Viena mainīgā funkciju teorija. Matemātiskā analīze

Ļaujiet mainīgajam x nņem bezgalīgu vērtību secību

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

un ir zināms mainīgā lieluma maiņas likums x n, t.i. katram naturālajam skaitlim n varat norādīt atbilstošo vērtību x n. Tādējādi tiek pieņemts, ka mainīgais x n ir funkcija n:

x n = f(n)

Definēsim vienu no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem - secības robežu vai, kas ir tas pats, mainīgā lieluma robežu. x n skriešanas secība x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definīcija. konstants skaitlis a sauca secības ierobežojums x 1 , x 2 , ..., x n , ... . vai mainīgā lieluma robeža x n, ja patvaļīgi mazam pozitīvam skaitlim e pastāv šāds naturāls skaitlis N(t.i., numurs N), ka visas mainīgā vērtības x n, sākot ar x N, atšķiras no a absolūtā vērtībā mazāka par e. Šī definīcija ir īsi uzrakstīta šādi:

| x n -a |< (2)

visiem n  N, vai, kas ir tas pats,

Košī robežas definīcija. Skaitli A sauc par funkcijas f (x) robežu punktā a, ja šī funkcija ir definēta kādā punkta a tuvumā, izņemot, iespējams, pašu punktu a, un katram ε > 0 eksistē δ > 0 tā, ka visiem x atbilst nosacījumam |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heines robežas definīcija. Skaitli A sauc par funkcijas f (x) robežu punktā a, ja šī funkcija ir definēta kādā punkta a tuvumā, izņemot, iespējams, pašu punktu a un jebkuru secību, piemēram, konverģējot uz skaitli a, atbilstošā funkcijas vērtību secība saplūst ar skaitli A.

Ja funkcijai f(x) ir robeža punktā a, tad šī robeža ir unikāla.

Skaitli A 1 sauc par funkcijas f (x) kreiso robežu punktā a, ja katram ε > 0 eksistē δ >

Skaitli A 2 sauc par funkcijas f (x) labo robežu punktā a, ja katram ε > 0 eksistē δ > 0 tā, ka nevienādība

Kreisajā pusē esošais ierobežojums tiek apzīmēts kā ierobežojums labajā pusē. Šīs robežas raksturo funkcijas darbību pa kreisi un pa labi no punkta a. Tos bieži sauc par vienvirziena ierobežojumiem. Apzīmējot vienpusējas robežas kā x → 0, pirmā nulle parasti tiek izlaista: un . Tātad, par funkciju

Ja katram ε > 0 ir tāda punkta a δ-apkaime, ka visiem x, kas atbilst nosacījumam |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, tad mēs sakām, ka funkcijai f (x) ir bezgalīga robeža punktā a:

Tādējādi funkcijai ir bezgalīga robeža punktā x = 0. Bieži tiek izdalītas robežas, kas vienādas ar +∞ un –∞. Tātad,

Ja katram ε > 0 eksistē δ > 0 tā, ka jebkuram x > δ nevienādība |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Eksistences teorēma mazākajai augšējai robežai

Definīcija: AR mR, m - A augšējā (apakšējā) skaldne, ja аА аm (аm).

Definīcija: Kopa A ir ierobežota no augšas (no apakšas), ja eksistē m tāds, ka аА, tad аm (аm) ir izpildīts.

Definīcija: SupA=m, ja 1) m - A augšējā robeža

2) m': m' m' nav A augšējā skala

InfA = n, ja 1) n ir A infimums

2) n': n'>n => n' nav A infimums

Definīcija: SupA=m ir skaitlis, kas: 1)  aA am

2) >0 a  A, lai a  a-

InfA = n sauc par šādu skaitli:

2) >0 a  A, lai a E a+

Teorēma: Jebkurai no augšas ierobežotai netukšai kopai АR ir labākā augšējā robeža, turklāt unikāla.

Pierādījums:

Mēs izveidojam skaitli m uz reālās līnijas un pierādīsim, ka tā ir A mazākā augšējā robeža.

[m]=maks.([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 — A augšējā virsma

Segments [[m], [m]+1] — sadalīts 10 daļās

m 1 = max:aA)]

m2 =maks.,m1:aA)]

m līdz =maks.,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K — augšējā virsma A

Pierādīsim, ka m=[m],m 1 ...m K ir mazākā augšējā robeža un ka tā ir unikāla:

uz: .

Rīsi. 11. Funkcijas y arcsin x grafiks.

Tagad ieviesīsim kompleksas funkcijas jēdzienu ( parādīt kompozīcijas). Dotas trīs kopas D, E, M un f: D→E, g: E→M. Acīmredzot ir iespējams izveidot jaunu kartējumu h: D→M, ko sauc par kartējumu f un g kompozīciju vai kompleksu funkciju (12. att.).

Sarežģītu funkciju apzīmē šādi: z =h(x)=g(f(x)) vai h = f o g.

Rīsi. 12. Sarežģītas funkcijas jēdziena ilustrācija.

Tiek izsaukta funkcija f (x). iekšējā funkcija un funkcija g ( y ) - ārējā funkcija.

1. Iekšējā funkcija f (x) = x², ārējā g (y) sin y. Sarežģītā funkcija z= g(f(x))=sin(x²)

2. Tagad otrādi. Iekšējā funkcija f (x)= sinx, ārējā g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)