Inženiertehniskais kalkulators tiešsaistē

Mēs steidzamies ikvienam iepazīstināt ar bezmaksas inženierijas kalkulatoru. Ar to jebkurš students var ātri un, pats galvenais, ērti veikt dažāda veida matemātiskos aprēķinus tiešsaistē.

Kalkulators ir ņemts no vietnes - web 2.0 zinātniskais kalkulators

Vienkāršs un ērti lietojams inženiertehniskais kalkulators ar neuzkrītošu un intuitīvu saskarni patiesi noderēs visplašākajam interneta lietotāju lokam. Tagad, kad jums ir nepieciešams kalkulators, dodieties uz mūsu vietni un izmantojiet bezmaksas inženierijas kalkulatoru.

Inženiertehniskais kalkulators var veikt gan vienkāršas aritmētiskas darbības, gan diezgan sarežģītus matemātiskos aprēķinus.

Web20calc ir inženierijas kalkulators, kuram ir milzīgs skaits funkciju, piemēram, kā aprēķināt visas elementārās funkcijas. Kalkulators atbalsta arī trigonometriskās funkcijas, matricas, logaritmus un pat diagrammu veidošanu.

Neapšaubāmi, Web20calc interesēs to cilvēku grupu, kas, meklējot vienkāršus risinājumus, meklētājprogrammās ieraksta vaicājumu: tiešsaistes matemātiskais kalkulators. Bezmaksas tīmekļa lietojumprogramma palīdzēs jums uzreiz aprēķināt jebkuras matemātiskas izteiksmes rezultātu, piemēram, atņemt, saskaitīt, dalīt, iegūt sakni, palielināt līdz pakāpei utt.

Izteiksmē var izmantot paaugstināšanas, saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas, procentuālās, PI konstantes darbības. Sarežģītiem aprēķiniem jāizmanto iekavas.

Inženiertehniskā kalkulatora īpašības:

1. aritmētiskās pamatoperācijas;
2. strādāt ar cipariem standarta formā;
3. trigonometrisko sakņu aprēķins, funkcijas, logaritmi, kāpināšana;
4. statistikas aprēķini: saskaitīšana, vidējā aritmētiskā vai standartnovirze;
5. atmiņas šūnas un 2 mainīgo lietotāja funkciju pielietojums;
6. darbs ar leņķiem radiānu un grādu mēros.

Inženiertehniskais kalkulators ļauj izmantot dažādas matemātiskas funkcijas:

Sakņu (kvadrātsaknes, kubiksaknes, kā arī n-tās pakāpes saknes) ekstrakcija;
ex (e līdz x jauda), eksponents;
trigonometriskās funkcijas: sine - sin, kosinuss - cos, tangenss - tan;
apgrieztās trigonometriskās funkcijas: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
hiperboliskās funkcijas: sine - sinh, kosinuss - cosh, tangenss - tanh;
logaritmi: divu bāzes binārais logaritms ir log2x, desmit bāzes desmit bāzes logaritms ir log, naturālais logaritms ir ln.

Šajā inženiertehniskajā kalkulatorā ir iekļauts arī lielumu kalkulators ar iespēju konvertēt fiziskos lielumus dažādām mērīšanas sistēmām – datora mērvienībām, attālumam, svaram, laikam utt. Izmantojot šo funkciju, jūs varat uzreiz pārvērst jūdzes kilometros, mārciņas kilogramos, sekundes stundās utt.

Lai veiktu matemātiskos aprēķinus, vispirms attiecīgajā laukā ievadiet matemātisko izteiksmju secību, pēc tam noklikšķiniet uz vienādības zīmes un skatiet rezultātu. Vērtības var ievadīt tieši no tastatūras (šim nolūkam kalkulatora apgabalam jābūt aktīvam, tāpēc būs lietderīgi ievietot kursoru ievades laukā). Cita starpā datus var ievadīt, izmantojot paša kalkulatora pogas.

Lai izveidotu grafikus ievades laukā, ierakstiet funkciju, kā norādīts piemēra laukā, vai izmantojiet īpaši šim nolūkam paredzēto rīkjoslu (lai to atvērtu, noklikšķiniet uz pogas ar ikonu diagrammas formā). Lai konvertētu vērtības, nospiediet Unit, lai strādātu ar matricām - Matrix.

Pirmais līmenis

Izteiksmes konvertēšana. Detalizēta teorija (2019)

Bieži mēs dzirdam šo nepatīkamo frāzi: "vienkāršojiet izteicienu." Parasti šajā gadījumā mums ir šāda veida briesmonis:

“Jā, daudz vieglāk,” mēs sakām, taču šāda atbilde parasti nedarbojas.

Tagad es iemācīšu jums nebaidīties no šādiem uzdevumiem.

