Punkta taisnas līnijas segmenta lauzta līnija. Punkts, līnija, taisne, stars, segments, lauzta līnija

Punkts ir abstrakts objekts, kam nav mērīšanas īpašību: nav augstuma, nav garuma, nav rādiusa. Uzdevuma ietvaros svarīga ir tikai tā atrašanās vieta

Punktu norāda ar ciparu vai lielo (lielo) latīņu burtu. Vairāki punkti – dažādi cipari vai dažādi burti lai tās varētu atšķirt

punkts A, punkts B, punkts C

A B C

1. punkts, 2. punkts, 3. punkts

1 2 3

Jūs varat uzzīmēt trīs "A" punktus uz papīra un aicināt bērnu novilkt līniju caur diviem "A" punktiem. Bet kā saprast caur kuru? A A A

Līnija ir punktu kopa. Viņa mēra tikai garumu. Tam nav platuma vai biezuma.

Apzīmēts ar mazajiem burtiem (mazs) ar latīņu burtiem

līnija a, līnija b, līnija c

a b c

Rinda varētu būt

1. slēgts, ja tā sākums un beigas atrodas vienā punktā,
2. atvērt, ja tā sākums un beigas nav savienoti

slēgtas līnijas

atvērtās līnijas

Jūs atstājāt dzīvokli, nopirkāt maizi veikalā un atgriezāties dzīvoklī. Kādu līniju tu dabūji? Pareizi, slēgts. Jūs esat atgriezies sākuma punktā. Jūs izgājāt no dzīvokļa, nopirkāt veikalā maizi, iegājāt ieejā un runājāt ar savu kaimiņu. Kādu līniju tu dabūji? Atvērt. Jūs neesat atgriezies sākuma punktā. Jūs izgājāt no dzīvokļa, nopirkāt maizi veikalā. Kādu līniju tu dabūji? Atvērt. Jūs neesat atgriezies sākuma punktā.

1. pašam krustojas
2. bez paškrustojumiem

paškrustojošas līnijas

līnijas bez paškrustojumiem

1. taisni
2. lauzta līnija
3. greizs

taisnas līnijas

lauztas līnijas

izliektas līnijas

Taisne ir līnija, kas neizliekas, tai nav ne sākuma, ne beigu, to var pagarināt uz nenoteiktu laiku abos virzienos

Pat redzot mazs gabals taisni, tiek pieņemts, ka tas turpinās bezgalīgi abos virzienos

To apzīmē ar mazo (mazo) latīņu burtu. Vai divi lielie (lielie) latīņu burti - punkti, kas atrodas uz taisnas līnijas

taisna līnija a

a

taisne AB

BA

taisnas līnijas var būt

1. krustojas, ja tiem ir kopīgs punkts. Divas līnijas var krustoties tikai vienā punktā.
   • perpendikulāri, ja tie krustojas taisnā leņķī (90°).
2. paralēli, ja tie nekrustojas, tiem nav kopīga punkta.

paralēlas līnijas

krustojošās līnijas

perpendikulāras līnijas

Stars ir taisnas līnijas daļa, kurai ir sākums, bet nav beigu, to var pagarināt bezgalīgi tikai vienā virzienā

Attēlā redzamā gaismas stara sākumpunkts ir saule.

saule

Punkts līniju sadala divās daļās – divos staros A A

Staru apzīmē ar mazo (mazo) latīņu burtu. Vai divi lielie (lielie) latīņu burti, kur pirmais ir punkts, no kura sākas stars, bet otrais ir punkts, kas atrodas uz stara

sija a

a

sija AB

BA

Sijas sakrīt, ja

1. atrodas tajā pašā taisnē
2. sākt vienā punktā
3. vērsta uz vienu pusi

stari AB un AC sakrīt

stari CB un CA sakrīt

C B A

Nogrieznis ir taisnes daļa, kuru ierobežo divi punkti, tas ir, tam ir gan sākums, gan beigas, kas nozīmē, ka tā garumu var izmērīt. Segmenta garums ir attālums starp tā sākuma un beigu punktiem.

Caur vienu punktu var novilkt jebkuru līniju skaitu, ieskaitot taisnas līnijas.

Caur diviem punktiem - neierobežots līkumu skaits, bet tikai viena taisne

izliektas līnijas, kas iet caur diviem punktiem

BA

taisne AB

BA

No taisnes tika “nogriezts” gabals un palika segments. No iepriekš minētā piemēra var redzēt, ka tā garums ir mazākais attālums starp diviem punktiem. ✂ B A ✂

Segmentu apzīmē ar diviem lielajiem (lielajiem) latīņu burtiem, kur pirmais ir punkts, no kura sākas segments, bet otrais ir punkts, no kura segments beidzas.

segments AB

BA

Uzdevums: kur ir līnija, stars, segments, līkne?

Pārtraukta līnija ir līnija, kas sastāv no secīgi savienotiem segmentiem, kas nav 180° leņķī

Garš segments tika “sadalīts” vairākos īsos.

Polilīnijas saites (līdzīgi ķēdes posmiem) ir segmenti, kas veido polilīniju. Blakus esošās saites ir saites, kurās vienas saites beigas ir citas saites sākums. Blakus esošās saites nedrīkst atrasties uz vienas taisnas līnijas.

Polilīnijas virsotnes (līdzīgi kalnu virsotnēm) ir punkts, no kura sākas polilīnija, punkti, kuros ir savienoti polilīniju veidojošie segmenti, punkts, kurā polilīnija beidzas.

Polilīnija tiek apzīmēta, uzskaitot visas tās virsotnes.

lauzta līnija ABCDE

polilīnijas A virsotne, polilīnijas B virsotne, polilīnijas C virsotne, polilīnijas D virsotne, polilīnijas E virsotne

pārtrauktās līnijas saite AB, pārtrauktās līnijas saite BC, pārtrauktās līnijas saite CD, pārtrauktās līnijas saite DE

saite AB un saite BC atrodas blakus

saite BC un saites CD atrodas blakus

saites CD un saite DE atrodas blakus

A B C D E 64 62 127 52

Polilīnijas garums ir tās saišu garumu summa: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Uzdevums: kura pārtrauktā līnija ir garāka, a kuram ir vairāk virsotņu? Pirmajā rindā visas saites ir vienāda garuma, proti, 13 cm. Otrajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 49 cm. Trešajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 41 cm.

Daudzstūris ir slēgta polilīnija

Daudzstūra malas (tās palīdzēs atcerēties izteicienus: "iet uz visām četrām pusēm", "skrien uz māju", "kurā galda pusē sēdēsit?") ir lauztās līnijas saites. Daudzstūra blakus esošās malas ir lauztas līnijas blakus esošās saites.

Daudzstūra virsotnes ir polilīnijas virsotnes. Kaimiņos esošās virsotnes ir daudzstūra vienas malas galapunkti.

Daudzstūris tiek apzīmēts, uzskaitot visas tā virsotnes.

slēgta polilīnija bez paškrustošanās, ABCDEF

daudzstūris ABCDEF

daudzstūra virsotne A, daudzstūra virsotne B, daudzstūra virsotne C, daudzstūra virsotne D, daudzstūra virsotne E, daudzstūra virsotne F

virsotne A un virsotne B atrodas blakus

virsotne B un virsotne C atrodas blakus

virsotne C un virsotne D atrodas blakus

virsotne D un virsotne E atrodas blakus

virsotne E un virsotne F atrodas blakus

virsotne F un virsotne A atrodas blakus

daudzstūra mala AB, daudzstūra mala BC, daudzstūra mala CD, daudzstūra mala DE, daudzstūra mala EF

puse AB un mala BC atrodas blakus

sānu BC un sānu CD atrodas blakus

sānu CD un sānu DE atrodas blakus

mala DE un mala EF atrodas blakus

sānu EF un sānu FA atrodas blakus

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Daudzstūra perimetrs ir polilīnijas garums: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Daudzstūri ar trim virsotnēm sauc par trīsstūri, ar četrām - par četrstūri, ar piecām - par piecstūri utt.

Šajā rakstā mēs detalizēti pakavēsimies pie viena no primārajiem ģeometrijas jēdzieniem - pie jēdziena par taisnu līniju plaknē. Pirmkārt, definēsim pamatjēdzienus un apzīmējumus. Tālāk mēs apspriežam taisnes un punkta, kā arī divu līniju relatīvo stāvokli plaknē un sniedzam nepieciešamās aksiomas. Noslēgumā mēs apsvērsim veidus, kā plaknē iestatīt taisnu līniju un sniegt grafiskas ilustrācijas.

Lapas navigācija.

Taisna līnija plaknē ir jēdziens.

Pirms dot jēdzienu taisna līnija plaknē, skaidri jāsaprot, kas ir plakne. Lidmašīnas attēlojumsļauj iegūt, piemēram, līdzenu galda virsmu vai mājas sienu. Tomēr jāpatur prātā, ka tabulas izmēri ir ierobežoti, un plakne sniedzas ārpus šīm robežām līdz bezgalībai (it kā mums būtu patvaļīgi liels galds).

Ja paņemam labi uzasinātu zīmuli un ar tā serdi pieskaramies “galda” virsmai, tad iegūsim punkta attēlu. Tātad mēs saņemam punkta attēlojums plaknē.

Tagad jūs varat doties uz taisnas līnijas jēdziens plaknē.

Uzliksim uz galda virsmas (plaknē) tīra papīra lapu. Lai novilktu taisnu līniju, jāņem lineāls un ar zīmuli jānovelk līnija, ciktāl to pieļauj lineāla un izmantotās papīra lapas izmēri. Jāpiebilst, ka tādā veidā iegūstam tikai daļu no taisnes. Mēs varam tikai iedomāties taisnu līniju kopumā, kas stiepjas līdz bezgalībai.

Taisnes un punkta savstarpējā pozīcija.

Jums jāsāk ar aksiomu: katrā taisnē un katrā plaknē ir punkti.

Punkti parasti tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem, piemēram, punkti A un F. Savukārt taisnas līnijas apzīmē ar maziem latīņu burtiem, piemēram, taisnes a un d.

Iespējams divi varianti relatīvā pozīcija līnija un punkti plaknē: vai nu punkts atrodas uz taisnes (šajā gadījumā tiek teikts, ka līnija arī iet caur punktu), vai arī punkts neatrodas uz taisnes (tiek arī teikts, ka punkts nepieder pie līnijas, vai līnija neiet caur punktu).

Lai norādītu, ka punkts pieder noteiktai līnijai, tiek izmantots simbols "". Piemēram, ja punkts A atrodas uz taisnes a, tad varat rakstīt. Ja punkts A nepieder pie taisnes a, tad pierakstiet.

Šis apgalvojums ir patiess: caur jebkuriem diviem punktiem ir tikai viena taisne.

Šis apgalvojums ir aksioma, un tas ir jāpieņem kā fakts. Turklāt tas ir diezgan acīmredzams: mēs atzīmējam divus punktus uz papīra, uzklājam uz tiem lineālu un novelkam taisnu līniju. Taisni, kas iet caur diviem dotajiem punktiem (piemēram, caur punktiem A un B), var apzīmēt ar šiem diviem burtiem (mūsu gadījumā taisne AB vai BA).

Jāsaprot, ka uz plaknes norādītas taisnes ir bezgala daudz dažādu punktu, un visi šie punkti atrodas vienā plaknē. Šo apgalvojumu nosaka aksioma: ja divi taisnes punkti atrodas kādā plaknē, tad visi šīs taisnes punkti atrodas šajā plaknē.

Tiek saukta visu punktu kopa, kas atrodas starp diviem punktiem, kas norādīti uz taisnes, kopā ar šiem punktiem taisne vai vienkārši segmentu. Punktus, kas ierobežo segmentu, sauc par segmenta galiem. Segmentu apzīmē ar diviem burtiem, kas atbilst segmenta galu punktiem. Piemēram, pieņemsim, ka punkti A un B ir segmenta gali, tad šo posmu var apzīmēt ar AB vai BA. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šis segmenta apzīmējums ir tāds pats kā taisnes apzīmējums. Lai izvairītos no neskaidrībām, mēs iesakām apzīmējumam pievienot vārdu "segments" vai "taisni".

Īsam ierakstam par piederību un nepiederību noteiktam punktam noteiktam segmentam tiek izmantoti visi vienādi simboli un. Lai parādītu, ka segments atrodas vai neatrodas uz taisnas līnijas, tiek izmantoti attiecīgi simboli un. Piemēram, ja segments AB pieder pie līnijas a, varat īsi pierakstīt.

Mums vajadzētu arī pakavēties pie gadījuma, kad vienai līnijai pieder trīs dažādi punkti. Šajā gadījumā viens un tikai viens punkts atrodas starp pārējiem diviem. Šis apgalvojums ir vēl viena aksioma. Lai punkti A, B un C atrodas uz vienas taisnes, bet punkts B atrodas starp punktiem A un C. Tad mēs varam teikt, ka punkti A un C atrodas punkta B pretējās pusēs. Varat arī teikt, ka punkti B un C atrodas tajā pašā pusē punktam A, bet punkti A un B atrodas vienā un tajā pašā C punkta pusē.

Lai pabeigtu attēlu, mēs atzīmējam, ka jebkurš taisnes punkts sadala šo taisni divās daļās - divās staru kūlis. Šajā gadījumā tiek dota aksioma: patvaļīgs punkts O, kas pieder pie taisnes, sadala šo taisni divos staros, un jebkuri divi viena stara punkti atrodas punkta O vienā pusē un jebkuri divi dažādu staru punkti. atrodas punkta O pretējās pusēs.

Taisnu līniju savstarpēja izkārtošanās plaknē.

Tagad atbildēsim uz jautājumu: "Kā divas līnijas var atrasties plaknē attiecībā pret otru"?

Pirmkārt, divas līnijas plaknē var sakrīt.

Tas ir iespējams, ja līnijām ir vismaz divi kopīgi punkti. Patiešām, saskaņā ar aksiomu, kas izteikta iepriekšējā punktā, viena taisna līnija iet caur diviem punktiem. Citiem vārdiem sakot, ja divas līnijas iet caur diviem dotajiem punktiem, tad tās sakrīt.

Otrkārt, divas taisnas līnijas plaknē var krusts.

Šajā gadījumā līnijām ir viens kopīgs punkts, ko sauc par līniju krustošanās punktu. Līniju krustpunktu apzīmē ar simbolu "", piemēram, ieraksts nozīmē, ka līnijas a un b krustojas punktā M. Krustošas ​​līnijas noved mūs pie leņķa jēdziena starp krustojošām līnijām. Atsevišķi ir vērts apsvērt taisnu līniju atrašanās vietu plaknē, ja leņķis starp tām ir deviņdesmit grādi. Šajā gadījumā līnijas tiek izsauktas perpendikulāri(iesakām rakstu perpendikulāras līnijas, līniju perpendikularitāte). Ja līnija a ir perpendikulāra līnijai b, tad var izmantot īsu apzīmējumu.

Treškārt, divas taisnes plaknē var būt paralēlas.

No praktiskā viedokļa ir ērti aplūkot taisnu līniju plaknē kopā ar vektoriem. Īpaši svarīgi ir vektori, kas nav nulles atrodas uz dotas taisnes vai uz kādas no paralēlajām taisnēm, tās sauc taisnes virziena vektori. Rakstā par taisnes virziena vektoru plaknē ir sniegti virzīšanas vektoru piemēri un parādītas to izmantošanas iespējas uzdevumu risināšanā.

Jums vajadzētu pievērst uzmanību arī vektoriem, kas nav nulle, kas atrodas uz jebkuras līnijas, kas ir perpendikulāra dotajai. Tādus vektorus sauc līnijas normālie vektori. Taisnes normālu vektoru izmantošana ir aprakstīta rakstā Taisnes normāls vektors plaknē.

Ja plaknē ir dotas trīs vai vairāk taisnes, tad rodas kopa dažādas iespējas viņu relatīvais stāvoklis. Visas taisnes var būt paralēlas, pretējā gadījumā dažas vai visas no tām krustojas. Šajā gadījumā visas līnijas var krustoties vienā punktā (skatiet rakstu līniju zīmulis), vai arī tām var būt dažādi punkti krustojumos.

Sīkāk par to nekavēsimies, bet citēsim vairākus ievērojamus un ļoti bieži lietotus faktus bez pierādījumiem:

• ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai;
• ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai;
• ja plaknē taisne krusto vienu no divām paralēlām taisnēm, tad tā krusto arī otro taisni.

Metodes taisnas līnijas noteikšanai plaknē.

Tagad mēs uzskaitīsim galvenos veidus, kā jūs varat definēt konkrētu līniju plaknē. Šīs zināšanas ir ļoti noderīgas no praktiskā viedokļa, jo uz tām balstās tik daudzu piemēru un problēmu risinājums.

Pirmkārt, taisnu līniju var definēt, norādot divus punktus plaknē.

Patiešām, no šī raksta pirmajā daļā aplūkotās aksiomas mēs zinām, ka taisne iet caur diviem punktiem un turklāt tikai vienu.

Ja taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē ir norādītas divu nesakrītošu punktu koordinātas, tad ir iespējams pierakstīt taisnes vienādojumu, kas iet caur diviem dotiem punktiem.

Otrkārt, līniju var norādīt, norādot punktu, caur kuru tā iet, un līniju, kurai tā ir paralēla. Šī metode ir derīga, jo viena taisne iet caur noteiktu plaknes punktu paralēli noteiktai taisnei. Šī fakta pierādījums tika veikts ģeometrijas stundās vidusskolā.

Ja plaknē taisne ir uzstādīta šādā veidā attiecībā pret ieviesto taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmu, tad ir iespējams sastādīt tās vienādojumu. Tas ir rakstīts rakstā vienādojums taisnei, kas iet caur noteiktu punktu paralēli noteiktai taisnei.

Treškārt, līniju var definēt, norādot punktu, caur kuru tā iet, un tās virziena vektoru.

Ja taisnstūra koordinātu sistēmā ir dota taisne šādā veidā, tad ir viegli sastādīt tās kanonisko taisnes vienādojumu plaknē un parametriskos taisnes vienādojumus plaknē.

Ceturtais veids, kā norādīt līniju, ir norādīt punktu, caur kuru tā iet, un līniju, kurai tā ir perpendikulāra. Patiešām, cauri dots punkts Plaknē ir tikai viena taisne, kas ir perpendikulāra dotajai taisnei. Atstāsim šo faktu bez pierādījumiem.

Visbeidzot, līniju plaknē var norādīt, norādot punktu, caur kuru tā iet, un taisnes normālo vektoru.

Ja ir zināmas uz dotās taisnes esošā punkta koordinātas un taisnes normālvektora koordinātas, tad ir iespējams pierakstīt taisnes vispārīgo vienādojumu.

Bibliogrāfija.

• Atanasjans L.S., Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Pozņaks E.G., Judina I.I. Ģeometrija. 7. - 9. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Atanasjans L.S., Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Kiseļeva L.S., Pozņaka E.G. Ģeometrija. Mācību grāmata vidusskolas 10-11 klasēm.
• Bugrovs Ya.S., Nikolsky S.M. augstākā matemātika. Pirmais sējums: Lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi.
• Iļjins V.A., Pozņaka E.G. Analītiskā ģeometrija.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena daļa no www.website, ieskaitot iekšējie materiāli un ārējais dizains, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.

Apskatīsim katru no tēmām, un noslēgumā būs testi par tēmām.

Punkts matemātikā

Kāda jēga ir matemātikā? Matemātiskajam punktam nav izmēru, un to norāda ar lielajiem latīņu burtiem: A, B, C, D, F utt.

Attēlā var redzēt punktu A, B, C, D, F, E, M, T, S attēlu.

Segments matemātikā

Kas ir segments matemātikā? Matemātikas stundās var dzirdēt šādu skaidrojumu: matemātiskajam segmentam ir garums un beigas. Segments matemātikā ir visu punktu kopa, kas atrodas uz taisnas līnijas starp segmenta galiem. Nozares gali ir divi robežpunkti.

Attēlā redzams: segmenti ,,,, un , kā arī divi punkti B un S.

Taisnās līnijas matemātikā

Kas ir taisna līnija matemātikā? Taisnes definīcija matemātikā: taisnei nav galu un tā var turpināties abos virzienos līdz bezgalībai. Taisni matemātikā apzīmē ar jebkuriem diviem punktiem uz taisnes. Lai skolēnam izskaidrotu taisnes jēdzienu, varam teikt, ka taisne ir segments, kuram nav divu galu.

Attēlā parādītas divas taisnas līnijas: CD un EF.

Rejs matemātikā

Kas ir stars? Stara definīcija matemātikā: Stars ir līnijas daļa, kurai ir sākums un nav beigu. Stara nosaukumā ir divi burti, piemēram, DC. Turklāt pirmais burts vienmēr norāda staru kūļa sākuma punktu, tāpēc jūs nevarat apmainīt burtus.

Attēlā redzami stari: DC, KC, EF, MT, MS. Sijas KC un KD - viena sija, jo tiem ir kopīga izcelsme.

Skaitļa līnija matemātikā

Skaitļa taisnes definīcija matemātikā: Taisni, kuras punkti iezīmē skaitļus, sauc par skaitļa taisni.

Attēlā parādīta skaitļu līnija, kā arī stars OD un ED