Nodarbība "Funkciju y=sinx, y=cosx periodiskums". Periodiskuma funkcijas izpēte

>> Funkciju periodiskums y = sin x, y = cos x

§ 11. Funkciju y \u003d sin x, y \u003d cos x periodiskums

Iepriekšējos punktos mēs izmantojām septiņus rekvizītus funkcijas: domēns, pāra vai nepāra, monotonisks, ierobežots, lielākais un mazākā vērtība, nepārtrauktība, funkcijas diapazons. Mēs izmantojām šīs īpašības, lai izveidotu funkciju grafiku (kā tas bija, piemēram, 9. §), vai arī, lai nolasītu izveidoto grafiku (kā tas bija, piemēram, 10. §). Tagad ir pienācis labvēlīgs brīdis ieviest vēl vienu (astoto) funkciju īpašību, kas lieliski redzama uz augstāk konstruētā diagrammas funkcijas y \u003d sin x (sk. 37. att.), y \u003d cos x (sk. 41. att.).

Definīcija. Funkciju sauc par periodisku, ja pastāv skaitlis T, kas atšķiras no nulles, tā ka jebkuram x no kopām dubultā vienlīdzība:

Skaitlis T, kas apmierina norādītais nosacījums, sauc par funkcijas y \u003d f (x) periodu.
No tā izriet, ka, tā kā jebkuram x, vienādības ir patiesas:

tad funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x ir periodiskas un skaitlis 2 P kalpo kā abu funkciju periods.
Funkcijas periodiskums ir apsolītā astotā funkciju īpašība.

Tagad apskatiet funkcijas y \u003d sin x grafiku (37. att.). Lai izveidotu sinusoīdu, pietiek izveidot vienu no tā viļņiem (uz segmenta un pēc tam novirzīt šo vilni pa x asi par Rezultātā, izmantojot vienu vilni, mēs izveidosim visu grafiku.

Apskatīsim no tā paša skatu punkta funkcijas y \u003d cos x grafiku (41. att.). Mēs redzam, ka arī šeit, lai uzzīmētu grafiku, pietiek vispirms uzzīmēt vienu vilni (piemēram, segmentā

Un pēc tam pārvietojiet to pa x asi par
Apkopojot, mēs izdarām šādu secinājumu.

Ja funkcijai y \u003d f (x) ir periods T, tad, lai attēlotu funkcijas grafiku, vispirms ir jāatzīmē grafikas atzars (vilnis, daļa) jebkurā T garuma intervālā (visbiežāk tie tiek ņemti intervāls ar galiem punktos un pēc tam novirzīt šo atzaru pa x asi pa labi un pa kreisi uz T, 2T, ZT utt.
Periodiskai funkcijai ir bezgalīgi daudz periodu: ja T ir periods, tad 2T ir periods, un 3T ir periods, un -T ir periods; parasti periods ir jebkurš skaitlis formā KT, kur k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Parasti, ja iespējams, viņi mēģina izdalīt mazāko pozitīvo periodu, to sauc par galveno periodu.
Tātad jebkurš skaitlis formā 2pc, kur k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, ir funkciju y \u003d sinn x, y \u003d cos x periods; 2p ir abu funkciju galvenais periods.

Piemērs. Atrodiet funkcijas galveno periodu:

a) Pieņemsim, ka T ir funkcijas y \u003d sin x galvenais periods. Liekam

Lai skaitlis T būtu funkcijas periods, identitātei Ho ir jābūt spēkā kopš mēs runājam Atrodot galveno periodu, mēs iegūstam
b) Lai T ir funkcijas y = cos 0,5x galvenais periods. Ļaujiet f(x)=cos 0,5x. Tad f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Lai skaitlis T būtu funkcijas periods, ir jāizpilda identitāte cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x.

Tātad, 0,5t = 2pp. Bet, tā kā mēs runājam par galvenā perioda atrašanu, mēs iegūstam 0,5T = 2 l, T = 4l.

Piemērā iegūto rezultātu vispārinājums ir šāds apgalvojums: funkcijas galvenais periods

A.G. Mordkoviča algebra 10. klase

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli grafikas, tabulas, shēmas humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendāra plāns uz gadu vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības

Centrēts punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Definīcija
Sinuss ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz hipotenūzas garumam |AC|.

Kosinuss (cos α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas ir vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| līdz hipotenūzas garumam |AC|.

Pieņemti apzīmējumi

;
;
.

;
;
.

Sinusa funkcijas grafiks, y = sin x

Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x

Sinusa un kosinusa īpašības

Periodiskums

Funkcijas y= grēks x un y= cos x periodisks ar periodu 2 π.

Paritāte

Sinusa funkcija ir nepāra. Kosinusa funkcija ir vienmērīga.

Definīcijas joma un vērtības, galējības, pieaugums, samazinājums

Sinusa un kosinusa funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā, tas ir, visiem x (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). To galvenās īpašības ir parādītas tabulā (n - vesels skaitlis).

	y= grēks x	y= cos x
Darbības joma un nepārtrauktība	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vērtību diapazons	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Augošā
Dilstoša
Maksimums, y= 1
Minimums, y = - 1
Nulles, y= 0
Krustošanās punkti ar y asi, x = 0	y= 0	y= 1

Pamatformulas

Sinusa un kosinusa kvadrāta summa

Sinusa un kosinusa formulas summai un starpībai

;
;

Formulas sinusu un kosinusu reizinājumam

Summu un starpības formulas

Sinusa izteiksme caur kosinusu

;
;
;
.

Kosinusa izteiksme caur sinusu

;
;
;
.

Izteiksme pieskares izteiksmē

; .

Mums ir:
; .

Vietnē:
; .

Sinusu un kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula

Šajā tabulā ir parādītas sinusu un kosinusu vērtības dažām argumenta vērtībām.

Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos

;

Eilera formula

Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē

;
;

Atvasinājumi

; . Formulu atvasināšana >>>

N-tās kārtas atvasinājumi:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekants, kosekants

Apgrieztās funkcijas

Apgrieztās funkcijas uz sinususu un kosinusu ir attiecīgi arcsinuss un arkosinuss.

Arcsine, arcsin

Arkosīns, arkoss

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.

Tāds skaitlis T, ka jebkuram x F(x + T) = F(x). Šo skaitli T sauc par funkcijas periodu.

Var būt vairāki periodi. Piemēram, funkcijai F = const jebkurai argumenta vērtībai ir vienāda vērtība, un tāpēc jebkuru skaitli var uzskatīt par tā periodu.

Parasti interesē mazākais nulle funkcijas periods. Īsuma labad to vienkārši sauc par punktu.

Klasisks periodisko funkciju piemērs ir trigonometriskais: sinuss, kosinuss un tangenss. To periods ir vienāds un vienāds ar 2π, tas ir, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) un tā tālāk. Tomēr, protams, trigonometriskās funkcijas- ne vienīgie periodiskie.

Attiecībā uz vienkāršo pamatfunkcijas vienīgais veids, kā noteikt to periodiskumu vai neperioditāti, ir aprēķini. Bet sarežģītām funkcijām jau ir vairākas vienkārši noteikumi.

Ja F(x) ir ar periodu T un tam ir definēts atvasinājums, tad šis atvasinājums f(x) = F′(x) ir arī periodiska funkcija ar periodu T. Galu galā atvasinājuma vērtība punkts x ir vienāds ar tā antiatvasinājuma grafika tangensu šajā punktā x asij, un, tā kā tas periodiski atkārtojas, tam ir jāatkārtojas. Piemēram, atvasinājums no grēka funkcijas(x) ir vienāds ar cos (x), un tas ir periodisks. Ņemot cos(x) atvasinājumu, tiek iegūts -sin(x). Periodiskums paliek nemainīgs.

Tomēr ne vienmēr ir taisnība. Tādējādi funkcija f(x) = const ir periodiska, bet tās antiatvasinājums F(x) = const*x + C nav.

Ja F(x) ir periodiska funkcija ar periodu T, tad G(x) = a*F(kx + b), kur a, b un k ir konstantes un k nav vienāds ar nulli - arī periodiska funkcija, un tā periods ir T/k. Piemēram, sin(2x) ir periodiska funkcija, un tās periods ir π. Vizuāli to var attēlot šādi: reizinot x ar kādu skaitli, jūs saspiežat funkcijas horizontāli tieši tik reižu

Ja F1(x) un F2(x) ir periodiskas funkcijas, un to periodi ir attiecīgi vienādi ar T1 un T2, tad arī šo funkciju summa var būt periodiska. Tomēr tā periods nebūs vienkārša periodu T1 un T2 summa. Ja dalījuma T1/T2 rezultāts ir racionāls skaitlis, tad funkciju summa ir periodiska, un tās periods ir vienāds ar periodu T1 un T2 mazāko kopējo reizni (LCM). Piemēram, ja pirmās funkcijas periods ir 12, bet otrās periods ir 15, tad to summas periods būs LCM (12, 15) = 60.

Vizuāli to var attēlot šādi: funkcijas nāk ar dažādiem “soļu platumiem”, bet, ja to platumu attiecība ir racionāla, tad ātrāk vai (precīzāk, caur soļu LCM) tās atkal kļūs vienādas, un to summa sāks jaunu periodu.

Taču, ja periodu attiecība , tad kopējā funkcija nemaz nebūs periodiska. Piemēram, pieņemsim, ka F1(x) = x mod 2 (x atlikums dalīts ar 2) un F2(x) = sin(x). T1 šeit būs vienāds ar 2, un T2 ir vienāds ar 2π. Perioda attiecība ir π - neracionāls skaitlis. Tāpēc funkcija sin(x) + x mod 2 nav periodiska.

Avoti:

• Funkciju teorija

Daudzi matemātiskās funkcijas ir viena iezīme, kas atvieglo to uzbūvi - tā ir periodiskums, tas ir, grafika atkārtojamība koordinātu režģī ar regulāriem intervāliem.

Instrukcija

Vispazīstamākās matemātikas periodiskās funkcijas ir sinusoīds un kosinusa vilnis. Šīm funkcijām ir viļņveidīgs un pamata periods, kas vienāds ar 2P. Arī īpašs periodiskas funkcijas gadījums ir f(x)=const. Pozīcijā x ir piemērots jebkurš skaitlis, šai funkcijai nav galvenā perioda, jo tā ir taisna līnija.

Kopumā funkcija ir periodiska, ja ir vesels skaitlis N, kas nav nulle un atbilst likumam f(x)=f(x+N), tādējādi nodrošinot atkārtojamību. Funkcijas periods ir mazākais skaitlis N, bet ne nulle. Tas ir, piemēram, sin x funkcija ir vienāda ar sin (x + 2PN) funkciju, kur N \u003d ± 1, ± 2 utt.

Dažreiz funkcijai var būt reizinātājs (piemēram, sin 2x), kas palielinās vai samazinās funkcijas periodu. Lai atrastu periodu