Turklāt nodarbības beigās jūs pats vienkāršosit šo piemēru līdz (tikai!) parastam skaitlim (jā, pie velna ar šiem burtiem).

Bet pirms sākat šo nodarbību, jums tas ir jāspēj tikt galā ar frakcijām un faktorizēt polinomus.

Tāpēc, ja iepriekš neesat to izdarījis, noteikti apgūstiet tēmas "" un "".

Lasīt? Ja jā, tad esat gatavs.

Ejam! (Ejam!)

Svarīga piezīme!Ja formulu vietā redzat muļķības, iztīriet kešatmiņu. Lai to izdarītu, nospiediet taustiņu kombināciju CTRL+F5 (operētājsistēmā Windows) vai Cmd+R (operētājsistēmā Mac)

Izteiksmju vienkāršošanas pamatoperācijas

Tagad mēs analizēsim galvenos paņēmienus, kas tiek izmantoti izteiksmju vienkāršošanai.

Vienkāršākais no tiem ir

1. Atnest līdzīgu

Kas ir līdzīgi? Jūs to piedzīvojāt 7. klasē, kad matemātikā ciparu vietā parādījās burti.

Līdzīgi ir termini (monomiāli) ar vienu un to pašu burtu daļu.

Piemēram, summā līdzīgi termini ir un.

Atcerējās?

Atnesiet līdzīgus- nozīmē pievienot vairākus līdzīgus terminus un iegūt vienu terminu.

Bet kā mēs varam burtus apvienot? - tu jautā.

To ir ļoti viegli saprast, ja iedomājaties, ka burti ir kaut kādi objekti.

Piemēram, vēstule ir krēsls. Tad kāda ir izteiksme?

Divi krēsli plus trīs krēsli, cik tas maksās? Tieši tā, krēsli: .

Tagad izmēģiniet šo izteiksmi:

Lai neapjuktu, ļaujiet dažādiem burtiem apzīmēt dažādus objektus.

Piemēram, - tas ir (kā parasti) krēsls, un - tas ir galds.

krēsli galdi krēsli galdi krēsli krēsli galdi

Tiek saukti skaitļi, ar kuriem tiek reizināti burti šādos terminos koeficienti.

Piemēram, monomālā koeficients ir vienāds. Un viņš ir līdzvērtīgs.

Tātad, noteikums līdzīgu ienešanai:

Piemēri:

Atnesiet līdzīgus:

Atbildes:

2. (un ir līdzīgi, jo tāpēc šiem terminiem ir viena un tā pati burtu daļa).

2. Faktorizācija

Tas parasti ir vissvarīgākā daļa izteicienu vienkāršošanā.

Pēc tam, kad esat norādījis līdzīgus, visbiežāk ir nepieciešama iegūtā izteiksme faktorizēt, t.i., pārstāvēt kā produktu.

Īpaši šis svarīgi daļskaitļos: jo, lai samazinātu daļu, skaitītājs un saucējs ir jāizsaka kā reizinājums.

Jūs izpētījāt detalizētas faktoringa izteiksmju metodes tēmā "", tāpēc šeit jums vienkārši jāatceras, ko esat iemācījies.

Lai to izdarītu, atrisiniet dažus piemērus (jāveic faktorizēšana)

Piemēri:

Risinājumi:

3. Frakciju samazināšana.

Nu, kas var būt jaukāks, kā izsvītrot daļu skaitītāja un saucēja un izmest tos no savas dzīves?

Tas ir saīsinājuma skaistums.

Tas ir vienkārši:

Ja skaitītājs un saucējs satur vienādus faktorus, tos var samazināt, tas ir, izņemt no daļskaitļa.

Šis noteikums izriet no daļskaitļa pamatīpašības:

Tas ir, samazināšanas darbības būtība ir tāda Daļas skaitītāju un saucēju mēs dalām ar vienu un to pašu skaitli (vai ar to pašu izteiksmi).

Lai samazinātu daļu, jums ir nepieciešams:

1) skaitītājs un saucējs faktorizēt

2) ja skaitītājs un saucējs satur kopīgi faktori, tos var izdzēst.

Piemēri:

Princips, manuprāt, ir skaidrs?

Vēlos vērst jūsu uzmanību uz vienu tipisku saīsinājuma kļūdu. Lai gan šī tēma ir vienkārša, taču daudzi cilvēki visu dara nepareizi, to neapzinoties griezt- tas nozīmē sadalīt skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli.

Bez saīsinājumiem, ja skaitītājs vai saucējs ir summa.

Piemēram: jums ir jāvienkāršo.

Daži to dara: kas ir absolūti nepareizi.

Vēl viens piemērs: samaziniet.

"Gudrākais" darīs šādi:

Pastāsti man, kas šeit ir nepareizi? Šķiet: - tas ir reizinātājs, lai jūs varētu samazināt.

