Trigonometriskās funkcijas un tās. Kas ir sinuss un kosinuss, ir procenti

Šajā rakstā tiks aplūkotas trīs galvenās trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Pirmā īpašība ir funkcijas zīme atkarībā no tā, kurai vienības apļa ceturtdaļai pieder leņķis α. Otrs īpašums ir periodiskums. Saskaņā ar šo īpašību tigonometriskā funkcija nemaina savu vērtību, kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešais īpašums nosaka, kā vērtības mainās grēka funkcijas, cos, tg, ctg pretējos leņķos α un - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bieži vien matemātiskā tekstā vai problēmas kontekstā jūs varat atrast frāzi: "pirmās, otrās, trešās vai ceturtās koordinātu ceturkšņa leņķis". Kas tas ir?

Apskatīsim vienības apli. Tas ir sadalīts četrās daļās. Atzīmējam uz apļa sākuma punktu A 0 (1, 0) un, pagriežot to ap punktu O ar leņķi α, nonākam līdz punktam A 1 (x, y) . Atkarībā no tā, kurā ceturksnī atradīsies punkts A 1 (x, y), leņķi α sauks attiecīgi par pirmā, otrā, trešā un ceturtā kvadranta leņķi.

Skaidrības labad mēs sniedzam ilustrāciju.

Leņķis α = 30° atrodas pirmajā kvadrantā. Leņķis - 210° ir otrā ceturkšņa leņķis. Leņķis 585° ir trešās ceturkšņa leņķis. Leņķis - 45° ir ceturtā ceturkšņa leņķis.

Šajā gadījumā leņķi ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° nepieder nevienai ceturtdaļai, jo tie atrodas uz koordinātu asīm.

Tagad apsveriet zīmes, kas ņem sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu atkarībā no tā, kurā ceturksnī atrodas leņķis.

Lai noteiktu sinusa zīmes ceturtdaļās, atcerieties definīciju. Sinuss ir punkta A 1 (x , y) ordināta. Attēlā redzams, ka pirmajā un otrajā ceturksnī tas ir pozitīvs, bet trešajā un četrkāršs ir negatīvs.

Kosinuss ir punkta A 1 (x, y) abscisa. Saskaņā ar to mēs nosakām kosinusa zīmes uz apļa. Kosinuss ir pozitīvs pirmajā un ceturtajā ceturksnī un negatīvs otrajā un trešajā ceturksnī.

Lai noteiktu pieskares un kotangences zīmes pa ceturtdaļām, mēs atgādinām arī šo trigonometrisko funkciju definīcijas. Tangente - punkta ordinātu attiecība pret abscisu. Tātad, saskaņā ar skaitļu dalīšanas noteikumu ar dažādas zīmes kad ordinātu un abscisu ir identiskas zīmes, pieskares zīme uz apļa būs pozitīva, un, ja ordinātai un abscisai ir atšķirīgas zīmes, tā būs negatīva. Līdzīgi tiek noteiktas kotangences zīmes ceturtdaļās.

Svarīgi atcerēties!

1. Leņķa α sinusa 1. un 2. ceturtdaļā ir pluszīme, 3. un 4. ceturtdaļā – mīnusa zīme.
2. Leņķa α kosinusam 1. un 4. ceturksnī ir plusa zīme, 2. un 3. ceturtdaļā – mīnusa zīme.
3. Leņķa α pieskarei 1. un 3. ceturksnī ir pluszīme, 2. un 4. ceturtdaļā - mīnusa zīme.
4. Leņķa α kotangensam 1. un 3. ceturksnī ir plusa zīme, 2. un 4. ceturtdaļā – mīnusa zīme.

Periodiskuma īpašība

Periodiskuma īpašība ir viena no visredzamākajām trigonometrisko funkciju īpašībām.

Periodiskuma īpašība

Kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, dotā leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības paliek nemainīgas.

Patiešām, mainot leņķi par veselu apgriezienu skaitu, mēs vienmēr nokļūsim no sākuma punkta A uz vienības apļa līdz punktam A 1 ar tādām pašām koordinātām. Attiecīgi sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtības nemainīsies.

Matemātiski šis īpašums ir uzrakstīts šādi:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Kāds ir šī īpašuma praktiskais pielietojums? Periodiskuma īpašību, tāpat kā samazināšanas formulas, bieži izmanto, lai aprēķinātu lielu leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu vērtības.

Sniegsim piemērus.

sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Vēlreiz apskatīsim vienību apli.

Punkts A 1 (x, y) ir rezultāts, pagriežot sākuma punktu A 0 (1, 0) ap apļa centru par leņķi α. Punkts A 2 (x, - y) ir sākuma punkta pagriešanas rezultāts par leņķi - α.

Punkti A 1 un A 2 ir simetriski pret x asi. Gadījumā, ja α = 0°, ± 180°, ± 360° punkti A 1 un A 2 sakrīt. Vienam punktam ir koordinātes (x , y) , bet otrajam - (x , - y) . Atgādiniet sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenta definīcijas un ierakstiet:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Tas nozīmē sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašību pretējos stūros.

Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Saskaņā ar šo īpašumu vienādības

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Aplūkotā īpašība bieži tiek izmantota praktisku uzdevumu risināšanā gadījumos, kad nepieciešams atbrīvoties no leņķu negatīvajām pazīmēm trigonometrisko funkciju argumentos.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ļauj noteikt vairākus raksturīgus rezultātus - sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīs galvenās īpašības. Pirmais no tiem norāda leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa zīmes atkarībā no tā, kura koordinātu ceturkšņa leņķis ir α. Tālāk mēs aplūkojam periodiskuma īpašību, kas nosaka leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību nemainīgumu, kad šis leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešā īpašība izsaka attiecību starp pretējo leņķu α un −α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtībām.

Ja jūs interesē sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta funkciju īpašības, tad tās var izpētīt attiecīgajā raksta sadaļā.

Lapas navigācija.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes ceturtdaļās

Zemāk šajā punktā būs frāze "koordinātu ceturkšņa I, II, III un IV leņķis". Paskaidrosim, kas ir šie stūri.

Ņemsim vienības apli, atzīmēsim uz tā sākuma punktu A(1, 0) un pagriežam ap punktu O par leņķi α, kamēr pieņemsim, ka nonākam līdz punktam A 1 (x, y) .

Viņi tā saka leņķis α ir koordinātu ceturkšņa leņķis I , II , III , IV ja punkts A 1 atrodas attiecīgi I, II, III, IV ceturksnī; ja leņķis α ir tāds, ka punkts A 1 atrodas uz kādas no koordinātu taisnēm Ox vai Oy , tad šis leņķis nepieder nevienai no četrām ceturtdaļām.

Skaidrības labad mēs piedāvājam grafisku ilustrāciju. Zemāk esošie zīmējumi parāda griešanās leņķus 30 , -210 , 585 un -45 grādi, kas ir attiecīgi koordinātu ceturkšņu I , II , III un IV leņķi.

stūriem 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grādi nepieder nevienai no koordinātu ceturtdaļām.

Tagad izdomāsim, kurām zīmēm ir rotācijas leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības atkarībā no tā, kurš ceturkšņa leņķis ir α.

Sinususam un kosinusam tas ir viegli izdarāms.

Pēc definīcijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 ordināta. Ir skaidrs, ka I un II koordinātu ceturksnī tas ir pozitīvs, bet III un IV ceturksnī tas ir negatīvs. Tādējādi leņķa α sinusam I un II ceturksnī ir pluszīme, bet III un VI ceturksnī - mīnusa zīme.

Savukārt leņķa α kosinuss ir punkta A 1 abscisa. I un IV ceturksnī tas ir pozitīvs, bet II un III ceturksnī tas ir negatīvs. Tāpēc leņķa α kosinusa vērtības I un IV ceturksnī ir pozitīvas, bet II un III ceturksnī tās ir negatīvas.

Lai noteiktu zīmes pēc pieskares un kotangensa ceturtdaļām, jums jāatceras to definīcijas: tangenss ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret abscisu, un kotangente ir punkta A 1 abscisu attiecība pret ordinātu. Tad no skaitļu dalīšanas noteikumi ar vienādām un dažādām zīmēm, no tā izriet, ka pieskarei un kotangensam ir plusa zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir vienādas, un mīnusa zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir atšķirīgas. Tāpēc leņķa tangensam un kotangensam ir + zīme I un III koordinātu ceturtdaļā, bet mīnusa zīme II un IV ceturtdaļā.

Patiešām, piemēram, pirmajā ceturksnī gan punkta A 1 abscisa x, gan ordināta y ir pozitīvas, tad gan koeficients x/y, gan koeficients y/x ir pozitīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir + zīmes. . Un abscisas otrajā ceturksnī x ir negatīvs, un y-ordināta ir pozitīva, tāpēc gan x / y, gan y / x ir negatīvi, no kurienes tangensei un kotangensei ir mīnusa zīme.

Pāriesim pie nākamās īpašības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa.

Periodiskuma īpašība

Tagad mēs analizēsim, iespējams, visredzamāko leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences īpašību. Tas sastāv no sekojošā: kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, šī leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības nemainās.

Tas ir saprotams: kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu, mēs vienmēr no sākuma punkta A līdz punktam A 1 nokļūsim vienības aplī, tāpēc sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības paliek nemainīgas, jo punkta A 1 koordinātas ir nemainīgas.

Izmantojot formulas, aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību var uzrakstīt šādi: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , kur α ir griešanās leņķis radiānos, z ir jebkurš , kura absolūtā vērtība norāda pilno apgriezienu skaitu, par kādu mainās leņķis α, un zīme cipars z norāda pagrieziena virzienu.

Ja griešanās leņķis α ir norādīts grādos, tad šīs formulas tiks pārrakstītas kā sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, , kā , a . Šeit ir vēl viens piemērs: vai .

Šo īpašību kopā ar samazināšanas formulām ļoti bieži izmanto, aprēķinot "lielo" leņķu sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības.

Aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību dažreiz sauc par periodiskuma īpašību.

Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašības

Apzīmēsim punktu А 1, kas iegūts, pagriežot sākuma punktu А(1, 0) ap punktu O ar leņķi α , bet punkts А 2 ir punkta А pagriešanas par leņķi rezultāts. −α pretējs leņķim α .

Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu īpašība ir pietiekami pamatota acīmredzams fakts: iepriekš minētie punkti A 1 un A 2 vai nu sakrīt (pie ), vai atrodas simetriski ap Vērša asi. Tas ir, ja punktam A 1 ir koordinātes (x, y) , tad punktam A 2 būs koordinātes (x, −y) . No šejienes saskaņā ar sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām mēs pierakstām vienādības un.
Salīdzinot tos, iegūstam attiecības starp formas α un −α pretējo leņķu sinusiem, kosinusiem, tangensiem un kotangensiem.
Tas ir uzskatāms īpašums formulu veidā.

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, vienādības un .

Atliek tikai atzīmēt, ka pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība, tāpat kā iepriekšējā īpašība, bieži tiek izmantota, aprēķinot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, un tas ļauj pilnībā izkļūt. no negatīviem leņķiem.

Bibliogrāfija.

• Algebra: Proc. 9 šūnām. vid. skola / Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis.- M.: Apgaismība, 1990.- 272 lpp.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss priekš

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Jēdzieni sinusa (), kosinuss (), tangenss (), kotangenss () ir nesaraujami saistīti ar leņķa jēdzienu. Lai labi izprastu šos, no pirmā acu uzmetiena sarežģītos jēdzienus (kas rada šausmu stāvokli daudziem skolēniem) un pārliecinātos, ka “velns nav tik biedējošs, kā uzgleznots”, sāksim no paša sākuma un sapratīsim leņķa jēdziens.

Leņķa jēdziens: radiāns, grāds

Apskatīsim attēlu. Vektors "pagriezās" attiecībā pret punktu par noteiktu daudzumu. Tātad šīs rotācijas mērs attiecībā pret sākotnējo stāvokli būs injekcija.

Kas vēl jums jāzina par leņķa jēdzienu? Nu, protams, leņķa vienības!

Leņķi gan ģeometrijā, gan trigonometrijā var izmērīt grādos un radiānos.

Leņķis pie (viena grāda) ir apļa centrālais leņķis, pamatojoties uz apļveida loku, kas vienāds ar apļa daļu. Tādējādi viss aplis sastāv no apļveida loku "gabaliem", vai arī apļa aprakstītais leņķis ir vienāds.

Tas nozīmē, ka attēlā redzams vienāds leņķis, tas ir, šis leņķis ir balstīts uz apļveida loku, kura izmērs ir apkārtmērs.

Leņķi radiānos sauc par centrālo leņķi aplī, pamatojoties uz apļveida loku, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. Nu vai tu saprati? Ja nē, tad paskatīsimies uz attēlu.

Tātad attēlā parādīts leņķis, kas vienāds ar radiānu, tas ir, šī leņķa pamatā ir apļa loka, kuras garums ir vienāds ar apļa rādiusu (garums ir vienāds ar garumu vai rādiuss ir vienāds ar loka garums). Tādējādi loka garumu aprēķina pēc formulas:

Kur ir centrālais leņķis radiānos.

Nu, vai, zinot to, vai varat atbildēt, cik radiānos ir leņķis, ko raksturo aplis? Jā, šim nolūkam ir jāatceras apļa apkārtmēra formula. Šeit viņa ir:

Tagad salīdzināsim šīs divas formulas un panāksim, ka apļa aprakstītais leņķis ir vienāds. Tas ir, korelējot vērtību grādos un radiānos, mēs to iegūstam. Attiecīgi,. Kā redzat, atšķirībā no "grādiem", vārds "radiāns" ir izlaists, jo mērvienība parasti ir skaidra no konteksta.

Cik radiānu ir? Pareizi!

Sapratu? Pēc tam piesprādzējieties uz priekšu:

Vai ir kādas grūtības? Tad paskaties atbildes:

Taisns trijstūris: sinuss, kosinuss, tangenss, leņķa kotangenss

Tātad, ar izdomātu leņķa jēdzienu. Bet kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mēs palīdzēsim taisnleņķa trīsstūris.

Kā sauc taisnleņķa trijstūra malas? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī pareizā leņķī(mūsu piemērā šī ir puse); kājas ir divas atlikušās malas un (tās, kas atrodas blakus taisnam leņķim), turklāt, ja mēs skatām kājas attiecībā pret leņķi, tad kāja ir blakus esošā kāja, un kāja ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Leņķa sinuss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

mūsu trīsstūrī.

Leņķa kosinuss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

mūsu trīsstūrī.

Leņķa tangenss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret blakus esošo (tuvu).

mūsu trīsstūrī.

Leņķa kotangenss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).

mūsu trīsstūrī.

Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, ar ko kāju dalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskare un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:

kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;

Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.

Pirmkārt, jāatceras, ka sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Neticu? Tad pārliecinieties, skatoties attēlu:

Apsveriet, piemēram, leņķa kosinusu. Pēc definīcijas no trijstūra: , bet mēs varam aprēķināt leņķa kosinusu no trijstūra: . Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.

Ja saprotat definīcijas, tad uz priekšu izlabojiet tās!

Tālāk attēlā redzamajam trīsstūrim mēs atrodam.

Nu, vai jūs to sapratāt? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu stūrim.

Vienības (trigonometriskais) aplis

Izprotot grādu un radiānu jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar. Tādu apli sauc viens. Tas ir ļoti noderīgi trigonometrijas izpētē. Tāpēc mēs pakavējamies pie tā nedaudz sīkāk.

Kā redzat, šis aplis ir veidots Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss vienāds ar vienu, kamēr apļa centrs atrodas sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta gar ass pozitīvo virzienu (mūsu piemērā tas ir rādiuss).

Katrs apļa punkts atbilst diviem skaitļiem: koordinātei pa asi un koordinātei gar asi. Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār kāds tiem sakars ar apskatāmo tēmu? Lai to izdarītu, atcerieties par uzskatīto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri. Tas ir taisnstūrveida, jo ir perpendikulārs asij.

Kas ir vienāds ar no trīsstūra? Pareizi. Turklāt mēs zinām, ka ir vienības apļa rādiuss, un tāpēc . Aizstājiet šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:

Un kas ir vienāds ar no trīsstūra? Nu protams,! Aizvietojiet rādiusa vērtību šajā formulā un iegūstiet:

Tātad, vai varat man pateikt, kādas ir apļa punkta koordinātas? Nu, nekādā gadījumā? Un ja jūs to saprotat un esat tikai skaitļi? Kādai koordinātei tas atbilst? Nu, protams, koordināte! Kādai koordinātei tas atbilst? Pareizi, saskaņojiet! Tādējādi punkts.

Un kas tad ir vienādi un? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim, a.

Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Šeit, piemēram, kā šajā attēlā:

Kas ir mainījies iekšā šis piemērs? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mēs atkal vēršamies pie taisnleņķa trīsstūra. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri: leņķi (kā blakus leņķim). Kāda ir leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa vērtība? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:

Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei; leņķa kosinusa vērtība - koordināte; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības ir piemērojamas jebkurai rādiusa vektora rotācijai.

Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir pa ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, iegūsi arī noteikta izmēra leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvie leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.

Tātad, mēs zinām, ka vesels rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir vai. Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru par vai par? Nu, protams, ka vari! Tāpēc pirmajā gadījumā rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pozīcijā vai.

Otrajā gadījumā, tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā vai.

Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras ar vai (kur ir jebkurš vesels skaitlis), atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.

Zemāk redzamajā attēlā parādīts leņķis. Tas pats attēls atbilst stūrim utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu vai (kur ir vesels skaitlis)

Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, ar ko vērtības ir vienādas:

Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:

Vai ir kādas grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:

No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: stūris pie atbilst punktam ar koordinātām, tāpēc:

Neeksistē;

Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs noskaidrojam, ka stūri atbilst attiecīgi punktiem ar koordinātām. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats, pēc tam pārbaudiet atbildes.

Atbildes:

Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:

Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:

Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības un, kas norādītas zemāk esošajā tabulā, jāatceras:

Nebaidieties, tagad mēs parādīsim vienu no piemēriem diezgan vienkārša atbilstošo vērtību iegaumēšana:

Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem (), kā arī leņķa pieskares vērtību collā. Zinot šīs vērtības, ir diezgan viegli atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:

Zinot to, jūs varat atjaunot vērtības. Skaitītājs " " atbildīs un saucējs " " atbildīs. Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā redzamajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad pietiks, lai atcerētos visu vērtību no tabulas.

Apļa punkta koordinātas

Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātas) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi?

Nu, protams, ka vari! Izcelsim vispārējā formula lai atrastu punkta koordinātas.

Šeit, piemēram, ir šāds aplis:

Mums ir dots, ka punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu par grādiem.

Kā redzams attēlā, punkta koordināte atbilst segmenta garumam. Segmenta garums atbilst apļa centra koordinātei, tas ir, tas ir vienāds ar. Segmenta garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:

Tad mums ir šī punkta koordināte.

Ar to pašu loģiku mēs atrodam punkta y koordinātas vērtību. Tādējādi

Tātad iekšā vispārējs skats punktu koordinātas nosaka pēc formulas:

Apļa centra koordinātas,

apļa rādiuss,

Rādiusa vektora rotācijas leņķis.

Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir nulle un rādiuss ir vienāds ar vienu:

Nu, izmēģināsim šīs formulas pēc garšas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa?

1. Atrast punktu koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, ieslēdzot punktu.

2. Atrast punktu koordinātas uz vienības apļa, kas iegūts, pagriežot punktu uz.

3. Atrodiet vienību riņķa punkta koordinātas, kas iegūtas, ieslēdzot punktu.

4. Punkts - apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.

5. Punkts - apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.

Vai jums ir grūtības atrast apļa punkta koordinātas?

Atrisiniet šos piecus piemērus (vai labi saprotiet risinājumu), un jūs uzzināsit, kā tos atrast!

KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

Leņķa sinuss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa kosinuss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa tangenss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret blakus esošo (tuvu).

Leņķa kotangenss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (ne obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūtā leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.

Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.

Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.

Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.

Leņķis ir norādīts ar atbilstošo grieķu burts.

Hipotenūza Taisns trīsstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

Kājas- malas pretī asiem stūriem.

Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.

Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):

Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.

Pierādīsim dažus no tiem.

Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.

Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .

Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?

Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.

Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat to visu atrast trigonometriskās funkcijas saskaņā ar īpašām tabulām. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.

Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.

Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenses un kotangences nav.

Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.

1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.

Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.

Ciktāl , .

2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.

Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.

Problēma atrisināta.

Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!

Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.

Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.

Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! AT IZMANTOT opcijas matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.

Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir galvenās trigonometrijas kategorijas - matemātikas nozare, un tie ir nesaraujami saistīti ar leņķa definīciju. Šīs matemātiskās zinātnes pārvaldīšanai nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī attīstīta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.

Jēdzieni trigonometrijā

Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms jāizlemj, kas ir taisnleņķa trijstūris un riņķa leņķis un kāpēc visi pamata trigonometriskie aprēķini ir saistīti ar tiem. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnleņķa trīsstūris. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā, astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nonāca pie atbilstošo tā parametru attiecību aprēķināšanas.

Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnleņķa trijstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trīsstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.

Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra iezīme sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.

Trijstūra leņķi

Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir vērtība, kas ir mazāka par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.

Leņķa tangenss ir vērtība, kas vienāda ar pretējās kājas attiecību pret vajadzīgā leņķa blakus esošo posmu jeb sinusu pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kaktetu. Leņķa kotangensu var iegūt arī dalot vienību ar pieskares vērtību.

vienības aplis

Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis ir konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākuma pozīciju nosaka X ass pozitīvais virziens (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu uz abscisu asi, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmēsim to ar burtu C), kas ir novilkts X ass (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G) un abscisu ass segments starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplis, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķi starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG mēs definējam kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.

Turklāt, zinot šos datus, var noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α; sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa attiecību pret kosinusu, mēs varam noteikt, ka tg α \u003d y / x un ctg α \u003d x / y. Ņemot vērā leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, var aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.

Aprēķini un pamatformulas

Trigonometrisko funkciju vērtības

Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.

Vienkāršākās trigonometriskās identitātes

Vienādojumus, kuros zem trigonometriskās funkcijas zīmes atrodas nezināma vērtība, sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Lietās formulas

Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, pārvērst jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu uz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.

Leņķa sinusa funkciju samazināšanas formulas izskatās šādi:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = grēks α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = grēks α.

Leņķa kosinusam:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:

• no grēka uz cos;
• no cos uz grēku;
• no tg līdz ctg;
• no ctg uz tg.

Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).

Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja sākotnēji tā bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats attiecas uz negatīvajām funkcijām.

Papildināšanas formulas

Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības to trigonometrisko funkciju izteiksmē. Leņķus parasti apzīmē kā α un β.

Formulas izskatās šādi:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. iedegums(α ± β) = (tan α ± iedegums β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.

Dubultā un trīskāršā leņķa formulas

Dubultā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Pāreja no summas uz produktu

Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Pāreja no produkta uz summu

Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Samazināšanas formulas

Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt ar vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universāla aizstāšana

Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), savukārt x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), savukārt x \u003d π + 2πn.

Īpaši gadījumi

Īpaši vienkāršākā gadījumi trigonometriskie vienādojumi ir doti zemāk (k ir jebkurš vesels skaitlis).

Privāts priekš sinusa:

sin x vērtība	x vērtība
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk

Kosinusa koeficienti:

cos x vērtība	x vērtība
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privāts pieskarei:

tg x vērtība	x vērtība
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangentes koeficienti:

ctg x vērtība	x vērtība
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teorēmas

Sinus teorēma

Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkāršā sinusa teorēma: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.

Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.

Kosinusa teorēma

Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas atrodas pretējai malai a.

Pieskares teorēma

Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tām pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangentes teorēma

Saista trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir to pretējie leņķi, r ir ierakstītā riņķa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, šādas identitātes turēt:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Lietojumprogrammas

Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas nozares cilvēka darbība– astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbs, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.

Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuriem jūs varat matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī un atrast vajadzīgos lielumus, izmantojot identitātes, teorēmas un noteikumus.