Plaknes vienādojums. Kā uzrakstīt vienādojumu plaknei?
Savstarpēja vienošanās lidmašīnas. Uzdevumi

Telpiskā ģeometrija nav daudz sarežģītāka par "plakano" ģeometriju, un mūsu lidojumi kosmosā sākas ar šo rakstu. Lai izprastu tēmu, ir jābūt labai izpratnei vektori, turklāt vēlams pārzināt plaknes ģeometriju - būs daudz līdzību, daudz analoģiju, tāpēc informācija būs daudz labāk sagremota. Manu nodarbību sērijā 2D pasaule tiek atvērta ar rakstu Taisnes vienādojums plaknē. Bet tagad Betmens ir izkāpis no plakanā ekrāna televizora un startē no Baikonuras kosmodroma.

Sāksim ar zīmējumiem un simboliem. Shematiski plakni var uzzīmēt kā paralelogramu, kas rada telpas iespaidu:

Plakne ir bezgalīga, bet mums ir iespēja attēlot tikai daļiņu no tās. Praksē papildus paralelogramam tiek uzzīmēts arī ovāls vai pat mākonis. Tehnisku apsvērumu dēļ man ir ērtāk attēlot lidmašīnu šādā veidā un tādā stāvoklī. Īstas lidmašīnas, kuras mēs apsvērsim praktiski piemēri, var kārtot kā gribi - domās paņem zīmējumu rokās un pavēr to telpā, piešķirot plaknei jebkādu slīpumu, jebkuru leņķi.

Apzīmējums: ir ierasts apzīmēt lidmašīnas ar maziem grieķu burtiem, acīmredzot, lai tās nesajauktu ar tieši lidmašīnā vai ar taisni kosmosā. Esmu pieradis lietot burtu. Zīmējumā tas ir burts "sigma", nevis caurums. Lai gan, cauruma lidmašīna, tas noteikti ir ļoti smieklīgi.

Dažos gadījumos ir ērti izmantot to pašu grieķu burti ar apakšindeksiem, piemēram, .

Acīmredzot lidmašīnu unikāli nosaka trīs dažādi punkti neguļ uz vienas taisnes. Tāpēc diezgan populāri ir lidmašīnu trīsburtu apzīmējumi - pēc tiem piederošajiem punktiem, piemēram, utt. Bieži vien burti tiek ievietoti iekavās: , lai nesajauktu plakni ar citu ģeometrisku figūru.

Pieredzējušiem lasītājiem es iedošu īsceļu izvēlne:

• Kā uzrakstīt vienādojumu plaknei, izmantojot punktu un divus vektorus?
• Kā uzrakstīt vienādojumu plaknei, izmantojot punktu un normālu vektoru?

un mēs ilgi negaidīsim:

Plaknes vispārīgais vienādojums

Plaknes vispārīgajam vienādojumam ir forma , kur koeficienti vienlaikus nav nulle.

Vairāki teorētiskie aprēķini un praktiskie uzdevumi ir derīgi gan parastajai ortonormālajai bāzei, gan telpas afīnajai bāzei (ja eļļa ir eļļa, atgriezieties pie nodarbības Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru pamats). Vienkāršības labad mēs pieņemsim, ka visi notikumi notiek ortonormālā bāzē un Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā.

Un tagad trenēsim mazliet telpisko iztēli. Tas ir labi, ja jums tas ir slikti, tagad mēs to nedaudz attīstīsim. Pat spēlēšana uz nerviem prasa praksi.

Vispārīgākajā gadījumā, kad skaitļi nav vienādi ar nulli, plakne krusto visas trīs koordinātu asis. Piemēram, šādi:

Es vēlreiz atkārtoju, ka lidmašīna turpinās bezgalīgi visos virzienos, un mums ir iespēja attēlot tikai daļu no tā.

Apsveriet vienkāršākos plakņu vienādojumus:

Kā saprast dots vienādojums? Padomājiet par to: “Z” VIENMĒR, jebkurai “X” un “Y” vērtībai ir vienāda ar nulli. Šis ir "native" koordinātu plaknes vienādojums. Patiešām, formāli vienādojumu var pārrakstīt šādi: , no kurienes ir skaidri redzams, ka mums ir vienalga, kādas vērtības ir “x” un “y”, svarīgi, lai “z” būtu vienāds ar nulli.

Līdzīgi:
ir koordinātu plaknes vienādojums;
ir koordinātu plaknes vienādojums.

Nedaudz sarežģīsim problēmu, aplūkosim plakni (šeit un tālāk rindkopā mēs pieņemam, ka skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli). Pārrakstīsim vienādojumu formā: . Kā to saprast? “X” ir VIENMĒR, jo jebkura “y” un “z” vērtība ir vienāda ar noteiktu skaitli. Šī plakne ir paralēla koordinātu plaknei. Piemēram, plakne ir paralēla plaknei un iet caur punktu.

Līdzīgi:
- plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu plaknei;
- plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu plaknei.

Pievienot dalībniekus: . Vienādojumu var pārrakstīt šādi: , tas ir, "Z" var būt jebkas. Ko tas nozīmē? "X" un "Y" ir savienoti ar attiecību, kas plaknē zīmē noteiktu taisnu līniju (jūs atpazīsit plaknes taisnes vienādojums?). Tā kā Z var būt jebkas, šī līnija tiek "atkārtota" jebkurā augstumā. Tādējādi vienādojums definē plakni, kas ir paralēla koordinātu asij

Līdzīgi:
- plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu asij;
- plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu asij.

Ja brīvie termini ir nulle, tad plaknes tieši iet cauri attiecīgajām asīm. Piemēram, klasiskā "tiešā proporcionalitāte":. Plaknē novelciet taisnu līniju un garīgi reiziniet to uz augšu un uz leju (jo “z” ir jebkurš). Secinājums: vienādojuma dotā plakne iet caur koordinātu asi.

Mēs noslēdzam apskatu: plaknes vienādojums iet caur izcelsmi. Šeit ir pilnīgi skaidrs, ka punkts apmierina doto vienādojumu.

Un, visbeidzot, gadījums, kas parādīts zīmējumā: - plakne draudzējas ar visām koordinātu asīm, kamēr tā vienmēr “nogriež” trīsstūri, kas var atrasties jebkurā no astoņām oktancēm.

Lineārās nevienādības telpā

Lai izprastu informāciju, ir labi jāmācās lineārās nevienādības plaknē jo daudzas lietas būs līdzīgas. Punktā būs īss pārskats ar dažiem piemēriem, jo ​​praksē materiāls ir diezgan reti sastopams.

Ja vienādojums definē plakni, tad nevienādības
jautāt pusatstarpes. Ja nevienādība nav strikta (sarakstā pēdējie divi), tad nevienādības atrisinājumā papildus pustelpai ir iekļauta pati plakne.

5. piemērs

Atrodiet plaknes normālo vienību vektoru .

Lēmums: Vienības vektors ir vektors, kura garums ir viens. Apzīmēsim šo vektoru ar . Ir pilnīgi skaidrs, ka vektori ir kolineāri:

Vispirms no plaknes vienādojuma noņemam normālo vektoru: .

Kā atrast vienības vektoru? Lai atrastu vienības vektoru, jums ir nepieciešams katrs vektora koordinātas dalītas ar vektora garumu.

Pārrakstīsim normālo vektoru formā un atradīsim tā garumu:

Saskaņā ar iepriekš minēto:

Atbilde:

Pārbaude: , kas bija jāpārbauda.

Lasītāji, kuri rūpīgi izpētījuši nodarbības pēdējo rindkopu, droši vien to pamanīja vienības vektora koordinātas ir tieši vektora virziena kosinusus:

Atkāpsimies no izjauktās problēmas: kad jums tiek dota patvaļīga vektors, kas nav nulle , un pēc nosacījuma nepieciešams atrast tā virziena kosinusus (skat. nodarbības pēdējos uzdevumus Vektoru punktu reizinājums), tad jūs faktiski atrodat arī dotajam kolineāru vienību vektoru. Patiesībā divi uzdevumi vienā pudelē.

Nepieciešamība atrast vienību normālu vektoru rodas dažās matemātiskās analīzes problēmās.

Mēs izdomājām parastā vektora makšķerēšanu, tagad mēs atbildēsim uz pretējo jautājumu:

Kā uzrakstīt vienādojumu plaknei, izmantojot punktu un normālu vektoru?

Šo stingro parastā vektora un punkta konstrukciju labi pazīst šautriņu mešanas mērķis. Lūdzu, izstiepiet roku uz priekšu un garīgi izvēlieties patvaļīgu vietu telpā, piemēram, mazu kaķi bufetē. Acīmredzot caur šo punktu jūs varat uzzīmēt vienu plakni, kas ir perpendikulāra jūsu rokai.

Plaknes vienādojumu, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulārs vektoram, izsaka ar formulu:

Šis raksts sniedz priekšstatu par to, kā uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu trīsdimensiju telpā, kas ir perpendikulāra noteiktai taisnei. Analizēsim iepriekš minēto algoritmu, izmantojot tipisku problēmu risināšanas piemēru.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vienādojuma atrašana plaknei, kas iet caur noteiktu punktu telpā, kas ir perpendikulāra noteiktai taisnei

Dota tajā trīsdimensiju telpa un taisnstūra koordinātu sistēma O x y z. Dots arī punkts M 1 (x 1, y 1, z 1), taisne a un plakne α, kas iet caur punktu M 1, kas ir perpendikulāra taisnei a. Nepieciešams pierakstīt plaknes α vienādojumu.

