Punkts. sadaļa

Punkts ir abstrakts objekts, kam nav mērīšanas īpašību: nav augstuma, nav garuma, nav rādiusa. Uzdevuma ietvaros svarīga ir tikai tā atrašanās vieta

Punktu norāda ar ciparu vai lielo (lielo) latīņu burtu. Vairāki punkti – dažādi cipari vai dažādi burti lai tās varētu atšķirt

punkts A, punkts B, punkts C

A B C

1. punkts, 2. punkts, 3. punkts

1 2 3

Jūs varat uzzīmēt trīs "A" punktus uz papīra un aicināt bērnu novilkt līniju caur diviem "A" punktiem. Bet kā saprast caur kuru? A A A

Līnija ir punktu kopa. Viņa mēra tikai garumu. Tam nav platuma vai biezuma.

Apzīmēts ar mazajiem burtiem (mazs) ar latīņu burtiem

līnija a, līnija b, līnija c

a b c

Rinda varētu būt

1. slēgts, ja tā sākums un beigas atrodas vienā punktā,
2. atvērt, ja tā sākums un beigas nav savienoti

slēgtas līnijas

atvērtās līnijas

Jūs atstājāt dzīvokli, nopirkāt maizi veikalā un atgriezāties dzīvoklī. Kādu līniju tu dabūji? Pareizi, slēgts. Jūs esat atgriezies sākuma punktā. Jūs izgājāt no dzīvokļa, nopirkāt veikalā maizi, iegājāt ieejā un runājāt ar savu kaimiņu. Kādu līniju tu dabūji? Atvērt. Jūs neesat atgriezies sākuma punktā. Jūs izgājāt no dzīvokļa, nopirkāt maizi veikalā. Kādu līniju tu dabūji? Atvērt. Jūs neesat atgriezies sākuma punktā.

1. pašam krustojas
2. bez paškrustojumiem

paškrustojošas līnijas

līnijas bez paškrustojumiem

1. taisni
2. lauzta līnija
3. greizs

taisnas līnijas

lauztas līnijas

izliektas līnijas

Taisne ir līnija, kas neizliekas, tai nav ne sākuma, ne beigu, to var bezgalīgi pagarināt abos virzienos.

Pat redzot mazs gabals taisni, tiek pieņemts, ka tas turpinās bezgalīgi abos virzienos

To apzīmē ar mazo (mazo) latīņu burtu. Vai divi lielie (lielie) latīņu burti - punkti, kas atrodas uz taisnas līnijas

taisna līnija a

a

taisne AB

BA

taisnas līnijas var būt

1. krustojas, ja tiem ir kopīgs punkts. Divas līnijas var krustoties tikai vienā punktā.
   • perpendikulāri, ja tie krustojas taisnā leņķī (90°).
2. paralēli, ja tie nekrustojas, tiem nav kopīga punkta.

paralēlas līnijas

krustojošās līnijas

perpendikulāras līnijas

Stars ir taisnas līnijas daļa, kurai ir sākums, bet nav beigu, to var pagarināt bezgalīgi tikai vienā virzienā

Attēlā redzamā gaismas stara sākumpunkts ir saule.

Saule

Punkts līniju sadala divās daļās – divos staros A A

Staru apzīmē ar mazo (mazo) latīņu burtu. Vai divi lielie (lielie) latīņu burti, kur pirmais ir punkts, no kura sākas stars, bet otrais ir punkts, kas atrodas uz sijas

sija a

a

sija AB

BA

Sijas sakrīt, ja

1. atrodas tajā pašā taisnē
2. sākt vienā punktā
3. vērsta uz vienu pusi

stari AB un AC sakrīt

stari CB un CA sakrīt

C B A

Nogrieznis ir taisnes daļa, kuru ierobežo divi punkti, tas ir, tam ir gan sākums, gan beigas, kas nozīmē, ka tā garumu var izmērīt. Segmenta garums ir attālums starp tā sākuma un beigu punktiem.

Caur vienu punktu var novilkt jebkuru līniju skaitu, ieskaitot taisnas līnijas.

Caur diviem punktiem - neierobežots līkumu skaits, bet tikai viena taisne

izliektas līnijas, kas iet caur diviem punktiem

BA

taisne AB

BA

No taisnes tika “nogriezts” gabals un palika segments. No iepriekš minētā piemēra var redzēt, ka tā garums ir mazākais attālums starp diviem punktiem. ✂ B A ✂

Segmentu apzīmē ar diviem lielajiem (lielajiem) latīņu burtiem, kur pirmais ir punkts, no kura sākas segments, bet otrais ir punkts, no kura segments beidzas.

segments AB

BA

Uzdevums: kur ir līnija, stars, segments, līkne?

Pārtraukta līnija ir līnija, kas sastāv no secīgi savienotiem segmentiem, kas nav 180° leņķī

Garš segments tika “sadalīts” vairākos īsos.

Polilīnijas saites (līdzīgi ķēdes posmiem) ir posmi, kas veido polilīniju. Blakus esošās saites ir saites, kurās vienas saites beigas ir citas saites sākums. Blakus esošās saites nedrīkst atrasties uz vienas taisnas līnijas.

Polilīnijas virsotnes (līdzīgi kalnu virsotnēm) ir punkts, no kura sākas polilīnija, punkti, kuros ir savienoti polilīniju veidojošie segmenti, punkts, kurā polilīnija beidzas.

Polilīnija tiek apzīmēta, uzskaitot visas tās virsotnes.

lauzta līnija ABCDE

polilīnijas A virsotne, polilīnijas B virsotne, polilīnijas C virsotne, polilīnijas D virsotne, polilīnijas E virsotne

pārtrauktās līnijas saite AB, pārtrauktās līnijas saite BC, pārtrauktās līnijas saite CD, lauztas līnijas saite DE

saite AB un saite BC atrodas blakus

saite BC un saites CD atrodas blakus

saites CD un saite DE atrodas blakus

A B C D E 64 62 127 52

Polilīnijas garums ir tās saišu garumu summa: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Uzdevums: kura pārtrauktā līnija ir garāka, bet kuram ir vairāk virsotņu? Pirmajā rindā visas saites ir vienāda garuma, proti, 13 cm. Otrajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 49 cm. Trešajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 41 cm.

Daudzstūris ir slēgta polilīnija

Daudzstūra malas (tās palīdzēs atcerēties izteicienus: "iet uz visām četrām pusēm", "skrien uz māju", "kurā galda pusē sēdēsit?") ir lauztās līnijas saites. Daudzstūra blakus esošās malas ir lauztas līnijas blakus esošās saites.

Daudzstūra virsotnes ir polilīnijas virsotnes. Kaimiņos esošās virsotnes ir daudzstūra vienas malas galapunkti.

Daudzstūris tiek apzīmēts, uzskaitot visas tā virsotnes.

slēgta polilīnija bez paškrustošanās, ABCDEF

daudzstūris ABCDEF

daudzstūra virsotne A, daudzstūra virsotne B, daudzstūra virsotne C, daudzstūra virsotne D, daudzstūra virsotne E, daudzstūra virsotne F

virsotne A un virsotne B atrodas blakus

virsotne B un virsotne C atrodas blakus

virsotne C un virsotne D atrodas blakus

virsotne D un virsotne E atrodas blakus

virsotne E un virsotne F atrodas blakus

virsotne F un virsotne A atrodas blakus

daudzstūra mala AB, daudzstūra mala BC, daudzstūra mala CD, daudzstūra mala DE, daudzstūra mala EF

puse AB un mala BC atrodas blakus

sānu BC un sānu CD atrodas blakus

sānu CD un sānu DE atrodas blakus

mala DE un mala EF atrodas blakus

sānu EF un sānu FA atrodas blakus

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Daudzstūra perimetrs ir polilīnijas garums: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Daudzstūri ar trim virsotnēm sauc par trīsstūri, ar četrām - par četrstūri, ar piecām - par piecstūri utt.

Punkts un līnija ir pamata ģeometriskās formas uz virsmas.

Sengrieķu zinātnieks Eiklīds teica: "punkts" ir tas, kam nav daļu. Vārds "punkts" tulkojumā no latīņu valoda nozīmē tūlītēja pieskāriena, dūriena rezultātu. Punkts ir jebkuras ģeometriskas figūras konstruēšanas pamats.

Taisne vai tikai taisne ir līnija, pa kuru attālums starp diviem punktiem ir mazākais. Taisna līnija ir bezgalīga, un nav iespējams attēlot visu līniju un to izmērīt.

Punkti tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem A, B, C, D, E utt., bet taisnas līnijas ar tiem pašiem burtiem, bet ar mazajiem burtiem a, b, c, d, e utt. Taisni var apzīmēt arī ar divi burti, kas atbilst punktiem, kas atrodas uz viņas. Piemēram, līniju a var apzīmēt ar AB.

Var teikt, ka punkti AB atrodas uz taisnes a vai pieder pie taisnes a. Un mēs varam teikt, ka taisne a iet caur punktiem A un B.

Vienkāršākās ģeometriskās figūras plaknē ir līnijas segments, stars, lauzta līnija.

Nogrieznis ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, kurus ierobežo divi atlasīti punkti. Šie punkti ir segmenta beigas. Segmentu norāda, norādot tā galus.

Stars jeb puslīnija ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs taisnes punktiem, kas atrodas vienā tās dotā punkta pusē. Šo punktu sauc par puslīnijas sākumpunktu vai stara sākumu. Staram ir sākuma punkts, bet nav beigu punkta.

Puslīnijas vai stari tiek apzīmēti ar diviem mazajiem latīņu burtiem: sākuma un jebkuru citu burtu, kas atbilst punktam, kas pieder puslīnijai. Šajā gadījumā sākuma punkts tiek likts pirmajā vietā.

Izrādās, ka līnija ir bezgalīga: tai nav ne sākuma, ne beigu; staram ir tikai sākums, bet nav beigu, savukārt segmentam ir sākums un beigas. Tāpēc mēs varam izmērīt tikai segmentu.

Vairāki segmenti, kas ir savienoti virknē viens ar otru tā, ka segmenti (blakus), kuriem ir viens kopīgs punkts, neatrodas vienā taisnē, ir lauzta līnija.

Polilīnija var būt slēgta vai atvērta. Ja pēdējā segmenta beigas sakrīt ar pirmā segmenta sākumu, mums ir slēgta lauzta līnija, ja nē, atvērta.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ģeometrijā galvenās ģeometriskās figūras ir punkts un līnija. Punktu apzīmēšanai ir ierasts izmantot lielos latīņu burtus: A, B, C, D, E, F .... Lai apzīmētu taisnas līnijas, tiek izmantoti mazie latīņu burti: a, b, c, d, e, f .... Zemāk esošajā attēlā ir parādīta taisna līnija a un vairāki punkti A, B, C, D.

Lai attēlā attēlotu taisnu līniju, mēs izmantojam lineālu, bet mēs neattēlojam visu līniju, bet tikai daļu no tās. Tā kā mūsu skatījumā līnija sniedzas līdz bezgalībai abos virzienos, līnija ir bezgalīga.

Augšējā attēlā redzams, ka punkti A un C atrodas uz taisnas līnijas. bet. Šādos gadījumos mēs sakām, ka punkti A un C pieder pie taisnes a. Vai arī saka, ka līnija iet caur punktiem A un C. Rakstot punkta piederību līnijai norāda ar īpašu ikonu. Un tas, ka punkts nepieder pie līnijas, ir atzīmēts ar to pašu ikonu, tikai izsvītrots.

Mūsu gadījumā punkti B un D nepieder pie taisnes a.

Kā minēts iepriekš, attēlā punkti A un C pieder pie līnijas a. Tiek izsaukta līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, kas atrodas starp diviem dotajiem punktiem segmentu. Citiem vārdiem sakot, segments ir daļa no taisnas līnijas, ko ierobežo divi punkti.

Mūsu gadījumā mums ir segments AB. Punktus A un B sauc par segmenta galiem. Lai apzīmētu segmentu, ir norādīti tā gali, mūsu gadījumā AB. Viena no galvenajām punktu un līniju piederības īpašībām ir šāda īpašums: caur jebkuriem diviem punktiem var novilkt līniju, turklāt tikai vienu.

Ja divām taisnēm ir kopīgs punkts, tad tiek uzskatīts, ka abas līnijas krustojas. Attēlā taisnes a un b krustojas punktā A. Taisnes a un c nekrustojas.

Jebkurām divām līnijām ir tikai viens kopīgs punkts vai nav kopēju punktu. Ja pieņemam pretējo, ka divām taisnēm ir divi kopīgi punkti, tad caur tām iet divas taisnes. Bet tas nav iespējams, jo caur diviem punktiem var novilkt tikai vienu līniju.

Apskatīsim katru no tēmām, un noslēgumā būs testi par tēmām.

Punkts matemātikā

Kāda jēga ir matemātikā? Matemātiskajam punktam nav izmēru, un to norāda ar lielajiem latīņu burtiem: A, B, C, D, F utt.

Attēlā var redzēt punktu A, B, C, D, F, E, M, T, S attēlu.

Segments matemātikā

Kas ir segments matemātikā? Matemātikas stundās var dzirdēt šādu skaidrojumu: matemātiskajam segmentam ir garums un beigas. Segments matemātikā ir visu punktu kopa, kas atrodas uz taisnas līnijas starp segmenta galiem. Nozares gali ir divi robežpunkti.

Attēlā redzams: segmenti ,,,, un , kā arī divi punkti B un S.

Taisnās līnijas matemātikā

Kas ir taisna līnija matemātikā? Taisnes definīcija matemātikā: taisnei nav galu un tā var turpināties abos virzienos līdz bezgalībai. Taisni matemātikā apzīmē ar jebkuriem diviem punktiem uz taisnes. Lai skolēnam izskaidrotu taisnes jēdzienu, varam teikt, ka taisne ir segments, kuram nav divu galu.

Attēlā parādītas divas taisnas līnijas: CD un EF.

Rejs matemātikā

Kas ir stars? Stara definīcija matemātikā: Stars ir līnijas daļa, kurai ir sākums un nav beigu. Stara nosaukumā ir divi burti, piemēram, DC. Turklāt pirmais burts vienmēr norāda staru kūļa sākuma punktu, tāpēc jūs nevarat apmainīt burtus.

Attēlā redzami stari: DC, KC, EF, MT, MS. Sijas KC un KD - viena sija, jo tiem ir kopīga izcelsme.

Skaitļa līnija matemātikā

Skaitļa taisnes definīcija matemātikā: Taisni, kuras punkti iezīmē skaitļus, sauc par skaitļa taisni.

Attēlā parādīta skaitļu līnija, kā arī stars OD un ED

Kursā izmanto ģeometriskā valoda, kas sastāv no apzīmējumiem un simboliem, kas pieņemti matemātikas kursā (jo īpaši jaunajā ģeometrijas kursā vidusskolā).

Visu apzīmējumu un simbolu daudzveidību, kā arī savienojumus starp tiem var iedalīt divās grupās:

I grupa - ģeometrisko figūru apzīmējumi un attiecības starp tām;

II grupas loģisko operāciju apzīmējumi, kas veido ģeometriskās valodas sintaktisko pamatu.

Tālāk ir norādīts pilns sarakstsšajā kursā izmantotie matemātiskie simboli. Īpaša uzmanība tiek piešķirts simboliem, ko izmanto, lai apzīmētu ģeometrisku formu projekcijas.

I grupa

ĢEOMETRISKĀS FIGŪRAS UN TO ATTIECĪBAS SIMBOLI

A. Ģeometrisko formu apzīmējums

1. Ģeometrisko figūru apzīmē ar - F.

2. Punkti ir norādīti lielie burti Latīņu alfabēts vai arābu cipari:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Līnijas, kas patvaļīgi atrodas attiecībā pret projekcijas plaknēm, ir apzīmētas ar latīņu alfabēta mazajiem burtiem:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Ir norādītas līmeņa līnijas: h - horizontāla; f- frontālais.

Šis apzīmējums tiek izmantots arī taisnām līnijām:

(AB) - taisne, kas iet caur punktiem A un B;

[AB) - stars ar sākumu punktā A;

[AB] - taisnas līnijas segments, ko ierobežo punkti A un B.

4. Virsmas tiek apzīmētas ar grieķu alfabēta mazajiem burtiem:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Lai uzsvērtu virsmas definēšanas veidu, jānorāda ģeometriskie elementi, ar kuriem tā tiek definēta, piemēram:

α(a || b) - plakne α tiek noteikta ar paralēlām taisnēm a un b;

β(d 1 d 2 gα) - virsmu β nosaka vadotnes d 1 un d 2 , ģenerātors g un paralēlisma plakne α.

5. Ir norādīti leņķi:

∠ABC - leņķis ar virsotni punktā B, kā arī ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Leņķiskais: vērtību (pakāpju mēru) norāda zīme, kas novietota virs leņķa:

Leņķa ABC vērtība;

Leņķa φ vērtība.

Taisns leņķis ir atzīmēts ar kvadrātu, kura iekšpusē ir punkts

7. Attālumus starp ģeometriskām figūrām norāda ar diviem vertikāliem segmentiem - ||.

Piemēram:

|AB| - attālums starp punktiem A un B (nozares AB garums);

|Aa| - attālums no punkta A līdz līnijai a;

|Aα| - attālumi no punkta A līdz virsmai α;

|ab| - attālums starp līnijām a un b;

|αβ| attālums starp virsmām α un β.

8. Projekcijas plaknēm tiek pieņemti šādi apzīmējumi: π 1 un π 2, kur π 1 ir horizontālā projekcijas plakne;

π 2 -projekciju fryuntal plakne.

Nomainot projekcijas plaknes vai ieviešot jaunas plaknes, pēdējās apzīmē π 3, π 4 utt.

9. Projekcijas asis ir apzīmētas: x, y, z, kur x ir x ass; y ir y ass; z - aplikācijas ass.

Monge diagrammas konstanto līniju apzīmē ar k.

10. Punktu, līniju, virsmu projekcijas, jebkura ģeometriskā figūra ir apzīmēta ar tādiem pašiem burtiem (vai cipariem) kā oriģināls, pievienojot augšējo indeksu, kas atbilst projekcijas plaknei, uz kuras tās iegūtas:

A", B", C", D", ... , L", M", N", punktu horizontālās projekcijas; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... punktu frontālās projekcijas; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - līniju horizontālās projekcijas; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... līniju frontālās projekcijas; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... virsmu horizontālās projekcijas; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... virsmu frontālās projekcijas.

11. Plakņu (virsmu) pēdas apzīmē ar tādiem pašiem burtiem kā horizontālo vai frontālo, pievienojot apakšindeksu 0α, uzsverot, ka šīs līnijas atrodas projekcijas plaknē un pieder plaknei (virsmai) α.

Tātad: h 0α - plaknes (virsmas) horizontālā trase α;

f 0α - plaknes (virsmas) frontālā trase α.

12. Taisnu līniju (līniju) pēdas apzīmē ar lielajiem burtiem, kas sāk vārdus, kas nosaka tās projekcijas plaknes nosaukumu (latīņu transkripcijā), kuru līnija šķērso, ar apakšindeksu, kas norāda uz piederību līnijai.

Piemēram: H a - taisnas līnijas (līnijas) horizontālā trase a;

F a - taisnes (līnijas) frontālā pēda a.

13. Punktu, līniju (jebkuras figūras) secību apzīmē ar apakšindeksiem 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,..., α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n utt.

Punkta palīgprojekcija, kas iegūta transformācijas rezultātā, lai iegūtu ģeometriskās figūras faktisko vērtību, tiek apzīmēta ar to pašu burtu ar apakšindeksu 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Aksonometriskās projekcijas

14. Punktu, līniju, virsmu aksonometriskās projekcijas apzīmē ar tādiem pašiem burtiem kā dabu, pievienojot augšindeksu 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundārās projekcijas norāda, pievienojot augšējo indeksu 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Lai atvieglotu zīmējumu lasīšanu mācību grāmatā, ilustratīvā materiāla noformējumā izmantotas vairākas krāsas, kurām katrai ir noteikta nozīmē: melnas līnijas (punkti) norāda sākotnējos datus; zaļa krāsa izmanto grafisko palīgkonstrukciju līnijām; sarkanas līnijas (punkti) parāda konstrukciju rezultātus vai tos ģeometriskos elementus, kuriem jāpievērš īpaša uzmanība.

B. Simboli, kas apzīmē attiecības starp ģeometriskām figūrām

Nē.	Apzīmējums	Saturs	Simboliskā apzīmējuma piemērs
1	≡	Match	(AB) ≡ (CD) - taisna līnija, kas iet caur punktiem A un B, sakrīt ar taisni, kas iet caur punktiem C un D
2	≅	Kongruents	∠ABC≅∠MNK — leņķis ABC ir kongruents leņķim MNK
3	∼	Līdzīgi	ΔABS∼ΔMNK - trijstūri ABC un MNK ir līdzīgi
4	||	Paralēli	α||β - plakne α ir paralēla plaknei β
5	⊥	Perpendikulāri	a⊥b - taisnes a un b ir perpendikulāras
6		krustojas	ar d - taisnes c un d krustojas
7		Pieskares	t l - līnija t ir pieskares līnijai l. βα - plakne β pieskares virsmai α
8	→	Tiek parādīti	F 1 → F 2 — figūra F 1 tiek kartēta uz figūru F 2
9	S	projekcijas centrs. Ja projekcijas centrs nav piemērots punkts, tā atrašanās vieta ir norādīta ar bultiņu, kas norāda projekcijas virzienu	-
10	s	Projekcijas virziens	-
11	P	Paralēlā projekcija	p s α Paralēlā projekcija - paralēlā projekcija uz plakni α virzienā s

B. Kopu teorētiskais apzīmējums

Nē.	Apzīmējums	Saturs	Simboliskā apzīmējuma piemērs	Simboliskā apzīmējuma piemērs ģeometrijā
1	M,N	Komplekti	-	-
2	A,B,C,...	Iestatiet elementus	-	-
3	{ ... }	Sastāv no...	F(A, B, C,... )	Ф(A, B, C,...) - skaitlis Ф sastāv no punktiem A, B, C, ...
4	∅	Tukšs komplekts	L - ∅ - kopa L ir tukša (nav elementu)	-
5	∈	Pieder, ir elements	2∈N (kur N ir kopa naturālie skaitļi) - skaitlis 2 pieder kopai N	A ∈ a - punkts A pieder pie taisnes a (punkts A atrodas uz līnijas a)
6	⊂	Ietver, satur	N⊂M — kopa N ir kopas daļa (apakškopa). M no visiem racionālajiem skaitļiem	a⊂α - līnija a pieder plaknei α (saprot šādā nozīmē: taisnes a punktu kopa ir plaknes α punktu apakškopa)
7	∪	savienība	C \u003d A U B - kopa C ir kopu savienība A un B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - pārtraukta līnija, ABCD ir segmentu savienība [AB], [BC],
8	∩	Daudzu krustojums	М=К∩L - kopa М ir kopu К un L krustpunkts (satur elementus, kas pieder gan kopai K, gan kopai L). M ∩ N = ∅- kopu M un N krustpunkts ir tukšā kopa (kopām M un N nav kopīgu elementu)	a = α ∩ β - taisne a ir krustpunkts plaknes α un β un ∩ b = ∅ - taisnes a un b nekrustojas (nav kopīgu punktu)

II grupa SIMBOLI, KAS APZĪMĒ LOĢISKĀS DARBĪBAS

Nē.	Apzīmējums	Saturs	Simboliskā apzīmējuma piemērs
1	∧	teikumu savienojums; atbilst savienībai "un". Teikums (p∧q) ir patiess tad un tikai tad, ja gan p, gan q ir patiesi	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Virsmu α un β krustpunkts ir punktu kopa (līnija), kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem punktiem K, kas pieder gan virsmai α, gan virsmai β
2	∨	Teikumu disjunkcija; atbilst savienībai "vai". Teikums (p∨q) patiess, ja vismaz viens no teikumiem p vai q ir patiess (t.i., vai nu p vai q, vai abi).	-
3	⇒	Implikācija ir loģiskas sekas. Teikums p⇒q nozīmē: "ja p, tad q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai, tad tās ir paralēlas viena otrai.
4	⇔	Teikums (p⇔q) tiek saprasts šādā nozīmē: "ja p, tad q; ja q, tad p"	А∈α⇔А∈l⊂α. Punkts pieder plaknei, ja tas pieder kādai tai plaknei piederošai taisnei. Ir arī otrādi: ja punkts pieder kādai taisnei, kas pieder plaknei, tad tas pieder arī pašai plaknei.
5	∀	Vispārējais kvantētājs skan: visiem, visiem, ikvienam. Izteiciens ∀(x)P(x) nozīmē: "jebkuram x: īpašība P(x)".	∀(ΔABC)( = 180°) Jebkuram (jebkuram) trīsstūrim tā leņķu vērtību summa virsotnēs ir 180°
6	∃	Eksistenciālais kvantors skan: pastāv. Izteiciens ∃(x)P(x) nozīmē: "ir x, kam ir īpašība P(x)"	(∀α)(∃a). Jebkurai plaknei α eksistē taisne a, kas nepieder plaknei α. un paralēli plaknei α
7	∃1	Esamības unikalitātes kvantors skan: ir unikāls (-th, -th)... Izteiciens ∃1(x)(Px) nozīmē: "ir unikāls (tikai viens) x, kam ir īpašums Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Jebkuriem diviem dažādi punkti A un B ir viena rinda a, iet caur šiem punktiem.
8	(px)	Izteikuma P(x) noliegums	ab(∃α )(α⊃a, b). Ja taisnes a un b krustojas, tad nav plaknes a, kurā tās būtu
9	\	Negatīvā zīme	≠ - segments [AB] nav vienāds ar segmentu .a? b - taisne a nav paralēla taisnei b