Saspiestu stieņu stabilitāte kritiskā sprieguma Eilera formula. Eilera kritiskā spēka formula

7. lekcija

SASPIETO STIEŅU STABILITĀTE

Saspiesta stieņa stabilitātes jēdziens. Eilera formula. Kritiskā spēka atkarība no stieņa nostiprināšanas metodes. Eilera formulas pielietojamības robežas. Jasinska formula. Ilgtspējības aprēķins.

Saspiesta stieņa stabilitātes jēdziens

Apskatīsim stieni ar taisnu asi, kas noslogots ar garenisku spiedes spēku F. Atkarībā no spēka lieluma un stieņa parametriem (materiāls, garums, forma un šķērsgriezuma izmēri), tā taisnvirziena līdzsvara forma var būt stabils vai nestabils.

Lai noteiktu stieņa līdzsvara veidu, iedarbosimies uz to ar nelielu šķērsslodzi Q. Rezultātā stienis pārvietosies jaunā līdzsvara stāvoklī ar izliektu asi. Ja pēc šķērseniskās slodzes pārtraukšanas stienis atgriežas sākotnējā (taisnvirziena) stāvoklī, tad līdzsvara taisnvirziena forma ir stabila (7.1.a attēls). Gadījumā, ja pēc šķērsspēka Q darbības izbeigšanās stienis neatgriežas sākotnējā stāvoklī, līdzsvara taisnvirziena forma ir nestabila (7.1.b att.).

Tādējādi stabilitāte ir stieņa spēja pēc zināmas novirzes no sākotnējā stāvokļa kādas traucējošas slodzes darbības rezultātā spontāni atgriezties sākotnējā stāvoklī, kad šī slodze tiek pārtraukta. Mazāko garenisko spiedes spēku, pie kura stieņa taisnvirziena līdzsvara forma kļūst nestabila, sauc par kritisko spēku.

Apskatītā centrālā saspiestā stieņa darbības shēma ir teorētiska. Praksē spiedes spēks var darboties ar zināmu ekscentriskumu, un stienim var būt zināms (kaut arī neliels) sākotnējais izliekums. Tāpēc jau no paša stieņa gareniskās slodzes sākuma tiek novērota tā liece. Pētījumi liecina, ka tik ilgi, kamēr spiedes spēks ir mazāks par kritisko spēku, stieņa novirzes būs nelielas. Kad spēks tuvojas kritiskajai vērtībai, novirzes sāk bezgalīgi palielināties. Šis kritērijs (neierobežots izlieces pieaugums ar ierobežotu spiedes spēka pieaugumu) tiek uzskatīts par izliekuma kritēriju.

Elastīgā līdzsvara stabilitātes zudums notiek ne tikai stieņa saspiešanas laikā, bet arī tā vērpes, lieces un sarežģītāku deformācijas veidu laikā.

Eilera formula

Apsveriet stieni ar taisnu asi, kas fiksēts ar divu eņģu balstu palīdzību (7.2. att.). Pieņemsim, ka gareniskais spiedes spēks, kas iedarbojas uz stieni, ir sasniedzis kritisko vērtību un stienis ir saliekts vismazākās stingrības plaknē. Vismazākās stingrības plakne atrodas perpendikulāri tai sekcijas galvenajai centrālajai asij, attiecībā pret kuru sekcijas aksiālajam inerces momentam ir minimālā vērtība.

(7.1)

kur M ir lieces moments; I min ir sekcijas minimālais inerces moments.

No att. 7.2 atrast lieces momentu

(7.2)

Uz att. 7.2. lieces moments kritiskā spēka iedarbības rezultātā ir pozitīvs, un novirze ir negatīva. Lai vienotos par pieņemtajām zīmēm, atkarībā (7.2) tiek likta mīnusa zīme.

Aizstājot (7.2) ar (7.1), lai noteiktu novirzes funkciju, mēs iegūstam diferenciālvienādojumu

(7.3)

(7.4)

No augstākās matemātikas kursa ir zināms, ka (7.3) vienādojuma atrisinājumam ir forma

kur A, B ir integrācijas konstantes.

Lai noteiktu integrācijas konstantes punktā (7.5), mēs izmantojam robežnosacījumus

Liektam stienim koeficienti A un B nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli (pretējā gadījumā stienis netiks saliekts). Tātad

Pielīdzinot (7.6) un (7.4), mēs atrodam

(7.7)

Praktiska nozīme ir kritiskā spēka mazākajai vērtībai, kas nav nulles. Tāpēc, aizstājot n=1 ar (7.7), mums beidzot ir

(7.8)

Atkarību (7.8) sauc par Eilera formulu.

Kritiskā spēka atkarība

no stieņa nostiprināšanas metodes

Formula (7.8) tika iegūta gadījumam, kad stieņa nostiprināšana ar diviem eņģes balstiem, kas atrodas tā malās. Citām stieņa nostiprināšanas metodēm kritiskā spēka noteikšanai izmanto vispārīgo Eilera formulu

(7.9)

kur μ ir garuma samazināšanas koeficients, ņemot vērā stieņa nostiprināšanas metodi.

Biežākie stieņa nostiprināšanas veidi un atbilstošie garuma samazināšanas koeficienti ir parādīti att. 7.3.

Eilera formulas pielietojamības robežas. Jasinska formula

P Atvasinot Eilera formulu, tika izmantots nosacījums, ka Huka likums ir izpildīts stabilitātes zaudēšanas brīdī. Spriegums stieņā izliekšanās brīdī ir vienāds ar

kur
- stieņa elastība; A ir stieņa šķērsgriezuma laukums.

Stabilitātes zaudēšanas brīdī Huka likums tiks izpildīts saskaņā ar nosacījumu

kur σpc ir stieņa materiāla proporcionalitātes robeža;
- pirmā galīgā stieņa elastība. Tēraudam St3 λ pr1 = 100.

Tādējādi Eilera formula ir spēkā, ja nosacījums (7.10) ir izpildīts.

Ja stieņa lokanība ir intervālā
tad stienis zaudēs stabilitāti elastīgo-plastisko deformāciju zonā un nevar izmantot Eilera formulu. Šajā gadījumā kritisko spēku nosaka Jasinska eksperimentālā formula

kur a, b ir eksperimentālie koeficienti. Tēraudam St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

Otro galīgo stieņa elastību nosaka formula

kur σ t ir stieņa materiāla tecēšanas robeža. Tēraudam St3 λ pr2 = 60.

Ja ir izpildīts nosacījums λ ≤ λ pr2, kritiskais spriegums (pēc Jasinska domām) pārsniegs stieņa materiāla tecēšanas robežu. Tāpēc šajā gadījumā, lai noteiktu kritisko spēku, tiek izmantota attiecība

(7.12)

AT kā piemērs attēlā. 7.4 parāda kritiskā sprieguma atkarību no stieņa elastības tēraudam St3.

Ilgtspējības aprēķins

Stabilitātes analīze tiek veikta, izmantojot stabilitātes nosacījumu

(7.13)

Pieļaujamais spriegums, aprēķinot stabilitāti;

- stabilitātes koeficients.

Pieļaujamais spriegums stabilitātes aprēķinā balstās uz pieļaujamo spriegumu saspiešanas aprēķinā

(7.14)

kur φ ir izliekuma (vai galvenā pieļaujamā sprieguma samazinājuma) koeficients. Šis koeficients mainās robežās 0 ≤ φ ≤ 1.

Ņemot vērā, ka plastmasas materiāliem

formulas (7.13) un (7.14) nozīmē

(7.15)

Izliekuma koeficienta vērtības atkarībā no stieņa materiāla un elastības ir norādītas atsauces literatūrā.

Interesantākais ir konstrukcijas aprēķins no stabilitātes stāvokļa. Ar šāda veida aprēķiniem ir zināma: projektēšanas shēma (koeficients μ), ārējais spiedes spēks F, materiāls (pieļaujamais spriegums [σ]) un stieņa garums l, tā šķērsgriezuma forma. Ir nepieciešams noteikt šķērsgriezuma izmērus.

Grūtības slēpjas apstāklī, ka nav zināms, pēc kādas formulas noteikt kritisko spriegumu, jo bez šķērsgriezuma izmēriem nav iespējams noteikt stieņa elastību. Tāpēc aprēķins tiek veikts ar secīgu tuvinājumu metodi:

1) Mēs pieņemam sākotnējo vērtību = 0,5. Nosakiet šķērsgriezuma laukumu

2) Pēc laukuma atrodam šķērsgriezuma izmērus.

3) Izmantojot iegūtos šķērsgriezuma izmērus, mēs aprēķinām stieņa elastību, bet pēc lokanības - izliekuma koeficienta galīgo vērtību .

4) Ja vērtības nesakrīt un veiciet otro tuvinājumu. Sākotnējā φ vērtība otrajā tuvinājumā tiek pieņemta vienāda ar
. utt.

Mēs atkārtojam aprēķinus, līdz koeficienta φ sākotnējās un galīgās vērtības atšķiras ne vairāk kā par 5%. Kā atbildi mēs pieņemam pēdējā tuvinājumā iegūto izmēru vērtības.

Lai atrastu kritiskos spriegumus, ir jāaprēķina kritiskais spēks, t.i., mazākais aksiālais spiedes spēks, kas var noturēt līdzsvarā nedaudz izliektu saspiestu stieni.

Šo problēmu pirmais atrisināja Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas akadēmiķis L. Eilers 1744. gadā.

Ņemiet vērā, ka pats problēmas formulējums atšķiras no visām iepriekš apskatītajām kursa sadaļām. Ja agrāk mēs noteicām stieņa deformāciju pie noteiktām ārējām slodzēm, tad šeit mēs izvirzām apgrieztu problēmu: ņemot vērā saspiestā stieņa ass izliekumu, ir jānosaka, pie kāda aksiālā spiedes spēka lieluma. Ršādi kropļojumi ir iespējami.

Apsveriet taisnu stieni ar nemainīgu šķērsgriezumu, kas savienots galos; viens no balstiem pieļauj attiecīgā stieņa gala garenvirziena kustību (3. att.). Mēs neņemam vērā stieņa pašsvaru.

3. att. Aprēķinu shēma "Eilera uzdevumā"

Mēs noslogojam stieni ar centrāli pieliktiem garenvirziena spiedes spēkiem un piešķiram tam ļoti nelielu izliekumu vismazākās stingrības plaknē; stienis tiek turēts saliektā stāvoklī, kas ir iespējams, jo .

Tiek pieņemts, ka stieņa lieces deformācija ir ļoti maza, tāpēc problēmas risināšanai var izmantot aptuveno diferenciālvienādojumu stieņa liektajai asij. Koordinātu sākuma vietas izvēle punktā BET un koordinātu asu virzienu, kā parādīts 3. attēlā, mums ir:

(1)

Paņemiet posmu no attāluma X no izcelsmes; izliektās ass ordinātas šajā sadaļā būs plkst, un lieces moments ir

Pēc sākotnējās shēmas lieces moments izrādās negatīvs, savukārt ordinātas izvēlētajam ass virzienam plkst izrādīties pozitīvas. (Ja stienis būtu izliekts ar izliekumu uz leju, tad moments būtu pozitīvs, un plkst- negatīvs un.)

Tikko dotajam diferenciālvienādojumam ir šāda forma:

abas vienādojuma puses dalot ar EJ un apzīmējot daļskaitli, mēs to ievedam formā:

Šī vienādojuma vispārējam integrālim ir šāda forma:

Šis risinājums satur trīs nezināmos: integrācijas konstantes a un b un vērtība , jo kritiskā spēka lielums mums nav zināms.

Robežnosacījumi stieņa galos dod divus vienādojumus:

punktā A plkst x = 0 novirze plkst = 0,

AT X= 1 plkst = 0.

Tas izriet no pirmā nosacījuma (jo cos kx =1)

Tātad saliektā ass ir sinusoīds ar vienādojumu

(2)

Piemērojot otro nosacījumu, mēs aizstājam ar šo vienādojumu

plkst= 0 un X = l

mēs iegūstam:

No tā izriet, ka vai nu a vai kl ir vienādi ar nulli.

Ja a ir vienāds ar nulli, tad no (2) vienādojuma izriet, ka izliece jebkurā stieņa posmā ir vienāda ar nulli, t.i., stienis palika taisns. Tas ir pretrunā ar mūsu secinājuma sākotnējām premisām. Tāpēc grēks kl= 0, un vērtībai var būt šādas bezgalīgas vērtību sērijas:

kur ir jebkurš vesels skaitlis.

Tāpēc un kopš tā laika

Citiem vārdiem sakot, slodzei, kas var noturēt līdzsvarā nedaudz izliektu stieni, teorētiski var būt vairākas vērtības. Bet, tā kā tiek meklēta un no praktiskā viedokļa interesanta ir mazākā aksiālā spiedes spēka vērtība, pie kuras kļūst iespējama izliekšanās, tā ir jāņem.

Pirmā sakne =0 prasa, lai tā būtu vienāda ar nulli, kas neatbilst problēmas sākuma datiem; tāpēc šī sakne ir jāatmet un vērtība jāņem par mazāko sakni. Tad mēs iegūstam kritiskā spēka izteiksmi:

Tādējādi, jo vairāk lēciena punktu ir stieņa sinusoidāli izliektajai asij, jo lielākam jābūt kritiskajam spēkam. Pilnīgāki pētījumi liecina, ka līdzsvara formas, kas noteiktas ar formulām (1), ir nestabilas; tie pāriet stabilās formās tikai starpbalstu klātbūtnē punktos AT un Ar(1. att.).

1. att

Tādējādi uzdevums ir atrisināts; mūsu stienim mazāko kritisko spēku nosaka pēc formulas

un izliektā ass attēlo sinusoīdu

Integrācijas konstantes vērtība a palika nenoteikts; tā fizisko nozīmi uzzināsim, ja ievietosim sinusoīda vienādojumu; tad (t.i., stieņa garuma vidū) saņems vērtību:

nozīmē, a- tā ir stieņa novirze sadaļā tā garuma vidū. Tā kā pie spēka kritiskās vērtības R izliekta stieņa līdzsvars ir iespējams ar dažādām novirzēm no tā taisnvirziena formas, ja tikai šīs novirzes būtu nelielas, tad ir dabiski, ka izliece f palika nenoteikts.

Tajā pašā laikā tam jābūt tik mazam, lai mums būtu tiesības izmantot aptuveno izliektās ass diferenciālvienādojumu, t.i., lai tas joprojām būtu mazs, salīdzinot ar vienotību.

Iegūstot kritiskā spēka vērtību, mēs varam nekavējoties atrast kritiskā sprieguma vērtību, dalot spēku ar stieņa šķērsgriezuma laukumu F; tā kā kritiskā spēka vērtība tika noteikta, ņemot vērā stieņa deformācijas, uz kurām lokālai šķērsgriezuma laukuma vājināšanai ir ārkārtīgi vāja ietekme, tad formula ietver inerces momentu, tāpēc ir ierasts aprēķinot kritiskos spriegumus, kā arī sastādot stabilitātes nosacījumu, iekļaut aprēķinos pilnu, nevis novājinātu stieņa šķērsgriezuma laukumu. Tad būs vienādi

Tādējādi, ja saspiesta stieņa laukums ar šādu elastību tiktu izvēlēts tikai pēc stiprības stāvokļa, tad stienis sabruktu no taisnas formas stabilitātes zuduma.

Pirmo reizi tika izvirzīta saspiesto stieņu stabilitātes problēma. Eilers atvasināja kritiskā spēka aprēķina formulu un parādīja, ka tā vērtība būtiski ir atkarīga no stieņa nostiprināšanas metodes. Eilera metodes ideja ir noteikt apstākļus, kādos papildus taisnvirzienam ir iespējama arī blakus (t.i., patvaļīgi tuvu oriģinālam) stieņa līknes līdzsvara forma pie pastāvīgas slodzes.

Pieņemsim, ka taisns stienis ar eņģēm galos ir saspiests ar spēku P= Pk, tika izvests no taisnvirziena līdzsvara ar kādu horizontālu spēku un palika saliekts pēc horizontālā spēka noņemšanas (13.4. att.). Ja stieņa novirzes ir mazas, tad tā ass aptuvenajam diferenciālvienādojumam būs tāda pati forma kā sijas šķērsvirziena lieces gadījumā:

Apvienojot koordinātu izcelsmi ar apakšējās sadaļas centru, mēs virzām asi plkst virzienā uz stieņa novirzēm un asi X- pa stieņa asi.

Izliekuma teorijā spiedes spēku pieņemts uzskatīt par pozitīvu. Tāpēc, nosakot lieces momentu aplūkotā stieņa pašreizējā posmā, mēs iegūstam

Bet, kā izriet no att. 13.4, ar izvēlēto asu virzienu plkst // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси plkst uz pretējo, tad zīmes mainīsies vienlaicīgi plkst un plkst// un mīnusa zīme vienādojuma (13.2) labajā pusē paliks.

Tāpēc stieņa elastīgās līnijas vienādojumam ir forma

.

Pieņemot α 2 =Rk/EI, iegūstam lineāru homogēnu diferenciālvienādojumu

,

kura vispārējais integrālis

Šeit A un B- integrācijas konstantes, kas noteiktas no stieņa fiksācijas nosacījumiem, tā sauktie robežnosacījumi.

Stieņa apakšējā gala horizontālais pārvietojums, kā redzams attēlā. 13.4, ir vienāds ar nulli, t.i., kad X=0 novirze plkst=0. Šis nosacījums tiks izpildīts, ja B=0. Tāpēc stieņa saliektā ass ir sinusoīds

.

Stieņa augšējā gala horizontālais pārvietojums arī ir nulle, tātad

.

Pastāvīgi A, kas ir stieņa maksimālā novirze, nevar būt vienāda ar nulli, kopš kura laika A=0, iespējama tikai taisnleņķa līdzsvara forma, un mēs meklējam nosacījumu, saskaņā ar kuru ir iespējama arī līdzsvara līknes forma. Tāpēc tam jābūt grēksα l=0. No tā izriet, ka stieņa līknes līdzsvara formas var pastāvēt, ja α lņem vērtības π ,2π ,.nπ . Vērtība α l nevar būt vienāds ar nulli, jo šis risinājums atbilst gadījumam

Pielīdzināšana α l= nπ un aizstāšana

mēs saņemam

.

Izteiksmi (13.5) sauc par Eilera formulu. To var izmantot, lai aprēķinātu kritisko spēku Rk kad stienis sasprādzējas vienā no divām galvenajām plaknēm, jo ​​tikai ar šo nosacījumu ir spēkā vienādojums (13.2) un līdz ar to arī formula (13.5).

Stieņa izliekšanās notiek vismazākās stingrības virzienā, ja nav īpašu ierīču, kas neļauj stieņam saliekties šajā virzienā. Tāpēc Eilera formulā ir nepieciešams aizstāt esmin- mazākais no galvenajiem stieņa šķērsgriezuma centrālajiem inerces momentiem.

Stieņa lielākās novirzes vērtība A dotajā risinājumā paliek nedefinēts, tas ir pieņemts patvaļīgi, bet pieņemts, ka tas ir mazs.

Kritiskā spēka vērtība, kas noteikta pēc formulas (13.5), ir atkarīga no koeficienta n. Noskaidrosim šī koeficienta ģeometrisko nozīmi.

Iepriekš mēs noskaidrojām, ka stieņa saliektā ass ir sinusoīds, kura vienādojums pēc aizstāšanas α =π n/l izteiksmē (13.4) iegūst formu

.

Sinusoīdi priekš n=1, n=2 ir parādīti attēlā. 13.5. Ir viegli redzēt, ka vērtība n apzīmē sinusoīda pusviļņu skaitu, pa kuriem stienis noliecas. Acīmredzot stienis vienmēr locīsies pēc mazākā pusviļņu skaita, ko pieļauj tā atbalsta ierīces, jo saskaņā ar (13.5) mazākais. n atbilst mazākajam kritiskajam spēkam. Tikai šim pirmajam kritiskajam spēkam ir reāla fiziska nozīme.

Piemēram, stienis ar šarnīru galiem izlocīsies, tiklīdz tiks sasniegta mazākā kritiskā spēka vērtība, kas atbilst n=1, jo šī stieņa atbalsta ierīces ļauj tam saliekties pa vienu sinusoīda pusviļņu. Atbilstoši kritiskie spēki n=2, n\u003d 3 un vairāk, var sasniegt tikai tad, ja ir starpbalsti (13.6. att.). Stienim ar šarnīru gala balstiem bez starpstiprinājumiem pirmajam kritiskajam spēkam ir reāla nozīme

.

Formula (13.5), kā izriet no tās atvasinājuma, ir derīga ne tikai stienim ar eņģu galiem, bet arī jebkuram stienim, kas lieces laikā izliecas pa veselu pusviļņu skaitu. Pielietosim šo formulu, piemēram, nosakot kritisko spēku stienim, kura atbalsta ierīces pieļauj tikai tā galu garenvirziena nobīdes (statīva ar iestrādātiem galiem). Kā redzams 13.7. attēlā, izliektās ass pusviļņu skaits šajā gadījumā n=2 un līdz ar to kritiskais spēks stienim ar dotajām atbalsta ierīcēm

.

Pieņemsim, ka statīvs ar vienu saspiestu un otru brīvo galu (13.8. att.) tiek saspiests ar spēku. R.

Ja spēks P= Pk, tad bez taisnvirziena var pastāvēt arī statīva līdzsvara izliekta forma (punktēta līnija 13.8. att.).

Plaukta saliektās ass diferenciālvienādojums, kas parādīts attēlā. 13.8. koordinātu asu sistēmai ir tāda pati forma.

Šī vienādojuma vispārīgais risinājums ir:

Pakārtojot šo risinājumu acīmredzamajiem robežnosacījumiem: y=0 plkst x=0 un y/ =0 plkst x= l, saņemam B=0, Aα cosα l= 0.

Mēs pieņēmām, ka stabs ir izliekts, tāpēc vērtība A nevar būt vienāds ar nulli. Tāpēc cosα l= 0. Šī vienādojuma mazākā sakne, kas nav nulle α l= π /2 definē pirmo kritisko spēku

,

kas atbilst stieņa liecei gar sinusoīdu

.

Vērtības α l=3π /2, α l=5π /2 utt., kā parādīts iepriekš, atbilst lielām vērtībām Pk un sarežģītākas statīva izliektās ass formas, kas praktiski var pastāvēt tikai starpbalstu klātbūtnē.

Kā otru piemēru apsveriet statīvu ar vienu saspiestu un otru šarnīra galu (13.9. att.). Sakarā ar stieņa ass izliekumu plkst P= Pk no šarnīra balsta puses rodas horizontāls reaktīvs spēks R. Tāpēc lieces moments pašreizējā stieņa sadaļā

.α :

Šī vienādojuma mazākā sakne nosaka pirmo kritisko spēku. Šis vienādojums tiek atrisināts ar atlases metodi. Ir viegli noticēt, ka šī vienādojuma mazākā sakne, kas nav nulle α l= 4.493=1.43 π .

Ņemot α l= 1.43 π , mēs iegūstam šādu kritiskā spēka izteiksmi:

Šeit μ =1/n- pusviļņu skaita apgrieztā vērtība n sinusoīds, pa kuru stienis izlocīsies. Pastāvīgi μ sauc par garuma samazināšanas koeficientu un reizinājumu μ l- samazināts stieņa garums. Samazinātais garums ir sinusoīda pusviļņa garums, pa kuru šis stienis ir saliekts.

Stieņa galu eņģu stiprinājuma gadījumu sauc par galveno korpusu. No iepriekš minētā izriet, ka kritisko spēku jebkuram stieņa nostiprināšanas gadījumam var aprēķināt pēc formulas galvenajam gadījumam, kad faktiskais stieņa garums tajā tiek aizstāts ar tā samazināto garumu μ l.

Samazinājuma koeficienti μ dažiem statīviem ir doti att. 17.10.

Stabilitātes un kritiskās jaudas jēdziens. Projektēšanas un verifikācijas aprēķini.

Konstrukcijās un konstrukcijās lieliski noder detaļas, kas ir salīdzinoši gari un plāni stieņi, kuros viens vai divi šķērsgriezuma izmēri ir mazi, salīdzinot ar stieņa garumu. Šādu stieņu uzvedība aksiālas spiedes slodzes iedarbībā izrādās principiāli atšķirīga nekā tad, kad tiek saspiesti īsie stieņi: kad spiedes spēks F sasniedz noteiktu kritisko vērtību, kas vienāda ar Fcr, gara stieņa līdzsvara taisnleņķa forma. izrādās nestabils, un, pārsniedzot Fcr, stienis sāk intensīvi locīties (izspiesties). Šajā gadījumā jauns (momentārs) elastīgā garuma līdzsvara stāvoklis kļūst par jaunu, jau izliektu formu. Šo parādību sauc par stabilitātes zudumu.

Rīsi. 37.Stabilitātes zudums

Stabilitāte - ķermeņa spēja saglabāt stāvokli vai līdzsvara formu ārējās ietekmēs.

Kritiskais spēks (Fcr) - slodze, kuras pārsniegšana izraisa ķermeņa sākotnējās formas (pozīcijas) stabilitātes zudumu. Stabilitātes stāvoklis:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Saspiesta stieņa stabilitāte. Eilera problēma.

Nosakot kritisko spēku, kas izraisa saspiesta stieņa izliekšanos, tiek pieņemts, ka stienis ir pilnīgi taisns un spēks F tiek pielikts stingri centrāli. Saspiesta stieņa kritiskās slodzes problēmu, ņemot vērā divu līdzsvara formu pastāvēšanas iespēju pie vienādas spēka vērtības, L. Eilers atrisināja 1744. gadā.

Rīsi. 38.Saspiests stienis

Apsveriet stieni, kas ir pagriežami atbalstīts galos un saspiests ar garenisko spēku F. Pieņemsim, ka stienis kāda iemesla dēļ saņēma nelielu ass izliekumu, kā rezultātā tajā parādījās lieces moments M:

kur y ir stieņa novirze patvaļīgā griezumā ar x koordinātu.

Lai noteiktu kritisko spēku, varat izmantot aptuveno elastīgās līnijas diferenciālvienādojumu:

(26)

Pēc transformāciju veikšanas redzams, ka kritiskais spēks iegūs minimālo vērtību pie n = 1 (viens sinusoīda pusviļņs atbilst stieņa garumā) un J = Jmin (stienis ir saliekts aptuveni ass ar mazāko inerces momentu)

(27)

Šī izteiksme ir Eilera formula.

Kritiskā spēka atkarība no stieņa nostiprināšanas apstākļiem.

Eilera formula tika iegūta tā sauktajam pamatgadījumam - pieņemot stieņa eņģes balstu galos. Praksē ir arī citi stieņa nostiprināšanas gadījumi. Šajā gadījumā var iegūt formulu kritiskā spēka noteikšanai katram no šiem gadījumiem, atrisinot, tāpat kā iepriekšējā punktā, sijas saliektās ass diferenciālvienādojumu ar atbilstošiem robežnosacījumiem. Bet jūs varat izmantot vienkāršāku paņēmienu, ja atceraties, ka stabilitātes zaudēšanas gadījumā vienam sinusoīda pusviļņam ir jāietilpst visā stieņa garumā.

Apskatīsim dažus raksturīgus stieņa stiprināšanas gadījumus galos un iegūsim vispārīgu formulu dažādiem stiprinājuma veidiem.

Rīsi. 39. Dažādi stieņa nostiprināšanas gadījumi

Eilera vispārējā formula:

(28)

kur μ·l = l pr - samazināts stieņa garums; l ir stieņa faktiskais garums; μ ir samazinātā garuma koeficients, kas parāda, cik reizes ir jāmaina stieņa garums, lai kritiskais spēks šim stieņam kļūtu vienāds ar kritisko spēku šarnīra sijai. (Cita samazinātā garuma koeficienta interpretācija: μ parāda, uz kuru stieņa garuma daļu konkrētam stiprinājuma veidam pieguļ viens sinusoīda pusviļņs izliekšanās gadījumā.)

Tādējādi galīgais stabilitātes nosacījums iegūst formu

(29)

Apskatīsim divus saspiestu stieņu stabilitātes aprēķinu veidus - pārbaudi un konstrukciju.

Pārbaudiet aprēķinu

Stabilitātes pārbaudes procedūra izskatās šādi:

Pamatojoties uz zināmajiem šķērsgriezuma izmēriem un formu un stieņa nostiprināšanas nosacījumiem, mēs aprēķinām elastību;

Pēc atsauces tabulas atrodam pieļaujamā sprieguma samazinājuma koeficientu, pēc tam nosakām pieļaujamo spriegumu stabilitātei;

Salīdziniet maksimālo spriegumu ar pieļaujamo stabilitātes spriegumu.

Projektēšanas aprēķins

Projektēšanas aprēķinā (lai izvēlētos sekciju noteiktai slodzei) aprēķina formulā ir divi nezināmi lielumi - vēlamais šķērsgriezuma laukums A un nezināmais koeficients φ (jo φ ir atkarīgs no stieņa elastības, un līdz ar to nezināmajā apgabalā A). Tāpēc, izvēloties sadaļu, parasti ir jāizmanto secīgas tuvināšanas metode:

Parasti pirmajā mēģinājumā ņem φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 un pirmajā tuvinājumā nosaka šķērsgriezuma laukumu.

Atbilstoši atrastajam laukumam A1 tiek izvēlēts griezums un aprēķināta stieņa elastība pirmajā tuvinājumā λ1. Zinot λ, atrodiet jaunu vērtību φ′1;

Materiāla izvēle un sekcijas racionālā forma.

Materiālu izvēle. Tā kā Eilera visu mehānisko īpašību formulā ir iekļauts tikai Janga modulis, nav vēlams izmantot augstas stiprības materiālus, lai palielinātu ļoti elastīgu stieņu stabilitāti, jo Janga modulis ir aptuveni vienāds visām tērauda kategorijām.

Zemas elastības stieņiem ir pamatota augstas kvalitātes tēraudu izmantošana, jo, palielinoties šādu tēraudu tecēšanas robežai, palielinās kritiskie spriegumi un līdz ar to arī stabilitātes rezerve.

Irkutskas Valsts transporta universitāte

16. laboratorija

pēc disciplīnas "Materiālu izturība"

KRITISKO SPĒKU EKSPERIMENTĀLĀ NOTEIKŠANA

GARANTIZĀLAI LIKŠANAI

PM departaments

16. laboratorija

Eksperimentāla kritisko spēku noteikšana izliekumā

Mērķis: saspiesta tērauda stieņa izliekšanās fenomena izpēte gumijā

posmos. Eksperimentāla kompresijas kritisko slodžu vērtību noteikšana

stieņus ar dažādām stiprinājuma metodēm un to salīdzināšanu ar teorētiskajām

vērtības.

Vispārīgi noteikumi

Ar saspiestiem stieņiem nepietiek, lai pārbaudītu izturību atbilstoši labi zināmajam stāvoklim:

,

kur [σ] ir pieļaujamais spriegums stieņa materiālam, P - spiedes spēks F - šķērsgriezuma laukums.

Praksē inženieri nodarbojas ar elastīgiem stieņiem, kas pakļauti kompresijai, plānām saspiestām plāksnēm, plānsienu konstrukcijām, kuru atteici izraisa nevis nestspējas, bet gan stabilitātes zudums.

Stabilitātes zudums tiek saprasts kā sākotnējā līdzsvara formas zudums.

Materiālu pretestība ņem vērā konstrukcijas elementu stabilitāti, kas strādā kompresijā.

Apsveriet garu plānu stieni (1. att.), kas noslogots ar aksiālu spiedes spēku P .

P< P kr P > P kr

Rīsi. viens. Stienis noslogots ar aksiālu spiedes spēku P .

Mazām spēka vērtībām F stienis ir saspiests, paliekot taisns. Turklāt, ja stienis tiek novirzīts no šī stāvokļa ar nelielu šķērsenisku slodzi, tas izlocīsies, bet, to noņemot, stienis atgriežas taisnā stāvoklī. Tas nozīmē, ka noteiktam spēkam P stieņa līdzsvara taisnvirziena forma ir stabila.

Ja turpināsim palielināt spiedes spēku P , tad pie kādas tās vērtības taisnvirziena līdzsvara forma kļūst nestabila un rodas jauna stieņa līdzsvara forma - izliekta (1. att., b) . Pateicoties stieņa liecei, tā posmos parādīsies lieces moments, kas radīs papildu spriegumus, un stienis var pēkšņi sabrukt.

Gareniska spēka saspiesta gara stieņa izliekumu sauc izliekšanās .

Tiek saukta lielākā spiedes spēka vērtība, pie kuras stieņa taisnvirziena līdzsvara forma ir stabila. kritisks - P kr.

Kad tiek sasniegta kritiskā slodze, sākotnējā līdzsvara formā notiek krasas kvalitatīvas izmaiņas, kas noved pie konstrukcijas atteices. Tāpēc kritiskais spēks tiek uzskatīts par pārrāvuma slodzi.

Eilera un Jasinska formulas

Saspiesta stieņa kritiskā spēka noteikšanas problēmu pirmo reizi atrisināja Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas loceklis L. Eilers 1744. gadā. Eilera formulai ir šāda forma.

(1)

kur E – stieņa materiāla elastības modulis; Dž min- stieņa šķērsgriezuma mazākais inerces moments (jo stieņa liece izliekšanās laikā notiek vismazākās stingrības plaknē, t.i., stieņa šķērsgriezumi griežas ap asi, attiecībā pret kuru inerces moments ir minimāls, t.i., vai nu ap asi x , vai ap asi y );

(μ· l ) ir samazinātais stieņa garums, tas ir stieņa garuma reizinājums l ar koeficientu μ, kas ir atkarīgs no stieņa galu nostiprināšanas metodēm.

Koeficients μ sauca garuma samazināšanas koeficients tā vērtība visbiežāk sastopamajiem stieņa galu nostiprināšanas gadījumiem ir parādīta attēlā. 2:

a- abi stieņa gali ir eņģes un var tuvoties viens otram;

b- viens gals ir stingri nostiprināts, otrs ir brīvs;

iekšā- viens gals ir ar eņģēm, otrs ir ar "krusti peldošo blīvējumu";

G - viens gals ir stingri nostiprināts, otrs ir ar "šķērsām peldošu blīvējumu";

d- viens gals ir stingri nostiprināts, otrs ir šarnīrsavienojams balsts;

e- abi gali ir stingri nostiprināti, bet var pietuvoties viens otram.

No šiem piemēriem var redzēt, ka koeficients μ ir apgrieztais lielums no stieņa elastīgās līnijas pusviļņu skaita izliekšanās laikā.

Rīsi. 2. Koeficients μ par visbiežāk

sastopamie stieņa galu nostiprināšanas gadījumi.

Normālo spriegumu saspiesta stieņa šķērsgriezumā, kas atbilst spiedes spēka kritiskajai vērtībai, sauc arī par kritisko.

Mēs to definējam, pamatojoties uz Eilera formulu:

(2)

Sekcijas ģeometriskais raksturlielums i min, ko nosaka pēc formulas

sauca sekcijas griešanās rādiuss (attiecībā pret c asi Dž min). Taisnstūra sekcijai

Ņemot vērā (3), formula (2) būs šāda:

(4)

Samazinātā stieņa garuma attiecība pret tā šķērsgriezuma minimālo griešanās rādiusu, pēc Sanktpēterburgas Dzelzceļa inženieru institūta profesora F.S. ierosinājuma. Jasinski (1856-1899) sauc stieņa elastība un apzīmēts ar burtu λ :

Šis bezizmēra daudzums vienlaikus atspoguļo šādus parametrus: stieņa garumu, fiksācijas veidu un šķērsgriezuma raksturlielumus.

Visbeidzot, aizstājot (5) formulā (4), mēs iegūstam

Atvasinot Eilera formulu, tika pieņemts, ka stieņa materiāls ir elastīgs un atbilst Huka likumam. Tāpēc Eilera formulu var izmantot tikai pie spriegumiem, kas ir mazāki par proporcionalitātes robežu σ hc, t.i., kad

Šis nosacījums nosaka Eilera formulas piemērojamības robežu:

Tiek saukts daudzums šīs nevienlīdzības labajā pusē galīgā elastība :

tā vērtība ir atkarīga no stieņa materiāla fizikālajām un mehāniskajām īpašībām.

Maigam tēraudam Sv. 3, kam σ hc= 200 MPa, E = 2· 10 5 MPa:

Līdzīgi varat aprēķināt galīgās elastības vērtību citiem materiāliem: čugunam λ pirms tam= 80, priedei λ pirms tam = 110.

Tādējādi Eilera formula ir piemērojama stieņiem, kuru elastība ir lielāka vai vienāda ar maksimālo elastību, t.i.

λ ≥ λ pirms tam

Tas jāsaprot šādi: ja stieņa elastība ir lielāka par ierobežojošo elastību, tad kritiskais spēks jānosaka pēc Eilera formulas.

Plkst λ < λ pirms tam Eilera formula stieņiem nav piemērojama. Šajos gadījumos, kad stieņu elastība ir mazāka par ierobežojošo, empīriskā Jasinska formula :

σ kr = a – b λ , (7)

kur a un b - eksperimentāli noteikti koeficienti, kas ir nemainīgi konkrētam materiālam; tiem ir stresa dimensija.

Par kādu elastības vērtību λ par stress σ kr, ko aprēķina pēc formulas (7), kļūst vienāds ar galīgo spiedes spriegumu, t.i., tecēšanas robežu σ t kaļamiem materiāliem vai spiedes stiprībai σ saule- trausliem materiāliem. Stieņi ar zemu elastību ( λ < λ par) nerēķinās ar stabilitāti, bet gan ar izturību vienkāršas saspiešanas apstākļos.

Tādējādi, atkarībā no elastības, saspiesto stieņu stabilitātes aprēķins tiek veikts atšķirīgi.