Pirms turpināt šīs problēmas risināšanu, atcerēsimies ģeometrijas teorēmu no programmas 10.–11. klasei, kas skan:

1. definīcija

Viena plakne iet caur noteiktu punktu trīsdimensiju telpā un ir perpendikulāra noteiktai taisnei.

Tagad apsveriet, kā atrast šīs vienas plaknes vienādojumu, kas iet caur sākuma punktu un ir perpendikulāra dotajai taisnei.

Plaknes vispārīgo vienādojumu var uzrakstīt, ja ir zināmas šai plaknei piederoša punkta koordinātas, kā arī plaknes normālvektora koordinātas.

Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir dotas punkta M 1 koordinātas x 1, y 1, z 1, caur kuru iet plakne α. Ja noteiksim plaknes α normālvektora koordinātas, tad varēsim uzrakstīt vajadzīgo vienādojumu.

Plaknes α normālais vektors, jo tas nav nulle un atrodas uz taisnes a, kas ir perpendikulāra plaknei α, būs jebkurš taisnes a virzošais vektors. Tātad plaknes α normālā vektora koordinātu atrašanas uzdevums tiek pārveidots par taisnes a virzošā vektora koordinātu noteikšanas uzdevumu.

Var veikt taisnes a virzošā vektora koordinātu noteikšanu dažādas metodes: atkarīgs no iespējas norādīt taisni a sākotnējos apstākļos. Piemēram, ja taisne a uzdevuma nosacījumā ir dota ar formas kanoniskajiem vienādojumiem

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

vai parametru vienādojumi šādā formā:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tad taisnes virziena vektoram būs koordinātas a x, a y un a z. Gadījumā, ja taisne a ir attēlota ar diviem punktiem M 2 (x 2, y 2, z 2) un M 3 (x 3, y 3, z 3), tad virziena vektora koordinātas tiks noteiktas kā (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

2. definīcija

Algoritms plaknes vienādojuma atrašanai, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs noteiktai taisnei:

Nosakiet taisnes a virzošā vektora koordinātas: a → = (a x, a y, a z) ;

Plaknes α normālā vektora koordinātas definējam kā taisnes a virzošā vektora koordinātas:

n → = (A , B , C) , kur A = a x, B = a y, C = a z;

Mēs rakstām vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) un kurai ir normāls vektors n→=(A, B, C) formā A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Tas būs nepieciešamais vienādojums plaknei, kas iet caur noteiktu telpas punktu un ir perpendikulāra noteiktai līnijai.

Iegūtais plaknes vispārīgais vienādojums: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 ļauj iegūt plaknes vienādojumu segmentos vai plaknes normālo vienādojumu.

Atrisināsim dažus piemērus, izmantojot iepriekš iegūto algoritmu.

1. piemērs

Ir dots punkts M 1 (3, - 4, 5), caur kuru iet plakne, un šī plakne ir perpendikulāra koordinātu taisnei O z.

Lēmums

koordinātu taisnes O z virziena vektors būs koordinātu vektors k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Tāpēc plaknes normālajam vektoram ir koordinātas (0 , 0 , 1) . Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu M 1 (3, - 4, 5), kuras normālvektoram ir koordinātes (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Atbilde: z-5 = 0.

Apsveriet citu veidu, kā atrisināt šo problēmu:

2. piemērs

Plakne, kas ir perpendikulāra taisnei O z, tiks dota ar nepilnīgu plaknes vispārīgo vienādojumu formā С z + D = 0 , C ≠ 0 . Definēsim C un D vērtības: tās, kurām plakne iet caur noteiktu punktu. Aizvietojot šī punkta koordinātas vienādojumā C z + D = 0 , iegūstam: C · 5 + D = 0 . Tie. skaitļi, C un D ir saistīti ar - D C = 5 . Ņemot C \u003d 1, mēs iegūstam D = 5.

Aizvietojiet šīs vērtības vienādojumā C z + D = 0 un iegūstiet vajadzīgo vienādojumu plaknei, kas ir perpendikulāra taisnei O z un iet caur punktu M 1 (3, - 4, 5) .

Tas izskatīsies šādi: z - 5 = 0.

Atbilde: z-5 = 0.

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur sākuma punktu un ir perpendikulāra taisnei x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Lēmums

Balstoties uz uzdevuma nosacījumiem, var apgalvot, ka dotās taisnes virzošais vektors var tikt pieņemts kā dotas plaknes normāls vektors n →. Tādējādi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu O (0, 0, 0) un kurai ir normāls vektors n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Esam ieguvuši vajadzīgo vienādojumu plaknei, kas iet caur izcelsmi perpendikulāri dotajai taisnei.

Atbilde:- 3x - 7y + 2z = 0

4. piemērs

Dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y z trīsdimensiju telpā, tajā ir divi punkti A (2 , - 1 , - 2) un B (3 , - 2 , 4) . Plakne α iet caur punktu A, kas ir perpendikulāra taisnei AB. Nepieciešams sastādīt plaknes α vienādojumu segmentos.

Lēmums

Plakne α ir perpendikulāra taisnei A B, tad vektors A B → būs plaknes α normālvektors. Šī vektora koordinātas nosaka kā starpību starp atbilstošajām punktu B (3, - 2, 4) un A (2, - 1, - 2) koordinātām:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Plaknes vispārīgais vienādojums tiks uzrakstīts šādā formā:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Tagad mēs sastādām vēlamo plaknes vienādojumu segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Atbilde:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Jāņem vērā arī tas, ka pastāv problēmas, kuru prasība ir uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra divām dotām plaknēm. Kopumā šīs problēmas risinājums ir uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur doto punktu perpendikulāri noteiktai taisnei, jo divas krustojošas plaknes nosaka taisnu līniju.

5. piemērs

Ir dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y z, kurā ir punkts M 1 (2, 0, - 5) . Doti arī divu plakņu 3 x + 2 y + 1 = 0 un x + 2 z - 1 = 0 vienādojumi, kas krustojas pa taisni a . Ir jāsastāda vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M 1 perpendikulāri taisnei a.

Lēmums

Noteiksim taisnes a virzošā vektora koordinātas. Tas ir perpendikulārs gan plaknes n → (1, 0,2) normālvektoram n 1 → (3 , 2 , 0), gan plaknes x + 2 z normālvektoram 3 x + 2 y + 1 = 0. - 1 = 0.

Tad virzošais vektors α → taisne a mēs ņemam vektoru n 1 → un n 2 → vektoru reizinājumu:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tādējādi vektors n → = (4, - 6, - 2) būs taisnei a perpendikulāras plaknes normālais vektors. Mēs rakstām vēlamo plaknes vienādojumu:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Atbilde: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Lai būtu jāatrod vienādojums plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. Apzīmējot to rādiusa vektorus ar un pašreizējo rādiusa vektoru ar , mēs varam viegli iegūt vēlamo vienādojumu vektora formā. Patiešām, vektoriem jābūt vienā plaknē (tie visi atrodas vēlamajā plaknē). Tāpēc šo vektoru vektora skalārajai reizinājumam jābūt vienādam ar nulli:

Šis ir vienādojums plaknei, kas vektora formā iet cauri trim dotiem punktiem.

Pievēršoties koordinātām, mēs iegūstam vienādojumu koordinātēs:

Ja trīs dotie punkti atrodas uz vienas taisnes, tad vektori būtu kolineāri. Tāpēc (18) vienādojuma determinanta pēdējo divu rindu attiecīgie elementi būtu proporcionāli un determinants būtu identiski vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojums (18) kļūtu par identitāti visām x, y un z vērtībām. Ģeometriski tas nozīmē, ka caur katru telpas punktu iet plakne, kurā arī atrodas trīs dotie punkti.

Piezīme 1. To pašu problēmu var atrisināt, neizmantojot vektorus.

Apzīmējot attiecīgi trīs doto punktu koordinātas, mēs rakstām vienādojumu jebkurai plaknei, kas iet caur pirmo punktu:

Lai iegūtu vajadzīgās plaknes vienādojumu, ir jāpieprasa, lai vienādojums (17) būtu izpildīts ar pārējo divu punktu koordinātām:

No (19) vienādojumiem ir jānosaka divu koeficientu attiecības pret trešo un atrastās vērtības jāievada vienādojumā (17).

Piemērs 1. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem.

Vienādojums plaknei, kas iet caur pirmo no šiem punktiem, būs:

Nosacījumi, lai plakne (17) šķērsotu divus citus punktus un pirmo punktu, ir:

Pievienojot otro vienādojumu pirmajam, mēs iegūstam:

Aizstājot ar otro vienādojumu, mēs iegūstam:

Aizvietojot vienādojumā (17) A, B, C vietā attiecīgi 1, 5, -4 (tiem proporcionāli skaitļi), mēs iegūstam:

Piemērs 2. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jebkuras plaknes, kas iet caur punktu (0, 0, 0), vienādojums būs]

Nosacījumi šīs plaknes šķērsošanai caur punktiem (1, 1, 1) un (2, 2, 2) ir šādi:

Samazinot otro vienādojumu par 2, mēs redzam, ka, lai noteiktu divus nezināmos, attiecībai ir viens vienādojums ar

No šejienes mēs iegūstam. Tagad aizvietojot plaknes vienādojumu tā vērtības vietā, mēs atrodam:

Šis ir vēlamās plaknes vienādojums; tas ir atkarīgs no patvaļīgiem

lielumi B, C (proti, no attiecības, t.i., ir bezgalīgs skaits plakņu, kas iet cauri trim dotiem punktiem (trīs dotie punkti atrodas uz vienas taisnes).

2. piezīme. Problēma par plaknes zīmēšanu caur trim dotiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, ir viegli atrisināma vispārējs skats ja izmantojat determinantus. Patiešām, tā kā vienādojumos (17) un (19) koeficienti A, B, C nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli, tad, uzskatot šos vienādojumus par viendabīgu sistēmu ar trim nezināmajiem A, B, C, mēs rakstām nepieciešamo un pietiekamo. nosacījums šīs sistēmas risinājuma esamībai, kas nav nulle (1. daļa, VI nodaļa, 6. §):

Paplašinot šo determinantu par pirmās rindas elementiem, iegūstam pirmās pakāpes vienādojumu attiecībā pret pašreizējām koordinātām , ko apmierinās it īpaši trīs doto punktu koordinātas.

Šo pēdējo var arī pārbaudīt tieši, ja mēs aizstājam jebkura no šiem punktiem koordinātas, nevis vienādojumā, kas rakstīts, izmantojot determinantu. Kreisajā pusē tiek iegūts determinants, kurā vai nu pirmās rindas elementi ir nulle, vai arī ir divas identiskas rindas. Tādējādi formulētais vienādojums attēlo plakni, kas iet cauri trim dotiem punktiem.

13. Leņķis starp plaknēm, attālums no punkta līdz plaknei.

Ļaujiet plaknēm α un β krustoties pa taisni c.
Leņķis starp plaknēm ir leņķis starp perpendikuliem pret to krustojuma līniju, kas novilkta šajās plaknēs.

Citiem vārdiem sakot, plaknē α mēs novelkam līniju a perpendikulāri c. Plaknē β - taisne b, arī perpendikulāra c. Leņķis starp plaknēm α un β ir vienāds ar leņķi starp taisnēm a un b.

Ņemiet vērā, ka tad, kad krustojas divas plaknes, faktiski veidojas četri stūri. Vai redzat tos attēlā? Kā leņķi starp plaknēm mēs ņemam pikants injekcija.

Ja leņķis starp plaknēm ir 90 grādi, tad plaknes perpendikulāri,

Šī ir plakņu perpendikularitātes definīcija. Risinot uzdevumus stereometrijā, izmantojam arī plakņu perpendikulitātes zīme:

Ja plakne α iet caur perpendikulu plaknei β, tad plaknes α un β ir perpendikulāras.

attālums no punkta līdz plaknei

Apsveriet punktu T, ko nosaka tā koordinātas:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Apsveriet arī plakni α, ko dod vienādojums:

Ax + By + Cz + D = 0

Tad attālumu L no punkta T līdz plaknei α var aprēķināt pēc formulas:

Citiem vārdiem sakot, mēs aizvietojam punkta koordinātas ar plaknes vienādojumu un pēc tam sadalām šo vienādojumu ar plaknes normālā vektora n garumu:

Iegūtais skaitlis ir attālums. Apskatīsim, kā šī teorēma darbojas praksē.

Mēs jau esam atvasinājuši plaknes taisnes parametriskos vienādojumus, iegūsim parametriskos taisnes vienādojumus, kas ir doti taisnstūra koordinātu sistēmā trīsdimensiju telpā.

Ļaujiet trīsdimensiju telpā fiksēt taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz. Definēsim taisnu līniju a(skatiet sadaļu par taisnes definēšanu telpā), norādot taisnes virziena vektoru un kāda līnijas punkta koordinātas . Mēs sāksim no šiem datiem, veidojot taisnas līnijas parametriskos vienādojumus telpā.

Ļaut ir patvaļīgs punkts trīsdimensiju telpā. Ja atņemam no punkta koordinātām M atbilstošās punktu koordinātas M 1, tad iegūsim vektora koordinātas (skat. rakstu, kurā atrodamas vektora koordinātas pēc tā beigu un sākuma punktu koordinātām), tas ir, .

Acīmredzot punktu kopa nosaka līniju a tad un tikai tad, ja vektori un ir kolineāri.

Pierakstīsim nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu, lai vektori būtu kolineāri un : , kur ir daži reālais skaitlis. Iegūto vienādojumu sauc taisnas līnijas vektora parametru vienādojums taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz trīsdimensiju telpā. Taisnes vektora-parametriskajam vienādojumam koordinātu formā ir forma un pārstāv taisnes parametriskie vienādojumi a. Nosaukums "parametrisks" nav nejaušs, jo visu līnijas punktu koordinātas tiek norādītas, izmantojot parametru .

Sniegsim taisnstūra koordinātu sistēmas taisnstūra parametrisko vienādojumu piemēru Oxyz kosmosā: . Šeit

15. Leņķis starp taisni un plakni. Taisnes krustpunkts ar plakni.

Jebkurš pirmās pakāpes vienādojums attiecībā pret koordinātām x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

definē plakni, un otrādi: jebkuru plakni var attēlot ar vienādojumu (3.1), ko sauc plaknes vienādojums.

Vektors n(A, B, C) tiek izsaukts ortogonāls plaknei normāls vektors lidmašīnas. Vienādojumā (3.1) koeficienti A, B, C vienlaikus nav vienādi ar 0.

Īpaši (3.1.) vienādojuma gadījumi:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - plakne iet caur sākuma punktu.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - plakne ir paralēla Oz asij.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - plakne iet caur Oz asi.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - plakne ir paralēla Oyz plaknei.

Koordinātu plaknes vienādojumi: x = 0, y = 0, z = 0.

Telpā var norādīt taisnu līniju:

1) kā divu plakņu krustošanās taisne, t.i. vienādojumu sistēma:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) tā divus punktus M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tad taisne, kas iet caur tiem, tiek dota ar vienādojumiem:

3) tam piederošais punkts M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un vektors a(m, n, p), s kolineārs. Tad taisni nosaka ar vienādojumiem:

. (3.4)

Tiek izsaukti vienādojumi (3.4). taisnes kanoniskie vienādojumi.

Vektors a sauca virzošais vektors taisns.

Iegūstam taisnes parametriskos vienādojumus, pielīdzinot katru no sakarībām (3.4) ar parametru t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Risināšanas sistēma (3.2) kā sistēma lineārie vienādojumi salīdzinoši nezināms x un y, mēs nonākam pie taisnes vienādojumiem iekšā prognozes vai uz reducēti taisnu līniju vienādojumi:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

No vienādojumiem (3.6) var pāriet uz kanoniskajiem vienādojumiem, atrodot z no katra vienādojuma un vienādojot iegūtās vērtības:

.

No vispārējiem vienādojumiem (3.2) var pāriet uz kanoniskajiem vienādojumiem citā veidā, ja atrod jebkuru šīs taisnes punktu un tās virziena vektoru n= [n 1 , n 2], kur n 1 (A 1 , B 1 , C 1) un n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - doto plakņu normālie vektori. Ja viens no saucējiem m,n vai R vienādojumos (3.4) būs nulle, tad atbilstošās daļas skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli, t.i. sistēma

ir līdzvērtīga sistēmai ; šāda līnija ir perpendikulāra x asij.

Sistēma ir ekvivalents sistēmai x = x 1 , y = y 1 ; taisne ir paralēla Oza asij.

Piemērs 1.15. Uzrakstiet plaknes vienādojumu, zinot, ka punkts A (1, -1,3) kalpo par pamatu perpendikulam, kas novilkts no sākuma uz šo plakni.

Lēmums. Pēc problēmas stāvokļa vektora OA(1,-1,3) ir plaknes normāls vektors, tad tā vienādojumu var uzrakstīt kā
x-y+3z+D=0. Aizvietojot plaknei piederošā punkta A(1,-1,3) koordinātas, atrodam D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Tātad x-y+3z-11=0.

Piemērs 1.16. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur Oz asi un veido 60 grādu leņķi ar plakni 2x+y-z-7=0.

Lēmums. Plakne, kas iet caur Oz asi, tiek dota ar vienādojumu Ax+By=0, kur A un B nepazūd vienlaikus. Lai B ne
ir 0, A/Bx+y=0. Saskaņā ar formulu leņķa kosinusam starp divām plaknēm

.

Lemjot kvadrātvienādojums 3m 2 + 8m - 3 = 0, atrodiet tā saknes
m 1 = 1/3, m 2 = -3, no kā iegūstam divas plaknes 1/3x+y = 0 un -3x+y = 0.

Piemērs 1.17. Uzrakstiet taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Lēmums. Taisnās līnijas kanoniskajiem vienādojumiem ir šāda forma:

kur m, n, p- taisnes virzošā vektora koordinātas, x1, y1, z1- jebkura līnijai piederoša punkta koordinātas. Taisne tiek definēta kā divu plakņu krustošanās līnija. Lai atrastu punktu, kas pieder pie taisnes, tiek fiksēta viena no koordinātām (vienkāršākais veids ir likt, piemēram, x=0) un iegūtā sistēma tiek atrisināta kā lineāru vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem. Tātad, pieņemsim, ka x=0, tad y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, no kurienes y=-1, z=1. Mēs atradām šai taisnei piederošā punkta M (x 1, y 1, z 1) koordinātas: M (0,-1,1). Taisnes virziena vektoru ir viegli atrast, zinot sākotnējo plakņu normālos vektorus n 1 (5,1,1) un n 2(2,3,-2). Tad

Līnijas kanoniskie vienādojumi ir: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Piemērs 1.18. Sijā, ko nosaka plaknes 2x-y+5z-3=0 un x+y+2z+1=0, atrodiet divas perpendikulāras plaknes, no kurām viena iet caur punktu M(1,0,1).

Lēmums.Šo plakņu definētais staru kūļa vienādojums ir u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, kur u un v nepazūd vienlaikus. Mēs pārrakstām staru kūļa vienādojumu šādi:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Lai no stara izvēlētos plakni, kas iet caur punktu M, staru kūļa vienādojumā aizstājam punkta M koordinātas. Mēs iegūstam:

(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v =0 vai v = - u.

Tad mēs atrodam plaknes vienādojumu, kas satur M, staru kūļa vienādojumā aizstājot v = - u:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Jo u¹0 (pretējā gadījumā v=0, un tas ir pretrunā ar stara definīciju), tad mums ir plaknes vienādojums x-2y+3z-4=0. Otrajai plaknei, kas pieder pie sijas, jābūt tai perpendikulārai. Mēs rakstām nosacījumu plakņu ortogonalitātei:

(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0 vai v = - 19/5u.

Tādējādi otrās plaknes vienādojumam ir šāda forma:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 vai 9x +24y + 13z + 34 = 0

Šajā nodarbībā aplūkosim, kā komponēšanai izmantot noteicēju plaknes vienādojums. Ja nezināt, kas ir determinants, dodieties uz nodarbības pirmo daļu - " Matricas un determinanti». Pretējā gadījumā jūs riskējat šodienas materiālā neko nesaprast.

Plaknes vienādojums ar trim punktiem

Kāpēc mums vispār ir vajadzīgs plaknes vienādojums? Tas ir vienkārši: to zinot, mēs varam viegli aprēķināt leņķus, attālumus un citas muļķības uzdevumā C2. Kopumā šis vienādojums ir neaizstājams. Tāpēc mēs formulējam problēmu:

Uzdevums. Telpā ir trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes. Viņu koordinātas:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Ir nepieciešams uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur šiem trim punktiem. Un vienādojumam vajadzētu izskatīties šādi:

Ax + By + Cz + D = 0

kur skaitļi A , B , C un D ir koeficienti, kurus patiesībā vēlaties atrast.

Nu kā iegūt plaknes vienādojumu, ja ir zināmas tikai punktu koordinātas? Vienkāršākais veids ir aizstāt koordinātas vienādojumā Ax + By + Cz + D = 0. Jūs iegūstat trīs vienādojumu sistēmu, kas ir viegli atrisināma.

Daudziem studentiem šis risinājums šķiet ārkārtīgi nogurdinošs un neuzticams. Pagājušā gada eksāmens matemātikā parādīja, ka iespēja kļūdīties skaitļos ir patiešām liela.

Tāpēc progresīvākie skolotāji sāka meklēt vienkāršākus un eleganti risinājumi. Un viņi to atrada! Tiesa, saņemtā uzņemšana ir lielāka iespēja augstākā matemātika. Man personīgi nācās rakņāties pa visu federālo mācību grāmatu sarakstu, lai pārliecinātos, ka mums ir tiesības izmantot šo paņēmienu bez jebkāda pamatojuma un pierādījumiem.

Plaknes vienādojums caur determinantu

Pietiek rēkt, ķersimies pie lietas. Sākumā teorēma par to, kā ir saistīti matricas determinants un plaknes vienādojums.

Teorēma. Dotas trīs punktu koordinātes, caur kurām jāvelk plakne: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Tad šīs plaknes vienādojumu var uzrakstīt determinanta izteiksmē:

Piemēram, mēģināsim atrast plakņu pāri, kas faktiski rodas C2 problēmās. Apskatiet, cik ātri viss tiek skaitīts:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Mēs sastādām determinantu un pielīdzinām to nullei:

Noteicēja atvēršana:

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Kā redzat, aprēķinot skaitli d, vienādojumu nedaudz "izgriezu", lai mainīgie x , y un z iekļuva pareiza secība. Tas ir viss! Plaknes vienādojums ir gatavs!

Uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Nekavējoties nomainiet punktu koordinātas determinantā:

Atkal paplašinot determinantu:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Tātad atkal tiek iegūts plaknes vienādojums! Atkal pēdējā solī bija jāmaina tajā esošās zīmes, lai iegūtu “skaistāku” formulu. Šajā risinājumā tas nav jādara, bet tomēr ieteicams - lai vienkāršotu problēmas tālāko risinājumu.

Kā redzat, tagad ir daudz vieglāk uzrakstīt plaknes vienādojumu. Mēs aizvietojam punktus matricā, aprēķinām determinantu - un viss, vienādojums ir gatavs.

Tas varētu būt stundas beigas. Tomēr daudzi skolēni pastāvīgi aizmirst, kas ir determinantā. Piemēram, kurā rindā ir x 2 vai x 3 , un kurā rindā ir tikai x . Lai beidzot ar to tiktu galā, izsekosim, no kurienes nāk katrs cipars.

No kurienes nāk formula ar determinantu?

Tātad, izdomāsim, no kurienes nāk tik skarbs vienādojums ar determinantu. Tas palīdzēs to atcerēties un veiksmīgi pielietot.

Visas plaknes, kas rodas uzdevumā C2, ir noteiktas ar trim punktiem. Šie punkti vienmēr ir atzīmēti zīmējumā vai pat norādīti tieši problēmas tekstā. Jebkurā gadījumā, lai sastādītu vienādojumu, mums ir jāizraksta to koordinātas:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Apsveriet vēl vienu punktu mūsu plaknē ar patvaļīgām koordinātām:

T = (x, y, z)

Mēs ņemam jebkuru punktu no pirmajiem trim (piemēram, punktu M ) un no tā uzzīmējam vektorus uz katru no trim atlikušajiem punktiem. Mēs iegūstam trīs vektorus:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Tagad no šiem vektoriem izveidosim kvadrātveida matricu un pielīdzināsim tās determinantu nullei. Vektoru koordinātas kļūs par matricas rindām - un mēs iegūsim to pašu determinantu, kas norādīts teorēmā:

Šī formula nozīmē, ka uz vektoriem MN , MK un MT uzbūvētās kastes tilpums ir vienāds ar nulli. Tāpēc visi trīs vektori atrodas vienā plaknē. Konkrēti, patvaļīgs punkts T = (x, y, z) ir tieši tas, ko mēs meklējām.

Determinanta punktu un rindu aizstāšana

Determinantiem ir dažas brīnišķīgas īpašības, kas to padara vēl vienkāršāku uzdevuma C2 risinājums. Piemēram, mums nav svarīgi, no kura punkta zīmēt vektorus. Tāpēc šādi determinanti dod tādu pašu plaknes vienādojumu kā iepriekš minētais:

Varat arī apmainīt determinanta rindas. Vienādojums paliks nemainīgs. Piemēram, daudziem cilvēkiem patīk rakstīt līniju ar punkta T = (x; y; z) koordinātām pašā augšā. Lūdzu, ja jums tas ir ērti:

Dažus mulsina tas, ka vienā no rindām ir mainīgie x , y un z , kas nepazūd, aizstājot punktus. Bet viņiem nevajadzētu pazust! Aizstājot skaitļus determinantā, jums vajadzētu iegūt šādu konstrukciju:

Pēc tam determinants tiek paplašināts saskaņā ar stundas sākumā sniegto shēmu un tiek iegūts plaknes standarta vienādojums:

Ax + By + Cz + D = 0

Apskatiet piemēru. Viņš ir pēdējais šodienas nodarbībā. Es apzināti apmainīšu līnijas, lai pārliecinātos, ka atbilde būs tas pats plaknes vienādojums.

Uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Tātad, mēs ņemam vērā 4 punktus:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Vispirms izveidosim standarta determinantu un pielīdzināsim to nullei:

Noteicēja atvēršana:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Tas arī viss, mēs saņēmām atbildi: x + y + z − 2 = 0 .

Tagad pārkārtosim pāris rindiņas determinantā un redzēsim, kas notiks. Piemēram, rakstīsim rindiņu ar mainīgajiem x, y, z nevis apakšā, bet augšpusē:

Atkal paplašināsim iegūto determinantu:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Mēs saņēmām tieši tādu pašu plaknes vienādojumu: x + y + z − 2 = 0. Tātad, tas tiešām nav atkarīgs no rindu secības. Atliek pierakstīt atbildi.

Tātad, mēs esam redzējuši, ka plaknes vienādojums nav atkarīgs no līniju secības. Mēs varam veikt līdzīgus aprēķinus un pierādīt, ka plaknes vienādojums nav atkarīgs no punkta, kura koordinātas mēs atņemam no citiem punktiem.

Iepriekš apskatītajā uzdevumā mēs izmantojām punktu B 1 = (1, 0, 1), taču bija pilnīgi iespējams ņemt C = (1, 1, 0) vai D 1 = (0, 1, 1). Kopumā jebkurš punkts ar zināmām koordinātām atrodas vēlamajā plaknē.