Bet nē: - tas ir tikai viena vārda faktors skaitītājā, bet pats skaitītājs kopumā nav sadalīts faktoros.

Šeit ir vēl viens piemērs: .

Šī izteiksme ir sadalīta faktoros, kas nozīmē, ka varat samazināt, tas ir, dalīt skaitītāju un saucēju ar un pēc tam ar:

Jūs varat nekavējoties sadalīt ar:

Lai izvairītos no šādām kļūdām, atcerieties vienkāršu veidu, kā noteikt, vai izteiksme ir ņemta vērā:

Aritmētiskā darbība, kas tiek veikta pēdējā, aprēķinot izteiksmes vērtību, ir "galvenā".

Tas ir, ja burtu vietā aizstājat dažus (jebkurus) ciparus un mēģināt aprēķināt izteiksmes vērtību, tad, ja pēdējā darbība ir reizināšana, tad mums ir reizinājums (izteiksme tiek sadalīta faktoros).

Ja pēdējā darbība ir saskaitīšana vai atņemšana, tas nozīmē, ka izteiksme netiek ņemta vērā (un tāpēc to nevar samazināt).

Lai to labotu pats, daži piemēri:

Piemēri:

Risinājumi:

1. Ceru, ka uzreiz nesteidzies griezt un? Joprojām nebija pietiekami, lai “samazinātu” šādas vienības:

Pirmais solis ir faktorizēšana:

4. Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Daļskaitļu apvienošana kopsaucējā.

Parasto daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana ir labi zināma darbība: mēs meklējam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām/atņemam skaitītājus.

Atcerēsimies:

Atbildes:

1. Saucēji un ir koprime, tas ir, tiem nav kopīgu faktoru. Tāpēc šo skaitļu LCM ir vienāds ar to reizinājumu. Šis būs kopsaucējs:

2. Šeit kopsaucējs ir:

3. Šeit, pirmkārt, jauktās frakcijas pārvēršam par nepareizām, un pēc tam - saskaņā ar parasto shēmu:

Cita lieta, ja daļās ir burti, piemēram:

Sāksim vienkārši:

a) saucēji nesatur burtus

Šeit viss ir tāpat kā ar parastajām skaitliskām daļām: mēs atrodam kopsaucēju, reiziniet katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām / atņemam skaitītājus:

tagad skaitītājā varat ievietot līdzīgus, ja tādi ir, un faktorēt tos:

Izmēģiniet to pats:

Atbildes:

b) saucēji satur burtus

Atcerēsimies principu atrast kopsaucēju bez burtiem:

Pirmkārt, mēs nosakām kopējos faktorus;

Tad mēs vienu reizi izrakstām visus kopīgos faktorus;

un reiziniet tos ar visiem citiem faktoriem, nevis parastajiem.

Lai noteiktu saucēju kopīgos faktorus, mēs vispirms tos sadalām vienkāršos faktoros:

Mēs uzsveram kopīgos faktorus:

Tagad mēs vienu reizi izrakstām kopējos faktorus un pievienojam tiem visus neparastos (nepasvītrotos) faktorus:

Tas ir kopsaucējs.

Atgriezīsimies pie burtiem. Saucēji tiek norādīti tieši tādā pašā veidā:

Mēs sadalām saucējus faktoros;

noteikt kopējos (identiskos) reizinātājus;

vienu reizi uzrakstiet visus kopīgos faktorus;

Mēs tos reizinām ar visiem citiem faktoriem, nevis parastajiem.

Tātad, secībā:

1) sadaliet saucējus faktoros:

2) nosaka kopējos (identiskos) faktorus:

3) vienu reizi uzrakstiet visus kopīgos faktorus un reiziniet tos ar visiem pārējiem (nepasvītrotajiem) faktoriem:

Tātad kopsaucējs ir šeit. Pirmā daļa jāreizina ar, otrā - ar:

Starp citu, ir viens triks:

Piemēram: .

Mēs redzam vienus un tos pašus faktorus saucējos, tikai visi ar dažādiem rādītājiem. Kopsaucējs būs:

tādā mērā

tādā mērā

tādā mērā

grādos.

Sarežģīsim uzdevumu:

Kā panākt, lai daļskaitļiem būtu vienāds saucējs?

Atcerēsimies daļskaitļa pamatīpašību:

Nekur nav teikts, ka vienu un to pašu skaitli var atņemt (vai saskaitīt) no daļskaitļa skaitītāja un saucēja. Jo tā nav taisnība!

Skatieties paši: ņemiet, piemēram, jebkuru daļskaitli un pievienojiet skaitītājam un saucējam kādu skaitli, piemēram, . Kas ir iemācījies?

Tātad, vēl viens nesatricināms noteikums:

Kad daļskaitļus apvienojat līdz kopsaucējam, izmantojiet tikai reizināšanas operāciju!

