Sinus teorēma ir vienāda ar diviem rādiusiem. Sinus teorēmas pierādījums

Mēs izveidojam patvaļīgu trīsstūri, kas ierakstīts aplī. Apzīmēsim to kā ABC.
Lai pierādītu visu teorēmu, tā kā trijstūra izmēri ir izvēlēti patvaļīgi, pietiek pierādīt, ka vienas patvaļīgas malas attiecība pret tai pretējo leņķi ir vienāda ar 2R. Lai tas būtu 2R = a / sin α, tas ir, ja mēs ņemam 2R = BC / sin A saskaņā ar zīmējumu.

Uzzīmējiet ierobežotā apļa diametru BD. Iegūtais trīsstūris BCD ir taisnleņķa leņķis, jo tā hipotenūza atrodas uz ierobežotā apļa diametra (apļa ierakstīto leņķu īpašība).

Tā kā aplī ierakstītie leņķi, pamatojoties uz to pašu loku, ir vienādi, tad leņķis CDB ir vai nu vienāds ar leņķi CAB (ja punkti A un D atrodas vienā taisnes BC pusē), vai arī vienāds ar π - CAB (citādi) .

Apskatīsim īpašumus trigonometriskās funkcijas. Tā kā sin(π − α) = sin α, tad norādītās trīsstūra konstruēšanas iespējas joprojām novedīs pie tāda paša rezultāta.

Aprēķiniet vērtību 2R = a / sin α saskaņā ar zīmējumu 2R = BC / sin A. Lai to izdarītu, sin A aizstāj ar taisnleņķa trijstūra atbilstošo malu attiecību.

2R = BC/sin A
2R=BC/(BC/DB)
2R=DB

Un, tā kā DB tika uzbūvēts kā apļa diametrs, tad vienādība ir patiesa.
Atkārtojot to pašu pamatojumu pārējām divām trijstūra malām, mēs iegūstam:

Sinus teorēma ir pierādīta.

Sinus teorēma

Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sinusa teorēmas sadaļa). Ja jums ir jāatrisina problēma ģeometrijā, kuras šeit nav - rakstiet par to forumā. Uzdevumos simbola "kvadrātsakne" vietā tiek izmantota funkcija sqrt (), kurā sqrt ir simbols kvadrātsakne, un iekavās ir saknes izteiksme.

Sinus teorēma:
Trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem vai paplašinātā formulējumā:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
kur R ir ierobežotā apļa rādiuss

Teorija - teorēmas formulējumu un pierādījumu sīkāk skatīt nodaļā "Sinesu teorēma" .

Uzdevums

Trijstūrī XYZ leņķis X=30 leņķis Z=15. Perpendikulu YQ pret ZY sadala XZ pusi daļās XQ un QZ. Atrodiet XY, ja QZ = 1,5 m

Risinājums.
Augstums veidoja divus taisnleņķa trīsstūrus XYQ un ZYQ.
Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam sinusa teorēmu.
QZ/sin(QYZ) = QY/sin(QZY)

QZY = 15 grādi, attiecīgi, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Tā kā trijstūra augstuma garums tagad ir zināms, mēs atrodam XY, izmantojot to pašu sinusa teorēmu.

QY / grēks (30) = XY / grēks (90)

Ņemsim vērā dažu trigonometrisko funkciju tabulas vērtības:

30 grādu sinuss ir sin(30) = 1/2
90 grādu sinuss ir sin(90) = 1

QY = XY grēks (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Atbilde: 0,8 m vai 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Sinus teorēma (2. daļa)

Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sinusa teorēmas sadaļa). Ja jums ir jāatrisina problēma ģeometrijā, kuras šeit nav - rakstiet par to forumā .

Sīkāk skatīt teoriju nodaļā "Sinusu teorēma" .

Uzdevums

Trijstūra ABC mala AB ir 16 cm. Leņķis A ir 30 grādi. Leņķis B ir 105 grādi. Aprēķiniet malas BC garumu.

Risinājums.
Saskaņā ar sinusa teorēmu trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Pa šo ceļu
BC / sin α = AB / sin γ

Mēs atrodam leņķa C vērtību, pamatojoties uz to, ka trijstūra leņķu summa ir 180 grādi.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 grādi.

Kur:
BC / grēks 30° = 16 / grēks 45°

BC = 16 sin 30° / grēks 45°

Atsaucoties uz trigonometrisko funkciju tabulu, mēs atrodam:

BC = (16 * 1/2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Atbilde: 16 / √2

Uzdevums.
Trijstūrī ABC leņķis A \u003d α, leņķis C \u003d β, BC \u003d 7cm, BH ir trijstūra augstums.
Atrodiet AN

Teorēmas pirmā daļa: patvaļīga trijstūra malas, kas ir proporcionālas sinusiem pretējos stūros, t.i.:

Teorēmas otrā daļa: katra daļa ir vienāda ar apļa diametru, kas apzīmēts ap doto trīsstūri, tas ir: .

Matemātikas pasniedzēja komentārs: sinusotēmas otrās daļas lietojums ir likts gandrīz katrā otrajā apļa konkursa uzdevumā. Kāpēc? Fakts ir tāds, ka vienlīdzība ļauj atrast apļa rādiusu, kurā ir tikai divi trīsstūra elementi. To ļoti bieži izmanto spēcīgu problēmu sastādītāji, kuri īpaši atlasa nosacījumu tā, lai nekādi citi trīsstūra elementi (un viss attēls) neatrastos! "Bilde" būs peldoša. Šis apstāklis ievērojami sarežģī darbu pie eksāmena, jo tas neļauj apiet raksturīgo īpašumu.

Sinus teorēmas pierādījums:

saskaņā ar Atanasjana mācību grāmatu
Pierādīsim, ka jebkuram trijstūrim ar malām a, b, c un pretējiem leņķiem A, B un C ir patiesa vienādība: .
No virsotnes B uzzīmējiet augstumu BH. Ir iespējami divi gadījumi:
1) Punkts H atrodas malā AC (tas ir iespējams, ja un ir akūti).
Pēc akūta leņķa sinusa definīcijas collas taisnleņķa trīsstūris ABH mēs rakstām

Tāpat trijstūrī CBH mums ir . Pielīdzinot BH izteiksmes vienu otrai, mēs iegūstam:
2)Ļaujiet H atrodas uz malas AC pagarinājuma (piemēram, pa kreisi no A). Tas notiks, ja - stulbi. Līdzīgi, saskaņā ar trijstūrī ABH asā leņķa A sinusa definīciju, mēs rakstām vienādību , bet, tā kā blakus esošo leņķu sinusi ir vienādi, aizstājot šo vienādību ar , mēs iegūstam kā pirmajā gadījumā. Tāpēc, neatkarīgi no leņķiem A un C, vienādība ir patiesa.
Sadalot abas tā daļas ar mēs iegūstam . Līdzīgi tiek pierādīta arī otrā daļskaitļu pāra vienādība

Sinus teorēmas pierādījums saskaņā ar Pogorelova mācību grāmatu:

Pielietojiet trīsstūra laukuma formulu diviem leņķiem A un C:

Pēc pareizo daļu pielīdzināšanas un reducēšanas līdz iegūstam tādu pašu vienādību kā pierādījumā ar pirmo metodi. No tā tādā pašā veidā iegūstam daļskaitļu vienādību.

Sinus teorēmas otrās daļas pierādījums:

Aprakstīsim apli ap doto trīsstūri un novilksim tā diametru BD caur B. Tā kā leņķi D un C ir balstīti uz vienu loku, tie ir vienādi (ierakstīto leņķu teorēmas sekas). Tad . Pielietosim leņķa D sinusa definīciju trijstūrī ABD: Lūk, kas bija jāpierāda.

Uzdevumi sinusa teorēmas otrajai daļai:
1) Trapecveida forma ir ierakstīta aplī ar rādiusu 15. Diagonāles garums un trapeces augstums ir attiecīgi 20 un 6. Atrodiet malu.
2) Ierobežotā riņķa rādiuss ap trapecveida formu ir 25, un tā strupā leņķa kosinuss ir -0,28 (mīnus!!!). Trapeces diagonāle veido leņķi ar pamatni. Atrodiet trapeces augstumu.
3) Trapecveida forma ir ierakstīta aplī ar rādiusu 10. Trapeces diagonāles un viduslīnijas garums ir attiecīgi 15 un 12. Atrodiet trapeces sānu malas garumu.
4) Olimpiskās spēles Finanšu akadēmija 2009. gads Apļa hordas krustojas punktā Q. Ir zināms, ka riņķa rādiuss ir 4 cm. Atrodiet akorda garumu PN. Olimpiāde Finanšu akadēmijā 2009
5) Trīsstūrī PST . Ap tā bisektriču un virsotņu P un T krustošanās punktu ir norobežots aplis ar rādiusu 8 cm. Atrodiet ap trijstūri PST norobežotā apļa rādiusu (autora uzdevums).

Matemātikas pasniedzējs vienmēr palīdzēs detalizēti izanalizēt sinusa teorēmu un iegūt nepieciešamo praksi tās izmantošanā uzdevumos. Viņas plānotās skolas mācības notiek 9. klases ģeometrijas kursā trīsstūru risināšanas tēmā (visām programmām). Ja ir nepieciešams sagatavoties eksāmenam matemātikā, lai eksāmenu nokārtotu ar vismaz 70 punktiem, nāksies trenēties spēcīgu planimetrisko uzdevumu risināšanā no C4 skaitļiem. Tajos sinusa teorēma bieži tiek piemērota ierakstītiem trijstūriem, ņemot vērā attiecību. Atceries šo!

Ar cieņu Kolpakovs Aleksandrs Nikolajevičs,
matemātikas pasniedzējs

Absolventiem, kuri gatavojas kārtot eksāmenu matemātikā un vēlas iegūt diezgan augstus punktus, noteikti jāapgūst uzdevumu risināšanas princips, izmantojot sinusu un kosinusu teorēmu. Ilggadējā prakse liecina, ka šādi uzdevumi no sadaļas "Ģeometrija plaknē" ir obligāta sertifikācijas pārbaudes programmas sastāvdaļa. Tāpēc, ja kāds no jūsu vājās puses ir uzdevumi par kosinusu un sinusu teorēmu, mēs iesakām noteikti atkārtot pamata teoriju par šo tēmu.

Sagatavojies eksāmenam ar izglītības portālu "Shkolkovo"

Panākot pirms nokārtojot eksāmenu, daudzi absolventi saskaras ar problēmu atrast pamata teoriju, kas nepieciešama, lai atrisinātu praktiskas problēmas par sinusu un kosinusu teorēmas pielietošanu.

Mācību grāmata ne vienmēr ir īstajā laikā pie rokas. Un vajadzīgo formulu atrašana dažkārt ir diezgan problemātiska pat internetā.

Gatavošanās sertifikācijas pārbaudei ar izglītības portāls Shkolkovo būs visaugstākā kvalitāte un efektivitāte. Lai atvieglotu sinusu un kosinusu teorēmas uzdevumus, mēs iesakām atsvaidzināt atmiņā visu teoriju par šo tēmu. Mūsu eksperti sagatavoja šo materiālu, pamatojoties uz bagātīgo pieredzi, un iepazīstināja to saprotamā formā. Jūs to varat atrast sadaļā "Teorētiskā atsauce".

Pamatteorēmu un definīciju pārzināšana ir puse no panākumiem, nokārtojot sertifikācijas pārbaudi. Atbilstoši vingrinājumi ļauj pilnveidot prasmi risināt piemērus. Lai tos atrastu, vienkārši dodieties uz Shkolkovo izglītības vietnes sadaļu Katalogs. Ir liels uzdevumu saraksts. dažādi līmeņi sarežģītība, kas tiek pastāvīgi papildināta un atjaunināta.

Uzdevumus par sinusu un kosinusu teorēmām, līdzīgus tiem, kas atrodami vienotajā valsts eksāmenā matemātikā, skolēni var veikt tiešsaistē, atrodoties Maskavā vai jebkurā citā Krievijas pilsētā.

Ja nepieciešams, jebkuru vingrinājumu, piemēram, var saglabāt sadaļā "Izlase". Tas ļaus jums atgriezties pie tā nākotnē, lai vēlreiz analizētu pareizās atbildes atrašanas algoritmu un apspriestu to ar skolotāju skolā vai skolotāju.

Trigonometriju plaši izmanto ne tikai algebras sadaļā - analīzes sākumā, bet arī ģeometrijā. Šajā sakarā ir saprātīgi pieņemt ar trigonometriskām funkcijām saistīto teorēmu un to pierādījumu esamību. Patiešām, kosinusa un sinusa teorēmas rada ļoti interesantas un, pats galvenais, noderīgas attiecības starp trijstūra malām un leņķiem.

Izmantojot šo formulu, jūs varat iegūt jebkuru no trijstūra malām:

Apgalvojuma pierādījums ir iegūts, pamatojoties uz Pitagora teorēmu: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC. No virsotnes C nolaižam augstumu h līdz figūras pamatnei, šajā gadījumā tā garumam absolūti nav nozīmes. Tagad, ja mēs uzskatām patvaļīgu trīsstūri ACB, tad punkta C koordinātas varam izteikt trigonometriski cos funkcijas un grēks.

Atgādiniet kosinusa definīciju un uzrakstiet trijstūra ACD malu attiecību: cos α = AD/AC | reiziniet abas vienādības puses ar maiņstrāvu; AD = AC * cos α.

Ņemsim garumu AC kā b un iegūstam izteiksmi punkta C pirmajai koordinātei:
x = b * cos⁡α. Līdzīgi atrodam ordinātu C vērtību: y = b * sin α. Tālāk mēs izmantojam Pitagora teorēmu un pārmaiņus izsakām h trīsstūrim ACD un DCB:

Acīmredzot abas izteiksmes (1) un (2) ir vienādas viena ar otru. Mēs pielīdzinām labās puses un dodam līdzīgas:

Par praksi dotā formulaļauj atrast trijstūra nezināmās malas garumu pēc dotie leņķi. Kosinusa teorēmai ir trīs sekas: trijstūra taisnajam, asajam un strupajam leņķim.

Aizstāsim cos α vērtību ar parasto mainīgo x, tad trijstūra ABC asajam leņķim iegūstam:

Ja leņķis izrādās pareizs, tad 2bx pazudīs no izteiksmes, jo cos 90 ° \u003d 0. Grafiski otro konsekvenci var attēlot šādi:

Strupā leņķa gadījumā zīme “-” pirms dubulta argumenta formulā mainīsies uz “+”:

Kā redzams no paskaidrojuma, attiecībās nav nekā sarežģīta. Kosinusa teorēma ir nekas cits kā Pitagora teorēmas izkārtojums trigonometriskajos daudzumos.

Teorēmas praktiskais pielietojums

1. vingrinājums. Dots trīsstūris ABC ar malu BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm un cos α = ½. Atrodiet malas AB garumu.

Lai pareizi aprēķinātu, jums jānosaka leņķis α. Lai to izdarītu, skatiet trigonometrisko funkciju vērtību tabulu, saskaņā ar kuru loka kosinuss ir 1/2 leņķim 60 °. Pamatojoties uz to, mēs izmantojam teorēmas pirmā secinājuma formulu:

2. uzdevums. Trijstūrim ABC ir zināmas visas malas: AB =4√2,BC=5,AC=7. Ir jāatrod visi figūras leņķi.

Šajā gadījumā jūs nevarat iztikt bez problēmas apstākļu zīmējuma.

Tā kā leņķu vērtības joprojām nav zināmas, ir jāizmanto pilna formula akūtam leņķim.

Pēc analoģijas nav grūti formulēt un aprēķināt citu leņķu vērtības:

Rezumējot, trīs trijstūra leņķiem jābūt 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, tāpēc risinājums ir atrasts.

Sinus teorēma

Teorēma nosaka, ka patvaļīga trīsstūra visas malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem. Attiecības ir uzrakstītas trīskāršās vienādības formā:

Klasiskais apgalvojuma pierādījums tiek veikts, izmantojot aplī ierakstītas figūras piemēru.

Lai pārbaudītu apgalvojuma patiesumu, izmantojot trijstūra ABC piemēru attēlā, ir jāapstiprina fakts, ka 2R = BC / sin A. Pēc tam jāpierāda, ka arī pārējās malas atbilst pretējo leņķu sinusiem, piemēram, 2R vai D no apļa.

Lai to izdarītu, mēs novelkam apļa diametru no virsotnes B. No riņķī ierakstīto leņķu īpašībām ∠GCB ir taisna līnija, un ∠CGB ir vai nu vienāds ar ∠CAB vai (π - ∠CAB). Sinusa gadījumā pēdējais apstāklis nav nozīmīgs, jo grēks (π -α) \u003d grēks α. Pamatojoties uz iepriekš minētajiem secinājumiem, var apgalvot, ka:

sin ∠CGB = BC/BG vai sin A = BC/2R,

Ja ņemam vērā citus attēla leņķus, mēs iegūstam sinusa teorēmas paplašināto formulu: