakāpēm (ņemot vērā zīmes un terminus iekavās)

9. piemērs. Veiciet darbības .

Lēmums. Šajā piemērā mēs jau izlaidīsim atsevišķu daļu reizināšanu un nekavējoties izmantosim to reizināšanas noteikumu un pierakstīsim to zem viena saucēja. Tajā pašā laikā mēs sekojam zīmēm - šajā gadījumā daļskaitļi tiek pacelti līdz pat pakāpēm, tāpēc mīnusi pazūd. Beigās veiksim samazinājumu.

10. piemērs: veiciet darbības .

Lēmums. Šajā piemērā ir daļskaitļu dalījums, atcerieties, ka šajā gadījumā pirmā daļa tiek reizināta ar otro, bet apgriezta.

Tēma ir saistīta ar faktu, ka mums ir jāreizina identiskas daļas. Šis raksts jums pastāstīs, kāds noteikums ir jāizmanto, lai pareizi palielinātu algebriskās daļas līdz dabiskajiem pakāpēm.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Noteikums algebriskās daļas paaugstināšanai pakāpē, tā pierādījums

Pirms uzsākt paaugstināšanu līdz jaudām, ir jāpadziļina zināšanas ar rakstu par grādu ar naturālo rādītāju, kur ir identisku faktoru reizinājums, kas atrodas grāda pamatā un tiek noteikts to skaits. pēc indikatora. Piemēram, skaitlis 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Paaugstinot līdz jaudai, mēs visbiežāk izmantojam noteikumu. Lai to izdarītu, atsevišķi paaugstiniet skaitītāju un saucēju. Apsveriet piemēru 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Noteikums attiecas uz daļdaļas paaugstināšanu līdz dabiskajam spēkam.

Plkst algebriskās daļas paaugstināšana līdz dabiskajam pakāpēm iegūstam jaunu, kur skaitītājā ir sākotnējās daļskaitļa pakāpe, bet saucējam ir saucēja pakāpe. Tas viss ir formā a b n = a n b n , kur a un b ir patvaļīgi polinomi, b nav nulle un n ir naturāls skaitlis.

Šī noteikuma pierādījums ir uzrakstīts kā daļskaitlis, kas jāpaaugstina līdz pakāpei, pamatojoties uz pašu definīciju ar naturālo rādītāju. Tad iegūstam formas a b n = a b · a b · daļskaitļu reizinājumu. . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Piemēri, risinājumi

Noteikums algebriskās daļas paaugstināšanai līdz pakāpei tiek izpildīts secīgi: vispirms skaitītājs, tad saucējs. Ja skaitītājā un saucējā ir polinoms, tad pats uzdevums tiks reducēts līdz dotā polinoma paaugstināšanai līdz pakāpei. Pēc tam tiks norādīta jauna daļa, kas ir vienāda ar sākotnējo.

1. piemērs

Daļas x 2 3 y z 3 kvadrātā

Lēmums

Nepieciešams fiksēt pakāpi x 2 3 · y · z 3 2 . Saskaņā ar likumu par algebriskās daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē, iegūstam vienādību formā x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Tagad ir nepieciešams pārvērst iegūto daļu algebriskā formā ar eksponenci. Tad mēs iegūstam formas izteiksmi

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Visi paaugstināšanas gadījumi neprasa detalizētu skaidrojumu, tāpēc pašam risinājumam ir īss ieraksts. Tas ir, mēs to saņemam

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Atbilde: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Ja skaitītājam un saucējam ir polinomi, tad visa daļa ir jāpalielina līdz pakāpei un pēc tam jāpiemēro saīsinātās reizināšanas formulas, lai to vienkāršotu.

2. piemērs

Kvadrājiet daļu 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Lēmums

No noteikuma mums tas ir

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Lai pārvērstu izteiksmi, saucējā ir jāizmanto formula trīs terminu summas kvadrātam, bet skaitītājā - starpības kvadrāts, kas vienkāršos izteiksmi. Mēs iegūstam:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Atbilde: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Ņemiet vērā, ka, palielinot daļskaitli, kuru nevaram reducēt līdz dabiskajam pakāpēm, mēs iegūstam arī nereducējamu daļu. Tas neatvieglo turpmāko risināšanu. Kad doto daļskaitli var samazināt, tad, eksponējot, mēs atklājam, ka ir nepieciešams veikt algebriskās daļas samazināšanu, lai izvairītos no samazināšanas veikšanas pēc paaugstināšanas pakāpē.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Mēs noskaidrojām, kāda ir skaitļa pakāpe kopumā. Tagad mums ir jāsaprot, kā to pareizi aprēķināt, t.i. palielināt skaitļus līdz pakāpēm. Šajā materiālā mēs analizēsim pamatnoteikumus pakāpes aprēķināšanai vesela skaitļa, dabiskā, daļskaitļa, racionālā un iracionālā eksponenta gadījumā. Visas definīcijas tiks ilustrētas ar piemēriem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paaugstināšanas jēdziens

Sāksim ar pamata definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Paaugstināšana ir kāda skaitļa jaudas vērtības aprēķins.

Tas ir, vārdi "pakāpes vērtības aprēķināšana" un "pastiprināšana" nozīmē vienu un to pašu. Tātad, ja uzdevums ir "Palielināt skaitli 0 , 5 līdz piektajai pakāpei", tas jāsaprot kā "aprēķināt jaudas (0 , 5) vērtību 5 .

Tagad mēs sniedzam pamatnoteikumus, kas jāievēro šādos aprēķinos.

Atgādiniet, kas ir skaitļa ar naturālo eksponentu jauda. Pakāpei ar bāzi a un eksponentu n tas būs n-tā faktoru skaita reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. To var uzrakstīt šādi:

Lai aprēķinātu pakāpes vērtību, ir jāveic reizināšanas operācija, tas ir, jāreizina pakāpes bāzes norādīto reižu skaitu. Pati jēdziens par grādu ar dabisku rādītāju ir balstīts uz spēju ātri pavairot. Sniegsim piemērus.

1. piemērs

Stāvoklis: Paaugstināt - 2 līdz 4 pakāpei.

Lēmums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Tālāk mums vienkārši jāveic šīs darbības un jāiegūst 16 .

Ņemsim sarežģītāku piemēru.

2. piemērs

Aprēķiniet vērtību 3 2 7 2

Lēmums

Šo ierakstu var pārrakstīt kā 3 2 ​​7 · 3 2 7 . Iepriekš mēs apskatījām, kā pareizi reizināt nosacījumā minētos jauktos skaitļus.

Veiciet šīs darbības un saņemiet atbildi: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ja uzdevums norāda uz nepieciešamību palielināt iracionālos skaitļus līdz dabiskajam pakāpēm, mums vispirms būs jānoapaļo to bāzes līdz ciparam, kas ļaus iegūt atbildi ar vēlamo precizitāti. Ņemsim piemēru.

3. piemērs

Veiciet skaitļa π sadalīšanu kvadrātā.

Lēmums

Vispirms noapaļosim līdz simtdaļām. Tad π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ja π ≈ 3 . 14159, tad iegūsim precīzāku rezultātu: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Ņemiet vērā, ka nepieciešamība aprēķināt iracionālo skaitļu pakāpes praksē rodas salīdzinoši reti. Pēc tam mēs varam rakstīt atbildi kā pašu jaudu (ln 6) 3 vai konvertēt, ja iespējams: 5 7 = 125 5 .

Atsevišķi jānorāda, kāda ir skaitļa pirmā pakāpe. Šeit jūs varat tikai atcerēties, ka jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliks pats:

Tas ir skaidrs no ieraksta. .

Tas nav atkarīgs no grāda pamata.

4. piemērs

Tātad (− 9) 1 = − 9 un 7 3, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei, paliek vienāds ar 7 3 .

Ērtības labad mēs analizēsim trīs gadījumus atsevišķi: ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis, ja tas ir nulle un ja tas ir negatīvs vesels skaitlis.

Pirmajā gadījumā tas ir tas pats, kas paaugstināšana līdz naturālajam pakāpēm: galu galā pozitīvi veseli skaitļi pieder naturālo skaitļu kopai. Iepriekš mēs jau aprakstījām, kā strādāt ar šādiem grādiem.

Tagad redzēsim, kā pareizi paaugstināt līdz nulles jaudai. Ja bāze nav nulle, šis aprēķins vienmēr nodrošina izvadi 1 . Iepriekš esam paskaidrojuši, ka a 0. pakāpju var definēt jebkuram reālais skaitlis, nav vienāds ar 0, un a 0 = 1.

5. piemērs

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nav definēts.

Mums paliek tikai pakāpes gadījums ar negatīvu veselu eksponentu. Mēs jau runājām par to, ka šādas pakāpes var uzrakstīt kā daļu 1 a z, kur a ir jebkurš skaitlis, un z ir negatīvs vesels skaitlis. Mēs redzam, ka šīs daļas saucējs ir nekas cits kā parastā grāds ar pozitīvu veselu skaitli, un mēs jau esam iemācījušies to aprēķināt. Sniegsim uzdevumu piemērus.

6. piemērs

Paceliet 3 līdz -2 jaudai.

Lēmums

Izmantojot iepriekš minēto definīciju, mēs rakstām: 2 - 3 = 1 2 3

Mēs aprēķinām šīs daļas saucēju un iegūstam 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Tad atbilde ir: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. piemērs

Palieliniet 1, 43 līdz -2.

Lēmums

Pārformulēt: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Aprēķinām kvadrātu saucējā: 1,43 1,43. Decimālskaitļus var reizināt šādi:

Rezultātā mēs saņēmām (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Mums atliek uzrakstīt šo rezultātu parastas daļskaitļa formā, kam tas jāreizina ar 10 tūkstošiem (skat. materiālu par daļu pārvēršanu).

Atbilde: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Atsevišķs gadījums ir skaitļa palielināšana līdz mīnus pirmajai pakāpei. Šādas pakāpes vērtība ir vienāda ar skaitli, kas ir pretējs bāzes sākotnējai vērtībai: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8. piemērs

Piemērs: 3–1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kā palielināt skaitli līdz daļskaitlim

Lai veiktu šādu darbību, mums jāatgādina pakāpes pamatdefinīcija ar daļēju eksponentu: a m n \u003d a m n jebkuram pozitīvam a, veselam skaitlim m un dabiskajam n.

2. definīcija

Tādējādi daļējas pakāpes aprēķins jāveic divos posmos: paaugstinot līdz veselam skaitlim un atrodot n-tās pakāpes sakni.

Mums ir vienādība a m n = a m n , kuru, ņemot vērā sakņu īpašības, parasti izmanto uzdevumu risināšanai formā a m n = a n m . Tas nozīmē, ka, ja mēs paaugstinām skaitli a līdz daļējai pakāpei m / n, tad vispirms no a izņemam n-tās pakāpes sakni, pēc tam rezultātu paaugstinām līdz pakāpei ar veselu eksponentu m.

Ilustrēsim ar piemēru.

9. piemērs

Aprēķināt 8 - 2 3 .

Lēmums

1. metode. Saskaņā ar pamata definīciju mēs to varam attēlot šādi: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Tagad aprēķināsim pakāpi zem saknes un no rezultāta atdalīsim trešo sakni: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. metode. Pārveidosim pamata vienādību: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pēc tam mēs izņemam sakni 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 un izvelkam rezultātu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Mēs redzam, ka risinājumi ir identiski. Jūs varat izmantot jebkurā veidā, kas jums patīk.

Ir gadījumi, kad grādam ir rādītājs, kas izteikts kā jaukts skaitlis vai decimāldaļdaļa. Aprēķinu atvieglošanai labāk to aizstāt ar parasto daļu un skaitīt, kā norādīts iepriekš.

10. piemērs

Palieliniet 44,89 līdz 2,5.

Lēmums

Konvertējiet indikatora vērtību uz kopējā frakcija - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Un tagad mēs veicam visas iepriekš norādītās darbības secībā: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 510 70 13 501, 25107

Atbilde: 13501, 25107.

Ja daļēja eksponenta skaitītājā un saucējā ir lieli skaitļi, tad šādu eksponentu aprēķināšana ar racionālajiem eksponentiem ir diezgan grūts darbs. Tas parasti prasa datortehnoloģiju.

Atsevišķi mēs pakavējamies pie pakāpes ar nulles bāzi un daļēju eksponentu. Formas 0 m n izteiksmei var piešķirt šādu nozīmi: ja m n > 0, tad 0 m n = 0 m n = 0 ; ja m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kā palielināt skaitli līdz iracionālam pakāpēm

Nepieciešamība aprēķināt grāda vērtību, kuras rādītājā ir iracionāls skaitlis, nerodas tik bieži. Praksē uzdevums parasti aprobežojas ar aptuvenas vērtības aprēķināšanu (līdz noteiktam zīmju skaitam aiz komata). To parasti aprēķina datorā šādu aprēķinu sarežģītības dēļ, tāpēc mēs par to sīkāk nekavēsimies, norādīsim tikai galvenos noteikumus.

Ja mums ir jāaprēķina pakāpes a vērtība ar iracionālu eksponentu a , tad mēs ņemam eksponenta decimālo tuvinājumu un skaitām no tā. Rezultāts būs aptuvena atbilde. Jo precīzāka ir decimālā tuvināšana, jo precīzāka ir atbilde. Parādīsim ar piemēru:

11. piemērs

Aprēķiniet aptuveno vērtību 21 , 174367 ....

Lēmums

Mēs aprobežojamies ar decimālo tuvinājumu a n = 1 , 17 . Veiksim aprēķinus, izmantojot šo skaitli: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ja ņemam, piemēram, aproksimāciju a n = 1 , 1743 , tad atbilde būs nedaudz precīzāka: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter