Grafikas stūra punkts. Funkcijas grafika pieskare punktā

Darba veids: 7

Stāvoklis

Taisne y=3x+2 ir pieskares funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir mazāka par nulli.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Lai x_0 ir funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafika punkta abscisa, caur kuru iet šī grafika pieskare.

Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, ti, y"(x_0)=-24x_0+b=3. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan tangenss, ti -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gadījumi)

Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir mazāki par nulli, tāpēc x_0=-1, tad b=3+24x_0=-21.

Atbilde

Darba veids: 7
Temats: ģeometriskā sajūta atvasinājums. Funkcijas grafika pieskare

Stāvoklis

Taisne y=-3x+4 ir paralēla funkcijas y=-x^2+5x-7 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Taisnes slīpums līdz funkcijas y=-x^2+5x-7 grafikam patvaļīgā punktā x_0 ir y"(x_0). Bet y"=-2x+5, tātad y"(x_0)=- 2x_0+5. Leņķiskais nosacījumā norādītais taisnes y=-3x+4 koeficients ir -3.Paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi.Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka =-2x_0 +5=-3.

Mēs iegūstam: x_0 = 4.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare

Stāvoklis

Rādīt risinājumu

Risinājums

No attēla mēs nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(-6; 2) un B(-1; 1). Ar C(-6; 1) apzīmē taisnes x=-6 un y=1 krustošanās punktu, bet ar \alpha leņķi ABC (attēlā redzams, ka tas ir ass). Tad taisne AB veido neasu leņķi \pi -\alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.

Kā zināms, tg(\pi -\alpha) būs funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība punktā x_0. ievērojiet, tas tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. No šejienes, izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare

Stāvoklis

Taisne y=-2x-4 ir pieskares funkcijas y=16x^2+bx+12 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir lielāka par nulli.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Lai x_0 ir funkcijas y=16x^2+bx+12 diagrammas punkta abscisa, caur kuru

ir pieskares šim grafikam.

Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, ti, y "(x_0)=32x_0+b=-2. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan pieskares, ti, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(gadījumi)

Atrisinot sistēmu, iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1 vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir lielāki par nulli, tāpēc x_0=1, tad b=-2-32x_0=-34.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare

Stāvoklis

Attēlā parādīts intervālā (-2; 8) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet punktu skaitu, kur funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei y=6.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Līnija y=6 ir paralēla Ox asij. Tāpēc mēs atrodam tādus punktus, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Šajā diagrammā šādi punkti ir ekstremālie punkti (maksimālie vai minimālie punkti). Kā redzat, ir 4 galējie punkti.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare

Stāvoklis

Taisne y=4x-6 ir paralēla funkcijas y=x^2-4x+9 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Funkcijas y \u003d x ^ 2-4x + 9 grafika pieskares slīpums patvaļīgā punktā x_0 ir y "(x_0). Bet y" \u003d 2x-4, kas nozīmē y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Nosacījumā norādītās pieskares y \u003d 4x-7 slīpums ir vienāds ar 4. Paralēlajām līnijām ir vienādi slīpumi. Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka 2x_0-4 \u003d 4. Iegūstam : x_0 \u003d 4.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare

Stāvoklis

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x_0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x_0.

Rādīt risinājumu

Risinājums

No attēla nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(1; 1) un B(5; 4). Ar C(5; 1) apzīmē taisnes x=5 un y=1 krustpunktu, bet ar \alpha leņķi BAC (attēlā redzams, ka tas ir akūts). Tad līnija AB veido leņķi \alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.

Šajā rakstā mēs analizēsim visu veidu problēmas, lai tās atrastu

Atcerēsimies atvasinājuma ģeometriskā nozīme: ja funkcijas grafikam punktā ir uzzīmēta tangensa, tad pieskares slīpums (vienāds ar leņķa pieskari starp pieskares un ass pozitīvo virzienu) ir vienāds ar funkcijas atvasinājumu punktā jēga .

Paņemiet patvaļīgu punktu pieskarei ar koordinātām:

Un apsveriet taisnleņķa trīsstūri:

Šajā trīsstūrī

No šejienes

Šis ir pieskares vienādojums, kas pievilkts funkcijas grafikam punktā.

