Iracionāli vienādojumi un to risināšanas veidi. Iracionālie vienādojumi

Atbilde: x = 3.

8 metode. Atvasinājuma pielietojums iracionālu vienādojumu risināšanā

Visbiežāk, risinot vienādojumus ar atvasinājumu metodi, tiek izmantota novērtēšanas metode.

15. PIEMĒRS:

Atrisiniet vienādojumu: (1)

Risinājums: kopš https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> vai (2). Apsveriet funkciju ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> vispār un tāpēc palielinās. Tāpēc vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam, kura sakne ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde:

16. PIEMĒRS:

Atrisiniet iracionālo vienādojumu:

Funkcijas definīcijas domēns ir segments. Atrodi lielāko un mazākā vērtībašīs funkcijas vērtības intervālā . Lai to izdarītu, mēs atrodam funkcijas atvasinājumu f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Atradīsim funkcijas vērtības f(x) segmenta galos un punktā : Tātad, bet un tāpēc vienlīdzība ir iespējama tikai ar nosacījumu https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Pārbaude parāda, ka skaitlis 3 ir šī vienādojuma sakne.

Atbilde: x = 3.

9 metode. Funkcionāls

Eksāmenos viņi dažreiz piedāvā atrisināt vienādojumus, kurus var ierakstīt formā , kur ir noteikta funkcija.

Piemēram, daži vienādojumi: 1) 2) . Patiešām, pirmajā gadījumā , otrajā gadījumā . Tāpēc atrisiniet neracionālos vienādojumus, izmantojot šādu apgalvojumu: ja funkcija kopā stingri palielinās X un jebkuram , tad vienādojumi utt. ir līdzvērtīgi kopā X .

Atrisiniet iracionālo vienādojumu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> komplektā stingri palielinot R, un https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > kam ir unikāla sakne Tāpēc arī ekvivalentajam vienādojumam (1) ir unikāla sakne

Atbilde: x = 3.

18. PIEMĒRS:

Atrisiniet iracionālo vienādojumu: (1)

Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, mēs iegūstam, ja vienādojumam (1) ir saknes, tad tās pieder kopai DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Apsveriet, ka funkcija https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> šajā komplektā stingri palielinās jebkuram ..gif" width="100" augstums ="41">, kam ir viena sakne Tāpēc un līdzvērtīgs tam komplektā X vienādojumam (1) ir viena sakne

Atbilde: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Risinājums: Šis vienādojums ir līdzvērtīgs jauktai sistēmai

Ja vienādojums satur mainīgo zem kvadrātsaknes zīmes, tad vienādojumu sauc par iracionālu.
Apsveriet iracionālo vienādojumu

Šī vienādība pēc kvadrātsaknes definīcijas nozīmē, ka 2x + 1 = 32. Faktiski mēs pārgājām no dotā iracionālā vienādojuma uz racionālo vienādojumu 2x + 1 = 9, izliekot kvadrātā abas iracionālā vienādojuma puses. Vienādojuma abu pušu kvadrātveida metode ir galvenā neracionālo vienādojumu risināšanas metode. Tomēr tas ir saprotams: kā citādi atbrīvoties no kvadrātsaknes zīmes? No vienādojuma 2x + 1 = 9 mēs atrodam x = 4.
Tas ir gan vienādojuma 2x + 1 = 9 sakne, gan dotais iracionālais vienādojums.
Kvadrātveida metode ir tehniski vienkārša, taču dažkārt rada problēmas. Apsveriet, piemēram, iracionālo vienādojumu

Kvadrājot abas puses, mēs iegūstam

Tālāk mums ir:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Bet vērtība x - 1, kas ir racionālā vienādojuma 2x - 5 = 4x - 7 sakne, nav dotā iracionālā vienādojuma sakne. Kāpēc? Dotajā iracionālajā vienādojumā x vietā aizstājot 1, mēs iegūstam . Kā var runāt par skaitliskās vienlīdzības piepildījumu, ja gan tās kreisajā, gan labajā daļā ir izteicieni, kuriem nav jēgas? Šādos gadījumos viņi saka: x \u003d 1 ir kāda iracionāla vienādojuma sveša sakne. Izrādās, ka dotajam iracionālajam vienādojumam nav sakņu.
Atrisināsim iracionālo vienādojumu

-
Šī vienādojuma saknes var atrast mutiski, kā mēs to darījām iepriekšējās rindkopas beigās: to reizinājums ir - 38, un summa ir - 17; ir viegli uzminēt, ka tie ir skaitļi 2
un - 19. Tātad, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Dotajā iracionālajā vienādojumā x vietā aizstājot vērtību 2, mēs iegūstam

Tā nav taisnība.
Dotajā iracionālajā vienādojumā aizstājot vērtību x vietā ar 19, iegūstam

Tas arī nav pareizi.
Kāds ir secinājums? Abas atrastās vērtības ir svešas saknes. Citiem vārdiem sakot, dotajam iracionālajam vienādojumam, tāpat kā iepriekšējam, nav sakņu.
Svešā sakne jums nav jauns jēdziens, svešas saknes jau ir sastaptas, risinot racionālus vienādojumus, pārbaude palīdz tās atklāt. Iracionāliem vienādojumiem pārbaude ir obligāts solis vienādojuma risināšanā, kas palīdzēs atklāt svešas saknes, ja tādas ir, un tās izmest (parasti viņi saka "ravēt").

Tātad iracionāls vienādojums tiek atrisināts, abas tā daļas kvadrātā; atrisinot iegūto racionālo vienādojumu, ir jāveic pārbaude, novēršot iespējamās svešās saknes.

Izmantojot šo atvasinājumu, aplūkosim dažus piemērus.

1. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums. Izlīdzināsim kvadrātā abas vienādojuma (1) puses:

Tālāk, secīgi mums ir

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Pārbaude. Aizstājot x \u003d 5 vienādojumā (1), mēs iegūstam pareizo vienādību. Aizstājot x \u003d 4 vienādojumā (1), mēs iegūstam pareizo vienādību. Tādējādi abas atrastās vērtības ir (1) vienādojuma saknes.
O n e t: 4; pieci.

2. piemērs atrisināt vienādojumu
(Mēs sastapāmies ar šo vienādojumu 22. § un mēs “atlikām” tā atrisināšanu uz labākiem laikiem.) Iracionāls vienādojums, mēs iegūstam
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Tad mums ir
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 — 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Pārbaude. Aizvietojot x = 80 dotajā iracionālajā vienādojumā, mēs iegūstam

Acīmredzot tā ir nepareiza vienādība, jo tās labajā pusē ir negatīvs skaitlis, bet kreisajā pusē ir pozitīvs skaitlis. Tātad x = 80 ir šī vienādojuma sveša sakne.

Dotajā iracionālajā vienādojumā aizstājot x = 12, mēs iegūstam

t.i. = 20, ir pareizā vienādība. Tāpēc x = 12 ir šī vienādojuma sakne.
Atbilde: 12.

Mēs sadalām abas pēdējā vienādojuma vārda daļas ar terminu ar 2:

Pārbaude. Aizvietojot vērtību x = 14 vienādojumā (2), mēs iegūstam ir nepareiza vienādība, tāpēc x = 14 ir sveša sakne.
Aizvietojot vērtību x = -1 vienādojumā (2), iegūstam
- patiesa vienlīdzība. Tāpēc x = - 1 ir (2) vienādojuma sakne.
A n t e t: - 1.

4. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums. Protams, jūs varat atrisināt šo vienādojumu tādā pašā veidā, kā mēs izmantojām iepriekšējos piemēros: pārrakstiet vienādojumu kā

Izlīdziniet abas šī vienādojuma puses kvadrātā, atrisiniet iegūto racionālo vienādojumu un pārbaudiet atrastās saknes, aizstājot tās
sākotnējais iracionālais vienādojums.

Bet mēs izmantosim elegantāku veidu: mēs ieviešam jaunu mainīgo y = . Tad mēs iegūstam 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - kvadrātvienādojumu attiecībā pret mainīgo y. Atradīsim tā saknes: y 1 = 1, y 2 = -. Tādējādi uzdevums tika samazināts līdz divu atrisināšanai

No pirmā vienādojuma mēs atrodam x \u003d 1, otrajam vienādojumam nav sakņu (atcerieties, ka tam ir vajadzīgas tikai nenegatīvas vērtības).
Atbilde: 1.
Šo sadaļu noslēdzam ar diezgan nopietnu teorētisku diskusiju. Lieta ir sekojoša. Jūs jau esat uzkrājis zināmu pieredzi dažādu vienādojumu risināšanā: lineāro, kvadrātveida, racionālo, iracionālo. Jūs zināt, ka, risinot vienādojumus, tiek veiktas dažādas transformācijas,
piemēram: vienādojuma dalībnieks tiek pārnests no vienas vienādojuma daļas uz citu ar pretēju zīmi; abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle; atbrīvoties no saucēja, t.i., aizstāt vienādojumu = 0 ar vienādojumu p (x) = 0; Abas vienādojuma puses ir kvadrātā.

Protams, jūs pamanījāt, ka dažu pārvērtību rezultātā var parādīties svešas saknes, un tāpēc jums bija jābūt modram: pārbaudiet visas atrastās saknes. Tāpēc mēs tagad mēģināsim to visu aptvert no teorētiskā viedokļa.

Definīcija. Divus vienādojumus f (x) = g (x) un r (x) = s (x) sauc par ekvivalentiem, ja tiem ir vienādas saknes (vai, jo īpaši, ja abiem vienādojumiem nav sakņu).

Parasti, risinot vienādojumu, viņi cenšas šo vienādojumu aizstāt ar vienkāršāku, bet tam līdzvērtīgu. Šādas izmaiņas sauc par līdzvērtīgu vienādojuma transformāciju.

Šādas transformācijas ir vienādojuma ekvivalentas transformācijas:

1. Vienādojuma nosacījumu pārnešana no vienas vienādojuma daļas uz otru ar pretējām zīmēm.
Piemēram, vienādojuma 2x + 5 = 7x - 8 aizstāšana ar vienādojumu 2x - 7x = - 8 - 5 ir līdzvērtīga vienādojuma transformācija. Tas nozīmē, ka

vienādojumi 2x + 5 = 7x -8 un 2x - 7x = -8 - 5 ir līdzvērtīgi.

2. Vienādojuma abu pušu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
Piemēram, aizstājot vienādojumu 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 ar vienādojumu 5x 2 - Zx \u003d 20
(abas vienādojuma daļas tika reizinātas ar terminu ar 10) ir līdzvērtīga vienādojuma transformācija.

Vienādojuma neekvivalentās transformācijas ir šādas transformācijas:

1. Atbrīvojums no saucējiem, kas satur mainīgos lielumus.
Piemēram, vienādojuma aizstāšana ar vienādojumu x 2 \u003d 4 ir vienādojuma neekvivalenta transformācija. Fakts ir tāds, ka vienādojumam x 2 \u003d 4 ir divas saknes: 2 un - 2, un dots vienādojums vērtību x = 2 nevar apmierināt (saucējs pazūd). Šādos gadījumos mēs teicām tā: x \u003d 2 ir sveša sakne.

2. Abas vienādojuma puses kvadrātā.
Mēs nesniegsim piemērus, jo šajā punktā to bija diezgan daudz.
Ja vienādojuma risināšanas procesā tika izmantota kāda no norādītajām neekvivalentajām transformācijām, tad visas atrastās saknes ir jāpārbauda, ​​aizstājot to sākotnējā vienādojumā, jo starp tām var būt svešas saknes.

Tēma: “Formas iracionālie vienādojumi , .»

(Metodoloģiskā attīstība.)

Pamatjēdzieni

Iracionālie vienādojumi sauc par vienādojumiem, kuros mainīgais atrodas zem saknes zīmes (radikāļa) vai paaugstināšanas zīmes līdz daļējai pakāpei.

Formas f(x)=g(x) vienādojums, kur vismaz viena no izteiksmēm f(x) vai g(x) ir iracionāla iracionāls vienādojums.

Radikāļu pamatīpašības:

• Visi radikāļi vienmērīgs grāds ir aritmētika, tie. ja radikālā izteiksme ir negatīva, tad radikālai nav jēgas (neeksistē); ja saknes izteiksme ir vienāda ar nulli, tad arī radikālis ir nulle; ja radikāļa izteiksme ir pozitīva, tad radikāļa vērtība pastāv un ir pozitīva.
• Visi radikāļi nepāra pakāpe ir definēti jebkurai radikālas izteiksmes vērtībai. Turklāt radikāls ir negatīvs, ja radikāla izteiksme ir negatīva; ir nulle, ja saknes izteiksme ir nulle; ir pozitīvs, ja pakļautā izteiksme ir pozitīva.

Iracionālu vienādojumu risināšanas metodes

Atrisiniet iracionālu vienādojumu - nozīmē atrast visas mainīgā reālās vērtības, aizstājot tās sākotnējā vienādojumā, tas pārvēršas par pareizo skaitlisko vienādību vai pierādīt, ka šādas vērtības neeksistē. Iracionālie vienādojumi tiek atrisināti uz reālo skaitļu kopas R.

Vienādojuma derīgo vērtību diapazons sastāv no tām mainīgā vērtībām, kurām visas izteiksmes zem pāra pakāpes radikāļu zīmes nav negatīvas.

Galvenās iracionālo vienādojumu risināšanas metodes ir:

a) metode, kā abas vienādojuma daļas paaugstina vienādībā;

b) jaunu mainīgo lielumu ieviešanas metode (aizvietošanas metode);

c) mākslīgas metodes iracionālu vienādojumu risināšanai.

Šajā rakstā mēs pievērsīsimies iepriekš definētās formas vienādojumu izskatīšanai un piedāvāsim 6 šādu vienādojumu risināšanas metodes.

1 metode. Kubs.

Šī metode prasa izmantot saīsinātas reizināšanas formulas un nesatur "slazdus", t.i. neizraisa svešu sakņu parādīšanos.

1. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums:

Mēs pārrakstām vienādojumu formā un sagrieziet kubā abas tā puses. Mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs šim vienādojumam,

Atbilde: x=2, x=11.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Pārrakstīsim vienādojumu formā un pacelsim abas tā puses kubā. Mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs šim vienādojumam

un uzskatīt iegūto vienādojumu par kvadrātvienādojumu attiecībā pret vienu no saknēm

tāpēc diskriminants ir 0, un vienādojuma risinājums var būt x=-2.

Pārbaude:

Atbilde: x=-2.

komentēt: pārbaudi var izlaist, ja kvadrātvienādojums ir pabeigts.

2 metode. Kubs, izmantojot formulu.

Mēs turpināsim vienādojumu kubēt, bet tajā pašā laikā izmantosim modificētas formulas saīsinātai reizināšanai.

Izmantosim formulas:

(nelielas izmaiņas zināma formula), tad

3. piemērs. atrisināt vienādojumu .

Lēmums:

Izdalīsim vienādojumu kubā, izmantojot iepriekš norādītās formulas.

Bet izteiksme jābūt vienādam ar labo pusi. Tāpēc mums ir:

.

Tagad, sadalot kubā, mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu:

, un tās divas saknes

Abas vērtības, kā liecina tests, ir pareizas.

Atbilde: x=2, x=-33.

Bet vai visas pārvērtības šeit ir līdzvērtīgas? Pirms atbildēt uz šo jautājumu, atrisināsim vēl vienu vienādojumu.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Paceļot, tāpat kā iepriekš, abas daļas līdz trešajai pakāpei, mums ir:

No kurienes (ņemot vērā, ka izteiksme iekavās ir ), mēs iegūstam:

Mēs iegūstam, .Pārbaudīsim un pārliecināsimies, ka x=0 ir sveša sakne.

Atbilde: .

Atbildēsim uz jautājumu: "Kāpēc radās svešas saknes?"

Vienlīdzība noved pie vienlīdzības . Aizstājot no ar -s, mēs iegūstam:

Identitāti ir viegli pārbaudīt

Tātad, ja , tad vai nu , vai . Vienādojumu var attēlot kā , .

Aizstājot no ar -s, mēs iegūstam: ja , tad vai nu , vai

Tāpēc, izmantojot šo risinājuma metodi, ir obligāti jāpārbauda un jāpārliecinās, ka nav svešu sakņu.

3 metode. Sistēmas metode.

5. piemērs atrisināt vienādojumu .

Lēmums:

Lai ir,. Pēc tam:

Kā tas ir skaidrs

Sistēmas otro vienādojumu iegūst tā, ka radikāļu izteiksmju lineārā kombinācija nav atkarīga no sākotnējā mainīgā.

Ir viegli redzēt, ka sistēmai nav risinājuma, un tāpēc sākotnējam vienādojumam nav risinājuma.

Atbilde: Nav sakņu.

6. piemērs atrisināt vienādojumu .

Lēmums:

Mēs ieviešam nomaiņu, veidojam un atrisinām vienādojumu sistēmu.

Lai ir,. Tad

Atgriežoties pie sākotnējā mainīgā, mums ir:

Atbilde: x=0.

4 metode. Izmantojot funkciju monotonitāti.

Pirms šīs metodes izmantošanas pievērsīsimies teorijai.

Mums būs nepieciešami šādi rekvizīti:

7. piemērs atrisināt vienādojumu .

Lēmums:

Vienādojuma kreisā puse ir pieaugoša funkcija, bet labā puse ir skaitlis, t.i. konstante, tāpēc vienādojumam ir ne vairāk kā viena sakne, kuru mēs izvēlamies: x \u003d 9. Pārbauda, ​​vai sakne ir piemērota.

Vienādojumus sauc par iracionāliem, ja tie satur nezināmu lielumu zem saknes zīmes. Tie ir, piemēram, vienādojumi

Daudzos gadījumos, vienreiz vai atkārtoti pielietojot abu vienādojuma daļu eksponenci, iracionālo vienādojumu ir iespējams reducēt līdz vienas vai otras pakāpes algebriskam vienādojumam (kas ir sākotnējā vienādojuma sekas). Tā kā, paaugstinot vienādojumu pakāpē, var parādīties sveši risinājumi, tad, atrisinot algebrisko vienādojumu, uz kuru esam reducējuši šo iracionālo vienādojumu, ir jāpārbauda atrastās saknes, aizstājot to sākotnējā vienādojumā un saglabājot tikai tos, kas to apmierina, un izmetiet pārējo - svešu.

Risinot iracionālus vienādojumus, mēs aprobežojamies tikai ar to patiesajām saknēm; visas pāra pakāpes saknes vienādojumu apzīmējumos tiek saprastas aritmētiskā nozīmē.

Apsveriet dažus tipiski piemēri iracionālie vienādojumi.

A. Vienādojumi, kas satur nezināmo zem kvadrātsaknes zīmes. Ja šis vienādojums satur tikai vienu Kvadrātsakne, zem kuras zīmes ir nezināms, tad šī sakne ir jāizolē, tas ir, jāievieto vienā vienādojuma daļā, un visi pārējie termini jāpārnes uz citu daļu. Pēc abu vienādojuma pušu kvadrātošanas mēs jau būsim brīvi no iracionalitātes un iegūsim algebrisko vienādojumu

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums. Mēs izdalām sakni vienādojuma kreisajā pusē;

Iegūto vienādojumu mēs kvadrātā:

Mēs atrodam šī vienādojuma saknes:

Pārbaude parāda, ka atbilst tikai sākotnējam vienādojumam.

Ja vienādojumā ir divas vai vairākas saknes, kas satur x, tad kvadrātveida noteikšana ir jāatkārto vairākas reizes.

2. piemērs. Atrisiniet šādus vienādojumus:

Risinājums, a) Mēs vienādojuma abas puses kvadrātā:

Mēs atdalām sakni:

Iegūtais vienādojums atkal ir kvadrāts:

Pēc transformācijām mēs iegūstam šādu kvadrātvienādojumu:

atrisināt to:

Aizvietojot sākotnējo vienādojumu, mēs pārliecināmies, ka ir tā sakne, bet tā ir tam sveša sakne.

b) Piemēru var atrisināt tāpat kā a) piemēru. Tomēr, izmantojot to, ka šī vienādojuma labajā pusē nav nezināma lieluma, mēs rīkosimies citādi. Mēs reizinām vienādojumu ar izteiksmi konjugāts tā kreisajā pusē; mēs saņemam

Labajā pusē ir summas un starpības reizinājums, tas ir, kvadrātu starpība. No šejienes

Šī vienādojuma kreisajā pusē bija kvadrātsakņu summa; tagad iegūtā vienādojuma kreisajā pusē ir to pašu sakņu atšķirība. Pierakstīsim dotos un saņemtos vienādojumus:

Ņemot šo vienādojumu summu, mēs iegūstam

Pēdējo vienādojumu izlīdzinām kvadrātā un pēc vienkāršošanas iegūstam

No šejienes mēs atrodam. Pārbaudot, mēs esam pārliecināti, ka tikai skaitlis kalpo kā šī vienādojuma sakne. Piemērs 3. Atrisiniet vienādojumu

Šeit jau zem radikālās zīmes mums ir kvadrātveida trinomi.

Lēmums. Mēs reizinām vienādojumu ar izteiksmi, kas konjugēta ar tā kreiso pusi:

Atņemiet pēdējo vienādojumu no dotā:

Izlīdzināsim šo vienādojumu kvadrātā:

No pēdējā vienādojuma mēs atrodam . Pārbaudot, mēs esam pārliecināti, ka tikai skaitlis x \u003d 1 kalpo kā šī vienādojuma sakne.

B. Vienādojumi, kas satur trešās pakāpes saknes. Iracionālo vienādojumu sistēmas. Mēs aprobežojamies ar atsevišķiem šādu vienādojumu un sistēmu piemēriem.

Piemērs 4. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Parādīsim divus (70.1) vienādojuma atrisināšanas veidus. Pirmais veids. Salīdzināsim abas šī vienādojuma puses (sk. formulu (20.8)):

(šeit mēs esam aizstājuši summu kubu saknes numurs 4, izmantojot vienādojumu).

Tātad mums ir

i., pēc vienkāršošanas,

no kurienes abas saknes apmierina sākotnējo vienādojumu.

Otrais veids. Liekam

Vienādojums (70.1) tiks uzrakstīts kā . Turklāt ir skaidrs, ka. No vienādojuma (70.1) esam pārgājuši uz sistēmu

Dalot sistēmas vārda pirmo vienādojumu ar terminu ar otro, mēs atrodam

Iracionāls vienādojums ir jebkurš vienādojums, kas satur funkciju zem saknes zīmes. Piemēram:

Šādi vienādojumi vienmēr tiek atrisināti 3 soļos:

1. Atdaliet sakni. Citiem vārdiem sakot, ja pa kreisi no vienādības zīmes bez saknes atrodas citi skaitļi vai funkcijas, tas viss ir jāpārvieto pa labi, mainot zīmi. Tajā pašā laikā pa kreisi jāpaliek tikai radikālim - bez nekādiem koeficientiem.
2. 2. Abas vienādojuma malas izlīdzinām kvadrātā. Tajā pašā laikā atcerieties, ka saknes diapazons ir visi skaitļi, kas nav negatīvi. Līdz ar to funkcija labajā pusē iracionāls vienādojums jābūt arī nenegatīvam: g (x) ≥ 0.
3. Trešais solis loģiski izriet no otrā: jums ir jāveic pārbaude. Fakts ir tāds, ka otrajā posmā mums varētu būt papildu saknes. Un, lai tos nogrieztu, ir jāievieto iegūtie kandidātu skaitļi sākotnējā vienādojumā un jāpārbauda: vai tiešām ir iegūta pareizā skaitliskā vienādība?

Iracionāla vienādojuma atrisināšana

Tiksim galā ar mūsu iracionālo vienādojumu, kas dots pašā nodarbības sākumā. Šeit sakne jau ir nošķirta: pa kreisi no vienādības zīmes nav nekas cits kā sakne. Izlīdzināsim abas puses kvadrātā:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Mēs atrisinām iegūto kvadrātvienādojumu, izmantojot diskriminantu:

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Atliek tikai aizstāt šos skaitļus sākotnējā vienādojumā, t.i. veikt pārbaudi. Bet pat šeit jūs varat rīkoties pareizi, lai vienkāršotu galīgo lēmumu.

Kā vienkāršot lēmumu

Padomāsim: kāpēc mēs vispār pārbaudām iracionāla vienādojuma risināšanas beigās? Mēs vēlamies pārliecināties, ka, aizstājot savas saknes, pa labi no vienādības zīmes būs nenegatīvs skaitlis. Galu galā mēs jau noteikti zinām, ka tas ir nenegatīvs skaitlis kreisajā pusē, jo aritmētiskā kvadrātsakne (tādēļ mūsu vienādojums tiek saukts par iracionālu) pēc definīcijas nevar būt mazāks par nulli.

Tāpēc viss, kas mums jāpārbauda, ​​ir, vai funkcija g ( x ) = 5 − x , kas atrodas pa labi no vienādības zīmes, nav negatīva:

g(x) ≥ 0

Mēs aizstājam savas saknes ar šo funkciju un iegūstam:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

No iegūtajām vērtībām izriet, ka sakne x 1 = 6 mums neder, jo, aizstājot sākotnējā vienādojuma labajā pusē, mēs iegūstam negatīvu skaitli. Bet sakne x 2 \u003d −2 mums ir diezgan piemērota, jo:

1. Šī sakne ir kvadrātvienādojuma risinājums, kas iegūts, paceļot abas puses iracionāls vienādojums kvadrātā.
2. Sākotnējā iracionālā vienādojuma labā puse, aizvietojot sakni x 2 = −2, pārvēršas par pozitīvu skaitli, t.i. diapazons aritmētiskā sakne nav salauzts.

Tas ir viss algoritms! Kā redzat, vienādojumu risināšana ar radikāļiem nav tik sarežģīta. Galvenais ir neaizmirst pārbaudīt saņemtās saknes, pretējā gadījumā ļoti iespējams iegūt papildu atbildes.