Taisnes l virziena vektors visi tiek saukti vektors, kas nav nulle (m, n) paralēli šai līnijai.

Ļaujiet punktu M 1 (x 1 , y 1) un virziena vektors ( m, n), tad taisnes vienādojums, kas iet caur punktu M 1 vektora virzienā ir šāda forma: . Šo vienādojumu sauc par taisnes kanonisko vienādojumu.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).

Mēs meklēsim vajadzīgās taisnes vienādojumu formā: Ax+By+C= 0. Uzrakstīsim taisnes kanonisko vienādojumu, pārveidosim to. gūt x + y - 3 = 0

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem

Lai plaknē tiek doti divi punkti M 1 (x 1 , y 1) un M 2 (x 2, y 2), tad taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur šiem punktiem, ir šāda forma: . Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošais skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).

Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam:

Taisnas līnijas vienādojums no punkta un slīpuma

Ja taisnes vispārīgais vienādojums Ah + Wu + C= 0 ieved formā: un apzīmē , tad iegūto vienādojumu sauc par taisnes vienādojumu ar slīpumu k.

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ja vispārējā vienādojumā līnija Ah + Wu + C= 0 koeficients NO¹ 0, tad, dalot ar C, mēs iegūstam: vai, kur

ģeometriskā sajūta koeficientus, ka koeficients bet ir taisnes un asi krustošanās punkta koordinātas Ak, bet b- taisnes krustošanās punkta koordinātas ar asi OU.

Piemērs. Ir dots taisnes vispārīgais vienādojums X – plkst+ 1 = 0. Atrodiet šīs taisnes vienādojumu segmentos. A = -1, B = 1, C = 1, tad bet = -1, b= 1. Taisnes vienādojums segmentos būs .

Piemērs. Dotas trijstūra A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Mēs atrodam malas AB vienādojumu: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Vēlamajam augstuma vienādojumam ir šāda forma: Ax+By+C= 0 vai y = kx + b.

k= . Tad y= . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šim vienādojumam: kur b= 17. Kopā: .

Atbilde: 3 x + 2y – 34 = 0.

Prakse #7

Klases nosaukums: Otrās kārtas līknes.

Nodarbības mērķis: Uzziniet, kā izveidot 2. kārtas līknes, veidot tās.

Sagatavošanās nodarbībai: Atkārtojiet teorētiskais materiāls par tēmu "2. kārtas līknes"

Literatūra:

1. Dadayan A.A. "Matemātika", 2004

Nodarbības uzdevums:

Nodarbības secība:

1. Saņemiet atļauju strādāt
2. Pabeigt uzdevumus
3. Atbildiet uz drošības jautājumiem.

1. Nosaukums, nodarbības mērķis, uzdevums;
2. Pabeigts uzdevums;
3. Atbildes uz kontroles jautājumiem.

testa jautājumi kompensācijai:

1. Definējiet otrās kārtas līknes (aplis, elipse, hiperbola, parabola), pierakstiet to kanoniskos vienādojumus.
2. Kā sauc elipses vai hiperbolas ekscentriskumu? Kā to atrast?
3. Uzrakstiet vienādmalu hiperbolas vienādojumu

PIELIKUMS

apkārtmērs ir visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc par centru.

Lai apļa centrs ir punkts PAR(a; b), un attālumu līdz jebkuram punktam M(x;y) aplis ir vienāds ar R. Tad ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – apļa ar centru kanoniskais vienādojums PAR(a; b) un rādiusu R.

Piemērs. Atrodiet apļa centra un rādiusa koordinātas, ja tā vienādojums ir šāds: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Lai atrastu apļa centra un rādiusa koordinātas dots vienādojums ir jāsamazina līdz kanoniskajai formai. Lai to izdarītu, atlasiet pilnos kvadrātus:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

No šejienes mēs atrodam centra koordinātas PAR(2; -5/4); rādiuss R = 11/4.

Elipse sauc punktu kopu plaknē, kuru attālumu summa no katra līdz diviem dotajiem punktiem (sauktiem par fokusiem) ir nemainīga vērtība, kas ir lielāka par attālumu starp fokusiem.

Fokusi ir norādīti ar burtiem F 1 , F no, attālumu summa no jebkura elipses punkta līdz fokusam ir 2 bet (2bet > 2c), a- liela pusass; b- maza pusass.

Elipses kanoniskais vienādojums ir: , kur a, b Un c viens ar otru saistīti ar vienādībām: a 2 - b 2 \u003d c 2 (vai b 2 - a 2 \u003d c 2).

Elipses formu nosaka raksturlielums, kas ir fokusa attāluma attiecība pret galvenās ass garumu, un to sauc par ekscentriskumu. vai .

Jo pēc definīcijas 2 bet> 2c, tad ekscentriskumu vienmēr izsaka kā pareizu daļskaitli, t.i. .

Piemērs. Uzrakstiet vienādojumu elipsei, ja tās fokuss ir F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), galvenā ass ir 2.

Elipses vienādojumam ir šāda forma: .

Attālums starp fokusiem: 2 c= , tātad, a 2 – b 2 = c 2 = . Pēc nosacījuma 2 bet= 2, tātad bet = 1, b= Vēlamais elipses vienādojums būs šāds: .

Hiperbola sauc par plaknes punktu kopu, un attālumu starpība no katra līdz diviem dotajiem punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība, mazāka par attālumu starp fokusiem.

Hiperbolas kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma: vai , kur a, b Un c saista vienlīdzība a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola ir simetriska attiecībā pret segmenta vidu, kas savieno perēkļus, un attiecībā pret koordinātu asīm. Fokusi ir norādīti ar burtiem F 1 , F 2 , attālums starp fokusiem - 2 no, attālumu starpība no jebkura hiperbolas punkta līdz perēkļiem ir 2 bet (2bet < 2c). 2. ass bet sauc par hiperbolas reālo asi, 2. asi b ir iedomātā hiperbolas ass. Hiperbolai ir divi asimptoti, kuru vienādojumi ir

Hiperbolas ekscentriskums ir attāluma starp fokusiem attiecība pret reālās ass garumu: vai. Jo pēc definīcijas 2 bet < 2c, tad hiperbolas ekscentriskums vienmēr tiek izteikts kā nepareiza daļa, t.i. .

Ja reālās ass garums ir vienāds ar iedomātās ass garumu, t.i. a = b, ε = , tad tiek izsaukta hiperbola vienādmalu.

Piemērs. Uzrakstiet kanonisko hiperbolas vienādojumu, ja tās ekscentricitāte ir 2 un perēkļi sakrīt ar elipses perēkļiem ar vienādojumu

Mēs atradām fokusa attālums c 2 = 25 – 9 = 16.

Par hiperbolu: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Tad - vēlamais hiperbolas vienādojums.

parabola ir punktu kopa plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no dots punkts, ko sauc par fokusu, un doto taisnu līniju, ko sauc par virzienu.

Parabolas fokuss tiek apzīmēts ar burtu F, direktors - d, attālums no fokusa līdz virzienam ir R.

Parabolas kanoniskais vienādojums, kura fokuss atrodas uz x ass, ir:

y 2 = 2px vai y 2 = -2px

x = -lpp/2, x = lpp/2

Kanoniskais vienādojums parabolai, kuras fokuss ir uz y asi, ir:

X 2 = 2py vai X 2 = -2py

Attiecīgi virziena vienādojumi plkst = -lpp/2, plkst = lpp/2

Piemērs. Uz parabolas plkst 2 = 8X atrodiet punktu, kura attālums no virziena ir 4.

No parabolas vienādojuma mēs to iegūstam R = 4. r=x + lpp/2 = 4; Sekojoši:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Meklēšanas punkti: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Prakse #8

Klases nosaukums: Darbības ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā. Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija.

Nodarbības mērķis: Uzziniet, kā strādāt ar kompleksiem skaitļiem.

Sagatavošanās nodarbībai: Atkārtojiet teorētisko materiālu par tēmu "Kompleksi skaitļi".

Literatūra:

1. Grigorjevs V.P., Dubinskis Yu.A. "Elementi augstākā matemātika", 2008

Nodarbības uzdevums:

1. Aprēķināt:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

Lai taisne iet caur punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2). Taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur punktu M 1, ir forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kur k - joprojām nav zināms koeficients.

Tā kā taisne iet caur punktu M 2 (x 2 y 2), tad šī punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Šeit mēs atrodam Atrastās vērtības aizstāšana k vienādojumā (10.6) iegūstam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem M 1 un M 2:

Tiek pieņemts, ka šajā vienādojumā x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ja x 1 \u003d x 2, tad taisne, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y I) un M 2 (x 2, y 2), ir paralēla y asij. Tā vienādojums ir x = x 1 .

Ja y 2 \u003d y I, tad taisnes vienādojumu var uzrakstīt kā y \u003d y 1, taisne M 1 M 2 ir paralēla x asij.

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ļaujiet taisnei krustot Ox asi punktā M 1 (a; 0), bet Oy asi - punktā M 2 (0; b). Vienādojumam būs šāda forma:
tie.
. Šo vienādojumu sauc taisnes vienādojums segmentos, jo cipari a un b norāda, kurus posmus taisne nogriež uz koordinātu asīm.

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram

Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur doto punktu Mo (x O; y o), kas ir perpendikulāra dotajam nulles vektoram n = (A; B).

Paņemiet patvaļīgu punktu M(x; y) uz taisnes un apsveriet vektoru M 0 M (x - x 0; y - y o) (skat. 1. att.). Tā kā vektori n un M o M ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: tas ir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Tiek izsaukts vienādojums (10.8). taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram .

Vektoru n = (A; B), kas ir perpendikulārs taisnei, sauc par normālu šīs līnijas normālais vektors .

Vienādojumu (10.8) var pārrakstīt kā Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A un B ir normālā vektora koordinātas, C \u003d -Ax o - Vu o - brīvais loceklis. Vienādojums (10.9) ir taisnas līnijas vispārējais vienādojums(skat. 2. att.).

1. att. 2. att

Taisnes kanoniskie vienādojumi

,

Kur
ir tā punkta koordinātas, caur kuru līnija iet, un
- virziena vektors.

Otrās kārtas apļa līknes

Aplis ir visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.

Rādiusa apļa kanoniskais vienādojums R centrēts uz punktu
:

Jo īpaši, ja likmes centrs sakrīt ar izcelsmi, vienādojums izskatīsies šādi:

Elipse

Elipse ir plaknes punktu kopa, attālumu summa no katra no tiem līdz diviem dotajiem punktiem Un , ko sauc par perēkļiem, ir nemainīga vērtība
, lielāks par attālumu starp perēkļiem
.

Elipses kanoniskajam vienādojumam, kuras fokuss atrodas uz Vērša ass un kuras izcelsme atrodas vidū starp perēkļiem, ir šāda forma
G de a galvenās pusass garums; b ir mazās pusass garums (2. att.).

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur t.u A(ha; wah) un kam ir slīpums k, ir rakstīts formā

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem T. A (x 1; y 1) utt. B (x 2; y 2), ir forma

Ja punkti BET Un IN definēt taisnu līniju paralēli Vērša asij (y 1 \u003d y 2) vai y ass (x 1 = x 2), tad šādas taisnes vienādojumu raksta attiecīgi šādā formā:

y = y 1 vai x = x 1(7)

Normāls taisnes vienādojums

Dota taisne C, kas iet caur doto punktu Mo(Xo; V0) un ir perpendikulāra vektoram (A; B). Jebkuru vektoru, kas ir perpendikulārs noteiktai taisnei, sauc par vektoru normāls vektors. Izvēlēsimies patvaļīgu punktu M uz taisnes (x; y). Tad , kas nozīmē, ka viņi skalārais produkts. Šo vienādību var ierakstīt koordinātēs

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Vienādojumu (8) sauc taisnas līnijas normāls vienādojums .

Taisnas līnijas parametriskie un kanoniskie vienādojumi

Ļaujiet līnijai l dots pēc sākuma punkta M 0 (x 0; y 0) un virziena vektors ( a 1; a 2),. Ļaujiet t. M(x; y)- jebkurš punkts uz līnijas l Tad vektors ir kolineārs pret vektoru . Tāpēc = . Ierakstot šo vienādojumu koordinātēs, iegūstam taisnes parametrisko vienādojumu

Izslēgsim parametru t no vienādojuma (9). Tas ir iespējams, jo vektors un līdz ar to vismaz viena no tā koordinātām nav nulle.

Ļaujiet un , tad , un tāpēc

Tiek izsaukts vienādojums (10). taisnes kanoniskais vienādojums ar virzošo vektoru

\u003d (a 1; a 2). Ja a 1 = 0 un , tad vienādojumi (9) iegūst formu

Šie vienādojumi nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla asij, OU un iet caur punktu

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Ja , , tad vienādojumi (9) iegūst formu

Šie vienādojumi nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla O asij X un iet caur punktu

M 0 (x 0; y 0).Šādas taisnas līnijas kanoniskajam vienādojumam ir forma

y=y 0(12)

Leņķis starp līnijām. Divu paralēlisma un perpendikulitātes nosacījums

tiešā veidā

Dotas divas taisnes, kas dotas ar vispārīgiem vienādojumiem:

Un

Tad leņķis φ starp tiem nosaka pēc formulas:

(13)

Paralēlais stāvoklis 2 taisnas līnijas: (14)

Perpendikulārs stāvoklis 2 taisnas līnijas: (15)

Paralēlais stāvoklisšajā gadījumā ir šāda forma: (17)

Perpendikulārs stāvoklis taisni: (18)

Ja ar kanoniskajiem vienādojumiem ir dotas divas līnijas:

Un

tad leņķi φ starp šīm līnijām nosaka pēc formulas:

(19)

Paralēlais stāvoklis taisni: (20)

Perpendikulārs stāvoklis tieši: (21)

Attālums no punkta līdz līnijai

Attālums d no punkta M (x 1; y 1) taisni Ax+By+C=0 aprēķināts pēc formulas

(22)

Īstenošanas piemērs praktiskais darbs

1. piemērs Izveidojiet līniju 3 X- 2plkst+6=0.

Risinājums: Lai izveidotu taisni, pietiek zināt jebkurus divus tās punktus, piemēram, tās krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Taisnes krustpunkta ar asi Ox punktu A var iegūt, ja taisnes vienādojumā ņemam y \u003d 0. Tad mums ir 3 X+6=0, t.i. X=-2. Pa šo ceļu, BET(–2;0).

Tad IN taisnes krustpunkts ar asi OU ir abscisa X=0; tātad punkta ordinātas IN tiek atrasts no vienādojuma -2 y+ 6=0, t.i. y=3. Pa šo ceļu, IN(0;3).

2. piemērs Uzrakstiet taisnes vienādojumu, kas nogriežas negatīvajā pusplaknē OU segments, kas vienāds ar 2 vienībām, un veido ar asi Ak leņķis φ =30˚.

Risinājums: līnija šķērso asi OU punktā IN(0;–2) un tam ir slīpums k=tg φ= = . Pieņemot, ka vienādojumā (2) k= un b= –2, iegūstam vajadzīgo vienādojumu

Or .

3. piemērs BET(–1; 2) un

IN(0;–3). (pie liecību: taisnes slīpumu nosaka pēc formulas (3))

Risinājums: .No šejienes mums ir . Koordinātu aizstāšana šajā vienādojumā t.V, mēs iegūstam: , t.i. sākotnējās ordinātas b= -3. Tad mēs iegūstam vienādojumu.

4. piemērs Vispārīgais taisnes vienādojums 2 X – 3plkst– 6 = 0 noved pie vienādojuma segmentos.

Risinājums: mēs rakstām šo vienādojumu formā 2 X– 3plkst=6 un sadaliet abas tā daļas ar brīvo terminu: . Šis ir šīs taisnes vienādojums segmentos.

5. piemērs Caur punktu BET(1;2) uzzīmēt taisnu līniju, kas nogriež vienādus segmentus uz pozitīvajām koordinātu pusasīm.

Risinājums: lai vajadzīgās taisnes vienādojumam būtu forma Pēc nosacījuma bet=b. Tāpēc vienādojums kļūst X+ plkst= bet. Tā kā punkts A (1; 2) pieder šai taisnei, tad tā koordinātas apmierina vienādojumu X + plkst= bet; tie. 1 + 2 = bet, kur bet= 3. Tātad vēlamo vienādojumu raksta šādi: x + y = 3, vai x + y - 3 = 0.

6. piemērs Par taisni uzrakstiet vienādojumu segmentos. Aprēķiniet trijstūra laukumu, ko veido šī līnija un koordinātu asis.

Risinājums: pārveidosim šo vienādojumu šādi: , vai .

Rezultātā mēs iegūstam vienādojumu , kas ir dotās taisnes vienādojums segmentos. Trijstūris, ko veido dotā taisne un koordinātu asis, ir taisnleņķa trīsstūris kuru kājas ir vienādas ar 4 un 3, tātad tās laukums ir vienāds ar S= (kv. vienības)

7. piemērs Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu (–2; 5), un ģenerātoru ar asi Ak leņķis 45º.

Risinājums: vēlamās taisnes slīpums k= tg 45º = 1. Tāpēc, izmantojot (5) vienādojumu, iegūstam y - 5 = x- (-2), vai x - y + 7 = 0.

8. piemērs Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem BET(–3; 5) un IN( 7; –2).

Risinājums: izmantosim vienādojumu (6):

, vai , no kurienes 7 X + 10plkst – 29 = 0.

9. piemērs Pārbaudiet, vai punkti atrodas BET(5; 2), IN(3; 1) un NO(–1; –1) uz vienas taisnes.

Risinājums: izveidojiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem BET Un NO:

, vai

Aizvietojot šajā vienādojumā punkta koordinātas IN (xB= 3 un y B = 1), iegūstam (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), t.i. mēs iegūstam pareizo vienlīdzību. Tādējādi punktu koordinātas IN izpildīt taisnās līnijas vienādojumu ( AC), t.i. .

10. piemērs: Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur t. A (2; -3).

Perpendikulāri =(-1;5)

Risinājums: Izmantojot formulu (8), mēs atrodam šīs līnijas vienādojumu -1(x-2)+5(y+3)=0,

vai visbeidzot, x - 5 g - 17 \u003d 0.

11. piemērs: Doti punkti M 1(2;-1) un M 2(4; 5). Uzrakstiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 1 perpendikulāri vektoram Risinājums: Vēlamās taisnes normālvektoram ir koordinātes (2; 6), tāpēc pēc formulas (8) iegūstam vienādojumu 2(x-2)+6(y+1)=0 vai x+3y +1=0.

12. piemērs: Un .

Risinājums: ; .

13. piemērs:

Risinājums: a) ;

14. piemērs: Aprēķiniet leņķi starp līnijām

Risinājums:

15. piemērs: Lai uzzinātu savstarpēja vienošanās tieši:

Risinājums:

16. piemērs: atrast leņķi starp līnijām un .

Risinājums:.

17. piemērs: uzziniet līniju relatīvo novietojumu:

Risinājums: a ) - līnijas ir paralēlas;

b) nozīmē, ka līnijas ir perpendikulāras.

18. piemērs: Aprēķiniet attālumu no punkta M(6; 8) līdz taisnei

Risinājums: saskaņā ar formulu (22) iegūstam: .

Uzdevumi priekš praktiskā nodarbība:

1. iespēja

1. Savelciet taisnes 2x+3y-6=0 vispārīgo vienādojumu pa daļām un aprēķiniet trijstūra laukumu, ko šī taisne nogriež no atbilstošā koordinātu leņķa;

2. ∆ABC virsotnēm ir punkta A (-3;4), punkta B (-4;-3), punkta C (8;1) koordinātes. Sastādiet malas (AB), augstuma (VC) un mediānas (CM) vienādojumus;

3. Aprēķināt slīpumu taisnei, kas iet caur punktu M 0 (-2; 4) un ir paralēla vektoram (6; -1);

4. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

4. Aprēķiniet leņķi starp līnijām:

a) 2x - 3y + 7 = 0 un 3x - y + 5 = 0; b) un y = 2x – 4;

5. Noteikt relatīvo pozīciju 2 taisnēm un;

, ja ir zināmas nogriežņa t.A (18; 8) un t. B (-2; -6) galu koordinātas.

3. iespēja

1. Novietojiet taisnes 4x-5y+20=0 vispārīgo vienādojumu pa daļām un aprēķiniet trijstūra laukumu, ko šī taisne nogriež no atbilstošā koordinātu leņķa;

2. ∆ABC virsotnēm ir punkta A (3;-2), punkta B (7;3), punktu koordinātes.

C(0;8). Sastādiet malas (AB), augstuma (VC) un mediānas (CM) vienādojumus;

3. Aprēķiniet taisnes slīpumu, kas iet caur punktu M 0 (-1;-2) un

paralēli vektoram (3;-5);

4. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

a) 3x + y - 7 = 0 un x - y + 4 = 0; b) un;

5. Noteikt 2 līniju relatīvo stāvokli un y = 5x + 3;

6. Aprēķināt attālumu no posma AB vidus līdz taisnei , ja ir zināmas nogriežņa t.A (4; -3) un t.B (-6; 5) galu koordinātas.

4. iespēja

1. Atvelciet taisnes 12x-5y+60=0 vispārīgo vienādojumu pa daļām un aprēķiniet nogriežņa garumu, ko no šīs taisnes nogriež attiecīgais koordinātu leņķis;

2. ∆ABC virsotnēm ir punkta A (0;-2), punkta B (3;6), punkta C (1;-4) koordinātas. Sastādiet malas (AB), augstuma (VC) un mediānas (CM) vienādojumus;

3. Aprēķināt slīpumu taisnei, kas iet caur punktu M 0 (4;4) un ir paralēla vektoram (-2;7);

4. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

a) x +4 y + 8 = 0 un 7x - 3y + 5 = 0; b) un;

5. Noteikt relatīvo pozīciju 2 taisnēm un;

6. Aprēķināt attālumu no posma AB vidus līdz taisnei , ja ir zināmas nogriežņa t.A (-4; 8) un t.B (0; 4) galu koordinātas.

testa jautājumi

1. Nosauc taisnes vienādojumus plaknē, kad ir zināms punkts, caur kuru tā iet, un tās virziena vektors;

2. Kāds ir plaknes taisnes normālais, vispārīgais vienādojums;

3. Nosauc taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem punktiem, taisnes vienādojumu nogriežņos, vienādojumu taisnei ar slīpumu;

4. Uzskaitiet formulas leņķa starp līnijām aprēķināšanai, dotajiem vienādojumiem ar leņķa koeficientu. Formulējiet divu taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumus.

5. Kā atrast attālumu no punkta līdz taisnei?

Doti divi punkti M(X 1 ,Plkst 1) un N(X 2,y 2). Atradīsim taisnes vienādojumu, kas iet caur šiem punktiem.

Tā kā šī līnija iet caur punktu M, tad saskaņā ar formulu (1.13) tā vienādojumam ir forma

Plkst – Y 1 = K(X-x 1),

Kur K ir nezināmais slīpums.

Šī koeficienta vērtību nosaka no nosacījuma, ka vēlamā taisne iet caur punktu N, kas nozīmē, ka tā koordinātas atbilst vienādojumam (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

No šejienes jūs varat atrast šīs līnijas slīpumu:

,

Vai pēc konversijas

(1.14)

Formula (1.14) definē Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem M(X 1, Y 1) un N(X 2, Y 2).

Konkrētajā gadījumā, kad punkti M(A, 0), N(0, B), BET ¹ 0, B¹ 0, atrodas uz koordinātu asīm, vienādojumam (1.14) ir vienkāršāka forma

Vienādojums (1.15) sauca Taisnas līnijas vienādojums segmentos, šeit BET Un B apzīmē segmentus, kas nogriezti ar taisnu līniju uz asīm (1.6. attēls).

1.6.attēls

Piemērs 1.10. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem M(1, 2) un B(3, –1).

. Saskaņā ar (1.14) vajadzīgās taisnes vienādojumam ir forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Pārnesot visus terminus uz kreiso pusi, mēs beidzot iegūstam vēlamo vienādojumu

3X + 2Y – 7 = 0.

Piemērs 1.11. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M(2, 1) un līniju krustošanās punkts X+ Y- 1 = 0, X – g+ 2 = 0.

. Līniju krustošanās punkta koordinātas atrodam, kopā risinot šos vienādojumus

Ja mēs saskaitām šos vienādojumus pa vārdam, mēs iegūstam 2 X+ 1 = 0, no kurienes . Aizvietojot atrasto vērtību jebkurā vienādojumā, mēs atrodam ordinātu vērtību Plkst:

Tagad uzrakstīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem (2, 1) un :

vai .

Līdz ar to vai -5( Y – 1) = X – 2.

Visbeidzot, mēs iegūstam vajadzīgās taisnes vienādojumu formā X + 5Y – 7 = 0.

Piemērs 1.12. Atrodiet vienādojumu taisnai līnijai, kas iet caur punktiem M(2.1) un N(2,3).

Izmantojot formulu (1.14), iegūstam vienādojumu

Tam nav jēgas, jo otrais saucējs ir nulle. No problēmas stāvokļa var redzēt, ka abu punktu abscisēm ir vienāda vērtība. Tādējādi vajadzīgā līnija ir paralēla asij OY un tā vienādojums ir: x = 2.

komentēt . Ja, rakstot taisnes vienādojumu pēc formulas (1.14), viens no saucējiem izrādās nulle, tad vajadzīgo vienādojumu var iegūt, pielīdzinot atbilstošo skaitītāju nullei.

Apsvērsim citus veidus, kā plaknē iestatīt taisnu līniju.

1. Pieņemsim, ka vektors, kas nav nulle, ir perpendikulārs noteiktai taisnei L, un punkts M 0(X 0, Y 0) atrodas uz šīs līnijas (1.7. attēls).

1.7.attēls

Apzīmē M(X, Y) patvaļīgs punkts uz līnijas L. Vektori un Ortogonāls. Izmantojot šo vektoru ortogonalitātes nosacījumus, iegūstam vai BET(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Mēs esam ieguvuši taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0 ir perpendikulāra vektoram . Šo vektoru sauc Normāls vektors uz taisnu līniju L. Iegūto vienādojumu var pārrakstīt kā

Ak + Wu + NO= 0, kur NO = –(BETX 0 + Autors 0), (1.16),

Kur BET Un IN ir normālā vektora koordinātas.

Iegūstam vispārīgo taisnes vienādojumu parametriskā formā.

2. Taisni plaknē var definēt šādi: vektors, kas nav nulle, ir paralēls noteiktai taisnei L un punkts M 0(X 0, Y 0) atrodas uz šīs līnijas. Atkal ņemiet patvaļīgu punktu M(X, y) uz taisnas līnijas (1.8. attēls).

1.8.attēls

Vektori un kolineārs.

Pierakstīsim šo vektoru kolinearitātes nosacījumu: , kur T ir patvaļīgs skaitlis, ko sauc par parametru. Rakstīsim šo vienādību koordinātēs:

Šos vienādojumus sauc Parametriskie vienādojumi Taisni. Izslēgsim no šiem vienādojumiem parametru T:

Šos vienādojumus var uzrakstīt formā

. (1.18)

Iegūto vienādojumu sauc Taisnes kanoniskais vienādojums. Vektora zvans Virziena vektors taisns .

komentēt . Ir viegli redzēt, ka if ir līnijas normālais vektors L, tad tā virziena vektors var būt vektors , jo , t.i.

Piemērs 1.13. Uzrakstiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0(1, 1) paralēli 3. līnijai X + 2Plkst– 8 = 0.

Risinājums . Vektors ir normāls vektors dotajām un vēlamajām līnijām. Izmantosim taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0 ar dotu normālvektoru 3( X –1) + 2(Plkst– 1) = 0 vai 3 X + 2 g- 5 \u003d 0. Mēs saņēmām vajadzīgās taisnes vienādojumu.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā. Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Leņķis starp divām līnijām. Divu taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījums. Divu taisnju krustpunkta noteikšana

1. Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu A(x 1 , y 1) noteiktā virzienā, ko nosaka slīpums k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Šis vienādojums definē līniju zīmuli, kas iet caur punktu A(x 1 , y 1), ko sauc par stara centru.

2. Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: A(x 1 , y 1) un B(x 2 , y 2) ir rakstīts šādi:

Taisnes līnijas slīpumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, nosaka pēc formulas

3. Leņķis starp taisnām līnijām A Un B ir leņķis, par kādu jāpagriež pirmā taisne A ap šo līniju krustpunktu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar otro līniju B. Ja ar slīpuma vienādojumiem dotas divas taisnes

y = k 1 x + B 1 ,