Bet kas jums ir jāreizina, lai iegūtu?

Šeit tālāk un reiziniet. Un reiziniet ar:

Izteiksmes, kuras nevar faktorizēt, sauks par "elementārajiem faktoriem".

Piemēram, ir elementārs faktors. - arī. Bet - nē: tas ir sadalīts faktoros.

Kā ar izteiksmi? Vai tas ir elementāri?

Nē, jo to var faktorizēt:

(par faktorizēšanu jūs jau lasījāt tēmā "").

Tātad elementārie faktori, kuros jūs sadalāt izteiksmi ar burtiem, ir analogi vienkāršiem faktoriem, kuros jūs sadalāt skaitļus. Un mēs ar viņiem darīsim to pašu.

Mēs redzam, ka abiem saucējiem ir faktors. Tas nonāks pie kopsaucēja varā (atceries, kāpēc?).

Reizinātājs ir elementārs, un viņiem tas nav kopīgs, kas nozīmē, ka pirmā daļa būs vienkārši jāreizina ar to:

Vēl viens piemērs:

Lēmums:

Pirms panikā reizināt šos saucējus, jums ir jādomā, kā tos faktorēt? Abi pārstāv:

labi! Pēc tam:

Vēl viens piemērs:

Lēmums:

Kā parasti, mēs faktorizējam saucējus. Pirmajā saucējā mēs to vienkārši izliekam iekavās; otrajā - kvadrātu atšķirība:

Šķiet, ka nav kopīgu faktoru. Bet, ja paskatās uzmanīgi, viņi jau ir tik līdzīgi ... Un patiesība ir tāda:

Tātad rakstīsim:

Tas ir, tas izrādījās šādi: iekavas iekšpusē mēs samainījām terminus, un tajā pašā laikā zīme daļskaitļa priekšā mainījās uz pretējo. Ņemiet vērā, ka jums tas būs jādara bieži.

Tagad mēs nonākam pie kopsaucēja:

Sapratu? Tagad pārbaudīsim.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Atbildes:

Šeit mums jāatceras vēl viena lieta - kubu atšķirība:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrās daļdaļas saucējs nesatur formulu "summas kvadrāts"! Summas kvadrāts izskatītos šādi:

A ir tā sauktais summas nepilnīgais kvadrāts: otrais vārds tajā ir pirmā un pēdējā reizinājums, nevis to dubultais reizinājums. Summas nepilnīgais kvadrāts ir viens no faktoriem, kas palielina kubu starpību:

Ko darīt, ja jau ir trīs frakcijas?

Jā, tas pats! Pirmkārt, pārliecināsimies, ka saucējos ir vienāds maksimālais faktoru skaits:

Pievērsiet uzmanību: ja maināt zīmes vienā iekavas iekšpusē, zīme daļskaitļa priekšā mainās uz pretējo. Mainot zīmes otrajā iekavā, zīme daļskaitļa priekšā atkal tiek apgriezta. Rezultātā viņš (zīme frakcijas priekšā) nav mainījies.

Pirmo saucēju pilnībā izrakstām kopsaucējā, un tad pievienojam tam visus vēl neuzrakstītos faktorus, sākot no otrā un pēc tam no trešā (un tā tālāk, ja ir vairāk daļskaitļu). Tas ir, tas notiek šādi:

Hmm... Ar daļskaitļiem ir skaidrs, ko darīt. Bet kā ir ar abiem?

Tas ir vienkārši: jūs zināt, kā pievienot daļskaitļus, vai ne? Tātad, jums ir jāpārliecinās, ka deuce kļūst par daļu! Atcerieties: daļskaitlis ir dalīšanas darbība (skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, ja pēkšņi esat aizmirsis). Un nav nekā vieglāk, kā dalīt skaitli ar. Šajā gadījumā pats skaitlis nemainīsies, bet pārvērtīsies par daļu:

Tieši tas, kas vajadzīgs!

5. Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Nu, grūtākā daļa tagad ir beigusies. Un mums priekšā ir visvienkāršākais, bet tajā pašā laikā vissvarīgākais:

Procedūra

Kāda ir skaitliskās izteiksmes aprēķināšanas procedūra? Atcerieties, ņemot vērā šādas izteiksmes vērtību:

Vai skaitījāt?

Tam vajadzētu strādāt.

Tātad, es jums atgādinu.

Pirmais solis ir aprēķināt grādu.

Otrais ir reizināšana un dalīšana. Ja vienlaikus ir vairākas reizināšanas un dalīšanas, varat tos veikt jebkurā secībā.

Visbeidzot, mēs veicam saskaitīšanu un atņemšanu. Atkal, jebkurā secībā.

Bet: iekavās ievietotā izteiksme tiek novērtēta nekārtīgi!

Ja vairākas iekavas tiek reizinātas vai dalītas savā starpā, vispirms mēs novērtējam izteiksmi katrā no iekavām un pēc tam tās reizinām vai sadalām.

Ko darīt, ja iekavās ir citas iekavas? Nu, padomāsim: iekavās ir ierakstīts kāds izteiciens. Kas ir pirmais, kas jādara, novērtējot izteiksmi? Tieši tā, aprēķiniet iekavas. Nu, mēs to izdomājām: vispirms mēs aprēķinām iekšējās iekavas, pēc tam visu pārējo.

Tātad darbību secība iepriekš norādītajai izteiksmei ir šāda (pašreizējā darbība ir iezīmēta sarkanā krāsā, tas ir, darbība, kuru es veicu šobrīd):

Labi, viss ir vienkārši.

Bet tas nav tas pats, kas izteiciens ar burtiem, vai ne?

Nē, tas ir tas pats! Tikai aritmētisko darbību vietā ir jāveic algebriskas darbības, tas ir, iepriekšējā sadaļā aprakstītās darbības: atnesot līdzīgu, frakciju pievienošana, frakciju samazināšana utt. Vienīgā atšķirība būs faktoringa polinomu darbība (mēs to bieži lietojam, strādājot ar daļām). Visbiežāk faktorizēšanai ir jāizmanto i vai vienkārši jāizņem no iekavām kopīgais faktors.

Parasti mūsu mērķis ir attēlot izteiksmi kā produktu vai koeficientu.

Piemēram:

Vienkāršosim izteicienu.

1) Vispirms mēs vienkāršojam izteiksmi iekavās. Šeit mums ir daļskaitļu atšķirība, un mūsu mērķis ir attēlot to kā reizinājumu vai koeficientu. Tātad, mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam un pievienojam:

Šo izteiksmi nav iespējams vēl vairāk vienkāršot, visi faktori šeit ir elementāri (vai jūs joprojām atceraties, ko tas nozīmē?).

2) Mēs iegūstam:

Daļskaitļu reizināšana: kas var būt vieglāk.

3) Tagad jūs varat saīsināt:

Tieši tā. Nekas sarežģīts, vai ne?

Vēl viens piemērs:

Vienkāršojiet izteiksmi.

Vispirms mēģiniet to atrisināt pats, un tikai tad skatieties risinājumu.

Lēmums:

Pirmkārt, definēsim procedūru.

Vispirms saskaitīsim iekavās esošās daļskaitļus, divu daļskaitļu vietā izrādīsies viena.

Tad mēs veiksim daļskaitļu dalīšanu. Nu, mēs pievienojam rezultātu ar pēdējo daļu.

Es shematiski numurēšu soļus:

Tagad es parādīšu visu procesu, tonējot pašreizējo darbību ar sarkanu:

Visbeidzot, es jums sniegšu divus noderīgus padomus:

1. Ja ir līdzīgas, tās nekavējoties jāatnes. Jebkurā brīdī, kad mums ir līdzīgi, ieteicams tos ņemt līdzi uzreiz.

2. Tas pats attiecas uz frakciju samazināšanu: tiklīdz rodas iespēja samazināt, tā ir jāizmanto. Izņēmums ir daļskaitļi, ko pievienojat vai atņemat: ja tām tagad ir vienādi saucēji, samazinājums jāatstāj vēlākam laikam.

Šeit ir daži uzdevumi, kas jums jāatrisina pašam:

Un apsolīja pašā sākumā:

Atbildes:

Risinājumi (īsi):

Ja jūs tikāt galā ar vismaz pirmajiem trim piemēriem, tad, ņemiet vērā, esat apguvis tēmu.

Tagad uz mācīšanos!

IZTEIKSMES KONVERSIJA. KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

Galvenās vienkāršošanas darbības:

• Atvedot līdzīgu: lai pievienotu (samazinātu) līdzīgus terminus, jāpievieno to koeficienti un jāpiešķir burta daļa.
• Faktorizācija: kopējā faktora izņemšana no iekavām, pielietošana utt.
• Frakciju samazināšana: daļskaitļa skaitītāju un saucēju var reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, no kura daļas vērtība nemainās.
  1) skaitītājs un saucējs faktorizēt
  2) ja skaitītājā un saucējā ir kopīgi faktori, tos var izsvītrot.

  SVARĪGI: samazināt var tikai reizinātājus!

• Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana:
  ;
• Daļskaitļu reizināšana un dalīšana:
  ;

1. piezīme

Loģisko funkciju var uzrakstīt, izmantojot loģisku izteiksmi, un pēc tam varat doties uz loģisko ķēdi. Ir nepieciešams vienkāršot loģiskās izteiksmes, lai iegūtu pēc iespējas vienkāršāku (tātad lētāku) loģisko shēmu. Faktiski loģiskā funkcija, loģiskā izteiksme un loģiskā ķēde ir trīs dažādas valodas, kas runā par vienu un to pašu vienību.

