Faktorizācijas teorēma kvadrātveida trinomam. Kvadrātveida trinomu faktorizācija: piemēri un formulas

Polinomu paplašināšana, lai iegūtu produktu, dažkārt šķiet mulsinoša. Bet tas nav tik grūti, ja jūs saprotat procesu soli pa solim. Rakstā ir detalizēti aprakstīts, kā faktorizēt kvadrātveida trinomu.

Daudzi nesaprot, kā faktorizēt kvadrātveida trinomu un kāpēc tas tiek darīts. Sākumā var šķist, ka tas ir bezjēdzīgs vingrinājums. Bet matemātikā nekas netiek darīts tāpat vien. Transformācija ir nepieciešama, lai vienkāršotu izteiksmi un aprēķinu ērtības.

polinoms ar formu - ax² + bx + c, sauc par kvadrātveida trinomu. Terminam "a" jābūt negatīvam vai pozitīvam. Praksē šo izteiksmi sauc par kvadrātvienādojumu. Tāpēc dažreiz viņi saka savādāk: kā sadalīties kvadrātvienādojums.

Interesanti! Kvadrātveida polinoms tiek saukts tā lielākās pakāpes dēļ - kvadrāts. Un trinomiāls - 3 komponentu terminu dēļ.

Daži citi polinomu veidi:

lineārais binomiāls (6x+8);
kubiskais četrstūris (x³+4x²-2x+9).

Kvadrātveida trinoma faktorizācija

Pirmkārt, izteiksme ir vienāda ar nulli, tad jums jāatrod sakņu vērtības x1 un x2. Var nebūt sakņu, var būt viena vai divas saknes. Sakņu klātbūtni nosaka diskriminants. Tās formula ir jāzina no galvas: D=b²-4ac.

Ja D rezultāts ir negatīvs, sakņu nav. Ja tas ir pozitīvs, ir divas saknes. Ja rezultāts ir nulle, sakne ir viens. Arī saknes aprēķina pēc formulas.

Ja diskriminanta aprēķina rezultāts ir nulle, varat izmantot jebkuru no formulām. Praksē formula ir vienkārši saīsināta: -b / 2a.

Formulas priekš dažādas vērtības diskriminējošie ir dažādi.

Ja D ir pozitīvs:

Ja D ir nulle:

Tiešsaistes kalkulatori

Internetam ir tiešsaistes kalkulators. To var izmantot faktorizēšanai. Daži resursi sniedz iespēju soli pa solim redzēt risinājumu. Šādi pakalpojumi palīdz labāk izprast tēmu, bet jums ir jācenšas labi saprast.

Noderīgs video: Kvadrātveida trinoma faktorēšana

Piemēri

Aicinām apskatīt vienkārši piemēri kā faktorizēt kvadrātvienādojumu.

1. piemērs

Šeit ir skaidri parādīts, ka rezultāts būs divi x, jo D ir pozitīvs. Tie ir jāaizvieto formulā. Ja saknes ir negatīvas, zīme formulā tiek apgriezta.

Mēs zinām paplašināšanas formulu kvadrātveida trinomāls reizinātāji: a(x-x1)(x-x2). Mēs ievietojam vērtības iekavās: (x+3)(x+2/3). Eksponentā pirms vārda nav skaitļa. Tas nozīmē, ka ir vienība, tā ir nolaista.

2. piemērs

Šis piemērs skaidri parāda, kā atrisināt vienādojumu, kuram ir viena sakne.

Aizstājiet iegūto vērtību:

3. piemērs

Dots: 5x²+3x+7

Pirmkārt, mēs aprēķinām diskriminantu, tāpat kā iepriekšējos gadījumos.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminants ir negatīvs, kas nozīmē, ka nav sakņu.

Pēc rezultāta saņemšanas ir vērts atvērt iekavas un pārbaudīt rezultātu. Ir jāparādās sākotnējam trinominam.

Alternatīvs risinājums

Daži cilvēki nekad nav spējuši sadraudzēties ar diskriminantu. Ir vēl viens veids, kā faktorizēt kvadrātveida trinomu. Ērtības labad metode ir parādīta piemērā.

Dots: x²+3x-10

Mēs zinām, ka mums vajadzētu beigties ar 2 iekavām: (_)(_). Kad izteiksme izskatās šādi: x² + bx + c, katras iekavas sākumā ievietojam x: (x_) (x_). Atlikušie divi skaitļi ir reizinājums, kas dod "c", t.i., šajā gadījumā -10. Lai uzzinātu, kādi ir šie skaitļi, varat izmantot tikai atlases metodi. Aizstātajiem cipariem ir jāatbilst atlikušajam terminam.

Piemēram, reizinot šādus skaitļus, tiek iegūts -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nē.
(x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nē.
(x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nē.
(x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Der.

Tātad izteiksmes x2+3x-10 transformācija izskatās šādi: (x-2)(x+5).

Svarīgs! Jums vajadzētu būt uzmanīgiem, lai nesajauktu zīmes.

Sarežģīta trinoma dekompozīcija

Ja "a" ir lielāks par vienu, sākas grūtības. Bet viss nav tik grūti, kā šķiet.

Lai veiktu faktorizāciju, vispirms ir jāskatās, vai ir iespējams kaut ko faktorēt.

Piemēram, ņemot vērā izteiksmi: 3x²+9x-30. Šeit skaitlis 3 tiek izņemts no iekavām:

3(x²+3x-10). Rezultāts ir jau zināmais trinomiāls. Atbilde izskatās šādi: 3(x-2)(x+5)

Kā sadalīt, ja kvadrātā apzīmētais vārds ir negatīvs? Šajā gadījumā skaitlis -1 tiek izņemts no kronšteina. Piemēram: -x²-10x-8. Pēc tam izteiksme izskatīsies šādi:

Shēma maz atšķiras no iepriekšējās. Ir tikai dažas jaunas lietas. Pieņemsim, ka ir dota izteiksme: 2x²+7x+3. Atbilde ir arī rakstīta 2 iekavās, kuras jāaizpilda (_) (_). X ir rakstīts 2. iekavās, un tas, kas ir palicis 1. Tas izskatās šādi: (2x_) (x_). Pretējā gadījumā tiek atkārtota iepriekšējā shēma.

Skaitlis 3 norāda skaitļus:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Atrisinām vienādojumus, aizstājot dotos skaitļus. Pēdējais variants der. Tātad izteiksmes 2x²+7x+3 transformācija izskatās šādi: (2x+1)(x+3).

Citi gadījumi

Ne vienmēr ir iespējams pārveidot izteiksmi. Otrajā metodē vienādojuma risinājums nav nepieciešams. Bet iespēju pārvērst terminus par preci pārbauda tikai ar diskriminanta palīdzību.

Ir vērts vingrināties kvadrātvienādojumu risināšanā, lai, izmantojot formulas, nerastos grūtības.

Noderīgs video: trinoma faktorizācija

Secinājums

Jūs varat to izmantot jebkurā veidā. Bet labāk ir strādāt gan līdz automātismam. Tāpat tiem, kuri gatavojas saistīt savu dzīvi ar matemātiku, jāiemācās labi atrisināt kvadrātvienādojumus un sadalīt polinomus faktoros. Visas turpmākās matemātikas tēmas ir balstītas uz to.

Kvadrātveida trinomu faktorizācija attiecas uz skolas uzdevumi ar ko visi agri vai vēlu saskarsies. Kā to izdarīt? Kāda ir kvadrātveida trinoma faktorēšanas formula? Apskatīsim to soli pa solim ar piemēriem.

Vispārējā formula

Kvadrātveida trinomu faktorizāciju veic, atrisinot kvadrātvienādojumu. Šī ir vienkārša problēma, kuru var atrisināt ar vairākām metodēm – atrodot diskriminantu, izmantojot Vietas teorēmu, pastāv un grafiskais veids risinājumus. Pirmās divas metodes tiek apgūtas vidusskolā.

Vispārējā formula izskatās šādi:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Uzdevuma izpildes algoritms

Lai faktorizētu kvadrāttrīnomiālus, ir jāzina Vita teorēma, pa rokai jābūt risināšanas programmai, jāprot grafiski atrast risinājumu vai meklēt otrās pakāpes vienādojuma saknes caur diskriminējošās formulas palīdzību. Ja ir dots kvadrātveida trinomāls un tas ir jāfaktorē, darbību algoritms ir šāds:

1) Pielīdziniet sākotnējo izteiksmi ar nulli, lai iegūtu vienādojumu.

2) Norādiet līdzīgus terminus (ja nepieciešams).

3) Atrodiet jebkura saknes zināms veids. Grafisko metodi vislabāk izmantot, ja ir iepriekš zināms, ka saknes ir veseli skaitļi un mazi skaitļi. Jāatceras, ka sakņu skaits ir vienāds ar vienādojuma maksimālo pakāpi, tas ir, kvadrātvienādojumam ir divas saknes.

4) Aizstājvērtība X izteiksmē (1).

5) Pierakstiet kvadrātveida trinomu faktorizāciju.

Piemēri

Prakse ļauj beidzot saprast, kā šis uzdevums tiek veikts. Piemēri ilustrē kvadrātveida trinoma faktorizāciju:

jums ir jāpaplašina izteiksme:

Izmantosim mūsu algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) līdzīgi termini tiek samazināti

3) pēc Vietas formulas šim piemēram ir grūti atrast saknes, tāpēc diskriminantam labāk izmantot izteiksmi:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Aizvietojiet saknes, kuras atradām galvenajā sadalīšanās formulā:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tad atbilde būs:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Pārbaudīsim, vai diskriminanta atrastie risinājumi atbilst Vietas formulām:

14,845 . 2,155=32

Šīm saknēm tiek pielietota Vieta teorēma, tās tika atrastas pareizi, kas nozīmē, ka arī mūsu iegūtā faktorizācija ir pareiza.

Līdzīgi mēs izvēršam 12x2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Iepriekšējā gadījumā risinājumi nebija veseli skaitļi, bet reāli skaitļi, kuras ir viegli atrast ar kalkulatoru priekšā. Tagad apsveriet vairāk sarežģīts piemērs, kurā saknes būs sarežģītas: koeficientu x 2 + 4x + 9. Saskaņā ar Vietas formulu saknes nevar atrast, un diskriminants ir negatīvs. Saknes atradīsies kompleksajā plaknē.

D=-20

Pamatojoties uz to, mēs iegūstam mūs interesējošās saknes -4 + 2i * 5 1/2 un -4-2i * 5 1/2, jo (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mēs iegūstam vēlamo paplašinājumu, aizstājot saknes ar vispārējo formulu.

Vēl viens piemērs: jums ir jāfaktorizē izteiksme 23x2 -14x + 7.

Mums ir vienādojums 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Tātad saknes ir 14+21,166i un 14-21,166i. Atbilde būs:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Sniegsim piemēru, ko var atrisināt bez diskriminanta palīdzības.

Ļaujiet, lai būtu nepieciešams sadalīt kvadrātvienādojumu x 2 -32x + 255. Acīmredzot to var atrisināt arī ar diskriminantu, bet ātrāk šajā gadījumā ir atrast saknes.

x 1 = 15

x2=17

Līdzekļi x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Pasaule ir iegrimusi milzīgā skaitā. Jebkuri aprēķini notiek ar viņu palīdzību.

Cilvēki mācās skaitļus, lai turpmākajā dzīvē nekristu uz maldināšanu. Jums ir jāvelta milzīgs laiks, lai iegūtu izglītību un aprēķinātu savu budžetu.

Matemātika ir precīza zinātne, kurai ir liela loma dzīvē. Skolā bērni mācās skaitļus un pēc tam darbības ar tiem.

Darbības ar skaitļiem ir pilnīgi atšķirīgas: reizināšana, paplašināšana, saskaitīšana un citas. Matemātikas izpētē papildus vienkāršām formulām tiek izmantotas arī sarežģītākas darbības. Ir ļoti daudz formulu, pēc kurām ir zināmas jebkuras vērtības.

Skolā, tiklīdz parādās algebra, skolēna dzīvei tiek pievienotas vienkāršošanas formulas. Ir vienādojumi, kad ir divi nezināmi skaitļi, bet atrodiet vienkāršā veidā nedarbosies. Trinomiāls ir trīs monomālu savienojums, izmantojot vienkārša metode atņemšanas un saskaitīšanas. Trinomiāls tiek atrisināts, izmantojot Vietas teorēmu un diskriminantu.

Formula kvadrātveida trinoma iedalīšanai faktoros

Ir divi pareizi un vienkāršus risinājumus piemērs:

diskriminējošs;
Vietas teorēma.

Kvadrātveida trinominam ir nezināms kvadrāts, kā arī skaitlis bez kvadrāta. Pirmā problēmas risināšanas iespēja izmanto Vieta formulu. Tā ir vienkārša formula ja cipari, kas nāk pirms nezināmā, būs minimālā vērtība.

Citiem vienādojumiem, kur skaitlis atrodas nezināmā priekšā, vienādojums ir jāatrisina, izmantojot diskriminantu. Tas ir beidzies grūts lēmums, bet diskriminants tiek lietots daudz biežāk nekā Vietas teorēma.

Sākotnēji, lai atrastu visus vienādojuma mainīgos, ir jāpaaugstina piemērs līdz 0. Piemēra atrisinājumu var pārbaudīt un noskaidrot, vai skaitļi ir pareizi noregulēti.

Diskriminējošais

1. Nepieciešams vienādojumu pielīdzināt 0.

2. Katrs skaitlis pirms x tiks saukts par skaitļiem a, b, c. Tā kā pirms pirmā kvadrāta x nav skaitļa, tas ir vienāds ar 1.

3. Tagad vienādojuma atrisināšana sākas ar diskriminantu:

4. Tagad esam atraduši diskriminantu un atrodam divus x. Atšķirība ir tāda, ka vienā gadījumā pirms b būs plus, bet otrā - mīnuss:

5. Atrisinot divus skaitļus, izrādījās -2 un -1. Aizstāt zem sākotnējā vienādojuma:

6. Šajā piemērā izrādījās divi pareizie varianti. Ja abi risinājumi ir pareizi, tad katrs no tiem ir patiess.

Ar diskriminantu tiek atrisināti arī sarežģītāki vienādojumi. Bet, ja paša diskriminanta vērtība ir mazāka par 0, tad piemērs ir nepareizs. Diskriminants meklēšanā vienmēr atrodas zem saknes, un negatīva vērtība nevar atrasties saknē.

Vietas teorēma

To izmanto vieglu uzdevumu risināšanai, kur pirms pirmā x nav skaitļa, tas ir, a=1. Ja opcija atbilst, tad aprēķins tiek veikts, izmantojot Vieta teorēmu.

Lai atrisinātu jebkuru trinomu jāpaaugstina vienādojums līdz 0. Pirmie soļi diskriminantam un Vietas teorēmai ir vienādi.

2. Tagad pastāv atšķirības starp abām metodēm. Vietas teorēma izmanto ne tikai "sauso" aprēķinu, bet arī loģiku un intuīciju. Katram ciparam ir savs burts a, b, c. Teorēma izmanto divu skaitļu summu un reizinājumu.

Atcerieties! Skaitlis b vienmēr tiek pievienots ar pretējo zīmi, un cipars c paliek nemainīgs!

Datu vērtību aizstāšana piemērā , mēs iegūstam:

3. Izmantojot loģikas metodi, aizvietojam piemērotākos skaitļus. Apsveriet visus iespējamos risinājumus:

Skaitļi ir 1 un 2. Saskaitot, mēs iegūstam 3, bet, ja reizinām, mēs neiegūsim 4. Nav piemērots.
Vērtība 2 un -2. Sareizinot būs -4, bet saskaitot sanāk 0. Neder.
Numuri 4 un -1. Tā kā reizinājums satur negatīvu vērtību, tas nozīmē, ka viens no skaitļiem būs ar mīnusu. Piemērots saskaitīšanai un reizināšanai. Pareizs variants.

4. Atliek tikai pārbaudīt, izliekot skaitļus, un pārliecināties, vai izvēlētais variants ir pareizs.

5. Pateicoties tiešsaistes pārbaudei, mēs noskaidrojām, ka -1 neatbilst piemēra nosacījumam, kas nozīmē, ka tas ir nepareizs risinājums.

Pievienojot negatīva vērtība piemērā numurs jāieliek iekavās.

Matemātikā vienmēr būs vienkāršus uzdevumus un sarežģīti. Pati zinātne ietver dažādas problēmas, teorēmas un formulas. Ja jūs saprotat un pareizi pielietojat zināšanas, tad visas grūtības ar aprēķiniem būs niecīgas.

Matemātikai nav nepieciešama pastāvīga iegaumēšana. Jums jāiemācās izprast risinājumu un jāapgūst dažas formulas. Pamazām pēc loģiskiem secinājumiem ir iespējams atrisināt līdzīgas problēmas, vienādojumus. Šāda zinātne no pirmā acu uzmetiena var šķist ļoti grūta, taču, ja cilvēks ienirt skaitļu un uzdevumu pasaulē, tad skats krasi mainīsies labāka puse.

Tehniskās specialitātes vienmēr ir vispieprasītākie pasaulē. Tagad, pasaulē modernās tehnoloģijas Matemātika ir kļuvusi par jebkuras jomas neaizstājamu atribūtu. Jums vienmēr jāatceras par noderīgas īpašības matemātika.

Trinoma dekompozīcija ar iekavām

Papildus risināšanai parastajos veidos ir vēl viens - sadalīšana iekavās. Izmanto ar Vietas formulu.

1. Pielīdziniet vienādojumu ar 0.

cirvis 2 + bx+ c= 0

2. Vienādojuma saknes paliek nemainīgas, taču nulles vietā tagad tiek izmantotas iekavu paplašināšanas formulas.

cirvis 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Risinājums x=-1, x=3

Kvadrātveida trinoma faktorizācija var būt noderīgi, risinot nevienādības no uzdevuma C3 vai uzdevuma ar parametru C5. Arī daudzas B13 teksta problēmas tiks atrisinātas daudz ātrāk, ja zināsi Vietas teorēmu.

Šo teorēmu, protams, var aplūkot no 8. klases viedokļa, kurā tā ir pirmo reizi nokārtota. Bet mūsu uzdevums ir labi sagatavoties eksāmenam un iemācīties pēc iespējas efektīvāk atrisināt eksāmena uzdevumus. Tāpēc šajā nodarbībā pieeja nedaudz atšķiras no skolas pieejas.

Vienādojuma sakņu formula saskaņā ar Vietas teorēmu zināt (vai vismaz redzējis) daudzus:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

kur “a, b” un “c” ir kvadrātveida trinoma “ax^2+bx+c” koeficienti.

Lai viegli iemācītos lietot teorēmu, sapratīsim, no kurienes tā nāk (tā būs patiešām vieglāk atcerēties).

Iegūsim vienādojumu “ax^2+ bx+ c = 0”. Papildu ērtībai mēs to sadalām ar "a" un iegūstam "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0". Tāds vienādojums sauc par reducētu kvadrātvienādojumu.

Svarīgi mācību punkti: jebkuru kvadrātveida polinomu, kuram ir saknes, var sadalīt iekavās. Pieņemsim, ka mūsējo var attēlot kā "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k) (x+l)", kur "k" un "l" - dažas konstantes.

Apskatīsim, kā tiek atvērtas iekavas:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Tādējādi “k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)”.

Tas nedaudz atšķiras no klasiskās interpretācijas Vietas teorēmas- tajā mēs meklējam vienādojuma saknes. Es ierosinu meklēt terminus kronšteinu paplašinājumi- tāpēc jums nav jāatceras par mīnusu no formulas (kas nozīmē `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`. Pietiek izvēlēties divus šādus skaitļus, kuru summa ir vienāda ar vidējo koeficientu, un reizinājums ir vienāds ar brīvo termiņu.

Ja mums ir nepieciešams vienādojuma risinājums, tad tas ir acīmredzami: saknes `x=-k` vai `x=-l` (jo šajos gadījumos viena no iekavām tiks iestatīta uz nulli, kas nozīmē, ka visa izteiksme būs vienāds ar nulli).

Piemēram, es parādīšu algoritmu, kā sadalīt kvadrātveida polinomu iekavās.

Viens piemērs. Kvadrātveida trīsnoma faktorēšanas algoritms

Mūsu ceļš ir kvadrātveida trijstūris “x^2+5x+4”.

Tas ir samazināts (koeficients "x^2". vienāds ar vienu). Viņam ir saknes. (Lai pārliecinātos, varat novērtēt diskriminantu un pārliecināties, ka tas ir lielāks par nulli.)

Nākamās darbības (tās ir jāapgūst, darot visu apmācības uzdevumi):

Izdariet sekojošu pierakstu: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Punktu vietā atstājiet brīvu vietu, tur pievienosim atbilstošus skaitļus un zīmes.
Skatīt visu iespējamie varianti, kā jūs varat sadalīt skaitli "4" divu skaitļu reizinājumā. Mēs iegūstam "kandidātu" pārus vienādojuma saknēm: `2, 2` un `1, 4`.
Novērtējiet, no kura pāra jūs varat iegūt vidējo koeficientu. Acīmredzot tas ir "1, 4".
Ierakstiet $$x^2+5x+4=(x \quad 4) (x \quad 1)$$.
Nākamais solis ir novietot zīmes pirms ievietotajiem cipariem.
Kā saprast un uz visiem laikiem atcerēties, kādām zīmēm jābūt skaitļu priekšā iekavās? Mēģiniet tos paplašināt (iekavās). Koeficients pirms `x` līdz pirmajai pakāpei būs `(± 4 ± 1)` (zīmes vēl nezinām - mums ir jāizvēlas), un tam jābūt vienādam ar `5`. Acīmredzot šeit būs divi plusi $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Veiciet šo darbību vairākas reizes (sveicināti, apmācības uzdevumi!), un ar to nekad vairs nebūs problēmu.

Ja jāatrisina vienādojums `x^2+5x+4`, tad tagad tā atrisināšana nav grūta. Tās saknes ir "-4, -1".

Otrais piemērs. Kvadrātveida trinoma faktorizācija ar dažādu zīmju koeficientiem

Ļaujiet mums atrisināt vienādojumu "x^2-x-2=0". Ārēji diskriminants ir pozitīvs.

Mēs sekojam algoritmam.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Ir tikai viena veselu skaitļu faktorizācija 2: `2 · 1`.
Izlaižam punktu – nav no kā izvēlēties.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Mūsu skaitļu reizinājums ir negatīvs (`-2` ir brīvs termins), kas nozīmē, ka viens no tiem būs negatīvs, bet otrs pozitīvs.
Tā kā to summa ir vienāda ar `-1` (koeficients `x`), tad `2` būs negatīvs (intuitīvs skaidrojums - divi ir lielākais no diviem skaitļiem, tas vairāk "vilks" negatīvā virzienā). Mēs iegūstam $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Trešais piemērs. Kvadrātveida trinoma faktorizācija

Vienādojums x^2+5x-84 = 0.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84 sadalīšana veselos skaitļos: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Tā kā mums ir nepieciešams, lai skaitļu starpība (vai summa) būtu 5, derēs pāris "7, 12".
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

ceru, šī kvadrātveida trinoma sadalīšana iekavās saprotami.

Ja jums ir nepieciešams vienādojuma risinājums, tas ir: `12, -7`.