Teorētiskās mehānikas lekcijas 2 kursi. Manekenu pamatmehānika

Jebkuras mācību programmas ietvaros fizikas studijas sākas ar mehāniku. Ne no teorētiskās, ne no lietišķās un ne skaitļošanas, bet no vecās labās klasiskās mehānikas. Šo mehāniku sauc arī par Ņūtona mehāniku. Saskaņā ar leģendu, zinātnieks pastaigājās pa dārzu, redzēja, ka nokrīt ābols, un šī parādība pamudināja viņu atklāt likumu. smagums. Protams, likums ir pastāvējis vienmēr, un Ņūtons tam piešķīra tikai cilvēkiem saprotamu formu, taču viņa nopelns ir nenovērtējams. Šajā rakstā mēs neaprakstīsim Ņūtona mehānikas likumus pēc iespējas detalizētāk, bet mēs ieskicēsim pamatus, pamatzināšanas, definīcijas un formulas, kas vienmēr var būt jūsu rokās.

Mehānika ir fizikas nozare, zinātne, kas pēta materiālo ķermeņu kustību un mijiedarbību starp tiem.

Vārdam pašam ir grieķu izcelsme un tulkojumā nozīmē "mašīnu celtniecības māksla". Taču pirms mašīnu būves mums vēl tāls ceļš ejams, tāpēc iesim senču pēdās, un pētīsim leņķī pret horizontu izmesto akmeņu kustību un ābolu biršanu uz galvām no augstuma h.

Kāpēc fizikas studijas sākas ar mehāniku? Jo tas ir pilnīgi dabiski, nesākt to no termodinamiskā līdzsvara?!

Mehānika ir viena no vecākajām zinātnēm, un vēsturiski fizikas studijas sākās tieši ar mehānikas pamatiem. Ievietoti laika un telpas ietvaros, cilvēki patiesībā nevarēja sākt no kaut kā cita, lai arī kā viņi to vēlētos. Kustīgie ķermeņi ir pirmā lieta, kam mēs pievēršam uzmanību.

Kas ir kustība?

Mehāniskā kustība ir ķermeņu stāvokļa izmaiņas telpā attiecībā pret otru laika gaitā.

Pēc šīs definīcijas mēs gluži dabiski nonākam pie atskaites sistēmas jēdziena. Ķermeņu stāvokļa maiņa telpā attiecībā pret otru. Atslēgas vārdi šeit: attiecībā vienam pret otru . Galu galā pasažieris automašīnā pārvietojas ar noteiktu ātrumu attiecībā pret cilvēku, kas stāv ceļa malā, un atpūšas attiecībā pret savu kaimiņu blakus esošajā sēdeklī un pārvietojas ar citu ātrumu attiecībā pret pasažieri automašīnā, kas apdzen viņus.

Tāpēc, lai normāli izmērītu kustīgu objektu parametrus un neapjuktu, mums ir nepieciešams atskaites sistēma - stingri savstarpēji savienots atskaites ķermenis, koordinātu sistēma un pulkstenis. Piemēram, zeme pārvietojas ap sauli heliocentriskā atskaites sistēmā. Ikdienā mēs gandrīz visus mērījumus veicam ģeocentriskā atskaites sistēmā, kas saistīta ar Zemi. Zeme ir atskaites ķermenis, attiecībā pret kuru pārvietojas automašīnas, lidmašīnas, cilvēki, dzīvnieki.

Mehānikai kā zinātnei ir savs uzdevums. Mehānikas uzdevums ir jebkurā brīdī zināt ķermeņa stāvokli telpā. Citiem vārdiem sakot, mehānika veido kustības matemātisko aprakstu un atrod savienojumus starp tiem fizikālie lielumi raksturojot to.

Lai virzītos tālāk, mums ir nepieciešams jēdziens “ materiālais punkts ". Viņi saka, ka fizika ir eksakta zinātne, bet fiziķi zina, cik daudz tuvinājumu un pieņēmumu ir jāizdara, lai vienoties par šo precizitāti. Neviens nekad nav redzējis materiālu punktu vai smirdējis ideālu gāzi, bet tie pastāv! Ar viņiem vienkārši ir daudz vieglāk dzīvot.

Materiāls punkts ir ķermenis, kura izmēru un formu šīs problēmas kontekstā var neņemt vērā.

Klasiskās mehānikas sadaļas

Mehānika sastāv no vairākām sadaļām

Kinemātika
Dinamika
Statika

Kinemātika no fiziskā viedokļa pēta, kā tieši ķermenis kustas. Citiem vārdiem sakot, šajā sadaļā ir aplūkotas kustības kvantitatīvās īpašības. Atrast ātrumu, ceļu - tipiski kinemātikas uzdevumi

Dinamika atrisina jautājumu, kāpēc tas pārvietojas tā, kā tas pārvietojas. Tas ir, tas ņem vērā spēkus, kas iedarbojas uz ķermeni.

Statika pēta ķermeņu līdzsvaru spēku iedarbībā, tas ir, atbild uz jautājumu: kāpēc tas nemaz nekrīt?

Klasiskās mehānikas pielietojamības robežas.

Klasiskā mehānika vairs nepretendē uz zinātni, kas visu izskaidro (pagājušā gadsimta sākumā viss bija pavisam savādāk), un tai ir skaidra pielietojamība. Kopumā klasiskās mehānikas likumi ir spēkā pasaulei, kas mums ir pazīstama pēc izmēra (makropasaule). Tās pārstāj darboties daļiņu pasaules gadījumā, kad klasiskā tiek aizstāta ar kvantu mehānika. Tāpat klasiskā mehānika nav piemērojama gadījumos, kad ķermeņu kustība notiek ar ātrumu, kas ir tuvu gaismas ātrumam. Šādos gadījumos izpaužas relativistiskie efekti. Aptuveni runājot, kvantu un relatīvistiskās mehānikas - klasiskās mehānikas ietvaros šis īpašs gadījums kad ķermeņa izmēri ir lieli un ātrums ir mazs. Jūs varat uzzināt vairāk par to no mūsu raksta.

Vispārīgi runājot, kvantu un relativistiskie efekti nekad nepazūd; tie notiek arī parastās makroskopisko ķermeņu kustības laikā ar ātrumu, kas ir daudz mazāks par gaismas ātrumu. Vēl viena lieta ir tāda, ka šo efektu darbība ir tik maza, ka tā nepārsniedz lielāko daļu precīzi mērījumi. Tādējādi klasiskā mehānika nekad nezaudēs savu fundamentālo nozīmi.

Mēs turpināsim pētīt mehānikas fiziskos pamatus nākamajos rakstos. Lai labāk izprastu mehāniku, vienmēr varat vērsties pie, kas atsevišķi izgaismo tumšs plankums grūtākais uzdevums.

1 slaids

Lekciju kurss par teorētisko mehāniku Dinamika (I daļa) Bondarenko A.N. Maskava - 2007 Elektroniskais apmācības kurss tika uzrakstīts, pamatojoties uz autores lekcijām studentiem, kuri studē SZhD, PGS un SDM specialitātēs NIIZhT un MIIT (1974-2006). Mācību materiāls atbilst kalendārajiem plāniem trīs semestru apjomā. Lai pilnībā ieviestu animācijas efektus prezentācijas laikā, jums ir jāizmanto Power Point skatītājs, kas nav zemāks par iebūvēto Microsoft Office operētājsistēma Windows-XP Professional. Komentārus un ieteikumus var sūtīt uz e-pastu: [aizsargāts ar e-pastu]. Maskava Valsts universitāte Dzelzceļa (MIIT) Teorētiskās mehānikas katedra Transporta tehnoloģiju zinātniski tehniskais centrs

2 slaids

Saturs Lekcija 1. Ievads dinamikā. Materiālu punktu dinamikas likumi un aksiomas. Dinamikas pamatvienādojums. Kustības diferenciālvienādojumi un naturālie vienādojumi. Divi galvenie dinamikas uzdevumi. Dinamikas tiešās problēmas risināšanas piemēri 2. lekcija. Dinamikas apgrieztās problēmas risināšana. Vispārīgi norādījumi dinamikas apgrieztās problēmas risināšanai. Dinamikas apgrieztās problēmas risināšanas piemēri. Leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kustība, neņemot vērā gaisa pretestību. Lekcija 3. Materiāla punkta taisnlīnijas svārstības. Svārstību rašanās nosacījums. Vibrāciju klasifikācija. Brīvas vibrācijas, neņemot vērā pretestības spēkus. slāpētas vibrācijas. Svārstību samazināšanās. 4. lekcija. Materiāla punkta piespiedu svārstības. Rezonanse. Kustības pretestības ietekme piespiedu vibrāciju laikā. 5. lekcija. Materiāla punkta relatīvā kustība. Inerces spēki. Īpaši pārvietošanās gadījumi dažāda veida pārnēsājamām kustībām. Zemes rotācijas ietekme uz ķermeņu līdzsvaru un kustību. Lekcija 6. Mehāniskās sistēmas dinamika. mehāniskā sistēma. Ārējie un iekšējie spēki. Sistēmas masas centrs. Teorēma par masas centra kustību. Saglabāšanas likumi. Teorēmas par masas centra kustību izmantošanas problēmas risināšanas piemērs. Lekcija 7. Spēka impulss. Kustības apjoms. Teorēma par impulsa maiņu. Saglabāšanas likumi. Eilera teorēma. Problēmas risināšanas piemērs par impulsa izmaiņu teorēmas izmantošanu. impulsa moments. Teorēma par leņķiskā impulsa maiņu 8. lekcija. Saglabāšanās likumi. Inerces momentu teorijas elementi. Stingra ķermeņa kinētiskais moments. Stingra ķermeņa rotācijas diferenciālvienādojums. Sistēmas leņķiskā impulsa maiņas teorēmas izmantošanas problēmas risināšanas piemērs. Žiroskopa pamatteorija. Ieteicamā literatūra 1. Yablonsky A.A. Teorētiskās mehānikas kurss. 2. daļa. M.: pabeigt skolu. 1977. 368 lpp. 2. Meščerskis I.V. Teorētiskās mehānikas uzdevumu krājums. M.: Zinātne. 1986 416 lpp. 3. Uzdevumu kolekcija priekš kursa darbi/ Red. A.A. Jablonskis. M.: Augstskola. 1985. 366 lpp. 4. Bondarenko A.N. " Teorētiskā mehānika piemēros un uzdevumos. Dynamics” (elektroniskā rokasgrāmata www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slaids

1. lekcija Dinamika ir teorētiskās mehānikas sadaļa, kas pēta mehānisko kustību no vispārīgākā viedokļa. Kustība tiek aplūkota saistībā ar spēkiem, kas iedarbojas uz objektu. Sadaļa sastāv no trim sadaļām: Materiāla punkta dinamika Mehāniskās sistēmas dinamika Analītiskā mehānika ■ Punkta dinamika - pēta materiāla punkta kustību, ņemot vērā spēkus, kas izraisa šo kustību. Galvenais objekts ir materiālais punkts – materiāls ķermenis ar masu, kura izmēri var tikt atstāti novārtā. Pamatpieņēmumi: - eksistē absolūta telpa (tai ir tīri ģeometriskas īpašības, kas nav atkarīgas no matērijas un tās kustības. - ir absolūts laiks (nav atkarīgs no matērijas un tās kustības). No tā izriet: - ir absolūti nekustīgs atskaites rāmis. - laiks nav atkarīgs no atskaites sistēmas kustības. - kustīgo punktu masas nav atkarīgas no atskaites sistēmas kustības. Šos pieņēmumus izmanto Galileo un Ņūtona radītajā klasiskajā mehānikā Tam joprojām ir diezgan plašs darbības joma, jo lietišķajās zinātnēs aplūkotajām mehāniskajām sistēmām nav tik lielas masas un kustības ātruma, kam būtu jāņem vērā to ietekme uz telpas, laika, kustības ģeometriju, kā tiek darīts relativistiskajā mehānikā (relativitātes teorijā) ■ Dinamikas pamatlikumi — tos pirmo reizi atklāja Galileo un formulēja Ņūtons, tie veido pamatu visām metodēm, kas apraksta un analizē mehānisko sistēmu kustību un to dinamisko mijiedarbību. darbība dažādu spēku ietekmē. ■ Inerces likums (Galileo-Ņūtona likums) — ķermeņa izolēts materiālais punkts saglabā miera stāvokli vai vienmērīgu taisnvirziena kustību, līdz pielietotie spēki piespiež to mainīt šo stāvokli. Tas nozīmē miera stāvokļa un kustības līdzvērtību pēc inerces (Galileo relativitātes likums). Atskaites sistēmu, attiecībā uz kuru izpildās inerces likums, sauc par inerciālo. Materiālā punkta īpašību censties saglabāt nemainīgu tā kustības ātrumu (kinemātisko stāvokli) sauc par inerci. ■ Spēka un paātrinājuma proporcionalitātes likums (Dinamikas pamatvienādojums — Ņūtona II likums) — materiālam punktam ar spēku piešķirtais paātrinājums ir tieši proporcionāls spēkam un apgriezti proporcionāls šī punkta masai: vai Šeit m ir punkta masa (inerces mērs), mēra kg, skaitliski vienāda ar svaru, dalītu ar paātrinājumu Brīvais kritiens: F ir darbības spēks, ko mēra N (1 N dod punktu ar masu 1 kg un paātrinājumu 1 m / s2, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Mehāniskās sistēmas dinamika - pēta materiālu punktu un cieto ķermeņu kopas kustību, ko vieno vispārējie mijiedarbības likumi, ņemot vērā spēkus, kas izraisa šo kustību. ■ Analītiskā mehānika - pēta nebrīvo mehānisko sistēmu kustību, izmantojot vispārīgas analītiskās metodes. viens

4 slaids

1. lekcija (turpinājums - 1.2) Materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumi: - punkta kustības diferenciālvienādojums vektora formā. - punkta kustības diferenciālvienādojumi koordinātu forma. Šo rezultātu var iegūt, formāli projicējot vektoru diferenciālvienādojumu (1). Pēc grupēšanas vektora attiecības tiek sadalītas trīs skalārajos vienādojumos: Koordinātu formā: Mēs izmantojam rādiusa-vektora attiecību ar koordinātām un spēka vektoru ar projekcijām: kustības diferenciālvienādojums uz dabisku (kustīgu) koordinātu asīm: vai: - punkta dabiskie kustības vienādojumi. ■ Dinamikas pamatvienādojums: - atbilst vektora veidam, kā norādīt punkta kustību. ■ Spēku darbības neatkarības likums - Materiāla punkta paātrinājums vairāku spēku iedarbībā ir vienāds ar punkta paātrinājumu ģeometrisko summu no katra spēka darbības atsevišķi: vai Likums ir spēkā. jebkuram ķermeņu kinemātiskajam stāvoklim. Mijiedarbības spēki, kas tiek pielietoti dažādiem punktiem (ķermeņiem), nav līdzsvaroti. ■ Darbības un reakcijas vienlīdzības likums (Ņūtona III likums) – katra darbība atbilst vienādai un pretēji vērstai reakcijai: 2

5 slaids

Divas galvenās dinamikas problēmas: 1. Tiešais uzdevums: Ir dota kustība (kustības vienādojumi, trajektorija). Ir jānosaka spēki, kuru iedarbībā notiek noteiktā kustība. 2. Apgrieztā problēma: ir norādīti spēki, kuru iedarbībā notiek kustība. Nepieciešams atrast kustības parametrus (kustības vienādojumi, kustības trajektorija). Abas problēmas tiek atrisinātas, izmantojot dinamikas pamatvienādojumu un tā projekciju uz koordinātu asīm. Ja ņem vērā nebrīva punkta kustību, tad, tāpat kā statikā, tiek izmantots atbrīvošanās no saitēm princips. Reakcijas rezultātā saites tiek iekļautas to spēku sastāvā, kas iedarbojas uz materiālo punktu. Pirmās problēmas risinājums ir saistīts ar diferenciācijas operācijām. Apgrieztās problēmas risināšanai ir nepieciešama atbilstošo diferenciālvienādojumu integrācija, un tas ir daudz grūtāk nekā diferenciācija. Apgrieztā problēma ir grūtāka nekā tiešā problēma. Dinamikas tiešās problēmas risinājums - apskatīsim piemērus: Piemērs 1. Lifta kabīne ar svaru G tiek pacelta ar trosi ar paātrinājumu a . Nosakiet kabeļa spriegojumu. 1. Izvēlieties objektu (lifta kabīne virzās uz priekšu un to var uzskatīt par materiālu punktu). 2. Atbrīvojam savienojumu (kabeli) un aizstājam ar reakciju R. 3. Sastādiet dinamikas pamatvienādojumu: Nosakiet kabeļa reakciju: Nosakiet troses spriegojumu: Ar vienmērīgu kabīnes kustību ay = 0 un troses spriegums ir vienāds ar svaru: T = G. Kad trose pārtrūkst T = 0 un kabīnes paātrinājums ir vienāds ar brīvā kritiena paātrinājumu: ay = -g. 3 4. Dinamikas pamatvienādojumu projicējam uz y ass: y Piemērs 2. Masas punkts m pārvietojas pa horizontālu virsmu (Oxy plakni) saskaņā ar vienādojumiem: x = a coskt, y = b coskt. Nosakiet spēku, kas iedarbojas uz punktu. 1. Izvēlieties objektu (materiāla punktu). 2. Savienojumu (plakni) atmetam un aizvietojam ar reakciju N. 3. Spēku sistēmai pievienojam nezināmu spēku F. 4. Sastādiet dinamikas pamatvienādojumu: 5. Projicējiet dinamikas pamatvienādojumu uz asis x,y: Noteikt spēka projekcijas: Spēka modulis: Virziena kosinusi: Tādējādi spēka lielums ir proporcionāls punkta attālumam līdz koordinātu centram un ir vērsts uz centru pa līniju, kas savieno punktu ar centru. Punkta kustības trajektorija ir elipse, kuras centrs ir sākuma punktā: O r 1. lekcija (turpinājums - 1.3)

6 slaids

1. lekcija (1.4. turpinājums) 3. piemērs: Uz l garuma troses tiek piekārta slodze ar svaru G un pārvietojas pa apļveida ceļu horizontālā plaknē ar noteiktu ātrumu. Kabeļa novirzes leņķis no vertikāles ir vienāds ar. Nosakiet kabeļa spriegojumu un slodzes ātrumu. 1. Izvēlieties objektu (kravu). 2. Atbrīvojiet savienojumu (virvi) un nomainiet to ar reakciju R. 3. Sastādiet galveno dinamikas vienādojumu: No trešā vienādojuma nosakiet troses reakciju: Nosakiet troses spriegojumu: Aizvietojiet reakcijas vērtību. troses, normālu paātrinājumu otrajā vienādojumā un noteikt slodzes ātrumu: 4. Projicējiet galvenā vienādojuma ass dinamiku,n,b: 4. piemērs: automašīna ar svaru G pārvietojas pa izliektu tiltu (izliekuma rādiuss ir R ) ar ātrumu V. Nosakiet automašīnas spiedienu uz tiltu. 1. Izvēlamies objektu (auto, gabarītus atstājam novārtā un uzskatām par punktu). 2. Savienojumu (raupju virsmu) atmetam un aizvietojam ar reakcijām N un berzes spēku Ffr. 3. Sastādām dinamikas pamatvienādojumu: 4. Dinamikas pamatvienādojumu projicējam uz n asi: No šejienes nosaka normālo reakciju: Nosakām automašīnas spiedienu uz tilta: No šejienes varam noteikt ātrumu kas atbilst nulles spiedienam uz tilta (Q = 0): 4

7 slaids

2. lekcija Pēc atrasto konstantu vērtību aizstāšanas iegūstam: Tādējādi vienas un tās pašas spēku sistēmas iedarbībā materiālais punkts var veikt veselu kustību klasi, ko nosaka sākotnējie nosacījumi. Sākotnējās koordinātēs tiek ņemta vērā punkta sākotnējā pozīcija. Sākotnējā ātrumā, ko nosaka projekcijas, ir ņemta vērā to spēku ietekme uz tā kustību attiecīgajā trajektorijas posmā, kas iedarbojās uz punktu pirms ierašanās šajā posmā, t.i. sākotnējais kinemātiskais stāvoklis. Dinamikas apgrieztās problēmas risinājums - Vispārīgā punkta kustības gadījumā spēki, kas iedarbojas uz punktu, ir mainīgie, kas ir atkarīgi no laika, koordinātām un ātruma. Punkta kustību apraksta trīs otrās kārtas diferenciālvienādojumu sistēma: Pēc katra no tiem integrēšanas būs sešas konstantes C1, C2,…., C6: Konstantes C1, C2,… ., C6 ir atrodami no sešiem sākotnējiem nosacījumiem pie t = 0: Atrisinājuma apgrieztā uzdevuma 1. piemērs: Brīvs materiāla punkts ar masu m pārvietojas, iedarbojoties spēka F, kas ir nemainīgs pēc lieluma un lieluma. . Sākotnējā brīdī punkta ātrums bija v0 un sakrita virzienā ar spēku. Nosakiet punkta kustības vienādojumu. 1. Sastādām dinamikas pamatvienādojumu: 3. Pazeminām atvasinājuma secību: 2. Izvēlamies Dekarta atskaites sistēmu, virzot x asi pa spēka virzienu un projicējam uz šīs ass galveno dinamikas vienādojumu: vai x y z 4. Atdaliet mainīgos: 5. Aprēķiniet integrāļus no abām vienādojuma daļām: 6. Attēlosim ātruma projekciju kā koordinātes laika atvasinājumu: 8. Aprēķiniet abu vienādojuma daļu integrāļus: 7. Atdaliet mainīgie: 9. Lai noteiktu konstantu C1 un C2 vērtības, izmantojam sākuma nosacījumus t = 0, vx = v0 , x = x0: Rezultātā iegūstam vienādojumu vienmērīga kustība(x ass): 5

8 slaids

Vispārīgi norādījumi tiešo un apgriezto problēmu risināšanai. Risinājuma procedūra: 1. Kustības diferenciālvienādojuma sastādīšana: 1.1. Izvēlieties koordinātu sistēmu - taisnstūrveida (fiksētu) ar nezināmu kustības trajektoriju, dabisku (kustīgu) ar zināmu trajektoriju, piemēram, apli vai taisni. Pēdējā gadījumā var izmantot vienu taisnvirziena koordinātu. Atskaites punkts jāapvieno ar punkta sākuma pozīciju (pie t = 0) vai ar punkta līdzsvara stāvokli, ja tāds pastāv, piemēram, punktam svārstās. 6 1.2. Uzzīmējiet punktu pozīcijā, kas atbilst patvaļīgam laika momentam (ja t > 0), lai koordinātas būtu pozitīvas (s > 0, x > 0). Mēs arī pieņemam, ka arī ātruma projekcija šajā pozīcijā ir pozitīva. Svārstību gadījumā ātruma projekcija maina zīmi, piemēram, atgriežoties līdzsvara stāvoklī. Šeit jāpieņem, ka apskatāmajā laika momentā punkts attālinās no līdzsvara stāvokļa. Šī ieteikuma īstenošana ir svarīga nākotnē, strādājot ar pretestības spēkiem, kas ir atkarīgi no ātruma. 1.3. Atbrīvojiet materiālo punktu no saitēm, nomainiet to darbību ar reakcijām, pievienojiet aktīvos spēkus. 1.4. Uzrakstiet dinamikas pamatlikumu vektoru formā, projicējiet uz izvēlētajām asīm, izsakiet dotos jeb reaktīvos spēkus ar mainīgo laiku, koordinātām vai ātrumu, ja tie ir no tiem atkarīgi. 2. Diferenciālvienādojumu atrisinājums: 2.1. Samaziniet atvasinājumu, ja vienādojums nav reducēts līdz kanoniskajai (standarta) formai. piemēram: vai 2.2. Atsevišķi mainīgie, piemēram: vai 2.4. Aprēķiniet nenoteiktos integrāļus vienādojuma kreisajā un labajā pusē, piemēram: 2.3. Ja vienādojumā ir trīs mainīgie, mainiet mainīgos, piemēram: un pēc tam atdaliet mainīgos. komentēt. Tā vietā, lai novērtētu nenoteiktus integrāļus, var novērtēt noteiktus integrāļus ar mainīgu augšējo robežu. Apakšējās robežas atspoguļo mainīgo sākotnējās vērtības (sākotnējos nosacījumus), tad nav nepieciešams atsevišķi atrast konstanti, kas automātiski tiek iekļauta risinājumā, piemēram: Izmantojot sākuma nosacījumus, piemēram, t = 0 , vx = vx0, nosaka integrācijas konstanti: 2.5. Izsakiet ātrumu, piemēram, koordinātas laika atvasinājuma izteiksmē un atkārtojiet 2.2.-2.4. darbību. Piezīme. Ja vienādojumu samazina līdz kanoniskajai formai, kurai ir standarta risinājums, tas ir pabeigts risinājums un tiek izmantots. Integrācijas konstantes joprojām tiek atrastas no sākotnējiem nosacījumiem. Skatīt, piemēram, svārstības (4. lekcija, 8. lpp.). 2. lekcija (2.2. turpinājums)

9 slaids

2. lekcija (2.3. turpinājums) Apgrieztā uzdevuma risināšanas 2. piemērs: Spēks ir atkarīgs no laika. Smaguma P slodze sāk kustēties pa gludu horizontālu virsmu spēka F iedarbībā, kura lielums ir proporcionāls laikam (F = kt). Noteikt kravas nobraukto attālumu laikā t. 3. Sastādiet dinamikas pamatvienādojumu: 5. Samaziniet atvasinājuma secību: 4. Projicējiet dinamikas pamatvienādojumu uz x asi: vai 7 6. Atdaliet mainīgos: 7. Aprēķiniet abu atvasinājuma daļu integrāļus. vienādojums: 9. Attēlojiet ātruma projekciju kā koordinātas atvasinājumu attiecībā pret laiku: 10. Aprēķiniet abu vienādojuma daļu integrāļus: 9. Atdaliet mainīgos: 8. Nosakiet konstantes C1 vērtību no sākuma nosacījums t = 0, vx = v0=0: Rezultātā iegūstam kustības vienādojumu (pa x asi), kas dod nobrauktā attāluma vērtību laikam t: 1. Izvēlamies atskaites sistēmu (Dekarta koordinātas) lai ķermenim būtu pozitīva koordināte: 2. Kustības objektu ņemam par materiālu punktu (ķermenis virzās uz priekšu), atbrīvojam to no savienojuma (atskaites plaknes) un aizstājam ar reakciju (normāla reakcija gluda virsma) : 11. Nosakiet konstantes C2 vērtību no sākuma nosacījuma t = 0, x = x0=0: Apgrieztā uzdevuma risināšanas 3. piemērs: Spēks ir atkarīgs no koordinātas. Materiāls punkts ar masu m tiek izmests uz augšu no Zemes virsmas ar ātrumu v0. Zemes gravitācijas spēks ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam no punkta līdz gravitācijas centram (Zemes centram). Nosakiet ātruma atkarību no attāluma y līdz Zemes centram. 1. Izvēlamies atskaites sistēmu (Dekarta koordinātas), lai ķermenim būtu pozitīva koordināta: 2. Sastādām dinamikas pamatvienādojumu: 3. Dinamikas pamatvienādojumu projicējam uz y asi: vai Proporcionalitātes koeficients var var atrast, izmantojot Zemes virsmas punkta svaru: R Tādējādi vienādojums izskatās šādi: vai 4. Samaziniet atvasinājuma secību: 5. Mainiet mainīgo: 6. Atdaliet mainīgos: 7. Aprēķiniet vienādojuma abu pušu integrāļi: 8. Aizstāt robežas: Rezultātā iegūstam ātruma izteiksmi atkarībā no y koordinātes: Maksimālo lidojuma augstumu var atrast, pielīdzinot ātrumu nullei: Maksimālais lidojuma augstums kad saucējs pagriežas uz nulli: No šejienes, iestatot Zemes rādiusu un brīvā kritiena paātrinājumu, iegūst II kosmisko ātrumu:

10 slaids

2. lekcija (2.4. turpinājums) Apgrieztā uzdevuma risināšanas 2. piemērs: Spēks ir atkarīgs no ātruma. Kuģim ar masu m bija ātrums v0. Ūdens pretestība kuģa kustībai ir proporcionāla ātrumam. Nosakiet laiku, pēc kura kuģa ātrums samazinās uz pusi pēc dzinēja izslēgšanas, kā arī attālumu, ko kuģis veicis līdz pilnīgai apstāšanās brīdim. 8 1. Izvēlamies atskaites sistēmu (Dekarta koordinātes), lai ķermenim būtu pozitīva koordināte: 2. Kustības objektu ņemam par materiālu punktu (kuģis virzās uz priekšu), atbrīvojam no saitēm (ūdens) un nomainām. ar reakciju (peldošais spēks - Arhimēda spēks), un arī kustības pretestības spēks. 3. Pievienojiet aktīvo spēku (smaguma spēku). 4. Sastādām galveno dinamikas vienādojumu: 5. Dinamikas galveno vienādojumu projicējam uz x asi: vai 6. Pazeminām atvasinājuma secību: 7. Atdalām mainīgos: 8. Aprēķinām integrāļus no abiem. vienādojuma daļas: 9. Aizvietojam robežas: Tiek iegūta izteiksme, kas saista ātrumu un laiku t, no kuras var noteikt kustības laiku: Kustības laiks, kura laikā ātrums samazināsies uz pusi: Tas ir interesanti atzīmēt, ka ātrumam tuvojoties nullei, kustības laiks tiecas uz bezgalību, t.i. gala ātrums nevar būt nulle. Kāpēc ne "mūžīgā kustība"? Tomēr šajā gadījumā attālums, kas nobraukts līdz pieturai, ir ierobežota vērtība. Lai noteiktu nobraukto attālumu, pievēršamies izteiksmei, kas iegūta pēc atvasinājuma secības pazemināšanas un veicam mainīgā lieluma maiņu: Pēc robežu integrēšanas un aizstāšanas iegūstam: Nobrauktais attālums līdz pieturai: ■ Punkta kustība, kas iemesta pie atvasinājuma. leņķis pret horizontu vienmērīgā gravitācijas laukā, neņemot vērā gaisa pretestību Izslēdzot laiku no kustības vienādojumiem, iegūstam trajektorijas vienādojumu: Lidojuma laiku nosaka, pielīdzinot y koordinātu nullei: Lidojuma diapazonu nosaka, aizstājot lidojuma laiks:

11 slaids

3. lekcija Materiāla punkta taisnlīnijas svārstības - Materiāla punkta svārstību kustība notiek ar nosacījumu, ka pastāv atjaunojošs spēks, kas tiecas atgriezt punktu līdzsvara stāvoklī jebkurai novirzei no šīs pozīcijas. 9 Ir atjaunojošs spēks, līdzsvara stāvoklis ir stabils Nav atjaunojoša spēka, līdzsvara stāvoklis ir nestabils Nav atjaunojoša spēka, līdzsvara stāvoklis ir vienaldzīgs Tas vienmēr ir vērsts uz līdzsvara stāvokli, vērtība ir tieši proporcionāla atsperes lineārajam pagarinājumam (saīsināšanai), vienāda ar ķermeņa novirzi no līdzsvara stāvokļa: c ir atsperes stinguma koeficients, skaitliski pēc spēka vienāds, kuras iedarbībā atspere maina savu garumu par vienu, SI sistēmā mēra N / m. x y O Materiāla punkta vibrāciju veidi: 1. Brīvās vibrācijas (neņemot vērā vides pretestību). 2. Brīvās svārstības, ņemot vērā vides pretestību (slāpētas svārstības). 3. Piespiedu vibrācijas. 4. Piespiedu svārstības, ņemot vērā vides pretestību. ■ Brīvas svārstības – rodas tikai atjaunojoša spēka iedarbībā. Pierakstīsim dinamikas pamatlikumu: Izvēlēsimies koordinātu sistēmu, kuras centrs ir līdzsvara stāvoklī (punktā O) un projicēsim vienādojumu uz x asi: Iegūto vienādojumu nodosim standarta (kanoniskā) formā: Šis vienādojums ir homogēns otrās kārtas lineārs diferenciālvienādojums, kura atrisinājuma formu nosaka raksturīgā vienādojuma saknes, kas iegūtas, izmantojot universālo aizstāšanu: Raksturīgā vienādojuma saknes ir iedomātas un vienādas: Kopīgs lēmums diferenciālvienādojumam ir šāda forma: Punkta ātrums: Sākotnējie nosacījumi: Definējiet konstantes: Tātad, vienādojums brīvas vibrācijas ir šāda forma: Vienādojumu var attēlot ar viena termina izteiksmi: kur a ir amplitūda, ir sākuma fāze. Jaunās konstantes a un - ir saistītas ar konstantēm C1 un C2 ar attiecībām: Definēsim a un: Brīvo svārstību rašanās cēlonis ir sākotnējā nobīde x0 un/vai sākotnējais ātrums v0.

12 slaids

10 3. lekcija (3.2. turpinājums) Materiāla punkta slāpētās svārstības - Materiālā punkta svārstību kustība notiek atjaunojoša spēka un kustības pretestības spēka klātbūtnē. Kustības pretestības spēka atkarību no pārvietojuma vai ātruma nosaka nesēja vai savienojuma fiziskais raksturs, kas kavē kustību. Vienkāršākā atkarība ir lineāra atkarība no ātruma (viskozā pretestība): - viskozitātes koeficients x y O Dinamikas pamatvienādojums: Dinamikas vienādojuma projekcija uz asi: standarta skats: kur Raksturīgajam vienādojumam ir saknes: Šī diferenciālvienādojuma vispārīgajam risinājumam ir atšķirīga forma atkarībā no sakņu vērtībām: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - augstas viskozitātes pretestības gadījums: - īstas saknes, dažādas. vai - šīs funkcijas ir aperiodiskas: 3. n = k: - saknes ir reālas, daudzkārtējas. šīs funkcijas ir arī periodiskas:

13 slaids

3. lekcija (3.3. turpinājums) Brīvo svārstību risinājumu klasifikācija. Atsperu savienojumi. līdzvērtīga cietība. g y 11 Dif. Vienādojuma raksturs. Vienādojums Saknes char. vienādojums Diferenciālvienādojuma atrisināšana Grafiks nk n=k

14 slaids

4. lekcija Materiāla punkta piespiedu vibrācijas. Līdztekus atjaunojošajam spēkam iedarbojas periodiski mainīgs spēks, ko sauc par traucējošo spēku. Traucējošajam spēkam var būt atšķirīgs raksturs. Piemēram, konkrētā gadījumā rotējoša rotora nelīdzsvarotas masas m1 inerciālais efekts rada harmoniski mainīgas spēka projekcijas: Galvenais dinamikas vienādojums: Dinamikas vienādojuma projekcija uz asi: Vienādojumu pielīdzināsim standartam. forma: 12 Šī nehomogēnā diferenciālvienādojuma risinājums sastāv no divām daļām x = x1 + x2: x1 ir atbilstošā viendabīgā vienādojuma vispārējais risinājums un x2 ir nehomogēnā vienādojuma konkrētais risinājums: Mēs izvēlamies konkrēto risinājumu šādā formā: labajā pusē: Iegūtā vienlīdzība ir jāapmierina jebkuram t . Tad: vai Tādējādi, vienlaikus darbojoties atjaunojošajiem un traucējošajiem spēkiem, materiālais punkts veic kompleksu oscilējoša kustība, kas ir brīvo (x1) un piespiedu (x2) svārstību saskaitīšanas (superpozīcijas) rezultāts. Ja p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием pilnīgs risinājums(!): Tātad konkrēts risinājums: Ja p > k (augstfrekvences piespiedu svārstības), tad svārstību fāze ir pretēja traucējošā spēka fāzei:

15 slaids

4. lekcija (4.2. turpinājums) 13 Dinamiskais koeficients - piespiedu svārstību amplitūdas attiecība pret punkta statisko novirzi nemainīga spēka iedarbībā H = const: Piespiedu svārstību amplitūda: Statisko novirzi var atrast no līdzsvara vienādojums: Šeit: Līdz ar to: Tādējādi, p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (augsta piespiedu svārstību frekvence) dinamiskais koeficients: Rezonanse - rodas, ja piespiedu svārstību frekvence sakrīt ar dabisko svārstību frekvenci (p = k). Visbiežāk tas notiek, iedarbinot un apturot slikti līdzsvarotu rotoru, kas uzstādīti uz elastīgajām balstiekārtām, rotāciju. Svārstību diferenciālvienādojums ar vienādām frekvencēm: Konkrētu risinājumu labās puses formā nevar pieņemt, jo tiks iegūts lineāri atkarīgs risinājums (skat. vispārīgo risinājumu). Vispārīgais risinājums: Aizstāt diferenciālvienādojumā: Ņemsim konkrēto risinājumu formā un aprēķināsim atvasinājumus: Tādējādi tiek iegūts risinājums: vai Piespiedu svārstībām pie rezonanses ir amplitūda, kas pieaug bezgalīgi proporcionāli laikam. Kustības pretestības ietekme piespiedu vibrāciju laikā. Diferenciālvienādojumam viskozās pretestības klātbūtnē ir forma: Vispārējo risinājumu izvēlas no tabulas (3. lekcija, 11. lpp.) atkarībā no n un k attiecības (sk.). Mēs ņemam konkrētu risinājumu formā un aprēķinām atvasinājumus: Aizstāt diferenciālvienādojumā: vienādojot koeficientus trigonometriskās funkcijas iegūstam vienādojumu sistēmu: Paceļot abus vienādojumus pakāpē un saskaitot, iegūstam piespiedu svārstību amplitūdu: Otro vienādojumu dalot ar pirmo, iegūstam piespiedu svārstību fāzes nobīdi: Tādējādi vienādojums kustības piespiedu svārstībām, ņemot vērā pretestību kustībai, piemēram, pie n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slaids

5. lekcija Materiāla punkta relatīvā kustība - Pieņemsim, ka kustīgā (neinerciālā) koordinātu sistēma Oxyz pārvietojas saskaņā ar kādu likumu attiecībā pret fiksēto (inerciālo) koordinātu sistēmu O1x1y1z1. Materiālā punkta M (x, y, z) kustība attiecībā pret mobilo sistēmu Oxyz ir relatīva, attiecībā pret nekustīgu sistēmu O1x1y1z1 ir absolūta. Mobilās sistēmas Oxyz kustība attiecībā pret fiksēto sistēmu O1x1y1z1 ir pārnēsājama kustība. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Dinamikas pamatvienādojums: Punkta absolūtais paātrinājums: Aizvietojiet punkta absolūto paātrinājumu galvenajā dinamikas vienādojumā: Pārnesim terminus ar translācijas un Koriolisa paātrinājumu uz labo pusi: pārnestajiem terminiem ir spēku dimensija un tie tiek uzskatīti par atbilstošiem inerces spēkiem, vienādi: Tad punkta relatīvo kustību var uzskatīt par absolūtu, ja pieskaita iedarbīgajiem spēkiem translācijas un Koriolisa inerces spēkus: Projekcijās uz kustīgās koordinātu sistēmas asis, mums ir: dažāda veida translācijas kustība: 1. Rotācija ap fiksētu asi: Ja rotācija ir vienmērīga, tad εe = 0: 2. Translācijas līknes kustība: Ja kustība ir taisna, tad = : Ja kustība ir taisna un vienmērīga, tad kustīgā sistēma ir Inerciālo un relatīvo kustību var uzskatīt par absolūtu: Neviena mehāniska parādība nevar noteikt taisnvirzienu vienmērīga kustība(klasiskās mehānikas relativitātes princips). Zemes rotācijas ietekme uz ķermeņu līdzsvaru - Pieņemsim, ka ķermenis atrodas līdzsvarā uz Zemes virsmas uz patvaļīga platuma φ (paralēles). Zeme griežas ap savu asi no rietumiem uz austrumiem ar leņķisko ātrumu: Zemes rādiuss ir aptuveni 6370 km. S R ir negludas virsmas kopējā reakcija. G - Zemes pievilkšanās spēks centrā. Ф - centrbēdzes inerces spēks. Relatīvais līdzsvara nosacījums: Pievilkšanas un inerces spēku rezultants ir gravitācijas spēks (svars): gravitācijas spēka (svara) lielums uz Zemes virsmas ir P = mg. Centrbēdzes inerces spēks ir neliela gravitācijas spēka daļa: Arī gravitācijas spēka novirze no pievilkšanas spēka virziena ir neliela: Tādējādi Zemes rotācijas ietekme uz ķermeņu līdzsvaru ir ārkārtīgi maza. un tas netiek ņemts vērā praktiskajos aprēķinos. Maksimālā vērtība inerces spēks (pie φ = 0 - pie ekvatora) ir tikai 0,00343 no gravitācijas lieluma

17 slaids

5. lekcija (5.2. turpinājums) 15 Zemes rotācijas ietekme uz ķermeņu kustību Zemes gravitācijas laukā - Pieņemsim, ka ķermenis nokrīt uz Zemi no noteikta augstuma H virs Zemes virsmas platuma grādos φ . Izvēlēsimies kustīgu atskaites sistēmu, kas ir stingri savienota ar Zemi, virzot x, y asis tangenciāli uz paralēli un uz meridiānu: Relatīvās kustības vienādojums: Šeit centrbēdzes inerces spēka mazums salīdzinājumā ar gravitācijas spēku ir. ņemts vērā. Tādējādi gravitācijas spēks tiek identificēts ar gravitācijas spēku. Turklāt mēs pieņemam, ka gravitācija ir vērsta perpendikulāri Zemes virsmai, jo tās novirze ir maza, kā minēts iepriekš. Koriolisa paātrinājums ir vienāds un vērsts paralēli y asij uz rietumiem. Koriolisa inerces spēks ir vērsts pretējā virzienā. Projicējam relatīvās kustības vienādojumu uz asi: Pirmā vienādojuma atrisinājums dod: Sākotnējie nosacījumi: Trešā vienādojuma atrisinājums dod: Sākotnējie nosacījumi: Trešais vienādojums iegūst formu: Sākotnējie nosacījumi: Tā atrisinājums dod: Iegūto risinājumu parāda, ka ķermenis krītot novirzās uz austrumiem. Aprēķināsim šīs novirzes vērtību, piemēram, krītot no 100 m augstuma Kritiena laiku atrodam no otrā vienādojuma risinājuma: Tātad Zemes rotācijas ietekme uz ķermeņu kustību ir ārkārtīgi maza praktiskiem augstumiem un ātrumiem, un tas netiek ņemts vērā tehniskajos aprēķinos. Otrā vienādojuma risinājums nozīmē arī ātruma esamību pa y asi, kam arī vajadzētu izraisīt un izraisīt atbilstošu paātrinājumu un Koriolisa inerces spēku. Šī ātruma un ar to saistītā inerces spēka ietekme uz kustības izmaiņām būs pat mazāka nekā uzskatītais Koriolisa inerces spēks, kas saistīts ar vertikālo ātrumu.

18 slaids

6. lekcija Mehāniskās sistēmas dinamika. Materiālu punktu sistēma vai mehāniska sistēma - Materiālu punktu kopums vai tādi materiālie punkti, kurus vieno vispārīgi mijiedarbības likumi (katra punkta vai ķermeņa atrašanās vieta vai kustība ir atkarīga no visu pārējo atrašanās vietas un kustības). brīvo punktu sistēma - kuras kustību neierobežo nekādi savienojumi (piemēram, planētu sistēma, kurā planētas tiek uzskatītas par materiālie punkti). Nebrīvu punktu sistēma jeb nebrīva mehāniskā sistēma - materiālo punktu vai ķermeņu kustību ierobežo sistēmai uzliktie ierobežojumi (piemēram, mehānisms, mašīna utt.). 16 Spēki, kas iedarbojas uz sistēmu. Papildus iepriekš pastāvošajai spēku klasifikācijai (aktīvie un reaktīvie spēki) tiek ieviesta jauna spēku klasifikācija: 1. Ārējie spēki (e) - iedarbojas uz sistēmas punktiem un ķermeņiem no punktiem vai ķermeņiem, kas neietilpst šajā. sistēma. 2. Iekšējie spēki (i) - mijiedarbības spēki starp materiāliem punktiem vai ķermeņiem, kas iekļauti šī sistēma. Viens un tas pats spēks var būt gan ārējais, gan iekšējais spēks. Tas viss ir atkarīgs no tā, kura mehāniskā sistēma tiek ņemta vērā. Piemēram: Saules, Zemes un Mēness sistēmā visi gravitācijas spēki starp tiem ir iekšēji. Aplūkojot Zemes un Mēness sistēmu, gravitācijas spēki, kas pieliek no Saules puses, ir ārēji: C Z L Pamatojoties uz darbības un reakcijas likumu, katrs iekšējais spēks Fk atbilst citam iekšējam spēkam Fk', kas ir vienāds absolūtā vērtībā un pretējs virziens. No tā izriet divas ievērojamas iekšējo spēku īpašības: Visu sistēmas iekšējo spēku galvenais vektors nulle: Visu sistēmas iekšējo spēku galvenais moments attiecībā pret jebkuru centru ir vienāds ar nulli: Vai projekcijās uz koordinātu asīm: Piezīme. Lai gan šie vienādojumi ir līdzīgi līdzsvara vienādojumiem, tie nav, jo iekšējie spēki tiek piemēroti dažādi punkti vai sistēmas ķermeņi un var izraisīt šo punktu (ķermeņu) pārvietošanos attiecībā pret otru. No šiem vienādojumiem izriet, ka iekšējie spēki neietekmē sistēmas kustību kopumā. Materiālo punktu sistēmas masas centrs. Lai aprakstītu sistēmas kustību kopumā, mēs iepazīstinām ģeometriskais punkts, ko sauc par masas centru, kura rādiusa vektoru nosaka izteiksme, kur M ir visas sistēmas masa: Vai projekcijās uz koordinātu asīm: Masas centra formulas ir līdzīgas centra formulas gravitācijas. Tomēr masas centra jēdziens ir vispārīgāks, jo tas nav saistīts ar gravitācijas spēkiem vai gravitācijas spēkiem.

19 slaids

6. lekcija (6.2. turpinājums) 17 Teorēma par sistēmas masas centra kustību - Aplūkosim n materiālu punktu sistēmu. Katram punktam pieliktos spēkus sadalām ārējos un iekšējos un aizstājam tos ar atbilstošajiem rezultātiem Fke un Fki. Pierakstīsim katram punktam dinamikas pamatvienādojumu: vai Saskaitīsim šos vienādojumus pa visiem punktiem: Vienādojuma kreisajā pusē ievadīsim masas zem atvasinājuma zīmes un atvasinājumu summu aizstāsim ar atvasinājumu no summas: No masas centra definīcijas: Aizvietojiet iegūtajā vienādojumā: iegūstam vai: Sistēmas masas un tās centra masas paātrinājuma reizinājums ir vienāds ar ārējo spēku galveno vektoru. Projekcijās uz koordinātu asīm: Sistēmas masas centrs pārvietojas kā materiāls punkts ar masu, kas vienāda ar visas sistēmas masu, kuram tiek pielikti visi ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu. Sekas no teorēmas par sistēmas masas centra kustību (saglabāšanas likumi): 1. Ja laika intervālā galvenais sistēmas ārējo spēku vektors ir nulle, Re = 0, tad centra ātrums. masa ir nemainīga, vC = const (masas centrs kustas vienmērīgi taisni – kustības masas centra nezūdamības likums). 2. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenā vektora projekcija uz x asi ir vienāda ar nulli, Rxe = 0, tad masas centra ātrums pa x asi ir nemainīgs, vCx = const (masas centrs vienmērīgi pārvietojas pa asi). Līdzīgi apgalvojumi attiecas uz y un z asīm. Piemērs: Divi cilvēki ar masu m1 un m2 atrodas laivā ar masu m3. Sākotnējā brīdī laiva ar cilvēkiem atradās miera stāvoklī. Nosakiet laivas pārvietojumu, ja cilvēks ar masu m2 pārvietojās uz laivas priekšgalu attālumā a. 3. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenais vektors ir vienāds ar nulli, Re = 0, un sākuma brīdī masas centra ātrums ir nulle, vC = 0, tad rādiusa vektors masas centrs paliek nemainīgs, rC = const (masas centrs atrodas miera stāvoklī ir masas centra pozīcijas saglabāšanas likums). 4. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenā vektora projekcija uz x asi ir vienāda ar nulli, Rxe = 0, un sākuma momentā masas centra ātrums pa šo asi ir nulle. , vCx = 0, tad masas centra koordināte pa x asi paliek nemainīga, xC = const (masas centrs nepārvietojas pa šo asi). Līdzīgi apgalvojumi attiecas uz y un z asīm. 1. Kustības objekts (laiva ar cilvēkiem): 2. Atmetam savienojumus (ūdens): 3. Savienojumu aizstājam ar reakciju: 4. Saskaitām aktīvos spēkus: 5. Uzrakstiet teorēmu par masas centru: Projicējiet uz x-ass: O Nosakiet, cik tālu jums jāpārceļas uz cilvēku ar masu m1, lai laiva paliktu savā vietā: Laiva virzīsies par attālumu l pretējā virzienā.

20 slaids

7. lekcija Spēka impulss ir mehāniskās mijiedarbības mērs, kas raksturo transmisiju mehāniskā kustība no spēkiem, kas iedarbojas uz punktu noteiktā laika periodā: 18 Projekcijās uz koordinātu asīm: Pastāvīga spēka gadījumā: Projekcijās uz koordinātu asīm: Rezultējošā impulsa impulss ir vienāds ar ģeometrisko summu punktam pielikto spēku impulsi vienā laika periodā: dt: Integrēsim noteiktā laika intervālā: Punkta impulss ir mehāniskās kustības mērs, ko nosaka vektors, kas vienāds ar punkta masas reizinājumu un tā ātruma vektors: Teorēma par sistēmas impulsa izmaiņām - Aplūkosim n materiālu punktu sistēmu. Katram punktam pieliktos spēkus sadalām ārējos un iekšējos un aizstājam tos ar atbilstošajiem rezultātiem Fke un Fki. Mēs rakstām katram punktam dinamikas pamatvienādojumu: vai materiālo punktu sistēmas kustības apjomu - ģeometriskā summa Materiālo punktu kustības lielumi: Pēc masas centra definīcijas: Sistēmas impulsa vektors ir vienāds ar visas sistēmas masas reizinājumu ar sistēmas masas centra ātruma vektoru. Tad: Projekcijās uz koordinātu asīm: Sistēmas impulsa vektora laika atvasinājums ir vienāds ar sistēmas ārējo spēku galveno vektoru. Summēsim šos vienādojumus pa visiem punktiem: Vienādojuma kreisajā pusē zem atvasinājuma zīmes ievietojam masas un atvasinājumu summu aizstājam ar summas atvasinājumu: No sistēmas impulsa definīcijas: Projekcijās uz koordinātu asīm:

21 slaids

Eilera teorēma - Teorēmas par sistēmas impulsa izmaiņām pielietojums nepārtrauktas vides (ūdens) kustībai. 1. Par kustības objektu izvēlamies ūdens tilpumu, kas atrodas turbīnas līklīniskajā kanālā: 2. Savienojumus atmetam un to darbību aizstājam ar reakcijām (Rpov - virsmas spēku rezultents) 3. Pievieno aktīvos spēkus (Rb - ķermeņa spēku rezultants): 4. Uzrakstiet teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām: Ūdens kustības apjoms brīžos t0 un t1 tiks attēlots kā summas: Ūdens impulsa izmaiņas laika intervālā : Ūdens impulsa izmaiņas bezgalīgi mazā laika intervālā dt: , kur F1 F2 Ņemot blīvuma, šķērsgriezuma laukuma un ātruma uz masu masu reizinājumu, iegūstam: Sistēmas impulsa diferenciāli aizstājot izmaiņu teorēmā , iegūstam: Sekas no teorēmas par sistēmas impulsa izmaiņām (saglabāšanas likumi): 1. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenais vektors ir vienāds ar nulli, Re = 0, tad lieluma vektora kustība ir nemainīga, Q = const ir sistēmas impulsa saglabāšanas likums). 2. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenā vektora projekcija uz x asi ir vienāda ar nulli, Rxe = 0, tad sistēmas impulsa projekcija uz x asi ir nemainīga, Qx = konst. Līdzīgi apgalvojumi attiecas uz y un z asīm. 7. lekcija (7.2. turpinājums) Piemērs: M masas granāta, kas lidoja ar ātrumu v, eksplodēja divās daļās. Vienam no masas m1 fragmentiem ātrums pieauga kustības virzienā līdz vērtībai v1. Nosakiet otrā fragmenta ātrumu. 1. Kustības objekts (granāta): 2. Objekts ir brīva sistēma, nav savienojumu un to reakciju. 3. Pievienojiet aktīvos spēkus: 4. Pierakstiet teorēmu par impulsa izmaiņām: Projicējiet uz asi: β Sadaliet mainīgos un integrējiet: Labais integrālis ir gandrīz nulle, jo sprādziena laiks t

22 slaids

7. lekcija (7.3. turpinājums) 20 Punkta leņķiskais impulss jeb kustības kinētiskais moments attiecībā pret noteiktu centru ir mehāniskās kustības mērs, ko nosaka vektors, kas vienāds ar materiāla punkta rādiusa vektora vektora reizinājumu un tā impulsa vektors: Materiālu punktu sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret noteiktu centru ir ģeometrisks visu materiālo punktu kustību skaita momentu summa attiecībā pret vienu un to pašu centru: Projekcijās uz asi: Projekcijās uz ass: Teorēma par sistēmas impulsa momenta izmaiņām - Aplūkosim n materiālu punktu sistēmu. Katram punktam pieliktos spēkus sadalām ārējos un iekšējos un aizstājam tos ar atbilstošajiem rezultātiem Fke un Fki. Pierakstīsim katram punktam dinamikas pamatvienādojumu: vai Saskaitīsim šos vienādojumus visiem punktiem: Aizstāsim atvasinājumu summu ar summas atvasinājumu: Izteiksme iekavās ir sistēmas impulsa moments. No šejienes: Katru no vienādībām vektoriski reizinām ar rādiusa vektoru kreisajā pusē: Paskatīsimies, vai ir iespējams izņemt atvasinājuma zīmi ārpus vektora reizinājuma: Tādējādi mēs saņēmām: centrs. Projekcijās uz koordinātu asīm: Sistēmas impulsa momenta atvasinājums attiecībā pret kādu asi laikā ir vienāds ar sistēmas ārējo spēku galveno momentu attiecībā pret to pašu asi.

23 slaids

8. lekcija 21 ■ Sekas no teorēmas par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām (saglabāšanas likumi): 1. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenā momenta vektors attiecībā pret noteiktu centru ir vienāds. līdz nullei, MOe = 0, tad sistēmas leņķiskā impulsa vektors attiecībā pret to pašu centru ir nemainīgs, KO = const ir sistēmas impulsa saglabāšanās likums). 2. Ja laika intervālā sistēmas ārējo spēku galvenais moments attiecībā pret x asi ir vienāds ar nulli, Mxe = 0, tad sistēmas leņķiskais impulss attiecībā pret x asi ir nemainīgs, Kx = const. Līdzīgi apgalvojumi attiecas uz y un z asīm. 2. Stingra ķermeņa inerces moments ap asi: Materiāla punkta inerces moments ap asi ir vienāds ar punkta masas un punkta attāluma līdz asi kvadrāta reizinājumu. Stingra ķermeņa inerces moments ap asi ir vienāds ar katra punkta masas un šī punkta attāluma no ass reizinājumu summu. ■ Inerces momentu teorijas elementi – ar stingra ķermeņa rotācijas kustību inerces (kustības izmaiņu pretestības) mērs ir inerces moments ap griešanās asi. Apsveriet definīcijas pamatjēdzienus un inerces momentu aprēķināšanas metodes. 1. Materiāla punkta inerces moments ap asi: pārejā no diskrētas mazas masas uz bezgalīgi mazu punkta masu, šādas summas robežu nosaka integrālis: cieta ķermeņa aksiālais inerces moments. . Papildus stingra ķermeņa aksiālajam inerces momentam pastāv arī citi inerces momentu veidi: stingra ķermeņa centrbēdzes inerces moments. stingra ķermeņa polārais inerces moments. 3. Teorēma par stingra ķermeņa inerces momentiem ap paralēlām asīm - formula pārejai uz paralēlām asīm: Inerces moments ap atskaites asi Statiskie inerces momenti ap atskaites asīm Ķermeņa masas momenti ir nulle:

24 slaids

8. lekcija (8.2. turpinājums) 22 Vienmērīga konstanta šķērsgriezuma stieņa inerces moments ap asi: x z L Izvēlieties elementāra tilpumu dV = Adx attālumā x: x dx Elementāra masa: Lai aprēķinātu inerces momentu ap centrālo asi (ejot caur smaguma centru), pietiek ar ass atrašanās vietas maiņu un integrācijas robežu uzstādīšanu (-L/2, L/2). Šeit mēs demonstrējam formulu pārejai uz paralēlām asīm: zС 5. Viendabīga cieta cilindra inerces moments ap simetrijas asi: H dr r Izšķirsim elementārtilpumu dV = 2πrdrH (plāns cilindrs ar rādiusu r) : Elementārā masa: Šeit mēs izmantojam cilindra tilpuma formulu V=πR2H. Lai aprēķinātu doba (bieza) cilindra inerces momentu, pietiek iestatīt integrācijas robežas no R1 līdz R2 (R2> R1): 6. Plāna cilindra inerces moments ap simetrijas asi (t

25 slaids

8.lekcija (8.3.turpinājums) 23 ■ Stingra ķermeņa rotācijas ap asi diferenciālvienādojums: Uzrakstīsim teorēmu par stingra ķermeņa leņķiskā impulsa maiņu, kas rotē ap fiksētu asi: Rotējoša stingra ķermeņa impulss ir: Moments. ārējo spēku ap griešanās asi ir vienāds ar griezes momentu (reakcijas un spēks nerada gravitācijas momentus): Kinētisko momentu un griezes momentu aizstājam teorēmā Piemērs: Divi cilvēki ar vienādu svaru G1 = G2 karājas uz izmestas virves. virs cieta bloka ar atsvaru G3 = G1/4. Kādā brīdī viens no viņiem sāka kāpt pa virvi ar relatīvu ātrumu u. Nosakiet katras personas celšanas ātrumu. 1. Izvēlieties kustības objektu (bloks ar cilvēkiem): 2. Atbrīvojieties no savienojumiem (bloka atbalsta ierīce): 3. Nomainiet savienojumu ar reakcijām (gultnis): 4. Pievienojiet aktīvos spēkus (gravitācija): 5. Pierakstiet teorēma par sistēmas kinētiskā momenta maiņu attiecībā pret bloka griešanās asi: R Tā kā ārējo spēku moments ir vienāds ar nulli, tad kinētiskajam momentam jāpaliek nemainīgam: Sākotnējā laika momentā t = 0, tur bija līdzsvars un Kz0 = 0. Pēc viena cilvēka kustības sākuma attiecībā pret virvi visa sistēma sāka kustēties, bet sistēmas kinētiskajam momentam jāpaliek vienādam ar nulli: Kz = 0. sistēma ir gan cilvēku, gan bloka leņķisko momentu summa: Šeit v2 ir otrās personas ātrums, vienāds ar kabeļa ātrumu, Piemērs: Nosakiet viendabīga stieņa ar masu M nelielu brīvo svārstību periodu un garums l, ar vienu galu piekārts pie fiksētas griešanās ass. Vai: Mazu svārstību gadījumā sinφ φ: Svārstību periods: Stieņa inerces moments:

26 slaids

8. lekcija (turpinājums 8.4 - papildmateriāls) 24 ■ Žiroskopa elementārā teorija: Žiroskops ir stingrs korpuss, kas griežas ap materiāla simetrijas asi, kura viens no punktiem ir fiksēts. Brīvais žiroskops ir fiksēts tā, ka tā masas centrs paliek nekustīgs, un rotācijas ass iet caur masas centru un var ieņemt jebkuru pozīciju telpā, t.i. rotācijas ass maina savu pozīciju tāpat kā paša ķermeņa rotācijas ass sfēriskas kustības laikā. Galvenais žiroskopa aptuvenās (elementārās) teorijas pieņēmums ir tāds, ka tiek uzskatīts, ka rotora impulsa vektors (kinētiskais moments) ir vērsts pa savu rotācijas asi. Tādējādi, neskatoties uz to, ka vispārīgā gadījumā rotors piedalās trīs apgriezienos, tiek ņemts vērā tikai tā paša rotācijas leņķiskais ātrums ω = dφ/dt. Pamats tam ir tas, ka in modernās tehnoloģijasžiroskopa rotors griežas ar leņķisko ātrumu 5000-8000 rad/s (apmēram 50000-80000 apgr./min), bet pārējie divi leņķiskie ātrumi, kas saistīti ar paša rotācijas ass precesiju un nutāciju, ir desmitiem tūkstošu reižu mazāks par šo ātrumu. Brīvā žiroskopa galvenā īpašība ir tāda, ka rotora ass saglabā to pašu virzienu telpā attiecībā pret inerciālo (zvaigžņu) atskaites sistēmu (par to liecina Fuko svārsts, kas saglabā šūpošanās plakni nemainīgu attiecībā pret zvaigznēm, 1852). Tas izriet no likuma par kinētiskā momenta saglabāšanos attiecībā pret rotora masas centru, ja tiek ignorēta berze rotora balstiekārtas asu gultņos, ārējā un iekšējā rāmja gultņos: Spēka darbība uz brīvās ass asi. žiroskops. Rotora asij pieliktā spēka gadījumā ārējo spēku moments attiecībā pret masas centru nav vienāds ar nulli: ω ω С spēks, un virzienā uz šī spēka momenta vektoru, t.i. griezīsies nevis ap x asi (iekšējā piekare), bet ap y asi (ārējā piekare). Kad spēks beidzas, rotora ass paliks tajā pašā stāvoklī, kas atbilst pēdējais brīdis spēka ilgums, jo no šī brīža ārējo spēku moments atkal kļūst vienāds ar nulli. Īslaicīgas spēka darbības (trieciena) gadījumā žiroskopa ass savu pozīciju praktiski nemaina. Tādējādi rotora straujā rotācija dod žiroskopam iespēju neitralizēt nejaušas ietekmes, kas mēdz mainīt rotora rotācijas ass stāvokli un kad pastāvīga darbība spēks saglabā plaknes stāvokli, kas ir perpendikulāra iedarbīgajam spēkam, kurā atrodas rotora ass. Šīs īpašības tiek izmantotas inerciālās sistēmas navigācija.

Ievads

Teorētiskā mehānika ir viena no svarīgākajām fundamentālajām vispārīgajām zinātnes disciplīnām. Tam ir būtiska loma visu specialitāšu inženieru apmācībā. Vispārīgās inženierzinātņu disciplīnas balstās uz teorētiskās mehānikas rezultātiem: materiālu stiprība, mašīnu daļas, mehānismu un mašīnu teorija un citi.

Teorētiskās mehānikas galvenais uzdevums ir pētīt materiālo ķermeņu kustību spēku iedarbībā. Svarīga īpaša problēma ir ķermeņu līdzsvara izpēte spēku iedarbībā.

Lekciju kurss. Teorētiskā mehānika

Teorētiskās mehānikas uzbūve. Statikas pamati

Patvaļīgas spēku sistēmas līdzsvara nosacījumi.

Stingra ķermeņa līdzsvara vienādojumi.

Plakana spēku sistēma.

Īpaši stingra ķermeņa līdzsvara gadījumi.

Stieņa līdzsvara problēma.

Iekšējo spēku noteikšana stieņu konstrukcijās.

Punktu kinemātikas pamati.

dabiskās koordinātas.

Eilera formula.

Stingra ķermeņa punktu paātrinājumu sadalījums.

Translācijas un rotācijas kustības.

Plakne-paralēla kustība.

Sarežģīta punktu kustība.

Punktu dinamikas pamati.

Punkta kustības diferenciālvienādojumi.

Īpaši spēka lauku veidi.

Punktu sistēmas dinamikas pamati.

Punktu sistēmas dinamikas vispārīgās teorēmas.

Ķermeņa rotācijas kustības dinamika.

Dobronravovs V.V., Ņikitins N.N. Teorētiskās mehānikas kurss. M., Augstskola, 1983. gads.

Butenins N.V., Lunts Ja.L., Merkins D.R. Teorētiskās mehānikas kurss, 1. un 2. daļa. M., Augstskola, 1971.g.

Petkevičs V.V. Teorētiskā mehānika. M., Nauka, 1981. gads.

Uzdevumu krājums kursa darbiem par teorētisko mehāniku. Ed. A.A. Jablonskis. M., Augstskola, 1985. gads.

1. lekcija Teorētiskās mehānikas uzbūve. Statikas pamati

Teorētiskajā mehānikā tiek pētīta ķermeņu kustība attiecībā pret citiem ķermeņiem, kas ir fizikālās atskaites sistēmas.

Mehānika ļauj ne tikai aprakstīt, bet arī paredzēt ķermeņu kustību, nosakot cēloņsakarības noteiktā, ļoti plašā parādību diapazonā.

Reālu ķermeņu abstraktie pamata modeļi:

materiālais punkts - ir masa, bet nav izmēru;

absolūti ciets - ierobežotu izmēru tilpums, kas pilnībā piepildīts ar vielu, un attālumi starp jebkuriem diviem tilpumu aizpildošās vides punktiem kustības laikā nemainās;

nepārtraukta deformējama vide - aizpilda ierobežotu apjomu vai neierobežotu vietu; attālumi starp šādas vides punktiem var atšķirties.

No tām sistēmas:

Bezmaksas materiālo punktu sistēma;

Sistēmas ar pieslēgumiem;

Absolūti ciets ķermenis ar dobumu, kas piepildīts ar šķidrumu utt.

"Deģenerāts" modeļi:

Bezgala tievi stieņi;

Bezgala plānas plāksnes;

Bezsvara stieņi un vītnes, kas savieno materiāla punktus utt.

No pieredzes: mehāniskās parādības notiek atšķirīgi dažādas vietas fiziskā atskaites sistēma. Šī īpašība ir telpas neviendabīgums, ko nosaka fiziskā atskaites sistēma. Neviendabīgums šeit tiek saprasts kā parādības rašanās rakstura atkarība no vietas, kurā mēs novērojam šo parādību.

Vēl viena īpašība ir anizotropija (neizotropija), ķermeņa kustība attiecībā pret fizisko atskaites rāmi var atšķirties atkarībā no virziena. Piemēri: upes tecējums gar meridiānu (no ziemeļiem uz dienvidiem - Volga); šāviņa lidojums, Fuko svārsts.

Atsauces sistēmas īpašības (neviendabīgums un anizotropija) apgrūtina ķermeņa kustības novērošanu.

Praktiski brīvs no šī ģeocentrisks sistēma: sistēmas centrs atrodas Zemes centrā un sistēma negriežas attiecībā pret "fiksētajām" zvaigznēm). Ģeocentriskā sistēma ir ērta, lai aprēķinātu kustības uz Zemes.

Priekš debesu mehānika(Saules sistēmas ķermeņiem): heliocentrisks atskaites rāmis, kas pārvietojas kopā ar masas centru Saules sistēma un negriežas attiecībā pret "fiksētām" zvaigznēm. Šai sistēmai vēl nav atrasts telpas neviendabīgums un anizotropija

saistībā ar mehānikas parādībām.

Tātad, mēs ieviešam abstraktu inerciāls atskaites rāmis, kuram telpa ir viendabīga un izotropa saistībā ar mehānikas parādībām.

inerciālā atskaites sistēma- tāds, kura paša kustību nevar noteikt nekāda mehāniska pieredze. Domu eksperiments: “punkts, kas ir viens visā pasaulē” (izolēts) atrodas vai nu miera stāvoklī, vai kustas taisnā līnijā un vienmērīgi.

Visi atskaites rāmji, kas taisni kustas attiecībā pret sākotnējo, būs vienmērīgi inerciāli. Tas ļauj ieviest vienu Dekarta koordinātu sistēmu. Tādu telpu sauc Eiklīda.

Nosacīta vienošanās - ņem pareizo koordinātu sistēmu (1. att.).

AT laiks– klasiskajā (nerelativistiskajā) mehānikā absolūti, kas ir vienāds visām atskaites sistēmām, tas ir, sākotnējais moments ir patvaļīgs. Atšķirībā no relativistiskās mehānikas, kur tiek piemērots relativitātes princips.

Sistēmas kustības stāvokli brīdī t nosaka punktu koordinātas un ātrumi šajā brīdī.

Reāli ķermeņi mijiedarbojas, un rodas spēki, kas maina sistēmas kustības stāvokli. Tāda ir teorētiskās mehānikas būtība.

Kā tiek pētīta teorētiskā mehānika?

Doktrīna par noteikta atskaites rāmja ķermeņu kopas līdzsvara stāvokli - sadaļa statika.

nodaļa kinemātika: mehānikas daļa, kas pēta sakarības starp lielumiem, kas raksturo sistēmu kustības stāvokli, bet neņem vērā cēloņus, kas izraisa kustības stāvokļa izmaiņas.

Pēc tam apsveriet spēku ietekmi [GALVENĀ DAĻA].

nodaļa dinamika: mehānikas daļa, kurā aplūkota spēku ietekme uz materiālo objektu sistēmu kustības stāvokli.

Galvenā ēdiena veidošanas principi - dinamika:

1) pamatojoties uz aksiomu sistēmu (pamatojoties uz pieredzi, novērojumiem);

Pastāvīgi - nesaudzīga prakses kontrole. Eksaktās zinātnes zīme - iekšējās loģikas klātbūtne (bez tās - nesaistītu recepšu komplekts)!

statisks sauc to mehānikas daļu, kur tiek pētīti nosacījumi, kuriem jāizpilda spēki, kas iedarbojas uz materiālo punktu sistēmu, lai sistēma būtu līdzsvarā, un spēku sistēmu ekvivalences nosacījumi.

Elementārās statikas līdzsvara problēmas tiks aplūkotas, izmantojot tikai ģeometriskas metodes, kuru pamatā ir vektoru īpašības. Šī pieeja tiek piemērota ģeometriskā statika(pretstatā analītiskajai statikai, kas šeit netiek ņemta vērā).

Dažādu materiālo ķermeņu pozīcijas tiks attiecinātas uz koordinātu sistēmu, kuru mēs pieņemsim kā fiksētu.

Ideāli materiālu ķermeņu modeļi:

1) materiālais punkts - ģeometrisks punkts ar masu.

2) absolūti stingrs ķermenis - materiālu punktu kopums, kuru attālumus nevar mainīt ar jebkādām darbībām.

Ar spēkiem mēs piezvanīsim objektīvi iemesli, kas ir materiālu objektu mijiedarbības rezultāts, kas spēj izraisīt ķermeņu kustību no miera stāvokļa vai mainīt tā esošo kustību.

Tā kā spēku nosaka tā izraisītā kustība, tam ir arī relatīvs raksturs atkarībā no atskaites sistēmas izvēles.

Tiek aplūkots jautājums par spēku būtību fizikā.

Materiālo punktu sistēma ir līdzsvarā, ja, atrodoties miera stāvoklī, tā nesaņem nekādu kustību no spēkiem, kas uz to iedarbojas.

No ikdienas pieredzes: spēkiem ir vektora raksturs, tas ir, lielums, virziens, darbības līnija, pielietojuma punkts. Nosacījums spēku līdzsvaram, kas iedarbojas uz stingru ķermeni, tiek reducēts līdz vektoru sistēmu īpašībām.

Apkopojot dabas fizisko likumu pētīšanas pieredzi, Galileo un Ņūtons formulēja mehānikas pamatlikumus, kurus var uzskatīt par mehānikas aksiomām, jo tiem ir pamatojoties uz eksperimentāliem faktiem.

1. aksioma. Vairāku spēku darbība uz cieta ķermeņa punktu ir līdzvērtīga viena spēka iedarbībai rezultējošais spēks, konstruēts pēc vektoru saskaitīšanas likuma (2. att.).

Sekas. Stingra ķermeņa punktam pieliktos spēkus saskaita saskaņā ar paralelograma likumu.

2. aksioma. Divi spēki, kas pielikti cietam ķermenim savstarpēji līdzsvarots tad un tikai tad, ja tie ir vienādi pēc lieluma, vērsti pretējos virzienos un atrodas uz vienas taisnes.

3. aksioma. Spēku sistēmas darbība uz stingru ķermeni nemainīsies, ja pievienot šai sistēmai vai atteikties no tās divi vienāda lieluma spēki, kas vērsti pretējos virzienos un atrodas uz vienas taisnes.

Sekas. Spēku, kas iedarbojas uz stingra ķermeņa punktu, var pārnest pa spēka darbības līniju, nemainot līdzsvaru (tas ir, spēks ir slīdošs vektors, 3. att.)

1) Aktīvi – rada vai spēj radīt stingra ķermeņa kustību. Piemēram, svara spēks.

2) Pasīvs - nevis radot kustību, bet gan ierobežojot stingra ķermeņa kustību, novēršot kustību. Piemēram, nestiepjamas vītnes stiepes spēks (4. att.).

4. aksioma. Viena ķermeņa iedarbība uz otru ir vienāda un pretēja šī otrā ķermeņa iedarbībai uz pirmo ( darbība ir vienāda ar reakciju).

Tiks izsaukti ģeometriskie nosacījumi, kas ierobežo punktu kustību savienojumiem.

Saziņas nosacījumi: piemēram,

- stienis ar netiešo garumu l.

- elastīga nepaplašināma vītne ar garumu l.

Tiek izsaukti spēki, kas rodas saišu dēļ un kavē kustību reakcijas spēki.

5. aksioma. Materiālo punktu sistēmai uzliktās saites var aizstāt ar reakcijas spēkiem, kuru darbība ir līdzvērtīga saišu darbībai.

Kad pasīvie spēki nespēj līdzsvarot aktīvo spēku darbību, sākas kustība.

Divas īpašas statikas problēmas

1. Saplūstošu spēku sistēma, kas iedarbojas uz stingru ķermeni

Saplūstošu spēku sistēma sauc tādu spēku sistēmu, kuras darbības līnijas krustojas vienā punktā, kuru vienmēr var ņemt par izcelsmi (5. att.).

Rezultāta prognozes:

;

Ja , tad spēks izraisa stingra ķermeņa kustību.

Līdzsvara nosacījums konverģentai spēku sistēmai:

2. Trīs spēku līdzsvars

Ja uz stingru ķermeni iedarbojas trīs spēki un divu spēku darbības līnijas krustojas kādā punktā A, līdzsvars ir iespējams tad un tikai tad, ja arī trešā spēka darbības līnija iet caur punktu A un pats spēks ir vienāds. lielumā un pretēji vērsta uz summu (6. att.).

Piemēri:

Spēka moments attiecībā pret punktu O definēt kā vektoru, izmērā vienāds ar divkāršu trijstūra laukumu, kura pamatne ir spēka vektors ar virsotni noteiktā punktā O; virziens- ortogonāli aplūkotā trīsstūra plaknei virzienā, no kura ir redzama spēka radītā rotācija ap punktu O pretpulksteņrādītājvirzienā. ir slīdošā vektora moments un ir bezmaksas vektors(9. att.).

Tātad: vai

kur ;;.

Kur F ir spēka modulis, h ir plecs (attālums no punkta līdz spēka virzienam).

Spēka moments ap asi sauc par spēka momenta vektora projekcijas algebrisko vērtību uz šo asi attiecībā pret patvaļīgu punktu O, kas ņemts uz ass (10. att.).

Tas ir skalārs, kas nav atkarīgs no punkta izvēles. Patiešām, mēs paplašinām :|| un lidmašīnā.

Par momentiem: lai О 1 ir krustošanās punkts ar plakni. Pēc tam:

a) no - brīža => projekcija = 0.

b) no - brīža līdzi => ir projekcija.

Tātad, moments ap asi ir spēka komponentes moments plaknē, kas ir perpendikulāra asij, attiecībā pret plaknes un ass krustošanās punktu.

Varinjona teorēma konverģējošu spēku sistēmai:

Rezultējošā spēka moments saplūstošu spēku sistēmai attiecībā pret patvaļīgu punktu A ir vienāds ar visu spēku komponentu momentu summu attiecībā pret to pašu punktu A (11. att.).

Pierādījums konverģentu vektoru teorijā.

Paskaidrojums: spēku saskaitīšana pēc paralelograma likuma => iegūtais spēks dod kopējo momentu.

Testa jautājumi:

1. Nosauc galvenos reālo ķermeņu modeļus teorētiskajā mehānikā.

2. Formulējiet statikas aksiomas.

3. Ko sauc par spēka momentu attiecībā uz punktu?

2. lekcija Līdzsvara nosacījumi patvaļīgai spēku sistēmai

No statikas pamataksiomām izriet elementāras spēku operācijas:

1) spēku var pārnest pa darbības līniju;

2) spēkus, kuru darbības līnijas krustojas, var saskaitīt pēc paralelograma likuma (pēc vektoru saskaitīšanas likuma);

3) spēku sistēmai, kas iedarbojas uz stingru ķermeni, vienmēr var pievienot divus spēkus, kuru lielums ir vienāds un atrodas uz vienas taisnes un ir vērsti pretējos virzienos.

Elementāras darbības nemaina sistēmas mehānisko stāvokli.

Nosauksim divas spēku sistēmas ekvivalents ja vienu no otra var iegūt, izmantojot elementāras darbības (kā slīdošo vektoru teorijā).

Tiek saukta divu paralēlu spēku sistēma, kas ir vienāda lieluma un ir vērsti pretējos virzienos pāris spēki(12. att.).

Spēku pāra moments- vektors, kura izmērs ir vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidots uz pāra vektoriem un ir vērsts perpendikulāri pāra plaknei virzienā, no kura var redzēt pāra vektoru norādīto rotāciju pretpulksteņrādītājvirzienā.

, tas ir, spēka moments ap punktu B.

Spēku pāri pilnībā raksturo tā moments.

Spēku pāri ar elementārām darbībām var pārnest uz jebkuru plakni, kas ir paralēla pāra plaknei; mainīt pāra spēku lielumu apgriezti proporcionāli pāra pleciem.

Spēku pārus var saskaitīt, savukārt spēku pāru momentus saskaita pēc (brīvo) vektoru saskaitīšanas likuma.

Spēku sistēmas, kas iedarbojas uz stingru ķermeni, nogādāšana patvaļīgā punktā (reducēšanas centrā)- nozīmē pašreizējās sistēmas aizstāšanu ar vienkāršāku: trīs spēku sistēmu, no kurām viens iet cauri iepriekš dots punkts, un pārējie divi apzīmē pāri.

To pierāda ar elementāru operāciju palīdzību (13.att.).

Saplūstošo spēku sistēma un spēku pāru sistēma.

- iegūtais spēks.

Iegūtais pāris

Kas ir tas, kas bija jāparāda.

Divas spēku sistēmas gribu ir līdzvērtīgi tad un tikai tad, ja abas sistēmas tiek reducētas līdz vienam rezultējamam spēkam un vienam rezultējošajam pārim, tas ir, ar šādiem nosacījumiem:

Vispārējs līdzsvara gadījums spēku sistēmai, kas iedarbojas uz stingru ķermeni

Mēs virzām spēku sistēmu uz (14. att.):

Iegūtais spēks caur izcelsmi;

Rezultātā iegūtais pāris turklāt caur punktu O.

Tas ir, tie noveda pie un - diviem spēkiem, no kuriem viens iet caur noteiktu punktu O.

Līdzsvars, ja otra taisne ir vienāda, vērsta pretēji (2. aksioma).

Tad iet caur punktu O, tas ir.

Tātad, vispārīgie noteikumi un nosacījumi stingra ķermeņa līdzsvars:

Šie nosacījumi ir spēkā patvaļīgam telpas punktam.

Testa jautājumi:

1. Uzskaitiet elementāras operācijas ar spēkiem.

2. Kādas spēku sistēmas sauc par ekvivalentām?

3. Uzrakstiet stingra ķermeņa līdzsvara vispārīgos nosacījumus.

3. lekcija Stingra ķermeņa līdzsvara vienādojumi

Lai O ir koordinātu sākumpunkts; ir iegūtais spēks; ir iegūtā pāra moments. Lai punkts O1 ir jauns samazināšanas centrs (15. att.).

Jauna spēka sistēma:

Kad mainās metiena punkts, => mainās tikai (vienā virzienā ar vienu zīmi, otrā ar citu). Tāda ir būtība: saskaņot līnijas

Analītiski: (vektoru kolinearitāte)

; punkta O1 koordinātas.

Šis ir taisnes vienādojums, kura visiem punktiem iegūtā vektora virziens sakrīt ar iegūtā pāra momenta virzienu - taisni sauc dinamo.

Ja uz dinamu ass => , tad sistēma ir ekvivalenta vienam rezultējošajam spēkam, ko sauc sistēmas rezultējošais spēks.Šajā gadījumā vienmēr, tas ir.

Četri spēku piesaistīšanas gadījumi:

1.) ;- dinamo.

2.) ; - rezultāts.

3.) ;- pāris.

4.) ;- līdzsvars.

Divi vektoru līdzsvara vienādojumi: galvenais vektors un galvenais moments ir vienādi ar nulli,.

Vai seši skalāri vienādojumi projekcijās uz Dekarta koordinātu asīm:

Šeit:

Vienādojumu veida sarežģītība ir atkarīga no samazināšanas punkta izvēles => kalkulatora māksla.

Līdzsvara nosacījumu atrašana cieto ķermeņu sistēmai mijiedarbībā<=>katra ķermeņa līdzsvara problēma atsevišķi, un ķermeni ietekmē ārējie spēki un iekšējie spēki (ķermeņu mijiedarbība saskares punktos ar vienādiem un pretēji vērstiem spēkiem - IV aksioma, 17. att.).

Mēs izvēlamies visiem sistēmas korpusiem viens nosūtīšanas centrs. Tad katram ķermenim ar līdzsvara stāvokļa numuru:

, , (= 1, 2, …, k)

kur , - rezultējošais spēks un rezultējošā visu spēku pāra moments, izņemot iekšējās reakcijas.

Iegūtā iekšējo reakciju spēku pāra radītais spēks un moments.

Formāli rezumējot un ņemot vērā IV aksiomu

mēs saņemam nepieciešamie nosacījumi stingra ķermeņa līdzsvaram:

Piemērs.

Līdzsvars: = ?

Testa jautājumi:

1. Nosauc visus gadījumus, kad spēku sistēma nonāk vienā punktā.

2. Kas ir dinamo?

3. Noformulēt nepieciešamos nosacījumus stingru ķermeņu sistēmas līdzsvaram.

4. lekcija Plakana spēku sistēma

Īpašs vispārīgā uzdevuma izpildes gadījums.

Ļaujiet visiem iedarbīgajiem spēkiem atrasties vienā plaknē - piemēram, loksnē. Izvēlēsimies punktu O par samazinājuma centru - tajā pašā plaknē. Iegūto spēku un iegūto pāri iegūstam vienā plaknē, tas ir (19. att.)