Lai vienkāršotu loģiskās izteiksmes, izmantojiet loģikas algebras likumi.

Dažas transformācijas ir līdzīgas formulu pārveidojumiem klasiskajā algebrā (kopējā faktora iekavās, izmantojot komutatīvos un asociatīvos likumus utt.), savukārt citas transformācijas ir balstītas uz īpašībām, kuru klasiskajām algebras operācijām nepiemīt (izmantojot sadalījuma likumu konjunkcijai, absorbcijas likumi, līmēšana, de Morgana likumi utt.).

Loģiskas algebras likumi ir formulēti loģisko pamatoperāciju veikšanai - "NOT" - inversija (noliegšana), "UN" - konjunkcija (loģiskā reizināšana) un "OR" - disjunkcija (loģiskā saskaitīšana).

Dubultās noliegšanas likums nozīmē, ka darbība "NOT" ir atgriezeniska: ja to pielietojat divas reizes, tad galu galā loģiskā vērtība nemainīsies.

Izslēgtā vidus likums nosaka, ka jebkura loģiskā izteiksme ir patiesa vai nepatiesa (“nav trešā”). Tāpēc, ja $A=1$, tad $\bar(A)=0$ (un otrādi), kas nozīmē, ka šo lielumu konjunkcija vienmēr ir vienāda ar nulli, bet disjunkcija ir vienāda ar vienu.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Vienkāršosim šo formulu:

3. attēls

Tas nozīmē, ka $ A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Atbilde: studenti $B$, $C$ un $D$ spēlē šahu, bet students $A$ nespēlē.

Vienkāršojot loģiskās izteiksmes, varat veikt šādu darbību secību:

1. Aizstāt visas “nepamata” darbības (ekvivalence, implikācija, ekskluzīvs VAI utt.) ar to izteiksmēm, izmantojot inversijas, konjunkcijas un disjunkcijas pamatoperācijas.
2. Paplašiniet sarežģītu izteiksmju inversijas saskaņā ar de Morgana noteikumiem tā, lai tikai atsevišķiem mainīgajiem būtu noliegšanas darbības.
3. Pēc tam vienkāršojiet izteiksmi, izmantojot iekavu izvēršanu, kopējo faktoru iekavās un citus loģikas algebras likumus.

2. piemērs

Šeit secīgi tiek lietots de Morgana likums, sadales likums, izslēgtā vidus likums, komutatīvais likums, atkārtošanās likums, atkal komutatīvais likums un absorbcijas likums.

Ar jebkuras valodas palīdzību jūs varat izteikt vienu un to pašu informāciju dažādos vārdos un frāzēs. Matemātiskā valoda nav izņēmums. Taču vienu un to pašu izteiksmi var līdzvērtīgi uzrakstīt dažādos veidos. Un dažās situācijās viens no ierakstiem ir vienkāršāks. Šajā nodarbībā mēs runāsim par izteicienu vienkāršošanu.

Cilvēki sazinās dažādās valodās. Mums svarīgs salīdzinājums ir pāris "krievu valoda - matemātiskā valoda". To pašu informāciju var sniegt dažādās valodās. Bet turklāt vienā valodā to var izrunāt atšķirīgi.

Piemēram: “Pēteris ir draugs ar Vasju”, “Vasja ir draugs ar Petju”, “Pēteris un Vasja ir draugi”. Saka savādāk, bet viens un tas pats. Izmantojot jebkuru no šīm frāzēm, mēs saprastu, kas ir uz spēles.

Apskatīsim šo frāzi: "Zēns Petja un zēns Vasja ir draugi." Mēs saprotam, kas ir uz spēles. Tomēr mums nepatīk, kā šī frāze izklausās. Vai mēs nevaram to vienkāršot, pateikt to pašu, bet vienkāršāk? "Zēns un zēns" - jūs varat teikt vienreiz: "Zēni Petja un Vasja ir draugi."

"Zēni" ... Vai pēc viņu vārdiem nav skaidrs, ka viņi nav meitenes. Mēs noņemam "zēnus": "Petja un Vasja ir draugi." Un vārdu "draugi" var aizstāt ar "draugiem": "Petja un Vasja ir draugi." Rezultātā pirmā, garā, neglītā frāze tika aizstāta ar līdzvērtīgu apgalvojumu, ko ir vieglāk pateikt un vieglāk saprast. Mēs esam vienkāršojuši šo frāzi. Vienkāršot nozīmē pateikt vieglāk, bet nezaudēt, nesagrozīt nozīmi.