Lai uzrakstītu pieskares vienādojumu, mums ir jāzina tikai funkcijas vienādojums un punkts, kur pieskares novilkta. Tad mēs varam atrast un .

Ir trīs galvenie tangenšu vienādojumu problēmu veidi.

1. Dots kontaktpunkts

2. Dots pieskares slīpuma koeficients, tas ir, funkcijas atvasinājuma vērtība punktā.

3. Dotas tā punkta koordinātas, caur kuru tiek novilkta pieskares punkts, bet kurš nav pieskares punkts.

Apskatīsim katru problēmu veidu.

viens . Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā .

b) Atrodiet atvasinājuma vērtību punktā . Vispirms atrodam funkcijas atvasinājumu

Aizvietojiet atrastās vērtības tangenses vienādojumā:

Atvērsim iekavas vienādojuma labajā pusē. Mēs iegūstam:

Atbilde: .

2. Atrodiet to punktu abscises, kuros funkcijas pieskaras grafikam paralēli x asij.

Ja pieskare ir paralēla x asij, tad leņķis starp pieskari un ass pozitīvo virzienu nulle, tāpēc pieskares slīpuma tangensa ir nulle. Tātad funkcijas atvasinājuma vērtība saskares punktos ir nulle.

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu .

b) Pielīdziniet atvasinājumu nullei un atrodiet vērtības, kurās pieskare ir paralēla asij:

Mēs pielīdzinām katru faktoru nullei, iegūstam:

Atbilde: 0;3;5

3 . Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumus , paralēli taisni .

Pieskare ir paralēla taisnei. Šīs taisnes slīpums ir -1. Tā kā pieskare ir paralēla šai taisnei, tad arī pieskares slīpums ir -1. T.i mēs zinām pieskares slīpumu, un tādā veidā atvasinājuma vērtība saskares punktā.

Šis ir otrā veida uzdevums pieskares vienādojuma atrašanai.

Tātad mums tiek dota funkcija un atvasinājuma vērtība saskares punktā.

a) Atrodiet punktus, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar -1.

Pirmkārt, atradīsim atvasināto vienādojumu.

Pielīdzināsim atvasinājumu skaitlim -1.

Atrodiet funkcijas vērtību punktā .

(pēc nosacījuma)

b) Atrodiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā .

Atrodiet funkcijas vērtību punktā .

(pēc nosacījuma).

Aizstājiet šīs vērtības tangentes vienādojumā:

Atbilde:

4 . Uzrakstiet līknes pieskares vienādojumu , iet caur punktu

Vispirms pārbaudiet, vai punkts nav pieskāriena punkts. Ja punkts ir pieskares punkts, tad tas pieder funkcijas grafikam, un tā koordinātām jāapmierina funkcijas vienādojums. Funkcijas vienādojumā aizvietojiet punkta koordinātas.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nav saskarsmes punkts.

Šis ir pēdējais uzdevuma veids tangentes vienādojuma atrašanai. Pirmā lieta mums jāatrod saskares punkta abscisa.

Atradīsim vērtību.

Ļaujiet būt kontaktpunktam. Punkts pieder pie funkcijas grafika pieskares. Ja šī punkta koordinātas aizstājam pieskares vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību:

Funkcijas vērtība punktā ir .

Atrodiet funkcijas atvasinājuma vērtību punktā .

Vispirms atradīsim funkcijas atvasinājumu. Šis .

Atvasinājums punktā ir .

Aizstāsim izteiksmes pieskares vienādojumā un vienādojumā. Mēs iegūstam vienādojumu:

Atrisināsim šo vienādojumu.

Samaziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju par 2:

Mēs savienojam vienādojuma labo pusi pie kopsaucēja. Mēs iegūstam:

Vienkāršojiet daļskaitļa skaitītāju un reiziniet abas daļas ar - šī izteiksme ir stingri lielāka par nulli.

Mēs iegūstam vienādojumu

Atrisināsim. Lai to izdarītu, mēs kvadrātā abas daļas un pārejam uz sistēmu.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Atrisināsim pirmo vienādojumu.

Mēs izlemsim kvadrātvienādojums, saņemam

Otrā sakne neatbilst nosacījumam title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Uzrakstīsim līknes pieskares vienādojumu punktā . Lai to izdarītu, vienādojumā aizstājam vērtību Mēs to jau ierakstījām.

Atbilde:
.

Dota funkcija f, kurai kādā punktā x 0 ir galīgs atvasinājums f (x 0). Tad taisne, kas iet caur punktu (x 0 ; f (x 0)), kam slīpums f '(x 0), sauc par tangensu.

Bet kas notiek, ja atvasinājums punktā x 0 nepastāv? Ir divas iespējas:

Grafa pieskares arī nepastāv. Klasiskais piemērs ir funkcija y = |x | punktā (0; 0).
Pieskares kļūst vertikāla. Tas attiecas, piemēram, uz funkciju y = arcsin x punktā (1; π /2).

Pieskares vienādojums

Jebkura nevertikāla taisne tiek dota ar vienādojumu formā y = kx + b, kur k ir slīpums. Tangenss nav izņēmums, un, lai sastādītu tā vienādojumu kādā punktā x 0, pietiek zināt funkcijas un atvasinājuma vērtību šajā punktā.

Tātad, dosim funkciju y \u003d f (x), kurai segmentā ir atvasinājums y \u003d f '(x). Tad jebkurā punktā x 0 ∈ (a; b) šīs funkcijas grafikam var uzvilkt tangensu, kas tiek dota ar vienādojumu:

y \u003d f'(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Šeit f ’(x 0) ir atvasinājuma vērtība punktā x 0, un f (x 0) ir pašas funkcijas vērtība.

Uzdevums. Dota funkcija y = x 3 . Uzrakstiet šīs funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā x 0 = 2.

Pieskares vienādojums: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Punkts x 0 = 2 mums ir dots, bet būs jāaprēķina vērtības f (x 0) un f '(x 0).

Vispirms noskaidrosim funkcijas vērtību. Šeit viss ir vienkārši: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Tagad atradīsim atvasinājumu: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Aizvietotājs atvasinājumā x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tātad mēs iegūstam: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Šis ir pieskares vienādojums.

Uzdevums. Sastādiet funkcijas f (x) \u003d 2sin x + 5 grafika pieskares vienādojumu punktā x 0 \u003d π / 2.

Šoreiz mēs sīkāk neaprakstīsim katru darbību – norādīsim tikai galvenos soļus. Mums ir:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Pieskares vienādojums:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Pēdējā gadījumā līnija izrādījās horizontāla, jo tā slīpums k = 0. Tur nav nekā slikta - mēs vienkārši uzdūrāmies uz ekstrēma punktu.

Y \u003d f (x) un, ja šajā brīdī funkcijas grafikam var uzzīmēt pieskari, kas nav perpendikulāra x asij, tad pieskares slīpums ir f "(a). Mēs jau esam izmantojuši šos vairākus Piemēram, 33. paragrāfā tika noteikts, ka funkcijas y \u003d sin x (sinusoīds) grafiks sākuma punktā veido 45° leņķi ar abscisu asi (precīzāk, grafika pieskare izcelsme veido 45° leņķi ar x ass pozitīvo virzienu), un 5. piemērā no § 33 punktiem tika atrasti dotajā grafikā. funkcijas, kurā pieskare ir paralēla x asij. 33. § 2. piemērā tika sastādīts vienādojums funkcijas y \u003d x 2 grafika pieskarei punktā x \u003d 1 (precīzāk, punktā (1; 1), bet biežāk tikai ir norādīta abscisu vērtība, pieņemot, ka, ja abscisu vērtība ir zināma, tad ordinātu vērtību var atrast no vienādojuma y = f(x)). Šajā sadaļā mēs izstrādāsim algoritmu jebkuras funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanai.

Ir dota funkcija y \u003d f (x) un punkts M (a; f (a)), un ir arī zināms, ka eksistē f "(a). Sastādām pieskares vienādojumu grafikam dotā funkcija dots punkts. Šim vienādojumam, tāpat kā jebkurai taisnei, kas nav paralēla y asij, vienādojumam ir forma y = kx + m, tāpēc uzdevums ir atrast koeficientu k un m vērtības.

Ar slīpumu k nav problēmu: mēs zinām, ka k \u003d f "(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā līnija iet caur punktu M (a; f (a)). Tas nozīmē, ka, ja mēs aizvietojam koordinātas punktus M taisnes vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību: f (a) \u003d ka + m, no kurienes mēs atklājam, ka m \u003d f (a) - ka.
Atliek aizstāt atrastās vaļu koeficientu vērtības vienādojums taisni:

Mēs esam ieguvuši funkcijas y \u003d f (x) grafika pieskares vienādojumu punktā x \u003d a.
Ja, teiksim,
Aizvietojot (1) vienādojumā atrastās vērtības a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, mēs iegūstam: y \u003d 1 + 2 (xf), ti, y \u003d 2x -1.
Salīdziniet šo rezultātu ar to, kas iegūts 33. § 2. piemērā. Protams, notika tas pats.
Sastādām pieskares vienādojumu funkcijas y \u003d tg x grafikam sākuma punktā. Mums ir: tātad cos xf "(0) = 1. Aizvietojot atrastās vērtības a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 vienādojumā (1), mēs iegūstam: y \u003d x .
Tāpēc mēs zīmējām tangentoīdu § 15 (sk. 62. att.) caur koordinātu sākumpunktu 45 ° leņķī pret abscisu asi.
Ar to atrisināšanu pietiek vienkārši piemēri, mēs faktiski izmantojām noteiktu algoritmu, kas ir iegults formulā (1). Padarīsim šo algoritmu skaidru.

ALGORITMS FUNKCIJAS GRAFIKAS TANGENTES VIENĀDOTĀJUMA SASTĀVĪŠANAI \u003d f (x)

1) Apzīmējiet saskares punkta abscisu ar burtu a.
2) Aprēķiniet 1 (a).
3) Atrodiet f "(x) un aprēķiniet f" (a).
4) Atrastos skaitļus a, f(a), (a) aizstājiet formulā (1).

1. piemērs Uzrakstiet vienādojumu pieskarei funkcijas grafikam punktā x = 1.
Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to, ka in šis piemērs

Uz att. 126 parāda hiperbolu, ir izveidota taisne y \u003d 2x.
Zīmējums apstiprina dotos aprēķinus: tiešām, līnija y \u003d 2-x pieskaras hiperbolai punktā (1; 1).

Atbilde: y \u003d 2-x.
2. piemērs Uzzīmējiet funkcijas grafika pieskari tā, lai tā būtu paralēla taisnei y \u003d 4x - 5.
Precizēsim problēmas formulējumu. Prasība "uzzīmēt pieskari" parasti nozīmē "izveidot pieskares vienādojumu". Tas ir loģiski, jo, ja cilvēks varēja sastādīt vienādojumu pieskarei, tad viņam, visticamāk, nebūs grūtības konstruēt taisnu līniju koordinātu plaknē atbilstoši tās vienādojumam.
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā, bet atšķirībā no iepriekšējā piemēra šeit ir neskaidrības: pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta.
Sāksim runāt šādi. Vēlamajai pieskarei jābūt paralēlai taisnei y \u003d 4x-5. Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to slīpumi ir vienādi. Tas nozīmē, ka pieskares slīpumam jābūt vienādam ar dotās taisnes slīpumu: Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f "(a) \u003d 4.
Mums ir:
No vienādojuma Tātad ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 2, otra punktā ar abscisu -2.
Tagad jūs varat rīkoties saskaņā ar algoritmu.

3. piemērs No punkta (0; 1) uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu.

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 1). Aizvietojot vienādojumā (2) vērtības x = 0, y = 1, mēs iegūstam:
Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskāriena punkta abscisu. Aizvietojot vērtību a \u003d 4 vienādojumā (2), mēs iegūstam:

Uz att. 127 parāda aplūkotā piemēra ģeometrisku ilustrāciju: funkcijas grafiku

32. paragrāfā mēs atzīmējām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums fiksētā punktā x, aptuvenā vienādība ir spēkā:

Tālākās argumentācijas ērtībai mēs mainām apzīmējumu: x vietā rakstīsim a, tā vietā rakstīsim x un attiecīgi rakstīsim x-a. Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

Tagad apskatiet att. 128. Funkcijas y \u003d f (x) grafikam punktā M (a; f (a)) uzzīmēta pieskare. Atzīmēts punkts x uz x ass tuvu a. Ir skaidrs, ka f(x) ir funkcijas grafika ordināta norādītajā punktā x. Un kas ir f (a) + f "(a) (x-a)? Šī ir pieskares ordināta, kas atbilst tam pašam punktam x - skatiet formulu (1). Ko nozīmē aptuvenā vienādība (3)? aprēķiniet funkcijas aptuveno vērtību, tiek ņemta pieskares ordinātu vērtība.

4. piemērs Atrodiet skaitliskās izteiksmes aptuveno vērtību 1.02 7 .
Tas ir par par funkcijas y \u003d x 7 vērtības atrašanu punktā x \u003d 1,02. Mēs izmantojam formulu (3), ņemot vērā to šajā piemērā
Rezultātā mēs iegūstam:

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam: 1,02 7 = 1,148685667...
Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.
Atbilde: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkoviča algebra 10. klase

Kalendāra tematiskā plānošana matemātikā, video matemātikā tiešsaistē, matemātika skolā lejupielādēt

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, lietas, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafika, tabulas, shēmas, humors, anekdotes, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendāra plāns uz gadu vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības

Apsveriet šādu attēlu:

Tas parāda kādu funkciju y = f(x), kas ir diferencējama punktā a. Atzīmēts punkts M ar koordinātām (a; f(a)). Caur patvaļīgu grafa punktu P(a + ∆x; f(a + ∆x)) tiek novilkta sekants MP.

Ja tagad punkts P tiek nobīdīts pa grafiku uz punktu M, tad taisne MP griezīsies ap punktu M. Šajā gadījumā ∆x ir tendence uz nulli. No šejienes mēs varam formulēt pieskares definīciju funkcijas grafikam.

Funkcijas grafika pieskare

Funkcijas grafika pieskare ir sekanta ierobežojošā pozīcija, kad argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli. Jāsaprot, ka funkcijas f atvasinājuma esamība punktā x0 nozīmē, ka šajā grafika punktā ir pieskare viņam.

Šajā gadījumā pieskares slīpums būs vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu šajā punktā f’(x0). Šī ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas f diagrammas pieskare, kas diferencējama punktā x0, ir kāda taisne, kas iet caur punktu (x0;f(x0)) un kuras slīpums ir f’(x0).

Pieskares vienādojums

Mēģināsim iegūt kādas funkcijas f grafika pieskares vienādojumu punktā A(x0; f(x0)). Taisnas līnijas vienādojumam ar slīpumu k ir šāda forma:

Tā kā mūsu slīpums ir vienāds ar atvasinājumu f'(x0), tad vienādojumam būs šāda forma: y = f'(x0)*x + b.

Tagad aprēķināsim b vērtību. Lai to izdarītu, mēs izmantojam faktu, ka funkcija iet caur punktu A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, no šejienes mēs izsakām b un iegūstam b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Iegūto vērtību aizstājam pieskares vienādojumā:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Apsveriet šādu piemēru: atrodiet funkcijas f (x) grafika pieskares vienādojumu \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 punktā x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Aizvietojiet iegūtās vērtības tangensu formulā, iegūstam: y = 1 + 4*(x - 2). Atverot iekavas un pievienojot līdzīgus terminus, mēs iegūstam: y = 4*x - 7.

Atbilde: y = 4*x - 7.

Pieskares vienādojuma sastādīšanas vispārīgā shēma uz funkcijas y = f(x) grafiku:

1. Nosakiet x0.

2. Aprēķināt f(x0).

3. Aprēķiniet f'(x)