Trigonometriskā tabula. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss - viss, kas jums jāzina vienotajā valsts eksāmenā matemātikā

Centrēts punktā A.
α - radiānos izteikts leņķis.

Definīcija
Sinuss (sin α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz hipotenūzas garumam |AC|.

Kosinuss (cos α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| līdz hipotenūzas garumam |AC|.

Pieņemtie apzīmējumi

;
;
.

Sinusa funkcijas grafiks, y = sin x

Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x

Sinusa un kosinusa īpašības

Periodiskums

Funkcijas y = grēks x un y = cos x periodisks ar periodu 2π.

Paritāte

Sinusa funkcija ir nepāra. Kosinusa funkcija ir vienmērīga.

Definīcijas joma un vērtības, galējības, pieaugums, samazinājums

Sinusa un kosinusa funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā, tas ir, visiem x (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). To galvenās īpašības ir parādītas tabulā (n - vesels skaitlis).

	y = grēks x	y = cos x
Darbības joma un nepārtrauktība	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vērtību diapazons	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Pieaug
Dilstoša
Maxima, y = 1
Minimums, y = - 1
Nulles, y = 0
Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0	y = 0	y = 1

Pamatformulas

Sinusa un kosinusa kvadrātu summa

Formulas sinususam un kosinusam no summas un starpības

;
;

Formulas sinusu un kosinusu reizinājumam

Summu un starpības formulas

Sinusu izsaka caur kosinusu

;
;
;
.

Kosinusa izteikšana caur sinusu

;
;
;
.

Izteiksme caur tangenti

; .

Kad mums ir:
; .

Vietnē:
; .

Sinusu un kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula

Šajā tabulā ir parādītas sinusu un kosinusu vērtības noteiktām argumenta vērtībām.

Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos

;

Eilera formula

Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas

;
;

Atvasinājumi

; . Formulu atvasināšana >>>

N-tās kārtas atvasinājumi:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekants, kosekants

Apgrieztās funkcijas

Sinusa un kosinusa apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arkosīns un arkosīns.

Arcsine, arcsin

Arkosīns, arkoss

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

Šis raksts satur sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabulas. Pirmkārt, mēs nodrošināsim trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabulu, tas ir, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grādu leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabulu ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiāns). Pēc tam mēs sniegsim sinusu un kosinusu tabulu, kā arī V. M. Bradisa pieskares un kotangenšu tabulu un parādīsim, kā šīs tabulas izmantot, meklējot trigonometrisko funkciju vērtības.

Lapas navigācija.

Sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula 0, 30, 45, 60, 90, ... grādu leņķiem

Bibliogrāfija.

Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/Jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis. - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izdevums - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Bredis V. M.Četru ciparu matemātikas tabulas: Vispārējai izglītībai. mācību grāmata iestādes. - 2. izd. - M.: Bustards, 1999.- 96 lpp.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Mēs sāksim trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūta leņķa tangenss un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.

Atgādināsim jums to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse pagriezta leņķa.

Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.

Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupis" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Taisns leņķis parasti tiek apzīmēts ar . Lūdzu, ņemiet vērā, ka stūrim pretējā puse ir norādīta ar to pašu burtu, tikai mazu. Tādējādi sānu pretējais leņķis A ir apzīmēts .

Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.

Hipotenūza taisnleņķa trīsstūra ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

Kājas- malas, kas atrodas pretī akūtiem leņķiem.

Kāju, kas atrodas pretī leņķim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā no leņķa pusēm, sauc blakus.

Sinus Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās malas attiecība pret blakus esošo:

Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās malas attiecība pret pretējo (vai, kas ir tāda pati, kosinusa un sinusa attiecība):

Ņemiet vērā pamata sakarības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa tālāk. Tie mums noderēs, risinot problēmas.

Pierādīsim dažus no tiem.

Labi, mēs esam devuši definīcijas un pierakstījuši formulas. Bet kāpēc mums joprojām ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir vienāda ar.

Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .

Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot taisnleņķa trīsstūra abas malas, jūs varat atrast trešo. Tas nozīmē, ka leņķiem ir sava attiecība, un sāniem ir sava. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno leņķi) un viena mala, bet jāatrod pārējās malas?

Ar to agrāk saskārās cilvēki, veidojot apgabala un zvaigžņoto debesu kartes. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.

Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī trigonometriskā leņķa funkcijas- dot attiecības starp ballītēm Un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat atrast visas tā trigonometriskās funkcijas, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.

Mēs arī uzzīmēsim sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtību tabulu “labiem” leņķiem no līdz.

Lūdzu, ņemiet vērā divas sarkanās domuzīmes tabulā. Pie atbilstošām leņķa vērtībām tangenses un kotangenses nepastāv.

Apskatīsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.

1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.

Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.

Tāpēc ka , .

2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.

Atradīsim to, izmantojot Pitagora teorēmu.

Problēma ir atrisināta.

Bieži vien problēmās ir trijstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un. Atceries viņiem pamatattiecības no galvas!

Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.

Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.

Mēs apskatījām taisnleņķa trīsstūru risināšanas problēmas - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanu. Bet tas vēl nav viss! Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā ir daudz uzdevumu, kur trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.

TRIGONOMETRISKO FUNKCIJU VĒRTĪBU TABULA

Trigonometrisko funkciju vērtību tabula ir sastādīta 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 un 360 grādu leņķiem un atbilstošām leņķu vērtībām vradiānos. No trigonometriskajām funkcijām tabulā ir parādīts sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, sekants un kosekants. Skolas piemēru risināšanas ērtībai trigonometrisko funkciju vērtības tabulā ir ierakstītas daļskaitļa veidā, vienlaikus saglabājot zīmes skaitļu kvadrātsaknes iegūšanai, kas ļoti bieži palīdz samazināt sarežģītas matemātiskās izteiksmes. Pieskarei un kotangensei dažu leņķu vērtības nevar noteikt. Šādu leņķu pieskares un kotangensas vērtībām trigonometrisko funkciju vērtību tabulā ir domuzīme. Ir vispāratzīts, ka šādu leņķu tangenss un kotangenss ir vienāds ar bezgalību. Atsevišķā lapā ir trigonometrisko funkciju samazināšanas formulas.

Trigonometriskās sinusa funkcijas vērtību tabula parāda vērtības šādiem leņķiem: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 grādos, kas atbilst sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi leņķu radiānā mērī. Skolas sinusu tabula.

Trigonometriskajai kosinusa funkcijai tabulā ir norādītas vērtības šādiem leņķiem: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 grādos, kas atbilst cos 0 pi , cos pi ar 6, cos pi ar 4, cos pi ar 3, cos pi ar 2, cos pi, cos 3 pi ar 2, cos 2 pi izsakot leņķu radiāna mēru. Skolas kosinusu tabula.

Trigonometriskās pieskares funkcijas trigonometriskajā tabulā ir norādītas vērtības šādiem leņķiem: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 grādu mērī, kas atbilst tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi leņķu radiāna mērī. Tālāk norādītās trigonometrisko pieskares funkciju vērtības nav definētas tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 un tiek uzskatītas par vienādām ar bezgalību.

Trigonometriskās funkcijas kotangensai trigonometriskajā tabulā ir norādītas šādu leņķu vērtības: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 grādu mērī, kas atbilst ctg pi/6, ctg pi/4. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 leņķu radiānā mērī. Tālāk norādītās trigonometrisko kotangentes funkciju vērtības nav definētas ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi un tiek uzskatītas par vienādām ar bezgalību.

Trigonometrisko funkciju sekants un kosekants vērtības ir norādītas tiem pašiem leņķiem grādos un radiānos kā sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss.

Nestandarta leņķu trigonometrisko funkciju vērtību tabula parāda sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības leņķiem 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grādos un radiānos pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiāni. Trigonometrisko funkciju vērtības ir izteiktas daļās un kvadrātsaknēs, lai skolas piemēros būtu vieglāk samazināt daļskaitļus.

Vēl trīs trigonometrijas monstri. Pirmais ir 1,5 pusotra grāda tangenss jeb pi dalīts ar 120. Otrais ir pi kosinuss dalīts ar 240, pi/240. Garākais ir pi kosinuss, dalīts ar 17, pi/17.

Funkciju sinusa un kosinusa vērtību trigonometriskais aplis vizuāli attēlo sinusa un kosinusa zīmes atkarībā no leņķa lieluma. Īpaši blondīnēm kosinusa vērtības ir pasvītrotas ar zaļu svītru, lai mazinātu neskaidrības. Grādu pārvēršana radiānos ir arī ļoti skaidri parādīta, ja radiāni tiek izteikti pi.

Šajā trigonometriskajā tabulā ir parādītas sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības leņķiem no 0 nulles līdz 90 deviņdesmit grādiem ar viena grāda intervālu. Pirmajiem četrdesmit pieciem grādiem trigonometrisko funkciju nosaukumi ir jāaplūko tabulas augšpusē. Pirmajā kolonnā ir grādi, sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu vērtības ir rakstītas nākamajās četrās kolonnās.

Leņķiem no četrdesmit pieciem grādiem līdz deviņdesmit grādiem trigonometrisko funkciju nosaukumi ir ierakstīti tabulas apakšā. Pēdējā kolonnā ir grādi; kosinusu, sinusu, kotangenšu un tangenšu vērtības ir rakstītas iepriekšējās četrās kolonnās. Jums jābūt uzmanīgiem, jo trigonometrisko funkciju nosaukumi trigonometriskās tabulas apakšā atšķiras no nosaukumiem tabulas augšpusē. Sinusus un kosinusus apmaina, tāpat kā tangensu un kotangensu. Tas ir saistīts ar trigonometrisko funkciju vērtību simetriju.

Trigonometrisko funkciju zīmes ir parādītas attēlā iepriekš. Sinusam ir pozitīvas vērtības no 0 līdz 180 grādiem vai no 0 līdz pi. Sinusam ir negatīvas vērtības no 180 līdz 360 grādiem vai no pi līdz 2 pi. Kosinusa vērtības ir pozitīvas no 0 līdz 90 un 270 līdz 360 grādiem vai no 0 līdz 1/2 pi un 3/2 līdz 2 pi. Tangensam un kotangensam ir pozitīvas vērtības no 0 līdz 90 grādiem un no 180 līdz 270 grādiem, kas atbilst vērtībām no 0 līdz 1/2 pi un pi līdz 3/2 pi. Pieskares un kotangences negatīvās vērtības ir no 90 līdz 180 grādiem un no 270 līdz 360 grādiem vai no 1/2 pi līdz pi un no 3/2 pi līdz 2 pi. Nosakot trigonometrisko funkciju zīmes leņķiem, kas lielāki par 360 grādiem vai 2 pi, jāizmanto šo funkciju periodiskuma īpašības.

Trigonometriskās funkcijas sinusa, tangenss un kotangenss ir nepāra funkcijas. Šo funkciju vērtības negatīvajiem leņķiem būs negatīvas. Kosinuss ir vienmērīga trigonometriska funkcija - kosinusa vērtība negatīvam leņķim būs pozitīva. Reizinot un dalot trigonometriskās funkcijas, jāievēro zīmju noteikumi.

Trigonometriskās sinusa funkcijas vērtību tabula parāda vērtības šādiem leņķiem
Dokuments
Atsevišķā lapā ir samazinājuma formulas trigonometrisksfunkcijas. IN tabulavērtībasPriekštrigonometrisksfunkcijassinusadotavērtībasPriekšsekojošaisstūriem: grēks 0, grēks 30, grēks 45 ...
Piedāvātais matemātiskais aparāts ir pilnīgs kompleksā aprēķina analogs n-dimensiju hiperkompleksiem skaitļiem ar jebkuru brīvības pakāpju skaitu n un paredzēts nelineāru skaitļu matemātiskai modelēšanai.
Dokuments
... funkcijas vienāds funkcijas Attēli. No šīs teorēmas vajadzētu, Kas Priekš atrodot koordinātas U, V, pietiek ar aprēķinu funkciju... ģeometrija; polinārs funkcijas(daudzdimensiju divdimensiju analogi trigonometrisksfunkcijas), to īpašības, tabulas un pielietojums; ...
Mēs arī iesakām