Tas pats notiek matemātiskajā valodā. To pašu var teikt dažādi. Ko nozīmē izteiksmes vienkāršošana? Tas nozīmē, ka sākotnējai izteiksmei ir daudz līdzvērtīgu izteicienu, tas ir, tie, kas nozīmē vienu un to pašu. Un no visa šī daudzuma mums ir jāizvēlas visvienkāršākais, mūsuprāt, vai vispiemērotākais mūsu tālākajiem mērķiem.

Piemēram, apsveriet skaitlisku izteiksmi. Tas būs līdzvērtīgs .

Tas būs arī līdzvērtīgs pirmajiem diviem: .

Izrādās, ka mēs esam vienkāršojuši savus izteicienus un atraduši īsāko ekvivalentu izteiksmi.

Skaitliskām izteiksmēm jums vienmēr ir jādara viss darbs un līdzvērtīga izteiksme jāiegūst kā viens skaitlis.

Apsveriet burtiskas izteiksmes piemēru . Acīmredzot tas būs vienkāršāk.

Vienkāršojot burtiskās izteiksmes, jums jāveic visas iespējamās darbības.

Vai vienmēr ir jāvienkāršo izteiksme? Nē, dažreiz mums ērtāks būs līdzvērtīgs, bet garāks apzīmējums.

Piemērs: atņemiet skaitli no skaitļa.

Var aprēķināt, bet, ja pirmais skaitlis būtu attēlots ar tā ekvivalentu apzīmējumu: , tad aprēķini būtu momentāni: .

Tas ir, vienkāršota izteiksme mums ne vienmēr ir izdevīga turpmākiem aprēķiniem.

Tomēr ļoti bieži mēs saskaramies ar uzdevumu, kas izklausās tikai kā "vienkāršojiet izteiksmi".

Vienkāršojiet izteicienu: .

Lēmums

1) Veiciet darbības pirmajā un otrajā iekavā: .

2) Aprēķiniet produktus: .

Acīmredzot pēdējai izteiksmei ir vienkāršāka forma nekā sākotnējai. Mēs esam to vienkāršojuši.

Lai vienkāršotu izteiksmi, tas jāaizstāj ar ekvivalentu (vienāds).

Lai noteiktu līdzvērtīgu izteiksmi, jums ir:

1) veikt visas iespējamās darbības,

2) izmantot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas īpašības, lai vienkāršotu aprēķinus.

Saskaitīšanas un atņemšanas īpašības:

1. Saskaitīšanas komutatīva īpašība: summa nemainās no terminu pārkārtošanas.

2. Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā skaitļa summu.

3. Īpašība atņemt summu no skaitļa: lai atņemtu summu no skaitļa, jūs varat atņemt katru terminu atsevišķi.

Reizināšanas un dalīšanas īpašības

1. Reizināšanas komutatīvā īpašība: reizinājums nemainās no faktoru permutācijas.

2. Asociatīvā īpašība: lai reizinātu skaitli ar divu skaitļu reizinājumu, vispirms to var reizināt ar pirmo koeficientu un pēc tam iegūto reizinājumu ar otro koeficientu.

3. Reizināšanas sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, tas jāreizina ar katru vārdu atsevišķi.

Apskatīsim, kā mēs faktiski veicam garīgos aprēķinus.

Aprēķināt:

Lēmums

1) Iedomājieties, kā

2) Pirmo reizinātāju attēlosim kā bitu vārdu summu un veiksim reizināšanu:

3) varat iedomāties, kā un veikt reizināšanu:

4) Aizstāt pirmo koeficientu ar līdzvērtīgu summu:

Sadales likumu var izmantot arī pretējā virzienā: .

Veiciet tālāk norādītās darbības.

1) 2)

Lēmums

1) Ērtības labad varat izmantot sadales likumu, tikai izmantojiet to pretējā virzienā - izņemiet kopējo koeficientu no iekavām.

2) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām

Virtuvē un gaitenī nepieciešams iegādāties linoleju. Virtuves zona - gaitenis -. Ir trīs veidu linoleji: par un rubļi par. Cik maksās katrs no trim linoleja veidiem? (1. att.)

Rīsi. 1. Problēmas stāvokļa ilustrācija

Lēmums

1. metode. Varat atsevišķi noskaidrot, cik daudz naudas būs nepieciešams, lai virtuvē iegādātos linoleju, un pēc tam pievienot to gaitenī un saskaitīt iegūtos darbus.

1. § Literatūras izteiksmes vienkāršošanas jēdziens

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar jēdzienu “līdzīgi termini” un, izmantojot piemērus, uzzināsim, kā veikt līdzīgu terminu reducēšanu, tādējādi vienkāršojot burtiskus izteicienus.

Noskaidrosim jēdziena "vienkāršošana" nozīmi. Vārds "vienkāršošana" ir cēlies no vārda "vienkāršot". Vienkāršot nozīmē padarīt vienkāršu, vienkāršāku. Tāpēc burtiskas izteiksmes vienkāršošana nozīmē to saīsināt ar minimālu darbību skaitu.

Apsveriet izteiksmi 9x + 4x. Šī ir burtiska izteiksme, kas ir summa. Termini šeit tiek parādīti kā skaitļa un burta reizinājums. Šādu terminu skaitlisko koeficientu sauc par koeficientu. Šajā izteiksmē koeficienti būs skaitļi 9 un 4. Lūdzu, ņemiet vērā, ka reizinātājs, kas attēlots ar burtu, ir vienāds abos šīs summas terminos.

Atcerieties reizināšanas sadales likumu:

Lai reizinātu summu ar skaitli, katru terminu var reizināt ar šo skaitli un pievienot iegūtos reizinājumus.

Kopumā tas ir rakstīts šādi: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Šis likums ir spēkā abos virzienos ac + bc = (a + b) ∙ c

Pielietosim to mūsu burtiskajai izteiksmei: 9x un 4x reizinājumu summa ir vienāda ar reizinājumu, kura pirmais koeficients ir 9 un 4 summa, otrais koeficients ir x.

9 + 4 = 13 veido 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Trīs darbību vietā izteiksmē palika viena darbība - reizināšana. Tātad, mēs esam padarījuši savu burtisko izteiksmi vienkāršāku, t.i. to vienkāršoja.

§ 2 Līdzīgu terminu samazināšana

Termini 9x un 4x atšķiras tikai pēc to koeficientiem - šādus terminus sauc par līdzīgiem. Līdzīgu terminu burtu daļa ir vienāda. Līdzīgi termini ietver arī skaitļus un vienādus terminus.

Piemēram, izteiksmē 9a + 12 - 15 skaitļi 12 un -15 būs līdzīgi vārdi, bet skaitļu 12 un 6a reizinājumu summā skaitļi 14 un reizinājumi 12 un 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), vienādi termini, ko attēlo 12. un 6.a reizinājums.

Svarīgi atzīmēt, ka termini ar vienādiem koeficientiem un dažādiem burtiskiem faktoriem nav līdzīgi, lai gan dažreiz ir lietderīgi tiem piemērot sadales reizināšanas likumu, piemēram, 5x un 5y reizinājumu summa ir vienāda ar reizinājumu. no skaitļa 5 un x un y summas

5x + 5y = 5(x + y).

Vienkāršosim izteiksmi -9a + 15a - 4 + 10.

Šajā gadījumā termini -9a un 15a ir līdzīgi termini, jo tie atšķiras tikai pēc to koeficientiem. Viņiem ir vienāds burtu reizinātājs, un arī termini -4 un 10 ir līdzīgi, jo tie ir cipari. Mēs pievienojam līdzīgus terminus:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Mēs iegūstam: 6a + 6.

Vienkāršojot izteiksmi, mēs atradām līdzīgu terminu summas, matemātikā to sauc par līdzīgu terminu samazināšanu.

Ja šādu terminu ieviešana ir sarežģīta, varat izdomāt tiem vārdus un pievienot objektus.

Piemēram, apsveriet izteicienu:

Katram burtam ņemam savu objektu: b-ābols, c-bumbieris, tad sanāks: 2 āboli mīnus 5 bumbieri plus 8 bumbieri.

Vai no āboliem var atņemt bumbierus? Protams, nē. Bet mīnus 5 bumbieriem varam pievienot 8 bumbierus.

Mēs dodam līdzīgus terminus -5 bumbieri + 8 bumbieri. Līdzīgiem terminiem ir viena un tā pati burtiskā daļa, tāpēc, samazinot līdzīgus vārdus, pietiek ar koeficientu pievienošanu un burtiskās daļas pievienošanu rezultātam:

(-5 + 8) bumbieri - sanāk 3 bumbieri.

Atgriežoties pie mūsu burtiskās izteiksmes, mums ir -5s + 8s = 3s. Tādējādi pēc līdzīgu terminu samazināšanas iegūstam izteiksmi 2b + 3c.

Tātad šajā nodarbībā jūs iepazināties ar jēdzienu "līdzīgi termini" un uzzinājāt, kā vienkāršot burtiskus izteicienus, apvienojot līdzīgus terminus.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Matemātika. 6. klase: stundu plāni mācību grāmatai I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičs // autors-sastādītājs L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovičs.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm / G.V. Dorofejevs, I.F. Šarigins, S.B. Suvorovs un citi / rediģēja G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygin; Krievijas Zinātņu akadēmija, Krievijas Izglītības akadēmija. M.: "Apgaismība", 2010. gads.
4. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm / N.Ya. Viļenkins, V.I. Žohovs, A.S. Česnokovs, S.I. Švarcburds. – M.: Mnemozina, 2013. gads.
5. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata / G.K. Muravins, O.V. Ant. – M.: Bustards, 2014.

Izmantotie attēli: