Jebkurā valodā var izteikt vienu un to pašu informāciju dažādi vārdi un apgrozījumu. Matemātiskā valoda nav izņēmums. Taču vienu un to pašu izteiksmi var līdzvērtīgi uzrakstīt dažādos veidos. Un dažās situācijās viens no ierakstiem ir vienkāršāks. Šajā nodarbībā mēs runāsim par izteicienu vienkāršošanu.

Cilvēki sazinās tālāk dažādas valodas. Mums svarīgs salīdzinājums ir pāris "krievu valoda - matemātiskā valoda". To pašu informāciju var sniegt dažādās valodās. Bet turklāt vienā valodā to var izrunāt atšķirīgi.

Piemēram: “Pēteris ir draugs ar Vasju”, “Vasja ir draugs ar Petju”, “Pēteris un Vasja ir draugi”. Saka savādāk, bet viens un tas pats. Izmantojot jebkuru no šīm frāzēm, mēs saprastu, kas ir uz spēles.

Apskatīsim šo frāzi: "Zēns Petja un zēns Vasja ir draugi." Mēs saprotam, ko jautājumā. Tomēr mums nepatīk, kā šī frāze izklausās. Vai mēs nevaram to vienkāršot, pateikt to pašu, bet vienkāršāk? "Zēns un zēns" - jūs varat teikt vienreiz: "Zēni Petja un Vasja ir draugi."

"Zēni" ... Vai pēc viņu vārdiem nav skaidrs, ka viņi nav meitenes. Mēs noņemam "zēnus": "Petja un Vasja ir draugi." Un vārdu "draugi" var aizstāt ar "draugiem": "Petja un Vasja ir draugi." Rezultātā pirmā, garā, neglītā frāze tika aizstāta ar līdzvērtīgu apgalvojumu, ko ir vieglāk pateikt un vieglāk saprast. Mēs esam vienkāršojuši šo frāzi. Vienkāršot nozīmē pateikt vieglāk, bet nezaudēt, nesagrozīt nozīmi.

Tas pats notiek matemātiskajā valodā. To pašu var teikt dažādi. Ko nozīmē izteiksmes vienkāršošana? Tas nozīmē, ka sākotnējai izteiksmei ir daudz līdzvērtīgu izteicienu, tas ir, tie, kas nozīmē vienu un to pašu. Un no visa šī daudzuma mums ir jāizvēlas visvienkāršākais, mūsuprāt, vai vispiemērotākais mūsu tālākajiem mērķiem.

Piemēram, apsveriet skaitlisku izteiksmi. Tas būs līdzvērtīgs .

Tas būs arī līdzvērtīgs pirmajiem diviem: .

Izrādās, ka mēs esam vienkāršojuši savus izteicienus un atraduši īsāko ekvivalentu izteiksmi.

Skaitliskām izteiksmēm jums vienmēr ir jādara viss darbs un līdzvērtīga izteiksme jāiegūst kā viens skaitlis.

Apsveriet burtiskas izteiksmes piemēru . Acīmredzot tas būs vienkāršāk.

Vienkāršojot burtiskās izteiksmes, jums jāveic visas iespējamās darbības.

Vai vienmēr ir jāvienkāršo izteiksme? Nē, dažreiz mums ērtāks būs līdzvērtīgs, bet garāks apzīmējums.

Piemērs: atņemiet skaitli no skaitļa.

Var aprēķināt, bet, ja pirmais skaitlis būtu attēlots ar tā ekvivalentu apzīmējumu: , tad aprēķini būtu momentāni: .

Tas ir, vienkāršota izteiksme mums ne vienmēr ir izdevīga turpmākiem aprēķiniem.

Tomēr ļoti bieži mēs saskaramies ar uzdevumu, kas izklausās tikai kā "vienkāršojiet izteiksmi".

Vienkāršojiet izteicienu: .

Lēmums

1) Veiciet darbības pirmajā un otrajā iekavā: .

2) Aprēķiniet produktus: .

Acīmredzot pēdējai izteiksmei ir vienkāršāka forma nekā sākotnējai. Mēs esam to vienkāršojuši.

Lai vienkāršotu izteiksmi, tas jāaizstāj ar ekvivalentu (vienāds).

Lai noteiktu līdzvērtīgu izteiksmi, jums ir:

1) veikt visas iespējamās darbības,

2) izmantot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas īpašības, lai vienkāršotu aprēķinus.

Saskaitīšanas un atņemšanas īpašības:

1. Saskaitīšanas komutatīva īpašība: summa nemainās no terminu pārkārtošanas.

2. Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā skaitļa summu.

3. Īpašība atņemt summu no skaitļa: lai atņemtu summu no skaitļa, jūs varat atņemt katru terminu atsevišķi.

Reizināšanas un dalīšanas īpašības

1. Reizināšanas komutatīvā īpašība: reizinājums nemainās no faktoru permutācijas.

2. Asociatīvā īpašība: lai reizinātu skaitli ar divu skaitļu reizinājumu, vispirms to var reizināt ar pirmo koeficientu un pēc tam iegūto reizinājumu ar otro koeficientu.

3. Reizināšanas sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, tas jāreizina ar katru vārdu atsevišķi.

Apskatīsim, kā mēs faktiski veicam garīgos aprēķinus.

Aprēķināt:

Lēmums

1) Iedomājieties, kā

2) Pirmo faktoru attēlosim kā summu bitu termini un veiciet reizināšanu:

3) varat iedomāties, kā un veikt reizināšanu:

4) Aizstāt pirmo koeficientu ar līdzvērtīgu summu:

Sadales likumu var izmantot arī pretējā virzienā: .

Veiciet tālāk norādītās darbības.

1) 2)

Lēmums

1) Ērtības labad varat izmantot izplatīšanas likumu, tikai izmantojiet to pretējā virzienā - izņemiet kopējo koeficientu no iekavām.

2) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām

Virtuvē un gaitenī nepieciešams iegādāties linoleju. Virtuves zona - gaitenis -. Ir trīs veidu linoleji: par un rubļi par. Cik maksās katrs no trim linoleja veidiem? (1. att.)

Rīsi. 1. Problēmas stāvokļa ilustrācija

Lēmums

1. metode. Varat atsevišķi noskaidrot, cik daudz naudas būs nepieciešams, lai virtuvē iegādātos linoleju, un pēc tam pievienot to gaitenī un saskaitīt iegūtos darbus.

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija

Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju pārveidošanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp jaudas izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas, samazinot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim pārvērtības, kas raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot pakāpju īpašības utt.

Lapas navigācija.

Kas ir spēka izteiksmes?

Termins "spēka izteiksmes" praktiski nav atrodams skolu matemātikas mācību grāmatās, bet tas bieži parādās uzdevumu krājumos, kas īpaši paredzēti, lai sagatavotos, piemēram, vienotajam valsts eksāmenam un OGE. Izanalizējot uzdevumus, kuros jāveic jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kuru ierakstos ir pakāpes. Tāpēc jūs varat izmantot šādu definīciju:

Definīcija.

Spēka izpausmes ir izteicieni, kas satur spēkus.

Atvedīsim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos parādīsim atbilstoši tam, kā uzskati attīstās no pakāpes ar dabisku rādītāju līdz pakāpei ar reālu rādītāju.

Kā zināms, vispirms notiek iepazīšanās ar skaitļa pakāpi ar naturālo eksponentu, šajā posmā pirmās vienkāršākās pakāpju izteiksmes tipam 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās pakāpes izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

Vecākajās klasēs atkal atgriežas pie grādiem. Ir ieviests grāds ar racionāls rādītājs, kas noved pie atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanās: , , utt. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .

Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām jaudas izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un ir, piemēram, tādas izteiksmes 2 x 2 +1 vai . Un pēc iepazīšanās sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2 lgx −5 x lgx.

Tātad, mēs izdomājām jautājumu par to, kas ir spēka izteiksmes. Tālāk mēs uzzināsim, kā tos pārveidot.

Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi

Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, varat izvērst iekavas, aizstāt skaitliskās izteiksmes ar to vērtībām, pievienot līdzīgus terminus un tā tālāk. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .

Lēmums.

Atbilstoši darbību secībai mēs vispirms veicam darbības iekavās. Tur, pirmkārt, 4 2 jaudu aizstājam ar tā vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4 . Mums ir 2 3 (4 2–12) = 2 3 (16–12) = 2 34.

Iegūtajā izteiksmē 2 3 jaudu aizstājam ar tā vērtību 8 , pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32 . Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Atbilde:

2 3 (4 2–12) = 32 .

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmes 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lēmums.

Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3 · a 4 · b − 7 un 2 · a 4 · b − 7 , un mēs varam tos samazināt: .

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.

Lēmums.

Lai tiktu galā ar uzdevumu, var attēlot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantot samazināto reizināšanas formulu, kvadrātu starpību:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas raksturīgas spēka izteiksmēm. Tālāk mēs tos analizēsim.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Ir grādi, kuru pamatā un/vai rādītājā nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru rakstīsim (2+0.3 7) 5−3.7 un (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Strādājot ar līdzīgām izteiksmēm, gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi eksponentā var aizstāt identiski vienlīdzīga izteiksme uz tā mainīgo lielumu ODZ. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi konvertēt grāda bāzi un atsevišķi - rādītāju. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiek iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.

Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums vajadzīgos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu ievietošanas pakāpes bāzē (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) mēs iegūstam jaudas izteiksmi vairāk vienkārša forma a 2 (x+1) .

Jaudas īpašību izmantošana

Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b un patvaļīgiem reāli skaitļi r un s ir šādas pilnvaru īpašības:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, priekš naturālie skaitļi m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajiem a , bet arī negatīvajiem, un a=0 .

Skolā galvenā uzmanība spēka izpausmju transformācijā ir vērsta tieši uz spēju izvēlēties piemērots īpašums un piemērot to pareizi. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot īpašības grādu. Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams pielietot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt ODZ sašaurināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot grādu īpašības. Šeit mēs aprobežojamies ar dažiem vienkāršiem piemēriem.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a .

Lēmums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) -3 ar īpašību palielināt jaudu par jaudu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Šajā gadījumā sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5 . Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Atbilde:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Jaudas īpašības tiek izmantotas, pārveidojot jaudas izteiksmes gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.

Lēmums.

Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas reizinājumu un tālāk. Un, reizinot pilnvaras ar tādi paši pamatojumi Rādītāji summējas: .

Sākotnējās izteiksmes transformāciju bija iespējams veikt citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ja jaudas izteiksme a 1,5 −a 0,5 −6 , ievadiet jaunu mainīgo t=a 0,5 .

Lēmums.

Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un tālāk, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpē (a r) s =a r s, kas piemērota no labās uz kreiso pusi, pārvērst to formā (a 0,5) 3 . Tādējādi a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0.5 , iegūstam t 3 −t−6 .

Atbilde:

t 3 −t−6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Pakāpju izteiksmes var saturēt daļskaitļus ar pakāpēm vai attēlot šādas daļas. Jebkurš pamata daļskaitļu pārveidojums, kas ir raksturīgs jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojams šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur grādus, var samazināt, reducēt līdz jaunam saucējam, strādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu iepriekš minētos vārdus, apsveriet vairāku piemēru risinājumus.

Piemērs.

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi .

Lēmums.

Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā atveram iekavas un vienkāršojam pēc tam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā uzrāda līdzīgus terminus:

Un mēs arī mainām saucēja zīmi, ieliekot mīnusu daļskaitļa priekšā: .

Atbilde:

.

Daļskaitļu saturošo pakāpju samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā samazināšana uz jaunu saucēju racionālās daļas. Tajā pašā laikā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļas skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt DPV sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nepazustu nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

Piemērs.

Pārnes daļskaitļus uz jaunu saucēju: a) uz saucēju a, b) uz saucēju.

Lēmums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kāds papildu faktors palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Šis ir reizinātājs a 0,3, jo a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieņemamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) pakāpe a 0,3 nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotās daļskaitļa skaitītāju un saucēju. ar šo papildu faktoru:

b) Uzmanīgāk aplūkojot saucēju, mēs atklājam, ka

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, uz kuru mums ir jāatved sākotnējā daļa.

Tātad mēs atradām papildu faktoru. Izteiksme nepazūd mainīgo x un y pieņemamo vērtību diapazonā, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:

Atbilde:

a) , b) .

Arī pakāpes saturošo daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēlots kā noteikts faktoru skaits, un tiek samazināti vieni un tie paši skaitītāja un saucēja faktori.

Piemērs.

Samaziniet daļu: a) , b).

Lēmums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Tāpat, protams, jūs varat samazināt par x 0,5 +1 un par . Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā tie paši faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, ir jāveic iepriekšējas transformācijas. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja sadalīšanas faktoros pēc kvadrātu atšķirības formulas:

Atbilde:

a)

b) .

Daļskaitļu samazināšanu līdz jaunam saucējam un daļskaitļu samazināšanu galvenokārt izmanto, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmiem noteikumiem. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tie tiek reducēti līdz kopsaucējam, pēc tam tiek pievienoti (atņemti) skaitītāji, un saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar tās apgriezto vērtību.

Piemērs.

Izpildiet norādītās darbības .

Lēmums.

Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir , pēc tam atņemiet skaitītājus:

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

Acīmredzot ir iespējams samazinājums par jaudu x 1/2, pēc kura mums ir .

Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi .

Lēmums.

Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu . Skaidrs, ka ar x pakāpēm ir jādara vēl kaut kas. Lai to izdarītu, mēs pārvēršam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot spēku dalīšanas īpašību ar vienādām bāzēm: . Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.

Atbilde:

.

Un mēs piebilstam, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .

Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pakāpēm

Bieži vien izteiksmēs, kurās ir nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar grādiem ar daļskaitļa eksponentiem, ir arī saknes. Lai pārvērstu šādu izteiksmi par pareizais veids, vairumā gadījumu pietiek iet tikai pie saknēm vai tikai pie spējām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar grādiem, tie parasti pārvietojas no saknēm uz grādiem. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar grādiem bez nepieciešamības piekļūt modulim vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām pants, pāreja no saknēm uz pakāpēm un otrādi Pēc iepazīšanās ar grādu ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālo rādītāju, kas ļauj runāt par pakāpi ar patvaļīgu reālo rādītāju.Šajā posmā skola sāk mācīties eksponenciālā funkcija , ko analītiski dod grāds, uz kura pamata ir skaitlis, un rādītājā - mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar eksponenciālām izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpes bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.

Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi un eksponenciālās nevienlīdzības , un šīs pārvērtības ir pavisam vienkāršas. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un galvenokārt ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirmkārt, eksponenti, kuru eksponentos tiek atrasta kāda mainīgā lieluma (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tālāk abas vienādības daļas tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x , kas ņem tikai pozitīvas vērtības no mainīgā x ODZ sākotnējam vienādojumam (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs neesam runājot par to tagad, tāpēc koncentrējieties uz turpmākajām izteicienu transformācijām ar pilnvarām ):

Tagad tiek atceltas daļas ar pakāpēm, kas dod .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kas noved pie vienādojuma , kas ir līdzvērtīgs . Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam

I. V. Boikovs, L. D. Romanova Uzdevumu krājums, lai sagatavotos eksāmenam. 1. daļa. Penza 2003. gads.

Algebrisko izteiksmi, kuras ierakstā kopā ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operācijām izmanto arī dalīšanu burtiskās izteiksmēs, sauc par daļēju algebrisko izteiksmi. Tādi ir, piemēram, izteicieni

Par algebrisko daļu saucam algebrisku izteiksmi, kurai ir divu veselu algebrisko izteiksmju (piemēram, monomālu vai polinomu) dalījuma koeficients. Tādi ir, piemēram, izteicieni

trešais no izteicieniem).

Daļējo algebrisko izteiksmju identitātes transformācijas lielākoties ir paredzētas, lai tās attēlotu formā algebriskā daļa. Lai atrastu kopsaucēju, tiek izmantota daļskaitļu saucēju faktorizācija - termini, lai atrastu to mazāko kopīgo daudzkārtni. Samazinot algebriskās daļas, var tikt pārkāpta izteiksmju stingra identitāte: ir jāizslēdz lielumu vērtības, pie kurām izzūd faktors, ar kuru tiek veikts samazinājums.

Sniegsim daļskaitļu algebrisko izteiksmju identisku transformāciju piemērus.

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi

Visus terminus var reducēt līdz kopsaucējam (ir ērti mainīt zīmi pēdējā vārda saucējā un zīmi tā priekšā):

Mūsu izteiksme ir vienāda ar vienu visām vērtībām, izņemot šīs vērtības, tā nav definēta un frakciju samazināšana ir nelikumīga).

Piemērs 2. Attēlojiet izteiksmi kā algebrisku daļu

Lēmums. Izteicienu var uzskatīt par kopsaucēju. Mēs secīgi atrodam:

Vingrinājumi

1. Atrodiet algebrisko izteiksmju vērtības norādītajām parametru vērtībām:

2. Faktorizēt.

Matemātikas kalkulators tiešsaistē v.1.0

Kalkulators veic šādas darbības: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, strādāšanu ar decimāldaļām, saknes izvilkšanu, paaugstināšanu līdz pakāpei, procentu aprēķināšanu un citas darbības.

Lēmums:

Kā lietot matemātikas kalkulatoru

Atslēga	Apzīmējums	Paskaidrojums
5	cipari 0-9	Arābu cipari. Ievadiet naturālus veselus skaitļus, nulli. Lai iegūtu negatīvu veselu skaitli, nospiediet taustiņu +/-
.	semikolu)	Decimāldaļas atdalītājs. Ja pirms punkta (komata) nav cipara, kalkulators pirms punkta automātiski aizstās ar nulli. Piemēram: tiks rakstīts .5 - 0,5
+	plus zīme	Skaitļu saskaitīšana (veseli, decimāldaļskaitļi)
-	mīnusa zīme	Skaitļu atņemšana (veseli, decimāldaļskaitļi)
÷	sadalījuma zīme	Skaitļu dalīšana (veseli, decimāldaļskaitļi)
X	reizināšanas zīme	Skaitļu reizināšana (veseli skaitļi, decimāldaļas)
√	sakne	Saknes izvilkšana no skaitļa. Nospiežot pogu "sakne" vēlreiz, sakne tiek aprēķināta no rezultāta. Piemēram: kvadrātsakne no 16 = 4; kvadrātsakne no 4 = 2
x2	kvadrātveida	Skaitļa kvadrāts. Vēlreiz nospiežot pogu "Kvadrātvērtība", rezultāts ir kvadrātā.Piemēram: kvadrāts 2 = 4; kvadrāts 4 = 16
1/x	frakcija	Izvade decimāldaļās. Skaitītājā 1, saucējā ievada skaitlis
%	procentiem	Iegūstiet skaitļa procentus. Lai strādātu, jāievada: skaitlis, no kura tiks aprēķināts procents, zīme (plus, mīnus, dalīt, reizināt), cik procentu skaitliskā formā, poga "%"
(	atveriet kronšteinu	Atvērtas iekavas, lai iestatītu vērtēšanas prioritāti. Nepieciešamas slēgtās iekavas. Piemērs: (2+3)*2=10
)	slēgta kronšteina	Slēgta iekava, lai iestatītu vērtēšanas prioritāti. Nepieciešama pieejamība atveriet kronšteinu
±	plus mīnuss	Maina zīmi uz pretējo
=	vienāds	Parāda risinājuma rezultātu. Tāpat virs kalkulatora laukā "Risinājums" tiek parādīti starpaprēķini un rezultāts.
←	rakstzīmes dzēšana	Dzēš pēdējo rakstzīmi
Ar	atiestatīt	Atiestatīšanas poga. Pilnībā atiestata kalkulatoru uz "0"

Tiešsaistes kalkulatora algoritms ar piemēriem

Papildinājums.

Veselu naturālu skaitļu saskaitīšana ( 5 + 7 = 12 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu saskaitīšana ( 5 + (-2) = 3 )

Decimāldaļa saskaitīšana daļskaitļi { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Atņemšana.

Veselu naturālu skaitļu atņemšana ( 7 - 5 = 2 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu atņemšana ( 5 - ( -2) = 7 )

Decimāldaļu daļskaitļu atņemšana ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Reizināšana.

Veselu naturālu skaitļu reizinājums ( 3 * 7 = 21 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu reizinājums ( 5 * (-3) = -15 )

Decimāldaļskaitļu reizinājums ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divīzija.

Veselu naturālu skaitļu dalījums ( 27/3 = 9 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu dalījums ( 15 / (-3) = -5 )

Decimāldaļu daļskaitļu dalīšana ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Saknes izvilkšana no skaitļa.

Vesela skaitļa saknes izvilkšana ( sakne(9) = 3)

Decimāldaļu saknes izvilkšana ( sakne(2.5) = 1.58)

Saknes izņemšana no skaitļu summas ( sakne(56 + 25) = 9)

Skaitļu starpības saknes iegūšana ( sakne (32–7) = 5)

Skaitļa kvadrāts.

Vesela skaitļa kvadrāts ( (3) 2 = 9 )

Kvadrātzīmes aiz komata ( (2.2) 2 = 4,84 )

Pārvērst par decimāldaļskaitļiem.

Skaitļa procentuālās daļas aprēķināšana

Palielināt 230 par 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Samaziniet skaitli 510 par 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18% no skaitļa 140 ir ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Ērti un vienkārši tiešsaistes kalkulators frakcijas ar detalizētu risinājumu var būt:

• Saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt frakcijas tiešsaistē,
• Saņemt pabeigts risinājums frakcijas ar attēlu un ir ērti to pārsūtīt.



Daļskaitļu risināšanas rezultāts būs šeit ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Daļas zīme "/" + - * :
_wipe Notīrīt
Mūsu tiešsaistes frakciju kalkulatoram ir ātra ievade. Piemēram, lai iegūtu daļskaitļu atrisinājumu, vienkārši rakstiet 1/2+2/7 kalkulatorā un nospiediet " atrisināt daļskaitļus". Kalkulators jums uzrakstīs detalizēts risinājums frakcijas un izdot kopēšanai draudzīgs attēls.

Kalkulatorā rakstīšanai izmantotās rakstzīmes

Risinājuma piemēru var ierakstīt gan no tastatūras, gan izmantojot pogas.

Tiešsaistes frakciju kalkulatora funkcijas

Daļskaitļu kalkulators var veikt darbības tikai ar 2 vienkāršām daļām. Tie var būt pareizi (skaitītājs ir mazāks par saucēju) vai nepareizi (skaitītājs ir lielāks par saucēju). Skaitītājā un saucējos esošie skaitļi nedrīkst būt negatīvi un lielāki par 999.
Mūsu tiešsaistes kalkulators atrisina daļskaitļus un sniedz atbildi uz pareiza forma- samazina daļu un izceļ visu daļu, ja nepieciešams.

Ja jums ir jāatrisina negatīvās daļas, vienkārši izmantojiet mīnus īpašības. Reizinot un dalot negatīvās daļas, mīnus ar mīnusu dod plusu. Tas ir, negatīvo daļu reizinājums un dalījums ir vienāds ar to pašu pozitīvo daļu reizinājumu un dalījumu. Ja viena daļa ir negatīva, reizinot vai dalot, vienkārši noņemiet mīnusu un pievienojiet to atbildei. Pievienojot negatīvās daļskaitļus, rezultāts būs tāds pats kā tad, ja pievienotu tās pašas pozitīvās daļas. Ja pievienojat vienu negatīvu daļskaitli, tas ir tas pats, kas atņemt to pašu pozitīvo daļu.
Atņemot negatīvās daļas, rezultāts būs tāds pats kā tad, ja tās būtu apgrieztas un padarītas pozitīvas. Tas ir, mīnuss ar mīnusu šajā gadījumā dod plusu, un summa nemainās no nosacījumu pārkārtošanas. Mēs izmantojam tos pašus noteikumus, atņemot daļskaitļus, no kuriem viens ir negatīvs.

Lai atrisinātu jauktās daļas (frakcijas, kurās ir izcelta visa daļa), vienkārši sadaliet visu daļu daļā. Lai to izdarītu, reiziniet veselo skaitļu daļu ar saucēju un pievienojiet skaitītājam.

Ja jums tiešsaistē jāatrisina 3 vai vairāk daļskaitļi, tie ir jāatrisina pa vienam. Vispirms saskaitiet pirmās 2 daļas, pēc tam ar saņemto atbildi atrisiniet nākamo daļskaitli utt. Veiciet darbības pēc kārtas 2 daļdaļām, un beigās jūs saņemsiet pareizo atbildi.