"varbūtības teorija eksāmena un ogas uzdevumos". Vienkāršas problēmas varbūtību teorijā

Līdz šim prezentēts matemātikas USE problēmu atklātajā bankā (mathege.ru), kuras risinājums ir balstīts tikai uz vienu formulu, kas ir klasiska varbūtības definīcija.

Vienkāršākais veids, kā saprast formulu, ir ar piemēriem.
1. piemērs Grozā ir 9 sarkanas un 3 zilas bumbiņas. Bumbiņas atšķiras tikai pēc krāsas. Pēc nejaušības principa (neskatoties) mēs iegūstam vienu no tiem. Kāda ir iespējamība, ka šādi izvēlētā bumbiņa būs zila?

Komentārs. Varbūtības problēmās notiek kaut kas (šajā gadījumā mūsu lodes vilkšanas darbība), kas var būt atšķirīgs rezultāts- iznākums. Jāpiebilst, ka rezultātu var aplūkot dažādi. "Izvilkām bumbu" arī ir rezultāts. "Mēs izvilkām zilo bumbu" ir rezultāts. "Mēs izvilkām šo konkrēto bumbiņu no visām iespējamām bumbiņām" - šāds vismazāk vispārinātais rezultāta skatījums tiek saukts par elementāru iznākumu. Varbūtības aprēķināšanas formulā ir domāti elementārie rezultāti.

Risinājums. Tagad mēs aprēķinām zilās bumbas izvēles varbūtību.
Notikums A: "izvēlētā bumba izrādījās zila"
Kopējais visu iespējamo iznākumu skaits: 9+3=12 (visu bumbiņu skaits, ko mēs varētu izvilkt)
Notikumam A labvēlīgo iznākumu skaits: 3 (to iznākumu skaits, kuros notika notikums A, tas ir, zilo bumbiņu skaits)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atbilde: 0,25

Aprēķināsim tai pašai problēmai sarkanās bumbiņas izvēles varbūtību.
Kopējais iespējamo iznākumu skaits paliks nemainīgs, 12. Labvēlīgo iznākumu skaits: 9. Vēlamā varbūtība: 9/12=3/4=0,75

Jebkura notikuma varbūtība vienmēr ir no 0 līdz 1.
Dažkārt ikdienas runā (bet ne varbūtības teorijā!) notikumu iespējamība tiek novērtēta procentos. Pāreja starp matemātisko un sarunvalodas vērtējumu tiek veikta, reizinot (vai dalot) ar 100%.
Tātad,
Šajā gadījumā varbūtība ir nulle notikumiem, kas nevar notikt – maz ticami. Piemēram, mūsu piemērā tā būtu varbūtība no groza izvilkt zaļo bumbu. (Labvēlīgo iznākumu skaits ir 0, P(A)=0/12=0, ja rēķina pēc formulas)
1. varbūtībai ir notikumi, kas noteikti notiks bez iespējām. Piemēram, varbūtība, ka "izvēlētā bumba būs sarkana vai zila", ir mūsu problēma. (Labvēlīgo iznākumu skaits: 12, P(A)=12/12=1)

Mēs esam apskatījuši klasisku piemēru, kas ilustrē varbūtības definīciju. Visi līdzīgi IZMANTOT uzdevumus saskaņā ar varbūtību teoriju tiek atrisināti, izmantojot šo formulu.
Sarkano un zilo bumbiņu vietā var būt āboli un bumbieri, zēni un meitenes, apgūtas un neapgūtas biļetes, biļetes, kurās ir un nav ietverts jautājums par noteiktu tēmu (prototipi , ), bojātas un kvalitatīvas somas vai dārza sūkņi (prototipi). , ) - princips paliek nemainīgs.

Tie nedaudz atšķiras USE varbūtības teorijas problēmas formulējumā, kur jums jāaprēķina notikuma varbūtība noteiktā dienā. ( , ) Tāpat kā iepriekšējos uzdevumos, jums ir jānosaka, kas ir elementārs rezultāts, un pēc tam jāpiemēro tā pati formula.

2. piemērs Konference ilgst trīs dienas. Pirmajā un otrajā dienā pa 15 runātājiem, trešajā dienā - 20. Kāda ir varbūtība, ka profesora M. referāts iekritīs trešajā dienā, ja referātu secību nosaka izlozē?

Kāds šeit ir elementārs iznākums? - Profesora ziņojuma piešķiršana vienam no visiem iespējamajiem runas kārtas numuriem. Izlozē piedalās 15+15+20=50 cilvēki. Tādējādi profesora M. ziņojums var saņemt vienu no 50 numuriem. Tas nozīmē, ka ir tikai 50 elementāri rezultāti.
Kādi ir labvēlīgie rezultāti? – Tās, kurās izrādās, ka profesors runās trešajā dienā. Tas ir, pēdējie 20 skaitļi.
Saskaņā ar formulu varbūtība P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atbilde: 0.4

Izloze šeit ir nejaušas sarakstes izveidošana starp cilvēkiem un pasūtītām vietām. 2. piemērā saskaņošana tika apsvērta, ņemot vērā to, kuru vietu konkrēta persona varētu ieņemt. Tai pašai situācijai var pieiet no otras puses: kurš no cilvēkiem ar kādu varbūtību varētu nokļūt konkrētajā vietā (prototipi , , , ):

3. piemērs Izlozē piedalās 5 vācieši, 8 francūži un 3 igauņi. Kāda ir iespējamība, ka pirmais (/otrais/septītais/pēdējais - nav svarīgi) būs francūzis.

Elementāro rezultātu skaits ir visu skaits iespējamie cilvēki kurš, izlozes kārtībā, varētu iekļūt dotā vieta. 5+8+3=16 cilvēki.
Labvēlīgi iznākumi - franči. 8 cilvēki.
Vēlamā varbūtība: 8/16=1/2=0,5
Atbilde: 0,5

Prototips ir nedaudz atšķirīgs. Ir uzdevumi par monētām () un kauliņiem (), kas ir nedaudz radošāki. Šo problēmu risinājumus var atrast prototipu lapās.

Šeit ir daži monētu vai kauliņu mešanas piemēri.

4. piemērs Kad mēs metam monētu, kāda ir varbūtība iegūt astes?
Rezultāti 2 - galvas vai astes. (tiek uzskatīts, ka monēta nekad nekrīt uz malas) Labvēlīgs iznākums - astes, 1.
Varbūtība 1/2=0,5
Atbilde: 0,5.

5. piemērs Ko darīt, ja mēs divreiz uzmetam monētu? Kāda ir iespējamība, ka tas iznāks abas reizes?
Galvenais ir noteikt, kādus elementārus rezultātus ņemsim vērā, metot divas monētas. Pēc divu monētu mešanas var rasties viens no šiem rezultātiem:
1) PP - abas reizes tas nāca uz augšu
2) PO - pirmo reizi astes, otro reizi galvas
3) OP - pirmo reizi galvas, otro reizi astes
4) OO - heads up abas reizes
Citu variantu nav. Tas nozīmē, ka elementārie rezultāti ir 4. Tikai pirmais ir labvēlīgs, 1.
Varbūtība: 1/4=0,25
Atbilde: 0,25

Kāda ir varbūtība, ka divi monētas metieni nokritīs uz astēm?
Elementāro iznākumu skaits ir vienāds, 4. Labvēlīgi rezultāti ir otrais un trešais, 2.
Varbūtība iegūt vienu asti: 2/4=0,5

Šādās problēmās var noderēt cita formula.
Ja ar vienu monētas mešanu iespējas mums ir 2 rezultāti, tad diviem metieniem rezultāti būs 2 2=2 2 =4 (kā 5. piemērā), trīs metieniem 2 2 2=2 3 =8, četriem: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N metieniem ir 2·2·...·2=2 N iespējamie iznākumi.

Tātad, jūs varat atrast varbūtību iegūt 5 astes no 5 monētu metieniem.
Kopējais pamatrezultātu skaits: 2 5 =32.
Labvēlīgi rezultāti: 1. (RRRRRR — visas 5 reizes astes)
Varbūtība: 1/32=0,03125

Tas pats attiecas uz kauliņiem. Ar vienu metienu iespējamie rezultāti ir 6. Tātad diviem metieniem: 6 6=36, trīs 6 6 6=216 utt.

6. piemērs Mēs metam kauliņu. Kāda ir varbūtība iegūt pāra skaitli?

Kopējie rezultāti: 6, atkarībā no seju skaita.
Labvēlīgi: 3 rezultāti. (2, 4, 6)
Varbūtība: 3/6=0,5

7. piemērs Izmet divus kauliņus. Kāda ir iespējamība, ka kopējais metiens ir 10? (noapaļas līdz simtdaļām)

Vienam mirstam ir 6 iespējamie iznākumi. Tātad diviem, saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu, 6·6=36.
Kādi rezultāti būs labvēlīgi, lai kopā 10 izkristu?
10 ir jāsadala divu skaitļu summā no 1 līdz 6. To var izdarīt divos veidos: 10=6+4 un 10=5+5. Tātad kubiem ir iespējamas šādas iespējas:
(6 pirmajā un 4 otrajā)
(4 pirmajā un 6 otrajā)
(5 pirmajā un 5 otrajā)
Kopumā 3 varianti. Vēlamā varbūtība: 3/36=1/12=0,08
Atbilde: 0,08

Cita veida B6 problēmas tiks apspriestas vienā no šiem rakstiem "Kā atrisināt".

Prezentācijas apraksts atsevišķos slaidos:

1 slaids

Slaida apraksts:

Galvenie uzdevumi varbūtību teorijā Sagatavošanās OGE Nr. 9 MBOU "Ģimnāzija Nr. 4 nosaukta pēc. A.S. Puškins” Sastādīja: Sofina N.Yu.

2 slaids

Slaida apraksts:

Pārbaudāmās pamatprasības matemātiskajai sagatavošanai Nr.9 OGE matemātikā Risināt praktiskas problēmas, kurām nepieciešama sistemātiska iespēju uzskaitīšana; salīdzināt nejaušu notikumu rašanās iespējas, novērtēt nejauša notikuma varbūtības, salīdzināt un izpētīt reālas situācijas modeļus, izmantojot varbūtības un statistikas aparātu. Nr.9 - pamatuzdevums. Maksimālais punktu skaits par uzdevuma izpildi ir 1.

3 slaids

Slaida apraksts:

Notikuma A varbūtība ir šim notikumam labvēlīgo iznākumu skaita m attiecība pret kopējais skaits n visi vienādi iespējamie nesaderīgie notikumi, kas var rasties viena testa vai novērojuma rezultātā Klasiskā varbūtības definīcija Atgādināt nejauša notikuma klasiskās varbūtības aprēķināšanas formulu Р = n m

4 slaids

Slaida apraksts:

Klasiskā varbūtības definīcija Piemērs: Vecāku komiteja nopirka 40 krāsojamās lapas izlaiduma dāvanām bērniem skolas gads. No tiem 14 ir balstīti uz A.S. pasakām. Puškina un 26 pēc G.Kh.Andersena pasaku motīviem. Dāvanas tiek sadalītas nejauši. Atrodiet varbūtību, ka Nastja iegūs krāsojamo grāmatu, kuras pamatā ir A.S. pasakas. Puškins. Risinājums: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Atbilde: 0,35.

5 slaids

Slaida apraksts:

Piemērs: eksāmenam bija 60 jautājumi. 3 no tiem Ivans neiemācījās. Atrodiet varbūtību, ka viņš saskarsies ar apgūto jautājumu. Risinājums: šeit n=60. Ivans neiemācījās 3, tāpēc iemācījās visu pārējo, t.i. m = 60-3 = 57. P=57/60=0,95. Klasiskā varbūtības definīcija Atbilde: 0,95.

6 slaids

Slaida apraksts:

“Secību nosaka izloze” Piemērs: Vingrošanas čempionātā piedalās 20 sportisti: 8 no Krievijas, 7 no ASV, pārējie no Ķīnas. Vingrotāju izpildes secība tiek noteikta izlozē. Atrodiet varbūtību, ka piektais sportists ir no Ķīnas. Risinājums: Problēmas stāvoklī ir “maģisks” vārds “lot”, kas nozīmē, ka mēs aizmirstam par runāšanas kārtību. Tādējādi m = 20-8-7 = 5 (no Ķīnas); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Atbilde: 0,25.

7 slaids

Slaida apraksts:

Piemērs: Zinātniskā konference notiek pēc 5 dienām. Kopā plānoti 75 ziņojumi - pirmās 3 dienas, katrā pa 17 ziņojumiem, pārējās vienādi sadalītas starp 4. un 5. dienu. Atskaišu secību nosaka izloze. Kāda ir varbūtība, ka profesora Ivanova referāts tiks ieplānots konferences pēdējā dienā? Risinājums: ievietosim datus tabulā. Mēs saņēmām, ka m=12; n=75. P=12/75=0,16. Atbilde: 0,16. “Kārtība noteikta ar izlozi” I diena II III IV V Kopā prezentāciju skaits 17 17 17 12 12 75

8 slaids

Slaida apraksts:

Notikumu biežums Tāpat kā varbūtība tiek atrasta notikuma biežums, kura uzdevumi arī ir prototipos. Kāda ir atšķirība? Varbūtība ir paredzama vērtība, un biežums ir fakta paziņojums. Piemērs: varbūtība, ka jauna planšetdators tiks salabots gada laikā, ir 0,045. Noteiktā pilsētā no gada laikā pārdotajām 1000 planšetdatoriem garantijas darbnīcā nonāca 51 gab. Cik “garantijas remonta” notikuma biežums atšķiras no tā iespējamības šajā pilsētā? Risinājums: Atrodiet notikuma biežumu: 51/1000=0,051. Un varbūtība ir 0.045 (pēc nosacījuma) Tas nozīmē, ka šajā pilsētā “garantijas remonta” notikums notiek biežāk nekā paredzēts. Atradīsim starpību ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Tajā pašā laikā jāņem vērā, ka mums NAV svarīga atšķirības zīme, bet tikai tās absolūtā vērtība. Atbilde: 0,006.

9 slaids

Slaida apraksts:

Problēmas ar opciju uzskaitīšanu ("monētas", "sērkociņi") Pieņemsim, ka k ir monētu metienu skaits, tad iespējamo iznākumu skaits: n = 2k. Piemērs: nejaušā eksperimentā simetriska monēta tiek izmesta divas reizes. Atrodiet varbūtību, ka galviņas parādās tieši vienu reizi. Risinājums: Monētu nomešanas iespējas: OO; VAI; RR; RO. Tādējādi n=4. Labvēlīgi rezultāti: RR un RR. Tas ir, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Atbilde: 0,5.

10 slaids

Slaida apraksts:

Piemērs: Pirms palaišanas futbola mačs Tiesnesis met monētu, lai noteiktu, kurai komandai bumba būs pirmā. Komanda "Mercury" spēlē pēc kārtas ar komandām "Mars", "Jupiter", "Uranus". Atrodi varbūtību, ka visos mačos bumbas īpašumtiesības izcīnīs komanda "Mercury"? Problēmas ar opciju uzskaitīšanu ("monētas", "sērkociņi") Risinājums: Apzīmēsim "Mercury" komandas pirmās bumbas valdīšanas tiesības mačā ar kādu no pārējām trim komandām kā "Astes". Tad šīs komandas otrās bumbas valdīšanas tiesības ir “Ērglis”. Tātad, pierakstīsim visus iespējamos iznākumus, trīs reizes izmetot monētu. "O" - galvas, "R" - astes. ; i., n=8; m=1. P=1/8=0,125. Atbilde: 0,125 n = 23 "Marss" "Jupiters" "Urāns"

11 slaids

Slaida apraksts:

Uzdevumi par "kauliņiem" Ļaujiet k ir kauliņa metienu skaits, tad iespējamo iznākumu skaits: n = 6k. Piemērs: Daša divreiz met kauliņu. Atrodiet varbūtību, ka viņas kopējā summa ir 8. Rezultātu noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai. Atbilde: 0,14. Risinājums: divu kauliņu summai jābūt 8 punktiem. Tas ir iespējams, ja ir šādas kombinācijas: 2 un 6 6 un 2 3 un 5 5 un 3 4 un 4 m= 5 (5 piemērotas kombinācijas) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 slaids

Slaida apraksts:

Neatkarīgi notikumi un reizināšanas likums Varību atrast gan 1., gan 2., gan n-to notikumu nosaka pēc formulas: Р= Р1*Р2*…*Рn Piemērs: Biatlonists šauj pa mērķi piecas reizes. Varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,8. Atrodiet varbūtību, ka biatlonists trāpīja mērķos pirmās trīs reizes un palaida garām pēdējās divas reizes. Rezultātu noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai. Atbilde: 0,02. Risinājums: katra nākamā šāviena rezultāts nav atkarīgs no iepriekšējiem. Tāpēc notikumi “trāpīja pa pirmo šāvienu”, “trāpīja uz otro šāvienu” utt. neatkarīgs. Katra trāpījuma varbūtība ir 0,8. Tātad kļūdas iespējamība ir 1 - 0,8 = 0,2. 1 šāviens: 0,8 2 šāviens: 0,8 3 šāviens: 0,8 4 šāviens: 0,2 5 šāviens: 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 slaids

Slaida apraksts:

"Un" likumu un "vai" likumu kombinācijas Piemērs: birojs pērk kancelejas preces 3 dažādu firmu darbiniekiem. Turklāt 1. uzņēmuma produkcija veido 40% no visām piegādēm, un pārējā 2. uzņēmuma produkcija ir sadalīta vienādi. Izrādījās, ka 2% no 2. uzņēmuma pildspalvām ir defekti. Laulību īpatsvars 1. un 3. firmā ir attiecīgi 1% un 3%. Darbinieks A paņēma pildspalvu no jauna sūtījuma. Atrodiet varbūtību, ka tas būs pareizi. Risinājums: 2. un 3. firmas produkcija ir (100%-40%):2=30% no piegādēm. P (laulība) = 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (apkalpojamas pildspalvas) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Atbilde: 0,981.

Viegli uzdevumi

Uz galda ir 25 pīrāgi: 7 - ar ievārījumu, 9 - ar kartupeļiem, pārējie ar kāpostiem. Kāda ir iespējamība, ka nejauši izvēlēts pīrāgs būs ar kāpostiem?

0,36

Taksometrā strādā 40 automašīnas: 14 ir Lada markas, 8 Renault markas, 2 Mercedes markas, bet pārējās ir Skoda markas. Kāda ir varbūtība, ka uz jūsu izsaukumu atbrauks Mercedes?

0,05

Nosakiet varbūtību, ka, metot kauliņu, parādīsies skaitlis vismaz trīs.

Īra, Dima, Vasja, Nataša un Andrejs izpilda normatīvu 60 metros. Kāda ir varbūtība, ka meitene skrien visātrāk?

Varbūtība, ka pazemes pārejā pirkts telefons ir viltots, ir 0,83. Kāda ir iespējamība, ka pārejā pirktais telefons nebūs viltojums?

0,17

Basketbola turnīrā piedalās 20 komandas, tai skaitā “Puiši” komanda. Visas komandas ir sadalītas 4 grupās: A, B, C, D. Kāda ir iespējamība, ka “Puiši” komanda tiks A grupā?

0,25

Loterijas somā ir mucas, kas numurētas no 5 līdz 94 ieskaitot. Kāda ir varbūtība, ka no maisa izņemtajā mucā ir divciparu skaitlis? Atbildi noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai.

0,94

Pirms eksāmena Igors izturēja līdz pēdējam un paguva iemācīties tikai 5 biļetes no 80. Nosakiet varbūtību, ka viņš saskarsies ar apgūtu biļeti.

0,0625

Anya ieslēdz radio un nejauši izvēlas radioviļņu. Kopumā viņas radio uztvērējs uztver 20 radioviļņus un tikai 7 no tiem Šis brīdis skan mūzika. Atrodiet varbūtību, ka Anya uzkritīs uz mūzikas viļņa.

0,35

Katrā divdesmitajā sodas pudelē zem vāciņa ir paslēpts kods ar laimestu. Nosakiet varbūtību, ka iegādātajai pudelei zem vāciņa būs laimēšanas kods.

0,05

Uzdevumi ir grūtāki

Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēts trīsciparu skaitlis dalās ar 5?

0,2

Tiek fiksēts piecu skolēnu augums (cm): 166, 158, 132, 136, 170. Cik šīs skaitļu kopas vidējais aritmētiskais atšķiras no tās mediānas?

Pēc vienas mazas valsts statistikas ir zināms, ka varbūtība, ka piedzims zēns, ir 0,507. 2017. gadā uz 1000 šajā valstī dzimušajiem mazuļiem bija vidēji 486 meitenes. Cik atšķiras sieviešu dzemdību biežums 2017. gadā šajā valstī no šī notikuma iespējamības?

0,007

Kauliņš tiek izmests divreiz. Atrodiet varbūtību, ka divu izvilkto skaitļu summa ir 3 vai 7. Noapaļojiet savu atbildi līdz tuvākajai simtdaļai.

0,22

Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlēts trīsciparu skaitlis dalās ar 2?

0,5

Atrodiet varbūtību, ka divi monētu metieni iznāk tieši vienu reizi.

0,5

Kauliņš tiek izmests divreiz, noskaidrojiet varbūtību, ka abas reizes parādīsies skaitlis, kas lielāks par trīs. Atbildi noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai.

0,31

Pēc vienas mazas valsts statistikas ir zināms, ka varbūtība, ka piedzims zēns, ir 0,594. 2017. gadā uz 1000 šajā valstī dzimušajiem mazuļiem bija vidēji 513 meitenes. Cik atšķiras sieviešu dzemdību biežums 2017. gadā šajā valstī no šī notikuma iespējamības?

0,107

Pierakstīts piecu skolēnu augums (cm): 184, 145, 176, 192, 174. Cik šīs skaitļu kopas vidējais aritmētiskais atšķiras no tās mediānas?

1,8

Ciema "Giants" iedzīvotāju vidējais augums ir 194 cm Nikolaja Petroviča augums ir 195 cm Kurš no šiem apgalvojumiem ir pareizs?

1) Viena ciema iedzīvotāja augumam jābūt 194 cm.

2) Nikolajs Petrovičs ir garākais ciema iedzīvotājs.

3) Zem Nikolaja Petroviča noteikti būs vismaz viens vīrietis no šī ciema.

4) Zem Nikolaja Petroviča noteikti būs vismaz viens iedzīvotājs no šī ciema.

4

Grūti uzdevumi

Šāvējs šauj 4 reizes ar ieroci pa mērķiem. Tā precīza trāpījuma iespēja ar vienu šāvienu mērķī ir 0,5. Atrodiet varbūtību, ka šāvējs trāpa mērķī pirmās divas reizes un netrāpa pēdējās divas reizes.

0,0625

Varbūtība, ka akumulators ir bojāts, ir 0,05. Pircējs veikalā izvēlas nejaušu iepakojumu ar divām baterijām. Atrodiet varbūtību, ka abas baterijas ir labas.

0,9025

Šāvējs šauj pa mērķiem 5 reizes pēc kārtas. Varbūtība trāpīt mērķī, izšaujot, ir 0,7. Atrodiet varbūtību, ka šāvējs trāpīja mērķī pirmās četras reizes un netrāpīja pēdējo reizi. Rezultātu noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai.

Notikumus, kas notiek realitātē vai mūsu iztēlē, var iedalīt 3 grupās. Tie ir noteikti notikumi, kuriem noteikti jānotiek, neiespējami notikumi un nejauši notikumi. Varbūtību teorija pēta nejaušus notikumus, t.i. notikumi, kas var notikt vai nenotikt. Šis raksts tiks prezentēts kopsavilkums varbūtības teorijas formulas un problēmu risināšanas piemēri varbūtību teorijā, kas būs 4. uzdevumā USE matemātikā (profila līmenī).

Kāpēc mums ir vajadzīga varbūtības teorija

Vēsturiski nepieciešamība pētīt šīs problēmas radās 17. gadsimtā saistībā ar Latvijas valsts un pašvaldību lietu attīstību un profesionalizāciju. azartspēles un kazino parādīšanās. Tā bija reāla parādība, kas prasīja tās izpēti un izpēti.

Spēļu kārtis, kauliņi, rulete radīja situācijas, kurās varēja notikt jebkurš no ierobežota skaita vienlīdz iespējamu notikumu. Bija nepieciešams sniegt skaitliskus aprēķinus par notikuma iespējamību.

20. gadsimtā kļuva skaidrs, ka šai šķietami vieglprātīgajai zinātnei ir svarīga loma mikrokosmosā notiekošo fundamentālo procesu izpratnē. Tika izveidots mūsdienu teorija varbūtības.

Varbūtību teorijas pamatjēdzieni

Varbūtību teorijas izpētes objekts ir notikumi un to varbūtības. Ja notikums ir sarežģīts, tad to var sadalīt vienkāršās sastāvdaļās, kuru varbūtības ir viegli atrast.

Notikumu A un B summu sauc par notikumu C, kas sastāv no tā, ka vai nu notikums A, vai notikums B, vai notikumi A un B notika vienlaikus.

Notikumu A un B reizinājums ir notikums C, kas sastāv no tā, ka ir noticis gan notikums A, gan notikums B.

Tiek uzskatīts, ka notikumi A un B nav savienojami, ja tie nevar notikt vienlaikus.

Notikums A tiek uzskatīts par neiespējamu, ja tas nevar notikt. Šādu notikumu apzīmē ar simbolu .

Notikums A tiek saukts par noteiktu, ja tas noteikti notiks. Šādu notikumu apzīmē ar simbolu .

Katram notikumam A tiek piešķirts skaitlis P(A). Šo skaitli P(A) sauc par notikuma A varbūtību, ja ar šādu atbilstību ir izpildīti šādi nosacījumi.

Svarīgs konkrēts gadījums ir situācija, kad ir vienādi iespējami elementārie iznākumi, un patvaļīgi no šiem rezultātiem veido notikumus A. Šajā gadījumā varbūtību var ievadīt ar formulu . Šādā veidā ieviesto varbūtību sauc klasiskā varbūtība. Var pierādīt, ka šajā gadījumā ir spēkā īpašības 1-4.

Problēmas varbūtības teorijā, kas atrodamas matemātikas eksāmenā, galvenokārt ir saistītas ar klasisko varbūtību. Šādi uzdevumi var būt ļoti vienkārši. Īpaši vienkāršas ir problēmas varbūtību teorijā demo versijas. Labvēlīgo iznākumu skaitu ir viegli aprēķināt, visu iznākumu skaits ir ierakstīts tieši nosacījumā.

Mēs saņemam atbildi pēc formulas.

Piemērs uzdevumam no matemātikas eksāmena varbūtības noteikšanai

Uz galda ir 20 pīrāgi - 5 ar kāpostiem, 7 ar āboliem un 8 ar rīsiem. Marina vēlas paņemt pīrāgu. Kāda ir varbūtība, ka viņa paņems rīsu kūku?

Risinājums.

Kopumā ir 20 līdzvērtīgi elementāri rezultāti, tas ir, Marina var paņemt jebkuru no 20 pīrāgiem. Bet mums ir jānovērtē iespējamība, ka Marina paņems rīsu pīrādziņu, tas ir, kur A ir rīsu pīrāga izvēle. Tas nozīmē, ka mums kopumā ir 8 labvēlīgi rezultāti (izvēloties rīsu pīrāgus), tad varbūtību noteiks pēc formulas:

Neatkarīgi, pretēji un patvaļīgi notikumi

Tomēr atklātajā uzdevumu bankā vairāk nekā grūti uzdevumi. Tāpēc pievērsīsim lasītāja uzmanību citiem varbūtību teorijā pētītajiem jautājumiem.

Notikumi A un B tiek saukti par neatkarīgiem, ja katra no tiem iespējamība nav atkarīga no tā, vai noticis otrs notikums.

Notikums B sastāv no tā, ka notikums A nenotika, t.i. notikums B ir pretējs notikumam A. Pretēja notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu mīnus tiešā notikuma varbūtība, t.i. .

Saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas, formulas

Patvaļīgiem notikumiem A un B šo notikumu summas varbūtība ir vienāda ar to varbūtību summu bez to kopīgā notikuma varbūtības, t.i. .

Neatkarīgiem notikumiem A un B šo notikumu reizinājuma varbūtība ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu, t.i. šajā gadījumā .

Pēdējos 2 apgalvojumus sauc par varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas teorēmām.

Ne vienmēr rezultātu skaita saskaitīšana ir tik vienkārša. Dažos gadījumos ir nepieciešams izmantot kombinatoriskās formulas. Vissvarīgākais ir saskaitīt notikumu skaitu, kas atbilst noteiktiem nosacījumiem. Dažreiz šādi aprēķini var kļūt par patstāvīgiem uzdevumiem.

Cik daudzos veidos var nosēdināt 6 skolēnus 6 tukšās vietās? Pirmais students ieņems kādu no 6 vietām. Katra no šīm iespējām atbilst 5 veidiem, kā ievietot otro studentu. Trešajam skolēnam 4 brīvas vietas, ceturtajam - 3, piektajam - 2, sestais ieņems vienīgo atlikušo vietu. Lai atrastu visu opciju skaitu, jāatrod prece, kas apzīmēta ar simbolu 6! un izlasiet "seši faktori".

Vispārīgā gadījumā atbildi uz šo jautājumu sniedz n elementu permutāciju skaita formula.Mūsu gadījumā .

Tagad apsveriet citu gadījumu ar mūsu studentiem. Cik daudzos veidos var nosēdināt 2 skolēnus 6 tukšās vietās? Pirmais students ieņems kādu no 6 vietām. Katra no šīm iespējām atbilst 5 veidiem, kā ievietot otro studentu. Lai atrastu visu iespēju skaitu, jums ir jāatrod prece.

Vispārīgā gadījumā atbildi uz šo jautājumu sniedz formula n elementu izvietojumu skaitam pa k elementiem

Mūsu gadījumā.

Un pēdējais šajā sērijā. Cik daudzos veidos var izvēlēties 3 skolēnus no 6? Pirmo studentu var izvēlēties 6 veidos, otro - 5, bet trešo - 4 veidos. Bet starp šīm iespējām tie paši trīs studenti sastopami 6 reizes. Lai atrastu visu opciju skaitu, jums jāaprēķina vērtība: . Vispārīgā gadījumā atbildi uz šo jautājumu sniedz formula elementu kombināciju skaitam pa elementiem:

Mūsu gadījumā.

Matemātikas eksāmena uzdevumu risināšanas piemēri varbūtības noteikšanai

Uzdevums 1. No krājuma, izd. Jaščenko.

Uz šķīvja ir 30 pīrāgi: 3 ar gaļu, 18 ar kāpostiem un 9 ar ķiršiem. Saša nejauši izvēlas vienu pīrāgu. Atrodiet varbūtību, ka viņš nonāks pie ķirša.

.

Atbilde: 0.3.

2. uzdevums. No krājuma, red. Jaščenko.

Katrā 1000 spuldžu partijā vidēji 20 bojātas. Atrodiet varbūtību, ka nejauši no partijas izvēlēta spuldze ir laba.

Risinājums: izmantojamo spuldžu skaits ir 1000-20=980. Tad varbūtība, ka no partijas nejauši paņemta spuldze būs izmantojama:

Atbilde: 0,98.

Varbūtība, ka skolēns U. matemātikas ieskaitē pareizi atrisina vairāk nekā 9 uzdevumus, ir 0,67. Varbūtība, ka U. pareizi atrisina vairāk nekā 8 uzdevumus, ir 0,73. Atrodiet varbūtību, ka U. pareizi atrisina tieši 9 uzdevumus.

Ja iedomāsimies skaitļa līniju un atzīmēsim tajā punktus 8 un 9, tad redzēsim, ka nosacījums "U. pareizi atrisināt tieši 9 problēmas” ir iekļauts nosacījumā “U. pareizi atrisināt vairāk nekā 8 problēmas", bet neattiecas uz nosacījumu "W. pareizi atrisināt vairāk nekā 9 problēmas.

Tomēr nosacījums "U. pareizi atrisināt vairāk nekā 9 problēmas" ir ietverts nosacījumā "U. pareizi atrisināt vairāk nekā 8 problēmas. Tādējādi, ja mēs apzīmējam notikumus: “W. pareizi atrisināt tieši 9 uzdevumus" - caur A, "U. pareizi atrisināt vairāk nekā 8 uzdevumus" - caur B, "U. pareizi atrisināt vairāk nekā 9 uzdevumus ”caur C. Tad risinājums izskatīsies šādi:

Atbilde: 0,06.

Ģeometrijas eksāmenā students atbild uz vienu jautājumu no eksāmena jautājumu saraksta. Varbūtība, ka šis ir trigonometrijas jautājums, ir 0,2. Varbūtība, ka šis ir Ārējo stūru jautājums, ir 0,15. Nav jautājumu saistībā ar šīm divām tēmām vienlaikus. Atrodiet varbūtību, ka students eksāmenā saņems jautājumu par vienu no šīm divām tēmām.

Padomāsim, kādi pasākumi mums ir. Mums ir doti divi nesavienojami notikumi. Tas ir, vai nu jautājums attieksies uz tēmu "Trigonometrija", vai arī uz tēmu "Ārējie leņķi". Saskaņā ar varbūtības teorēmu nesaderīgu notikumu varbūtība ir vienāda ar katra notikuma varbūtību summu, mums jāatrod šo notikumu varbūtību summa, tas ir:

Atbilde: 0,35.

Telpu apgaismo laterna ar trim lampām. Viena lampas izdegšanas iespējamība gada laikā ir 0,29. Atrodiet varbūtību, ka gada laikā neizdegs vismaz viena lampa.

Apskatīsim iespējamos notikumus. Mums ir trīs spuldzes, no kurām katra var izdegt vai neizdegt neatkarīgi no jebkuras citas spuldzes. Tie ir neatkarīgi notikumi.

Tad norādīsim šādu notikumu variantus. Mēs pieņemam apzīmējumu: - spuldze ir ieslēgta, - spuldze ir izdegusi. Un tūlīt pēc tam mēs aprēķinām notikuma varbūtību. Piemēram, notikuma iespējamība, kurā notikuši trīs neatkarīgi notikumi “izdegusi spuldze”, “ieslēgta spuldze”, “ieslēgta spuldze”: kur notikuma “spuldzīte ieslēgta” varbūtība tiek aprēķināta kā varbūtība notikums, kas ir pretējs notikumam “spuldze izslēgta”, proti.

Ņemiet vērā, ka mums labvēlīgi ir tikai 7 nesaderīgi notikumi.. Šādu notikumu iespējamība ir vienāda ar katra notikuma varbūtību summu: .

Atbilde: 0.975608.

Attēlā var redzēt citu problēmu:

Tādējādi jūs un es sapratām, kas ir varbūtības teorija, formulas un problēmu risināšanas piemēri, par kuriem jūs varat satikties eksāmena versijā.

Šajā prezentācijā ir sniegti visbiežāk sastopamie uzdevumi varbūtības teorijas eksāmenā. Pamatlīmeņa uzdevumi. Prezentācija palīdzēs gan skolotājiem vispārināšanas atkārtošanas stundās, gan skolēniem pašmācības uz eksāmenu.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet sev kontu ( konts) Google un pierakstieties: https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

VARBŪTĪBU TEORIJAS GALVENIE UZDEVUMI Gatavošanās OGE

MONĒTAS MEŠANA

1. Monēta tiek iemesta divas reizes. Kāda ir varbūtība iegūt vienu galvu un vienu asti? Lēmums: izmetot vienu monētu, ir iespējami divi iznākumi - “galvas” vai “astes”. Izmetot divas monētas - 4 rezultāti (2 * 2 = 4): "ērglis" - "astes" "astes" - "astes" "astes" - "ērgļi" "ērgļi" - "ērglis" Viens "ērglis" un viens " astes” izkritīs divos gadījumos no četriem. P(A)=2:4=0,5. Atbilde: 0,5.

2. Monēta tiek izmesta trīs reizes. Kāda ir varbūtība iegūt divas galvas un vienu asti? Risinājums: izmetot trīs monētas Iespējami 8 iznākumi (2*2*2=8): "ērglis" - "astes" - "astes" "astes" - "astes" - "astes" "astes" - "galvas" - "astes" "galvas" - "ērglis" - "astes" "astes" - "astes" - "galvas" "astes" - "ērgļi" - "ērgļi" "ērgļi" - "astes" - "ērgļi" "ērgļi" - "ērgļi" - " ērgļi" » Izkritīs divi "ērgļi" un viena "aste". trīs gadījumi no astoņiem. P(A)=3:8=0,375. Atbilde: 0,375.

3. Izlases eksperimentā simetriska monēta tiek izmesta četras reizes. Atrodiet varbūtību, ka galvas nekad neparādīsies. Risinājums: Izmetot četras monētas, iespējami 16 iznākumi: (2*2*2*2=16): Labvēlīgi iznākumi - 1 (četras astes izkritīs). P(A)=1:16=0,0625. Atbilde: 0,0625.

KAUĻU SPĒLE

4. Nosakiet varbūtību, ka metot kauliņu, izkrita vairāk nekā trīs punkti. Risinājums: Kopā ir 6 iespējamie iznākumi. Lielie skaitļi ir 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Atbilde: 0,5.

5. Tiek izmests kauliņš. Atrodiet varbūtību iegūt pāra punktu skaitu. Risinājums: Kopējie iespējamie rezultāti - 6. 1, 3, 5 - nepāra skaitļi; 2, 4, 6 ir pāra skaitļi. Varbūtība iegūt pāra punktu skaitu ir 3:6=0,5. Atbilde: 0,5.

6. Izlases eksperimentā tiek izmesti divi kauliņi. Atrodi varbūtību iegūt 8 punktus kopā. Rezultātu noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai. Risinājums: Šai darbībai – divu kauliņu mešanai kopā ir 36 iespējamie iznākumi, jo 6² = 36. Labvēlīgi rezultāti: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Varbūtība iegūt astoņus punktus ir 5:36 ≈ 0,14. Atbilde: 0,14.

7. Divreiz metiet kauliņu. Kopumā izkrita 6 punkti. Atrodiet varbūtību iegūt 5 vienā no ruļļiem. Lēmums: Kopējie rezultāti 6 punkti - 5: 2 un 4; 4 un 2; 3 un 3; 1 un 5; 5 un 1. Labvēlīgi rezultāti - 2. P(A)=2:5=0,4. Atbilde: 0.4.

8. Eksāmenā bija 50 biļetes, no tām Timofejs 5 neiemācījās. Atrodiet varbūtību, ka viņš iegūs apgūto biļeti. Risinājums: Timofejs iemācījās 45 biļetes. P(A)=45:50=0,9. Atbilde: 0.9.

SACENSĪBAS

9. Vingrošanas čempionātā piedalās 20 sportisti: 8 no Krievijas, 7 no ASV, pārējie no Ķīnas. Izpildes kārtību nosaka izloze. Atrodiet varbūtību, ka sportists, kurš startē pirmais, ir no Ķīnas. Risinājums: Kopējie rezultāti 20. Labvēlīgie rezultāti 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Atbilde: 0,25.

10. Uz lodes mešanas sacensībām ieradās 4 sportisti no Francijas, 5 no Anglijas un 3 no Itālijas. Priekšnesumu secību nosaka izloze. Atrodiet varbūtību, ka piektais sportists ir no Itālijas. Risinājums: Visu iespējamo iznākumu skaits ir 12 (4 + 5 + 3 = 12). Labvēlīgo iznākumu skaits ir 3. P(A)=3:12=0,25. Atbilde: 0,25.

11. Pirms badmintona čempionāta pirmās kārtas sākuma dalībnieki pēc nejaušības principa izlozes kārtībā tiek sadalīti spēļu pāros. Kopumā čempionātā piedalās 26 badmintonisti, tostarp 12 dalībnieki no Krievijas, tostarp Vladimirs Orlovs. Atrodi varbūtību, ka pirmajā kārtā Vladimirs Orlovs spēlēs ar kādu badmintonistu no Krievijas? Lēmums: Kopējie rezultāti - 25 (Vladimirs Orlovs ar 25 badmintonistiem). Labvēlīgi rezultāti - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Atbilde: 0,44.

12. Izpildītāju konkurss notiek 5 dienās. Kopā tika pieteiktas 75 izrādes – pa vienai no katras valsts. Pirmajā dienā paredzētas 27 izrādes, pārējās vienādi sadalītas starp atlikušajām dienām. Priekšnesumu secību nosaka izloze. Kāda ir iespējamība, ka Krievijas pārstāvja uzstāšanās notiks trešajā sacensību dienā? Lēmums: Kopējie rezultāti - 75. Trešajā dienā uzstājas izpildītāji no Krievijas. Labvēlīgi rezultāti — (75-27): 4 = 12. P(A) = 12: 75 = 0,16. Atbilde: 0,16.

13. Koļa izvēlas divciparu skaitli. Atrodi varbūtību, ka tā dalās ar 5. Risinājums: Divciparu skaitļi: 10;11;12;…;99. Kopējie rezultāti - 90. Skaitļi, kas dalās ar 5: 10; 15; divdesmit; 25; …; 90; 95. Labvēlīgi iznākumi - 18. P(A)=18:90=0,2. Atbilde: 0.2.

DAŽĀDI UZDEVUMI VARBŪTĪBAS NOTEIKŠANAI

14. Rūpnīcā tiek ražoti maisi. Vidēji uz katriem 170 kvalitatīviem maisiem ir seši maisi ar slēptiem defektiem. Atrodi varbūtību, ka iegādātā soma būs kvalitatīva. Rezultātu noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai. Risinājums: Kopējie rezultāti - 176. Labvēlīgie rezultāti - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Atbilde: 0,97.

15. Vidēji no katriem 100 pārdotajiem akumulatoriem tiek uzlādētas 94 baterijas. Atrodiet varbūtību, ka iegādātais akumulators nav uzlādēts. Risinājums: Kopējie rezultāti - 100. Labvēlīgie rezultāti - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Atbilde: 0,06.

AVOTI http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru