Pitagora teorēma ir tieša. Dažādi veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu

Kreativitātes potenciāls parasti tiek piedēvēts humanitārajām zinātnēm, atstājot dabaszinātnisko analīzi, praktisku pieeju un sausu formulu un skaitļu valodu. Matemātiku nevar klasificēt kā humanitāro priekšmetu. Bet bez radošuma "visu zinātņu karalienē" jūs netiksit tālu - cilvēki par to zina jau ilgu laiku. Kopš Pitagora laikiem, piemēram.

Skolas mācību grāmatās, diemžēl, parasti nav paskaidrots, ka matemātikā ir svarīgi ne tikai piebāzt teorēmas, aksiomas un formulas. Ir svarīgi saprast un sajust tās pamatprincipus. Un tajā pašā laikā mēģiniet atbrīvot savu prātu no klišejām un elementārām patiesībām - tikai tādos apstākļos dzimst visi lielie atklājumi.

Šādi atklājumi ietver to, ko šodien pazīstam kā Pitagora teorēmu. Ar tās palīdzību mēs centīsimies parādīt, ka matemātika ne tikai var, bet arī tai jābūt jautrai. Un, ka šis piedzīvojums ir piemērots ne tikai draiskuļiem biezās glāzēs, bet visiem, kas ir prāta stiprs un garā stiprs.

No jautājuma vēstures

Stingri sakot, lai gan teorēmu sauc par "Pitagora teorēmu", pats Pitagors to neatklāja. Taisnstūra trīsstūris un tā īpašās īpašības ir pētītas ilgi pirms tā. Šajā jautājumā ir divi polāri viedokļi. Saskaņā ar vienu versiju Pitagors bija pirmais, kurš atrada pilnīgu teorēmas pierādījumu. Saskaņā ar citu, pierādījums nepieder Pitagora autorībai.

Šodien vairs nevar pārbaudīt, kuram taisnība un kuram nav. Ir zināms tikai tas, ka Pitagora pierādījums, ja tāds kādreiz pastāvējis, nav saglabājies. Tomēr ir pieņēmumi, ka slavenais pierādījums no Eiklida elementiem varētu piederēt Pitagoram, un Eiklīds to tikai ierakstīja.

Mūsdienās arī zināms, ka problēmas par taisnleņķa trīsstūri ir atrodamas Ēģiptes avotos no faraona Amenemheta I laikiem, uz Babilonijas māla plāksnēm no karaļa Hamurabi valdīšanas, senindiešu traktātā Sulva Sutra un seno ķīniešu darbā Džou. -Bi Suan Jin.

Kā redzat, Pitagora teorēma ir nodarbinājusi matemātiķu prātus kopš seniem laikiem. Aptuveni 367 dažādi mūsdienās pastāvošie pierādījumi kalpo kā apstiprinājums. Neviena cita teorēma nevar ar to sacensties šajā ziņā. Ievērojami pierādījumu autori ir Leonardo da Vinči un Amerikas Savienoto Valstu 20. prezidents Džeimss Gārfīlds. Tas viss liecina par šīs teorēmas ārkārtējo nozīmi matemātikā: lielākā daļa ģeometrijas teorēmu ir atvasinātas no tās vai vienā vai otrā veidā ar to saistītas.

Pitagora teorēmas pierādījumi

Skolas mācību grāmatas pārsvarā sniedz algebriskus pierādījumus. Bet teorēmas būtība ir ģeometrijā, tāpēc vispirms apsvērsim tos slavenās teorēmas pierādījumus, kas ir balstīti uz šo zinātni.

1. pierādījums

Lai iegūtu vienkāršāko Pitagora teorēmas pierādījumu taisnleņķa trijstūrim, jums jāiestata ideāli nosacījumi: ļaujiet trijstūrim būt ne tikai taisnleņķa, bet arī vienādsānu. Ir pamats uzskatīt, ka tas bija šāds trīsstūris, ko sākotnēji uzskatīja senie matemātiķi.

Paziņojums, apgalvojums "Kvadrāts, kas uzcelts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu summu, kas uzcelta uz tā kājām" var ilustrēt ar šādu zīmējumu:

Apskatiet vienādsānu taisnstūri ABC: hipotenūzā AC varat izveidot kvadrātu, kas sastāv no četriem trīsstūriem, kas vienādi ar sākotnējo ABC. Un uz kājām AB un BC, kas uzbūvēti uz kvadrāta, no kuriem katrs satur divus līdzīgus trīsstūrus.

Starp citu, šis zīmējums veidoja pamatu daudzām anekdotēm un karikatūrām, kas veltītas Pitagora teorēmai. Varbūt slavenākais ir "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos":

2. pierādījums

Šī metode apvieno algebru un ģeometriju, un to var uzskatīt par senās Indijas matemātiķa Bhaskari pierādījuma variantu.

Izveidojiet taisnleņķa trīsstūri ar malām a, b un c(1. att.). Pēc tam izveidojiet divus kvadrātus, kuru malas ir vienādas ar abu kāju garumu summu - (a+b). Katrā no kvadrātiem izveidojiet konstrukcijas, kā parādīts 2. un 3. attēlā.

Pirmajā kvadrātā izveidojiet četrus tādus pašus trīsstūrus kā 1. attēlā. Rezultātā tiek iegūti divi kvadrāti: viens ar malu a, otrs ar malu. b.

Otrajā kvadrātā četri līdzīgi trīsstūri veido kvadrātu, kura mala ir vienāda ar hipotenūzu c.

Konstruēto kvadrātu laukumu summa 2. attēlā ir vienāda ar kvadrāta laukumu, kuru mēs izveidojām ar malu c 3. attēlā. To var viegli pārbaudīt, aprēķinot kvadrātu laukumus attēlā. 2 pēc formulas. Un 3. attēlā ierakstītā kvadrāta laukums, no liela kvadrāta ar malu laukuma atņemot laukumus četriem vienādiem taisnleņķa trijstūriem, kas ierakstīti kvadrātā. (a+b).

Nosakot to visu, mums ir: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Izvērsiet iekavas, veiciet visus nepieciešamos algebriskos aprēķinus un iegūstiet to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Tajā pašā laikā laukums, kas ierakstīts 3. attēlā. kvadrātu var arī aprēķināt, izmantojot tradicionālo formulu S=c2. Tie. a2+b2=c2 Jūs esat pierādījis Pitagora teorēmu.

3. pierādījums

Tas pats senindiešu pierādījums ir aprakstīts 12. gadsimtā traktātā "Zināšanu kronis" ("Siddhanta Shiromani"), un kā galveno argumentu autore izmanto aicinājumu, kas adresēts studentu matemātiskajām dotībām un novērošanas spējām. sekotāji: “Paskaties!”.

Bet mēs analizēsim šo pierādījumu sīkāk:

Kvadrāta iekšpusē izveidojiet četrus taisnleņķa trīsstūrus, kā norādīts zīmējumā. Apzīmēta lielā kvadrāta mala, kas ir arī hipotenūza no. Sauksim trīsstūra kājas bet Un b. Saskaņā ar zīmējumu iekšējā kvadrāta puse ir (a-b).

Izmantojiet kvadrātveida laukuma formulu S=c2 lai aprēķinātu ārējā kvadrāta laukumu. Un tajā pašā laikā aprēķiniet to pašu vērtību, saskaitot iekšējā kvadrāta laukumu un četru taisnleņķa trīsstūru laukumu: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Varat izmantot abas opcijas, lai aprēķinātu kvadrāta laukumu, lai pārliecinātos, ka tās sniedz vienādu rezultātu. Un tas dod jums tiesības to pierakstīt c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Risinājuma rezultātā jūs iegūsit Pitagora teorēmas formulu c2=a2+b2. Teorēma ir pierādīta.

4. pierādījums

Šo ziņkārīgo seno ķīniešu pierādījumu sauc par "līgavas krēslu" - krēslam līdzīgās figūras dēļ, kas izriet no visām konstrukcijām:

Tas izmanto zīmējumu, ko mēs jau redzējām 3. attēlā otrajā pierādījumā. Un iekšējais kvadrāts ar malu c ir konstruēts tāpat kā senindiešu pierādījumā, kas sniegts iepriekš.

Ja no 1. attēlā redzamā zīmējuma garīgi nogriezīsiet divus zaļus taisnleņķa trijstūrus, pārnesiet tos uz kvadrāta ar malu c pretējām malām un piestiprināsiet hipotenūzas ceriņu trijstūra hipotenūzām, jūs iegūsit figūru, ko sauc par "līgavas trijstūri". krēsls” (2. att.). Skaidrības labad to pašu var izdarīt ar papīra kvadrātiem un trīsstūriem. Jūs redzēsiet, ka "līgavas krēslu" veido divi kvadrāti: mazi ar sāniem b un liels ar sānu a.

Šīs konstrukcijas ļāva senajiem ķīniešu matemātiķiem un mums, kas viņiem sekoja, nonākt pie tā c2=a2+b2.

5. pierādījums

Tas ir vēl viens veids, kā atrast Pitagora teorēmas risinājumu, pamatojoties uz ģeometriju. To sauc par Garfīlda metodi.

Izveidojiet taisnleņķa trīsstūri ABC. Mums tas ir jāpierāda BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Lai to izdarītu, turpiniet kāju AC un izveidojiet segmentu CD, kas ir vienāda ar kāju AB. Apakšējais perpendikuls AD sadaļā ED. Segmenti ED Un AC ir vienādi. savienojiet punktus E Un IN, kā arī E Un NO un iegūstiet zīmējumu, piemēram, attēlā zemāk:

Lai pierādītu torni, mēs atkal ķeramies pie jau pārbaudītās metodes: mēs atrodam iegūtās figūras laukumu divos veidos un pielīdzinām izteiksmes viena otrai.

Atrodiet daudzstūra laukumu GULTA var izdarīt, pievienojot trīs trīsstūru laukumus, kas to veido. Un viens no tiem ERU, ir ne tikai taisnstūrveida, bet arī vienādsānu. Neaizmirsīsim arī to AB = CD, AC=ED Un BC=CE- tas ļaus mums vienkāršot ierakstīšanu un nepārslogot to. Tātad, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Tajā pašā laikā ir skaidrs, ka GULTA ir trapecveida forma. Tāpēc mēs aprēķinām tā laukumu, izmantojot formulu: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Mūsu aprēķiniem ērtāk un skaidrāk ir attēlot segmentu AD kā segmentu summu AC Un CD.

Uzrakstīsim abus veidus, kā aprēķināt figūras laukumu, ievietojot starp tiem vienādības zīmi: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mēs izmantojam mums jau zināmo un iepriekš aprakstīto segmentu vienādību, lai vienkāršotu apzīmējuma labo pusi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Un tagad mēs atveram iekavas un pārveidojam vienlīdzību: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pabeidzot visas pārvērtības, mēs iegūstam tieši to, kas mums nepieciešams: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Mēs esam pierādījuši teorēmu.

Protams, šis pierādījumu saraksts nebūt nav pilnīgs. Pitagora teorēmu var pierādīt arī izmantojot vektorus, kompleksos skaitļus, diferenciālvienādojumus, stereometriju utt. Un pat fiziķi: ja, piemēram, šķidrumu ielej kvadrātveida un trīsstūrveida tilpumos, kas ir līdzīgi tiem, kas parādīti zīmējumos. Lejot šķidrumu, ir iespējams pierādīt laukumu vienādību un rezultātā pašu teorēmu.

Daži vārdi par Pitagora trīnīšiem

Šis jautājums ir maz vai nav pētīts skolas mācību programmā. Tikmēr tas ir ļoti interesants un tam ir liela nozīme ģeometrijā. Pitagora trīskārši tiek izmantoti daudzu matemātisko problēmu risināšanai. Ideja par tiem var jums noderēt tālākizglītībā.

Tātad, kas ir Pitagora trīnīši? Tā saucamie naturālie skaitļi, kas savākti pa trīs, no kuriem divu kvadrātu summa ir vienāda ar trešo skaitli kvadrātā.

Pitagora trīskārši var būt:

• primitīvs (visi trīs skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi);
• neprimitīvs (ja katru trīskārša skaitli reizina ar to pašu skaitli, jūs iegūstat jaunu trīskāršu, kas nav primitīvs).

Jau pirms mūsu ēras senie ēģiptieši bija aizrāvušies ar Pitagora trīskāršu skaitļu mānija: uzdevumos viņi uzskatīja taisnleņķa trīsstūri ar malām 3,4 un 5 vienības. Starp citu, jebkurš trīsstūris, kura malas ir vienādas ar Pitagora trīskārša skaitļiem, pēc noklusējuma ir taisnstūrveida.

Pitagora trīskāršu piemēri: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) utt.

Teorēmas praktiskais pielietojums

Pitagora teorēma atrod pielietojumu ne tikai matemātikā, bet arī arhitektūrā un celtniecībā, astronomijā un pat literatūrā.

Pirmkārt, par būvniecību: Pitagora teorēma tajā tiek plaši izmantota dažādu sarežģītības līmeņu problēmās. Piemēram, paskatieties uz romānikas logu:

Loga platumu apzīmēsim kā b, tad lielā pusloka rādiusu var apzīmēt kā R un izteikt cauri b: R=b/2. Mazāku pusloku rādiusu var izteikt arī ar b: r=b/4. Šajā problēmā mūs interesē loga iekšējā apļa rādiuss (sauksim to lpp).

Pitagora teorēma vienkārši noder, lai aprēķinātu R. Lai to izdarītu, mēs izmantojam taisnleņķa trīsstūri, kas attēlā ir norādīts ar punktētu līniju. Trijstūra hipotenūza sastāv no diviem rādiusiem: b/4+p. Viena kāja ir rādiuss b/4, cits b/2-p. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs rakstām: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Tālāk mēs atveram iekavas un iegūstam b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Pārveidosim šo izteiksmi par bp/2=b 2 /4-bp. Un tad mēs sadalām visus terminus b, mēs dodam līdzīgus, lai iegūtu 3/2*p=b/4. Un galu galā mēs to atrodam p=b/6- kas mums bija vajadzīgs.

Izmantojot teorēmu, jūs varat aprēķināt spāru garumu divslīpju jumtam. Nosakiet, cik augsts ir nepieciešams mobilais tornis, lai signāls sasniegtu noteiktu apmetni. Un pat stabili uzstādiet Ziemassvētku eglīti pilsētas laukumā. Kā redzat, šī teorēma dzīvo ne tikai mācību grāmatu lapās, bet bieži vien noder arī reālajā dzīvē.

Kas attiecas uz literatūru, Pitagora teorēma ir iedvesmojusi rakstniekus kopš senatnes un turpina to darīt arī šodien. Piemēram, deviņpadsmitā gadsimta vācu rakstnieks Adelberts fon Šamisso iedvesmojās uzrakstīt sonetu:

Patiesības gaisma drīz neizklīdīs,
Bet, spīdot, tas diez vai izklīdīs
Un, tāpat kā pirms tūkstošiem gadu,
Neizraisīs šaubas un strīdus.

Gudrākais, kad tas skar aci
Patiesības gaisma, paldies dieviem;
Un simts buļļu, sadurti, melo -
Laimīgā Pitagora atgriešanās dāvana.

Kopš tā laika buļļi izmisīgi rūk:
Uz visiem laikiem uzbudināja vēršu cilti
šeit minēts notikums.

Viņi domā, ka ir pienācis laiks
Un atkal viņi tiks upurēti
Kāda lieliska teorēma.

(tulkojis Viktors Toporovs)

Un divdesmitajā gadsimtā padomju rakstnieks Jevgeņijs Veltistovs savā grāmatā "Elektronikas piedzīvojumi" veltīja veselu nodaļu Pitagora teorēmas pierādījumiem. Un puse no stāsta par divdimensiju pasauli, kas varētu pastāvēt, ja Pitagora teorēma kļūtu par pamatlikumu un pat reliģiju vienai pasaulei. Tajā dzīvot būtu daudz vieglāk, bet arī daudz garlaicīgāk: piemēram, neviens tur nesaprot vārdu “apaļš” un “pūkains” nozīmi.

Un grāmatā “Elektronikas piedzīvojumi” autore ar matemātikas skolotāja Taratara muti saka: “Matemātikā galvenais ir domu kustība, jaunas idejas.” Tieši šis radošais domu lidojums rada Pitagora teorēmu – ne velti tai ir tik daudz dažādu pierādījumu. Tas palīdz iziet ārpus ierastā un paskatīties uz pazīstamām lietām jaunā veidā.

Secinājums

Šis raksts tika izveidots, lai jūs varētu paskatīties tālāk par skolas mācību programmu matemātikā un apgūt ne tikai tos Pitagora teorēmas pierādījumus, kas ir doti mācību grāmatās "Ģeometrija 7-9" (L.S. Atanasjans, V.N. Rudenko) un "Ģeometrija 7 -11. ” (AV Pogorelovs), bet arī citi ziņkārīgi veidi, kā pierādīt slaveno teorēmu. Un arī skatiet piemērus, kā Pitagora teorēmu var pielietot ikdienas dzīvē.

Pirmkārt, šī informācija ļaus jums iegūt augstākus punktus matemātikas stundās — informācija par šo tēmu no papildu avotiem vienmēr tiek augstu novērtēta.

Otrkārt, mēs vēlējāmies jums palīdzēt saprast, cik interesanta ir matemātika. Ar konkrētiem piemēriem pārliecināties, ka tajā vienmēr ir vieta radošumam. Mēs ceram, ka Pitagora teorēma un šis raksts iedvesmos jūs veikt savus pētījumus un aizraujošus atklājumus matemātikā un citās zinātnēs.

Pastāstiet mums komentāros, ja rakstā sniegtie pierādījumi jums šķita interesanti. Vai šī informācija jums bija noderīga jūsu studijās? Pastāstiet mums, ko jūs domājat par Pitagora teorēmu un šo rakstu - mēs ar prieku pārrunāsim to visu ar jums.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

mājas

Veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu.

G. Glāzers,
Maskavas Krievijas Izglītības akadēmijas akadēmiķis

Par Pitagora teorēmu un kā to pierādīt

Kvadrāta laukums, kas uzbūvēts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu laukumu summu, kas uzcelta uz tā kājām...

Šī ir viena no slavenākajām senatnes ģeometriskajām teorēmām, ko sauc par Pitagora teorēmu. To joprojām zina gandrīz visi, kas kādreiz ir studējuši planimetriju. Man šķiet, ja mēs vēlamies ārpuszemes civilizācijām darīt zināmu par saprātīgas dzīvības esamību uz Zemes, tad mums vajadzētu nosūtīt Pitagora figūras attēlu kosmosā. Es domāju, ka, ja domājošas būtnes spēs pieņemt šo informāciju, tās bez sarežģītas signālu dekodēšanas sapratīs, ka uz Zemes ir diezgan attīstīta civilizācija.

Slavenais grieķu filozofs un matemātiķis Pitagors no Samos, kura vārdā ir nosaukta teorēma, dzīvoja apmēram pirms 2,5 tūkstošiem gadu. Biogrāfiskā informācija par Pitagoru, kas nonākusi līdz mums, ir fragmentāra un ne tuvu nav ticama. Ar viņa vārdu ir saistītas daudzas leģendas. Autentiski zināms, ka Pitagors daudz ceļojis pa Austrumu valstīm, apmeklējis Ēģipti un Babilonu. Vienā no grieķu kolonijām Itālijas dienvidos viņš nodibināja slaveno "Pitagora skolu", kurai bija nozīmīga loma senās Grieķijas zinātniskajā un politiskajā dzīvē. Tas ir Pitagors, kuram ir uzticēts pierādīt labi zināmo ģeometrisko teorēmu. Balstoties uz slaveno matemātiķu (Prokls, Plutarhs u.c.) izplatītajām leģendām, ilgu laiku valdīja uzskats, ka šī teorēma pirms Pitagora nebija zināma, līdz ar to arī nosaukums – Pitagora teorēma.

Tomēr nav šaubu, ka šī teorēma bija zināma daudzus gadus pirms Pitagora. Tātad, 1500 gadus pirms Pitagora, senie ēģiptieši zināja, ka trīsstūris ar malām 3, 4 un 5 ir taisnstūrveida, un izmantoja šo īpašību (t.i., Pitagora apgriezto teorēmu), lai izveidotu taisnus leņķus, plānojot zemes gabalus un ēkas. Un arī mūsdienās lauku celtnieki un galdnieki, liekot būdiņas pamatus, izgatavojot tās detaļas, zīmē šo trīsstūri, lai iegūtu taisnu leņķi. Tas pats tika darīts pirms tūkstošiem gadu, veidojot lieliskus tempļus Ēģiptē, Babilonā, Ķīnā un, iespējams, arī Meksikā. Senākajā ķīniešu matemātiskajā un astronomiskajā darbā, kas līdz mums ir nonācis Džou-bi, kas rakstīts apmēram 600 gadus pirms Pitagora, starp citiem priekšlikumiem, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūri, ir ietverta arī Pitagora teorēma. Vēl agrāk šī teorēma bija zināma hinduistiem. Tādējādi Pitagors neatklāja šo taisnleņķa trīsstūra īpašību, iespējams, viņš bija pirmais, kas to vispārināja un pierādīja, tādējādi pārnesot to no prakses jomas uz zinātnes jomu. Mēs nezinām, kā viņš to izdarīja. Daži matemātikas vēsturnieki pieņem, ka Pitagora pierādījums tomēr nebija fundamentāls, bet gan tikai apstiprinājums, šīs īpašības pārbaude vairāku veidu trijstūriem, sākot ar vienādsānu taisnstūra trīsstūri, par ko tas acīmredzami izriet no att. viens.

NO Kopš seniem laikiem matemātiķi ir atraduši arvien jaunus Pitagora teorēmas pierādījumus, arvien jaunas idejas tās pierādījumiem. Ir zināmi vairāk nekā pusotrs simts šādu pierādījumu - vairāk vai mazāk stingru, vairāk vai mazāk vizuālu -, taču ir saglabāta vēlme to skaitu palielināt. Domāju, ka Pitagora teorēmas pierādījumu patstāvīgā "atklāšana" noderēs mūsdienu skolēniem.

Apskatīsim dažus pierādījumu piemērus, kas var norādīt uz šādu meklējumu virzienu.

Pitagora pierādījums

"Kvadrāts, kas uzcelts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu summu, kas uzcelta uz tā kājām." Vienkāršākais teorēmas pierādījums tiek iegūts vienkāršākajā vienādsānu taisnstūra trijstūra gadījumā. Droši vien teorēma sākās ar viņu. Patiešām, pietiek tikai apskatīt vienādsānu taisnleņķa trijstūri, lai redzētu, vai teorēma ir patiesa. Piemēram, DABC: kvadrāts, kas uzbūvēts uz hipotenūzas ĀS, satur 4 sākotnējos trīsstūrus un kvadrātus, kas veidoti uz kājām ar diviem. Teorēma ir pierādīta.

Pierādījumi, kas balstīti uz vienāda figūru laukuma jēdziena izmantošanu.

Tajā pašā laikā mēs varam apsvērt pierādījumus, kuros uz dotā taisnleņķa trijstūra hipotenūzas veidotais kvadrāts ir “salikts” no tādām pašām figūrām kā kvadrāti, kas uzbūvēti uz kājām. Var apsvērt arī tādus pierādījumus, kuros izmantota figūru terminu permutācija un ņemtas vērā vairākas jaunas idejas.

Uz att. 2 parāda divus vienādus kvadrātus. Katra kvadrāta malu garums ir a + b. Katrs no kvadrātiem ir sadalīts daļās, kas sastāv no kvadrātiem un taisnleņķa trijstūriem. Ir skaidrs, ka, ja no kvadrāta laukuma atņemam taisnleņķa trīsstūra ar kājiņām a, b četrkāršo laukumu, tad paliek vienādas platības, t.i., c 2 \u003d a 2 + b 2. Taču senie hinduisti, kuriem šis prātojums pieder, parasti to nepierakstīja, bet zīmējumu pavadīja tikai ar vienu vārdu: “skaties!” Pilnīgi iespējams, ka Pitagors piedāvāja tādu pašu pierādījumu.

papildu pierādījumi.

Šo pierādījumu pamatā ir uz kājām uzbūvēto kvadrātu sadalīšanās figūrās, no kurām iespējams pievienot uz hipotenūzas uzbūvētu kvadrātu.

Šeit: ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnu leņķi C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Pierādiet patstāvīgi trijstūru pāru vienādību, kas iegūta, sadalot uz kājiņām un hipotenūzu uzceltos kvadrātus.

Pierādiet teorēmu, izmantojot šo nodalījumu.

 Pamatojoties uz al-Nairizijas pierādījumu, tika veikts vēl viens kvadrātu sadalījums pa pāriem vienādās figūrās (5. att., šeit ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnleņķi C).

 Vēl viens pierādījums ar kvadrātu sadalīšanas vienādās daļās metodi, ko sauc par "riteni ar asmeņiem", ir parādīts attēlā. 6. Šeit: ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnu leņķi C; O - kvadrāta centrs, kas uzbūvēts uz lielas kājas; punktētas līnijas, kas iet caur punktu O, ir perpendikulāras vai paralēlas hipotenūzai.

 Šis kvadrātu sadalījums ir interesants ar to, ka tā pāros vienādos četrstūrus var attēlot viens ar otru, veicot paralēlo translāciju. Daudzus citus Pitagora teorēmas pierādījumus var piedāvāt, izmantojot kvadrātu sadalīšanu skaitļos.

Pierādījumi ar pagarinājuma metodi.

Šīs metodes būtība ir tāda, ka kvadrātiem, kas uzbūvēti uz kājām, un kvadrātam, kas uzbūvēts uz hipotenūzas, tiek piestiprinātas vienādas figūras tā, lai iegūtu vienādas figūras.

Pitagora teorēmas derīgums izriet no sešstūru AEDFPB un ACBNMQ vienāda izmēra. Šeit CEP līnija EP sadala sešstūri AEDFPB divos vienāda laukuma četrstūros, līnija CM sadala sešstūri ACBNMQ divos vienāda laukuma četrstūros; plaknes pagriešana par 90° ap centru A kartē četrstūri AEPB uz četrstūri ACMQ.

Uz att. 8 Pitagora figūra ir pabeigta līdz taisnstūrim, kura malas ir paralēlas attiecīgajām uz kājām uzbūvēto kvadrātu malām. Sadalīsim šo taisnstūri trīsstūros un taisnstūros. Vispirms no iegūtā taisnstūra atņemam visus daudzstūrus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, atstājot uz hipotenūzas uzceltu kvadrātu. Tad no tā paša taisnstūra mēs atņemam taisnstūrus 5, 6, 7 un iekrāsotos taisnstūrus, iegūstam kvadrātus, kas uzbūvēti uz kājām.

Tagad pierādīsim, ka pirmajā gadījumā atņemtie skaitļi pēc lieluma ir vienādi ar otrajā gadījumā atņemtajiem skaitļiem.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

tātad c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebriskā pierādīšanas metode.

	Rīsi. 12 ilustrē izcilā indiešu matemātiķa Bhaskari (slavenā Lilavati autora X. 2. gadsimts). Zīmējumu pavadīja tikai viens vārds: SKATIES! Starp Pitagora teorēmas pierādījumiem ar algebrisko metodi pierādījums, izmantojot līdzību, ieņem pirmo vietu (varbūt vecāko).
	Piedāvāsim mūsdienīgā prezentācijā vienu no šādiem pierādījumiem, kas pieder Pitagoram.

H un att. 13 ABC - taisnstūrveida, C - taisnleņķis, CMAB, b 1 - kājas b projekcija uz hipotenūzas, a 1 - kājas a projekcija uz hipotenūzu, h - trijstūra augstums, kas novilkts uz hipotenūzu.

No tā, ka ABC ir līdzīgs ACM, tas izriet

b 2 \u003d cb 1; (viens)

no tā, ka ABC ir līdzīgs BCM, izriet

a 2 = aptuveni 1. (2)

Saskaitot vienādības (1) un (2) pa vārdam, iegūstam a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ja Pitagors patiešām piedāvāja šādu pierādījumu, tad viņam bija zināmas arī vairākas svarīgas ģeometriskās teorēmas, kuras mūsdienu matemātikas vēsturnieki parasti piedēvē Eiklidam.

Molmana pierādījums (14. att.). Šī taisnleņķa trīsstūra laukums, no vienas puses, ir vienāds, no otras puses, kur p ir trijstūra pusperimetrs, r ir tajā ierakstītā apļa rādiuss Mums ir:

no kā izriet, ka c 2 =a 2 +b 2 .

otrajā

Pielīdzinot šīs izteiksmes, mēs iegūstam Pitagora teorēmu.

Kombinētā metode

Trīsstūru vienādība

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Salīdzinot attiecības (3) un (4), mēs iegūstam to

c 1 2 = c 2 vai c 1 = c.

Tādējādi trīsstūri - dotie un izveidotie - ir vienādi, jo tiem ir attiecīgi trīs vienādas malas. Leņķis C 1 ir taisns, tātad arī šī trijstūra leņķis C ir taisns.

Senās Indijas liecības.

Senās Indijas matemātiķi pamanīja, ka, lai pierādītu Pitagora teorēmu, pietiek izmantot senās ķīniešu zīmējuma iekšpusi. Traktātā “Siddhanta Shiromani” (“Zināšanu kronis”), ko uz palmu lapām uzrakstījis 20. gadsimta lielākais Indijas matemātiķis. Bha-skara ievietoja zīmējumu (4. att.)

raksturīgi indiešu liecībām l vārds "skaties!". Kā redzat, taisnleņķa trīsstūri šeit ir sakrauti ar hipotenūzu uz āru un kvadrātu no 2 pārcēlās uz "līgavas-lo krēslu" no 2 -b 2 . Ņemiet vērā, ka Pitagora teorēmas īpašie gadījumi (piemēram, kvadrāta konstrukcija, kura laukums ir divreiz lielāks att.4šī laukuma platība) ir atrodami senindiešu traktātā "Sulva"

Viņi atrisināja taisnleņķa trīsstūri un kvadrātus, kas uzbūvēti uz tā kājām, jeb, citiem vārdiem sakot, figūras, kas sastāv no 16 vienādiem vienādsānu taisnstūriem un tāpēc iederas kvadrātā. Tā ir lilija. neliela daļa no bagātībām, kas slēpjas senās matemātikas pērlē - Pitagora teorēmā.

Senās Ķīnas liecības.

Senās Ķīnas matemātiskie traktāti pie mums nonākuši 2. gadsimta izdevumā. BC. Lieta tāda, ka 213.g.pmē. Ķīnas imperators Shi Huang-di, cenšoties likvidēt vecās tradīcijas, lika sadedzināt visas senās grāmatas. In P c. BC. Ķīnā tika izgudrots papīrs un tajā pašā laikā sākās seno grāmatu rekonstrukcija. Šī pierādījuma atslēgu nav grūti atrast. Patiešām, senajā ķīniešu zīmējumā ir četri vienādi taisnleņķa trīsstūri ar katetriem a, b un hipotenūzu no sakrauti G) lai to ārējā kontūra veidotu 2. att. kvadrātu ar malām a + b, un iekšējais ir kvadrāts ar malu c, kas uzbūvēts uz hipotenūzas (2. att., b). Ja izgriež kvadrātu ar malu c un atlikušos 4 iekrāsotos trīsstūrus ievieto divos taisnstūros (2. att., iekšā), ir skaidrs, ka iegūtais tukšums, no vienas puses, ir vienāds ar NO 2 , un no otras - no 2 +b 2 , tie. c 2 \u003d  2 + b 2. Teorēma ir pierādīta. Ņemiet vērā, ka ar šādu pierādījumu netiek izmantotas konstrukcijas kvadrāta iekšpusē uz hipotenūzas, ko mēs redzam seno ķīniešu zīmējumā (2. att., a). Acīmredzot senajiem ķīniešu matemātiķiem bija cits pierādījums. Precīzi, ja kvadrātā ar malu no divi iekrāsoti trīsstūri (2. att., b) nogrieziet un pievienojiet hipotenūzas pārējām divām hipotenūzām (2. att., G), to ir viegli atrast

Iegūtais skaitlis, ko dažreiz dēvē par "līgavas krēslu", sastāv no diviem kvadrātiem ar malām bet Un b, tie. c 2 == a 2 +b 2 .

H 3. attēlā ir attēlots zīmējums no traktāta "Džou-bi ...". Šeit Pitagora teorēma tiek uzskatīta par Ēģiptes trīsstūri ar kājām 3, 4 un hipotenūzu 5 vienības. Kvadrātiņā uz hipotenūzas ir 25 šūnas, un kvadrātā, kas tajā ierakstīts uz lielākās kājas, ir 16. Ir skaidrs, ka atlikušajā daļā ir 9 šūnas. Tas būs kvadrāts uz mazākās kājas.

1

Šapovalova L.A. (stacija Egorlykskaya, MBOU ESOSH Nr. 11)

1. Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā VII - VIII klase, ceļvedis skolotājiem, - M: Izglītība, 1982.g.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Aiz matemātikas mācību grāmatas lapām" Rokasgrāmata 5.-6.klašu skolēniem. – M.: Apgaismība, 1989.

3. Zenkevičs I.G. "Matemātikas stundas estētika". – M.: Apgaismība, 1981. gads.

4. Litzmans V. Pitagora teorēma. - M., 1960. gads.

5. Vološinovs A.V. "Pitagors". - M., 1993. gads.

6. Pičurins L.F. "Ārpus algebras mācību grāmatas lappusēm". - M., 1990. gads.

7. Zemļakovs A.N. "Ģeometrija 10. klasē." - M., 1986. gads.

8. Laikraksts "Matemātika" 17/1996.

9. Laikraksts "Matemātika" 3/1997.

10. Antonovs N.P., Vygodskii M.Ya., Ņikitins V.V., Sankin A.I. "Elementārās matemātikas uzdevumu krājums". - M., 1963. gads.

11. Dorofejevs G.V., Potapovs M.K., Rozovs N.Kh. "Matemātikas rokasgrāmata". - M., 1973. gads.

12. Ščetņikovs A.I. "Pitagora skaitļa un lieluma doktrīna". - Novosibirska, 1997.

13. “Reāli skaitļi. Iracionāli izteicieni» 8. klase. Tomskas universitātes izdevniecība. – Tomska, 1997. gads.

14. Atanasjans M.S. "Ģeometrija" 7.-9.klase. – M.: Apgaismība, 1991. gads.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Šajā mācību gadā es iepazinos ar interesantu teorēmu, kas zināma, kā izrādījās, no seniem laikiem:

"Kvadrāts, kas uzcelts uz taisnleņķa trīsstūra hipotenūzas, ir vienāds ar to kvadrātu summu, kas uzceltas uz kājām."

Parasti šī apgalvojuma atklāšanu piedēvē sengrieķu filozofam un matemātiķim Pitagoram (VI gadsimts pirms mūsu ēras). Bet seno manuskriptu izpēte parādīja, ka šis apgalvojums bija zināms ilgi pirms Pitagora dzimšanas.

Es prātoju, kāpēc šajā gadījumā tas ir saistīts ar Pitagora vārdu.

Tēmas atbilstība: Pitagora teorēmai ir liela nozīme: ģeometrijā to izmanto burtiski katrā solī. Uzskatu, ka Pitagora darbi joprojām ir aktuāli, jo, lai kur vien skatāmies, visur redzami viņa lielo ideju augļi, kas iemiesoti dažādās mūsdienu dzīves nozarēs.

Mana pētījuma mērķis bija: noskaidrot, kas bija Pitagors un kāda saistība viņam ir ar šo teorēmu.

Studējot teorēmas vēsturi, es nolēmu noskaidrot:

Vai šai teorēmai ir citi pierādījumi?

Kāda ir šīs teorēmas nozīme cilvēku dzīvē?

Kāda loma Pitagoram bija matemātikas attīstībā?

No Pitagora biogrāfijas

Pitagors no Samos ir izcils grieķu zinātnieks. Tās slava ir saistīta ar Pitagora teorēmas nosaukumu. Lai gan tagad mēs jau zinām, ka šī teorēma bija zināma senajā Babilonā 1200 gadus pirms Pitagora un Ēģiptē 2000 gadus pirms viņa bija zināms taisnleņķa trīsstūris ar malām 3, 4, 5, mēs joprojām to saucam ar šī senā vārda nosaukumu. zinātnieks.

Gandrīz nekas nav ticami zināms par Pitagora dzīvi, taču tas ir saistīts ar viņa vārdu liels skaits leģendas.

Pitagors dzimis 570. gadā pirms mūsu ēras Samos salā.

Pitagoram bija izskatīgs izskats, viņam bija gara bārda un galvā zelta diadēma. Pitagors nav vārds, bet gan iesauka, ko filozofs saņēma par to, ka vienmēr runāja pareizi un pārliecinoši, kā grieķu orākuls. (Pitagors - "pārliecinoša runa").

550. gadā pirms mūsu ēras Pitagors pieņem lēmumu un dodas uz Ēģipti. Tātad Pitagora priekšā paveras nezināma valsts un nezināma kultūra. Pitagoru šajā valstī ļoti izbrīnīja un pārsteidza, un pēc dažiem ēģiptiešu dzīves novērojumiem Pitagors saprata, ka ceļš uz zināšanām, ko aizsargā priesteru kasta, ved caur reliģiju.

Pēc vienpadsmit gadu studijām Ēģiptē Pitagors dodas uz savu dzimteni, kur pa ceļam nonāk Babilonijas gūstā. Tur viņš iepazīstas ar babiloniešu zinātni, kas bija attīstītāka par ēģiptiešu. Babilonieši prata atrisināt lineāros, kvadrātvienādojumus un dažu veidu kubiskos vienādojumus. Izbēdzis no gūsta, viņš nevarēja ilgi palikt dzimtenē, jo tur valdīja vardarbības un tirānijas atmosfēra. Viņš nolēma pārcelties uz Krotonu (grieķu koloniju Itālijas ziemeļos).

Tieši Krotonā sākas Pitagora dzīves krāšņākais periods. Tur viņš nodibināja kaut ko līdzīgu reliģiski ētiskai brālībai vai slepenam klosteru ordenim, kura locekļiem bija pienākums vadīt tā saukto pitagoriešu dzīvesveidu.

Pitagors un pitagorieši

Pitagors grieķu kolonijā Apenīnu pussalas dienvidos noorganizēja reliģisku un ētisku brālību, piemēram, klosteru ordeni, ko vēlāk nodēvēs par Pitagora savienību. Apvienības biedriem bija jāturas pie noteiktiem principiem: pirmkārt, tiekties uz skaisto un krāšņo, otrkārt, būt noderīgiem un, treškārt, tiekties uz augstu prieku.

Morāles un ētikas noteikumu sistēma, ko Pitagors novēlēja saviem studentiem, tika apkopota sava veida pitagoriešu morāles kodeksā "Zelta vārsmas", kas bija ļoti populāri senatnes, viduslaikos un renesanses laikmetā.

Pitagora studiju sistēma sastāvēja no trim sadaļām:

Mācības par skaitļiem - aritmētika,

Mācības par figūrām - ģeometrija,

Mācības par Visuma uzbūvi - astronomija.

Pitagora izveidotā izglītības sistēma pastāvēja daudzus gadsimtus.

Pitagora skola daudz darīja, lai ģeometrijai piešķirtu zinātnes raksturu. Pitagora metodes galvenā iezīme bija ģeometrijas kombinācija ar aritmētiku.

Pitagors daudz nodarbojās ar proporcijām un progresiju un, iespējams, ar figūru līdzību, jo viņam uzticēts problēmas atrisināšana: “Uzbūvējiet trešo, kura izmērs ir vienāds ar vienu no datiem un līdzīgs otrajam, pamatojoties uz doti divi cipari.”

Pitagors un viņa skolēni iepazīstināja ar daudzstūru, draudzīgu, ideālu skaitļu jēdzienu un pētīja to īpašības. Aritmētika kā aprēķina prakse Pitagoru neinteresēja, un viņš lepni paziņoja, ka "aritmētiku nostāda augstāk par tirgotāja interesēm".

Pitagora savienības locekļi bija daudzu Grieķijas pilsētu iedzīvotāji.

Pitagorieši arī pieņēma sievietes savā sabiedrībā. Savienība uzplauka vairāk nekā divdesmit gadus, un tad sākās tās biedru vajāšana, daudzi studenti tika nogalināti.

Bija daudz dažādu leģendu par paša Pitagora nāvi. Bet Pitagora un viņa mācekļu mācības turpināja dzīvot.

No Pitagora teorēmas radīšanas vēstures

Šobrīd zināms, ka šo teorēmu Pitagors neatklāja. Tomēr daži uzskata, ka Pitagors pirmais sniedza pilnīgu pierādījumu, bet citi noliedz viņam šo nopelnu. Daži piedēvē Pitagoram pierādījumus, ko Eiklīds sniedz savā Elementu pirmajā grāmatā. No otras puses, Prokls apgalvo, ka pierādījums elementos ir paša Eiklīda dēļ. Kā redzam, matemātikas vēsturē gandrīz nav ticamu konkrētu datu par Pitagora dzīvi un viņa matemātisko darbību.

Sāksim savu vēsturisko Pitagora teorēmas apskatu ar seno Ķīnu. Šeit īpašu uzmanību piesaista Chu-pei matemātiskā grāmata. Šajā esejā ir teikts par Pitagora trīsstūri ar 3, 4 un 5 malām:

"Ja taisns leņķis ir sadalīts tā sastāvdaļās, tad līnija, kas savieno tā malu galus, būs 5, ja pamatne ir 3 un augstums ir 4."

Ir ļoti viegli reproducēt to uzbūves metodi. Paņemiet 12 m garu virvi un piesieniet to pa krāsainu sloksni 3 m attālumā. no viena gala un 4 metrus no otra. Starp malām 3 un 4 metru garumā tiks norobežots taisns leņķis.

Hinduistu ģeometrija bija cieši saistīta ar kultu. Ļoti iespējams, ka hipotenūzas kvadrāta teorēma Indijā bija zināma jau aptuveni 8. gadsimtā pirms mūsu ēras. Līdzās tīri rituāliem priekšrakstiem ir ģeometriski teoloģiska rakstura darbi. Šajos rakstos, kas datēti ar 4. vai 5. gadsimtu pirms mūsu ēras, mēs sastopamies ar taisnleņķa konstrukciju, izmantojot trīsstūri ar malām 15, 36, 39.

Viduslaikos Pitagora teorēma noteica robežu, ja ne pēc iespējas lielākam, tad vismaz labām matemātikas zināšanām. Raksturīgais Pitagora teorēmas zīmējums, ko tagad skolēni dažkārt pārvērš, piemēram, par cilindru, kas ietērpts profesora vai vīrieša halātā, tajos laikos bieži tika izmantots kā matemātikas simbols.

Noslēgumā mēs piedāvājam dažādus Pitagora teorēmas formulējumus, kas tulkoti no grieķu, latīņu un vācu valodas.

Eiklida teorēma skan (burtiskais tulkojums):

"Taisnstūrī taisnā leņķa malas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātiem malās, kas aptver taisno leņķi."

Kā redzat, dažādās valstīs un dažādās valodās ir dažādas pazīstamās teorēmas formulējuma versijas. Veidoti dažādos laikos un dažādās valodās, tie atspoguļo viena matemātiskā parauga būtību, kuras pierādīšanai arī ir vairākas iespējas.

Pieci veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu

seno ķīniešu pierādījums

Seno ķīniešu zīmējumā četri vienādi taisnleņķa trijstūri ar kājiņām a, b un hipotenūzu c ir sakrauti tā, lai to ārējā kontūra veidotu kvadrātu ar malu a + b, bet iekšējā – kvadrātu ar malu c, kas uzcelta uz hipotenūza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gārdfīlda pierādījums (1882)

Sakārtosim divus vienādus taisnleņķa trīsstūrus tā, lai viena kāja būtu otra turpinājums.

Aplūkojamais trapeces laukums tiek atrasts kā reizinājums ar pusi no pamatu summas un augstuma

No otras puses, trapeces laukums ir vienāds ar iegūto trīsstūru laukumu summu:

Pielīdzinot šīs izteiksmes, mēs iegūstam:

Pierādījums ir vienkāršs

Šo pierādījumu iegūst vienkāršākajā vienādsānu taisnstūra trīsstūra gadījumā.

Droši vien teorēma sākās ar viņu.

Patiešām, pietiek tikai apskatīt vienādsānu taisnleņķa trijstūri, lai redzētu, vai teorēma ir patiesa.

Piemēram, trīsstūrim ABC: kvadrātā, kas veidots uz hipotenūzas AC, ir 4 sākuma trīsstūri, un kvadrātos, kas veidoti uz kājām, ir divi. Teorēma ir pierādīta.

Seno hinduistu pierādījums

Kvadrātu ar malu (a + b) var sadalīt daļās, kā parādīts attēlā. 12. a, vai kā attēlā. 12b. Ir skaidrs, ka 1., 2., 3., 4. daļas abos attēlos ir vienādas. Un ja no vienādajiem (laukumiem) atņem vienādos, tad paliks vienādi, t.i. c2 = a2 + b2.

Eiklida pierādījums

Divus gadu tūkstošus visizplatītākais bija Eiklīda izgudrotās Pitagora teorēmas pierādījums. Tas ir ievietots viņa slavenajā grāmatā "Sākums".

Eiklīds pazemināja augstumu BH no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai un pierādīja, ka tā pagarinājums sadala uz hipotenūzas aizpildīto kvadrātu divos taisnstūros, kuru laukumi ir vienādi ar atbilstošo uz kājām uzbūvēto kvadrātu laukumiem.

Šīs teorēmas pierādīšanā izmantoto zīmējumu jokojot sauc par "Pitagora biksēm". Ilgu laiku viņš tika uzskatīts par vienu no matemātikas zinātnes simboliem.

Pitagora teorēmas pielietojums

Pitagora teorēmas nozīme ir tajā, ka no tās vai ar tās palīdzību var atvasināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu un atrisināt daudzas problēmas. Turklāt Pitagora teorēmas un tās apgrieztās teorēmas praktiskā nozīme ir tāda, ka tās var izmantot, lai atrastu segmentu garumus, nemērot pašus segmentus. Tas it kā paver ceļu no taisnas līnijas uz plakni, no plaknes uz tilpuma telpu un tālāk. Tieši šī iemesla dēļ Pitagora teorēma ir tik svarīga cilvēcei, kas cenšas atklāt vairāk dimensiju un radīt tehnoloģijas šajās dimensijās.

Secinājums

Pitagora teorēma ir tik slavena, ka ir grūti iedomāties cilvēku, kurš par to nav dzirdējis. Es uzzināju, ka ir vairāki veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Izpētīju vairākus vēstures un matemātiskos avotus, tostarp informāciju internetā, un sapratu, ka Pitagora teorēma ir interesanta ne tikai ar savu vēsturi, bet arī ar to, ka ieņem nozīmīgu vietu dzīvē un zinātnē. Par to liecina dažādas manis šajā darbā sniegtās šīs teorēmas teksta interpretācijas un tās pierādīšanas veidi.

Tātad Pitagora teorēma ir viena no galvenajām un, varētu teikt, vissvarīgākajām ģeometrijas teorēmām. Tās nozīme ir tajā, ka no tā vai ar tās palīdzību var izsecināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu. Pitagora teorēma ir ievērojama arī ar to, ka pati par sevi tā nemaz nav acīmredzama. Piemēram, vienādsānu trīsstūra īpašības var redzēt tieši zīmējumā. Bet neatkarīgi no tā, cik daudz jūs skatāties uz taisnleņķa trīsstūri, jūs nekad neredzēsit, ka starp tā malām pastāv vienkārša sakarība: c2 = a2 + b2. Tāpēc, lai to pierādītu, bieži izmanto vizualizāciju. Pitagora nopelns bija tas, ka viņš sniedza pilnīgu zinātnisku pierādījumu šai teorēmai. Interesanta ir paša zinātnieka personība, kuras atmiņu šī teorēma nav nejauši saglabājusi. Pitagors ir brīnišķīgs runātājs, skolotājs un audzinātājs, savas skolas organizators, orientēts uz mūzikas un skaitļu harmoniju, labestību un taisnīgumu, zināšanām un veselīgu dzīvesveidu. Viņš var kalpot par piemēru mums, tāliem pēcnācējiem.

Bibliogrāfiskā saite

Tumanova S.V. VAIRĀKI VEIDI, KĀ PIERĀDĪT PITAGORA TEORĒMU // Sāciet zinātnē. - 2016. - Nr.2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (piekļuves datums: 21.02.2019.).

Tie, kas interesējas par Pitagora teorēmas vēsturi, kas tiek pētīta skolas mācību programmā, būs ziņkārīgs arī par tādu faktu kā 1940. gadā izdota grāmata ar trīssimt septiņdesmit šīs šķietami vienkāršās teorēmas pierādījumiem. Bet tas ieinteresēja daudzu dažādu laikmetu matemātiķu un filozofu prātus. Ginesa rekordu grāmatā tas ierakstīts kā teorēma ar maksimālo pierādījumu skaitu.

Pitagora teorēmas vēsture

Saistīta ar Pitagora vārdu, teorēma bija zināma ilgi pirms lielā filozofa dzimšanas. Tātad Ēģiptē, būvējot būves, pirms pieciem tūkstošiem gadu tika ņemta vērā taisnleņķa trīsstūra malu attiecība. Babiloniešu tekstos ir minēta tāda pati taisnleņķa trijstūra malu attiecība 1200 gadus pirms Pitagora dzimšanas.

Rodas jautājums, kāpēc tad stāstā teikts – Pitagora teorēmas rašanās pieder viņam? Atbilde var būt tikai viena - viņš pierādīja trijstūra malu attiecību. Viņš izdarīja to, ko tie, kas vienkārši izmantoja pieredzes noteikto malu attiecību un hipotenūzu, nedarīja pirms gadsimtiem.

No Pitagora dzīves

Topošais izcilais zinātnieks, matemātiķis, filozofs dzimis Samos salā 570. gadā pirms mūsu ēras. Vēsturiskie dokumenti saglabāja informāciju par Pitagora tēvu, kurš bija dārgakmeņu grebējs, bet nav informācijas par viņa māti. Viņi teica par dzimušo zēnu, ka viņš bija izcils bērns, kurš kopš bērnības izrādīja aizraušanos ar mūziku un dzeju. Vēsturnieki Hermodamantu un Sīrosas Ferekīdu piedēvē jaunā Pitagora skolotājiem. Pirmā iepazīstināja zēnu ar Mūzu pasauli, bet otrā, būdams filozofs un Itālijas filozofijas skolas dibinātājs, vērsa jaunā vīrieša skatienu uz logosu.

22 gadu vecumā (548.g.pmē.) Pitagors devās uz Naukrātu, lai pētītu ēģiptiešu valodu un reliģiju. Tālāk viņa ceļš veda Memfisā, kur, pateicoties priesteriem, izturējuši savus ģeniālos pārbaudījumus, viņš saprata Ēģiptes ģeometriju, kas, iespējams, pamudināja zinātkāro jaunekli pierādīt Pitagora teorēmu. Vēsture vēlāk piedēvēs šo nosaukumu teorēmai.

Bābeles ķēniņa gūstā

Mājupceļā uz Hellu Pitagoru sagūsta Babilonas karalis. Taču atrašanās nebrīvē nāca par labu iesācēja matemātiķa zinātkārajam prātam, viņam bija daudz jāmācās. Patiešām, tajos gados matemātika Babilonā bija attīstītāka nekā Ēģiptē. Viņš pavadīja divpadsmit gadus, studējot matemātiku, ģeometriju un maģiju. Un, iespējams, tā bija Babilonijas ģeometrija, kas bija iesaistīta trijstūra malu attiecības pierādīšanā un teorēmas atklāšanas vēsturē. Pitagoram tam bija pietiekami daudz zināšanu un laika. Bet, ka tas notika Babilonā, tam nav dokumentāra apstiprinājuma vai atspēkojuma.

530. gadā pirms mūsu ēras Pitagors bēg no gūsta uz savu dzimteni, kur pusverga statusā dzīvo tirāna Polikrāta galmā. Šāda dzīve Pitagoram neder, un viņš atkāpjas uz Samosas alām un pēc tam dodas uz Itālijas dienvidiem, kur tolaik atradās grieķu kolonija Krotona.

Slepenais klosteru ordenis

Uz šīs kolonijas bāzes Pitagors izveidoja slepenu klosteru ordeni, kas vienlaikus bija reliģiska savienība un zinātniska biedrība. Šai biedrībai bija sava harta, kas runāja par īpaša dzīvesveida ievērošanu.

Pitagors apgalvoja, ka, lai saprastu Dievu, cilvēkam ir jāzina tādas zinātnes kā algebra un ģeometrija, jāzina astronomija un jāsaprot mūzika. Pētnieciskais darbs tika samazināts līdz skaitļu un filozofijas mistiskās puses zināšanām. Jāatzīmē, ka principiem, kurus tolaik sludināja Pitagors, ir jēga mūsdienās.

Viņam tika piedēvēti daudzi Pitagora mācekļu atklājumi. Tomēr īsi sakot, seno vēsturnieku un tā laika biogrāfu Pitagora teorēmas radīšanas vēsture ir tieši saistīta ar šī filozofa, domātāja un matemātiķa vārdu.

Pitagora mācības

Iespējams, vēsturniekus iedvesmoja lielā grieķa apgalvojums, ka sakāmvārdu trīsstūris ar kājām un hipotenūzu iekodēja visas mūsu dzīves parādības. Un šis trīsstūris ir "atslēga", lai atrisinātu visas problēmas, kas rodas. Lielais filozofs teica, ka vajadzētu redzēt trīsstūri, tad mēs varam pieņemt, ka problēma ir atrisināta par divām trešdaļām.

Par savu mācību Pitagors saviem audzēkņiem stāstīja tikai mutiski, neveicot nekādas piezīmes, paturot to noslēpumā. Diemžēl lielākā filozofa mācības nav saglabājušās līdz mūsdienām. Daļa no tā ir noplūdusi, taču nevar pateikt, cik daudz ir patiesības un cik daudz nepatiesa tajā, kas kļuvis zināms. Pat ar Pitagora teorēmas vēsturi ne viss ir skaidrs. Matemātikas vēsturnieki apšauba Pitagora autorību, viņuprāt, teorēma tika izmantota daudzus gadsimtus pirms viņa dzimšanas.

Pitagora teorēma

Var šķist dīvaini, bet vēsturisku faktu par teorēmas pierādīšanu paša Pitagora nav - ne arhīvos, ne citos avotos. Mūsdienu versijā tiek uzskatīts, ka tas pieder nevienam citam kā pašam Eiklidam.

Ir liecības par vienu no izcilākajiem matemātikas vēsturniekiem Moricu Kantoru, kurš atklājis uz Berlīnes muzejā glabātā papirusa, ko ēģiptieši bija uzrakstījuši ap 2300. gadu pirms mūsu ēras. e. vienādība, kas skan: 3² + 4² = 5².

Īsumā no Pitagora teorēmas vēstures

Teorēmas formulējums no Eiklīda "Sākumiem" tulkojumā izklausās tāpat kā mūsdienu interpretācijā. Tā lasījumā nav nekā jauna: taisnajam leņķim pretējās malas kvadrāts ir vienāds ar taisnajam leņķim blakus esošo malu kvadrātu summu. To, ka senās Indijas un Ķīnas civilizācijas izmantoja teorēmu, apstiprina traktāts Džou Bi Suaņ Dzjiņs. Tajā ir informācija par Ēģiptes trīsstūri, kas apraksta malu attiecību kā 3:4:5.

Ne mazāk interesanta ir vēl viena ķīniešu matemātiskā grāmata "Chu-pei", kurā minēts arī Pitagora trīsstūris ar skaidrojumu un zīmējumiem, kas sakrīt ar Bashāras hinduisma ģeometrijas zīmējumiem. Par pašu trīsstūri grāmatā teikts, ka, ja taisnu leņķi var sadalīt tā sastāvdaļās, tad līnija, kas savieno malu galus, būs vienāda ar pieci, ja pamatne ir trīs un augstums ir četri.

Indijas traktāts "Sulva Sutra", kas datēts ar aptuveni 7.-5.gs.pmē. e., stāsta par taisnleņķa konstruēšanu, izmantojot Ēģiptes trīsstūri.

Teorēmas pierādījums

Viduslaikos studenti uzskatīja, ka teorēmas pierādīšana ir pārāk sarežģīta. Vāji skolēni teorēmas apguva no galvas, nesaprotot pierādījuma nozīmi. Šajā sakarā viņi saņēma iesauku "ēzeļi", jo Pitagora teorēma viņiem bija nepārvarams šķērslis, piemēram, tilts ēzelim. Viduslaikos skolēni nāca klajā ar rotaļīgu pantu par šo teorēmu.

Lai vienkāršāk pierādītu Pitagora teorēmu, jums vienkārši jāizmēra tās malas, pierādījumā neizmantojot laukumu jēdzienu. Taisnajam leņķim pretējās malas garums ir c, un tai blakus esošās a un b, kā rezultātā mēs iegūstam vienādojumu: a 2 + b 2 \u003d c 2. Šo apgalvojumu, kā minēts iepriekš, pārbauda, ​​izmērot taisnleņķa trijstūra malu garumus.

Ja sākam teorēmas pierādīšanu, ņemot vērā trijstūra malās uzbūvēto taisnstūru laukumu, mēs varam noteikt visas figūras laukumu. Tas būs vienāds ar kvadrāta laukumu ar malu (a + b), un, no otras puses, ar četru trīsstūru un iekšējā kvadrāta laukumu summu.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , kas bija jāpierāda.

Pitagora teorēmas praktiskā nozīme ir tāda, ka to var izmantot, lai atrastu segmentu garumus, tos nemērot. Konstrukciju būvniecības laikā tiek aprēķināti attālumi, balstu un siju izvietojums, noteikti smaguma centri. Pitagora teorēma tiek pielietota arī visās mūsdienu tehnoloģijās. Viņi neaizmirsa par teorēmu, veidojot filmas 3D-6D izmēros, kur papildus parastajām 3 vērtībām tiek ņemts vērā: augstums, garums, platums, laiks, smarža un garša. Kā garšas un smaržas ir saistītas ar teorēmu, jūs jautājat? Viss ir ļoti vienkārši – rādot filmu, jārēķina, kur un kādas smaržas un garšas režisēt skatītāju zālē.

Tas ir tikai sākums. Ziņkārīgos prātus gaida neierobežotas iespējas atklāt un radīt jaunas tehnoloģijas.

Vienā lietā jūs varat būt simtprocentīgi pārliecināts, ka uz jautājumu, kāds ir hipotenūzas kvadrāts, jebkurš pieaugušais drosmīgi atbildēs: "Kāju kvadrātu summa." Šī teorēma ir stingri iesakņojusies katra izglītota cilvēka prātā, taču pietiek tikai lūgt kādam to pierādīt, un tad var rasties grūtības. Tāpēc atcerēsimies un apsvērsim dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus.

Īss biogrāfijas pārskats

Pitagora teorēma ir pazīstama gandrīz ikvienam, taču kāda iemesla dēļ tās autores biogrāfija nav tik populāra. Mēs to salabosim. Tāpēc, pirms pētīt dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus, jums īsi jāiepazīstas ar viņa personību.

Pitagors - filozofs, matemātiķis, domātājs, sākotnēji noMūsdienās ir ļoti grūti atšķirt viņa biogrāfiju no leģendām, kas izveidojušās šī lieliskā cilvēka piemiņai. Bet, kā izriet no viņa sekotāju rakstiem, Pitagors no Samos ir dzimis Samos salā. Viņa tēvs bija parasts akmens griezējs, bet māte nāca no dižciltīgas ģimenes.

Saskaņā ar leģendu, Pitagora dzimšanu paredzēja sieviete vārdā Pitija, kurai par godu zēns tika nosaukts. Pēc viņas prognozēm, dzimušam zēnam bija jānes cilvēcei daudz labumu un labuma. Tas ir tas, ko viņš patiesībā darīja.

Teorēmas dzimšana

Savā jaunībā Pitagors pārcēlās uz Ēģipti, lai tur satiktos ar slavenajiem ēģiptiešu gudrajiem. Pēc tikšanās ar viņiem viņš tika uzņemts studijās, kur apguva visus lielos ēģiptiešu filozofijas, matemātikas un medicīnas sasniegumus.

Iespējams, tieši Ēģiptē Pitagors iedvesmojās no piramīdu varenuma un skaistuma un radīja savu lielisko teoriju. Tas var šokēt lasītājus, taču mūsdienu vēsturnieki uzskata, ka Pitagors savu teoriju nav pierādījis. Taču savas zināšanas viņš nodeva tikai saviem sekotājiem, kuri vēlāk pabeidza visus nepieciešamos matemātiskos aprēķinus.

Lai kā arī būtu, šodien nav zināms viens šīs teorēmas pierādīšanas paņēmiens, bet gan vairāki uzreiz. Šodien mēs varam tikai minēt, kā tieši senie grieķi veica savus aprēķinus, tāpēc šeit mēs apsvērsim dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus.

Pitagora teorēma

Pirms sākat aprēķinus, jums ir jāizdomā, kuru teoriju pierādīt. Pitagora teorēma izklausās šādi: "Trīsstūrī, kurā viens no leņķiem ir 90 o, kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu."

Kopumā ir 15 dažādi veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Tas ir diezgan liels skaits, tāpēc pievērsīsim uzmanību populārākajiem no tiem.

Pirmā metode

Vispirms definēsim, kas mums ir. Šie dati attieksies arī uz citiem Pitagora teorēmas pierādīšanas veidiem, tāpēc jums nekavējoties jāatceras visi pieejamie apzīmējumi.

Pieņemsim, ka ir dots taisnleņķa trīsstūris, kura kājas a, b un hipotenūza ir vienāda ar c. Pirmā pierādīšanas metode ir balstīta uz to, ka no taisnleņķa trīsstūra jāizvelk kvadrāts.

Lai to izdarītu, ir jāievelk segments, kas vienāds ar kāju, kājas garumā a un otrādi. Tātad tam vajadzētu izrādīties divas vienādas kvadrāta malas. Atliek tikai novilkt divas paralēlas līnijas, un kvadrāts ir gatavs.

Iegūtā attēla iekšpusē jums ir jāuzzīmē vēl viens kvadrāts, kura mala ir vienāda ar sākotnējā trīsstūra hipotenūzu. Lai to izdarītu, no virsotnēm ac un sv ir jāuzzīmē divi paralēli segmenti, kas vienādi ar c. Tādējādi mēs iegūstam trīs kvadrāta malas, no kurām viena ir sākotnējā taisnleņķa trīsstūra hipotenūza. Atliek tikai uzzīmēt ceturto segmentu.

Pamatojoties uz iegūto skaitli, mēs varam secināt, ka ārējā kvadrāta laukums ir (a + b) 2. Ieskatoties figūras iekšpusē, var redzēt, ka papildus iekšējam kvadrātam tajā ir četri taisnleņķa trijstūri. Katra laukums ir 0,5 av.

Tāpēc laukums ir: 4 * 0,5 av + s 2 \u003d 2 av + s 2

Tādējādi (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Un tāpēc ar 2 = 2 + 2

Teorēma ir pierādīta.

Otrā metode: līdzīgi trīsstūri

Šī Pitagora teorēmas pierādīšanas formula tika iegūta, pamatojoties uz apgalvojumu no ģeometrijas sadaļas par līdzīgiem trijstūriem. Tajā teikts, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls tā hipotenūzai un hipotenūzas segmentam, kas izplūst no 90 o leņķa virsotnes.

Sākotnējie dati paliek nemainīgi, tāpēc sāksim uzreiz ar pierādījumu. Uzzīmēsim segmentu CD perpendikulāri malai AB. Pamatojoties uz iepriekš minēto apgalvojumu, trīsstūru kājas ir vienādas:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Lai atbildētu uz jautājumu, kā pierādīt Pitagora teorēmu, jāpierāda, abas nevienādības kvadrātā.

AC 2 \u003d AB * HELL un SV 2 \u003d AB * DV

Tagad mums jāpievieno iegūtās nevienādības.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kur AD + DV \u003d AB

Izrādās, ka:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Un tāpēc:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pitagora teorēmas pierādījums un dažādi tās risināšanas veidi prasa daudzpusīgu pieeju šai problēmai. Tomēr šī iespēja ir viena no vienkāršākajām.

Vēl viena aprēķina metode

Dažādu Pitagora teorēmas pierādīšanas veidu apraksts var neko nepateikt, kamēr nesāc praktizēt pats. Daudzas metodes ietver ne tikai matemātiskos aprēķinus, bet arī jaunu figūru konstruēšanu no sākotnējā trīsstūra.

Šajā gadījumā ir jāpabeidz vēl viens taisnleņķa trīsstūris VSD no lidmašīnas kājas. Tādējādi tagad ir divi trīsstūri ar kopīgu kāju BC.

Zinot, ka līdzīgu figūru laukumiem ir attiecība pret to līdzīgo lineāro izmēru kvadrātiem, tad:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (no 2 līdz 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

no 2 līdz 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Tā kā šī opcija diez vai ir piemērota no dažādām Pitagora teorēmas pierādīšanas metodēm 8. klasei, varat izmantot šādu paņēmienu.

Vienkāršākais veids, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Atsauksmes

Vēsturnieki uzskata, ka šī metode pirmo reizi tika izmantota, lai pierādītu teorēmu Senajā Grieķijā. Tas ir visvienkāršākais, jo tam nav nepieciešami absolūti nekādi aprēķini. Ja attēlu uzzīmējat pareizi, būs skaidri redzams pierādījums apgalvojumam, ka 2 + b 2 \u003d c 2.

Šīs metodes nosacījumi nedaudz atšķirsies no iepriekšējās. Lai pierādītu teorēmu, pieņemsim, ka taisnstūris ABC ir vienādsānu.

Mēs ņemam hipotenūzu AC par kvadrāta malu un uzzīmējam tās trīs malas. Turklāt iegūtajā kvadrātā ir jāievelk divas diagonālas līnijas. Lai tā iekšpusē jūs iegūtu četrus vienādsānu trīsstūrus.

Uz kājām AB un CB arī jāvelk kvadrāts un katrā no tām jāievelk viena diagonālā līnija. Mēs velkam pirmo līniju no virsotnes A, otro - no C.

Tagad jums rūpīgi jāaplūko iegūtais zīmējums. Tā kā uz hipotenūzas AC ir četri trīsstūri, kas ir vienādi ar sākotnējo, un divi uz kājām, tas norāda uz šīs teorēmas patiesumu.

Starp citu, pateicoties šai Pitagora teorēmas pierādīšanas metodei, dzima slavenā frāze: "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos."

J. Gārfīlda pierādījums

Džeimss Gārfīlds ir 20. Amerikas Savienoto Valstu prezidents. Papildus tam, ka viņš atstāja savas pēdas vēsturē kā Amerikas Savienoto Valstu valdnieks, viņš bija arī apdāvināts autodidakts.

Savas karjeras sākumā viņš bija parasts skolotājs tautskolā, bet drīz vien kļuva par direktoru vienā no augstskolām. Vēlme pēc pašattīstības un ļāva viņam piedāvāt jaunu Pitagora teorēmas pierādījumu teoriju. Teorēma un tās risinājuma piemērs ir šādi.

Vispirms uz papīra ir jāuzzīmē divi taisnleņķa trīsstūri, lai viena no tiem kāja būtu otrās turpinājums. Šo trīsstūru virsotnes ir jāsavieno, lai beigtos ar trapecveida formu.

Kā zināms, trapeces laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu un augstuma summas.

S=a+b/2* (a+b)

Ja mēs uzskatām iegūto trapecveida figūru, kas sastāv no trim trijstūriem, tad tās laukumu var atrast šādi:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Tagad mums ir jāizlīdzina divas sākotnējās izteiksmes

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Par Pitagora teorēmu un to, kā to pierādīt, var uzrakstīt vairāk nekā vienu mācību grāmatas sējumu. Bet vai ir jēga, ja šīs zināšanas nevar izmantot praksē?

Pitagora teorēmas praktiskais pielietojums

Diemžēl mūsdienu skolu programmas paredz šīs teorēmas izmantošanu tikai ģeometriskos uzdevumos. Absolventi drīz pametīs skolas sienas, nezinot, kā savas zināšanas un prasmes var pielietot praksē.

Faktiski savā darbā izmantojiet Pitagora teorēmu Ikdiena katrs var. Un ne tikai profesionālajā darbībā, bet arī parastos mājsaimniecības darbos. Apskatīsim vairākus gadījumus, kad Pitagora teorēma un tās pierādīšanas metodes var būt ārkārtīgi nepieciešamas.

Teorēmas un astronomijas savienojums

Šķiet, kā zvaigznes un trīsstūrus var savienot uz papīra. Faktiski astronomija ir zinātnes nozare, kurā plaši tiek izmantota Pitagora teorēma.

Piemēram, apsveriet gaismas stara kustību telpā. Mēs zinām, ka gaisma pārvietojas abos virzienos ar tādu pašu ātrumu. Mēs saucam trajektoriju AB, pa kuru virzās gaismas stars l. Un pusi no laika, kas nepieciešams, lai gaisma nokļūtu no punkta A līdz punktam B, piezvanīsim t. Un stara ātrums - c. Izrādās, ka: c*t=l

Ja paskatās uz šo pašu staru no citas plaknes, piemēram, no kosmosa lainera, kas kustas ar ātrumu v, tad ar šādu ķermeņu novērošanu to ātrums mainīsies. Šajā gadījumā pat nekustīgi elementi pārvietosies ar ātrumu v pretējā virzienā.

Pieņemsim, ka komiksu laineris kuģo pa labi. Tad punkti A un B, starp kuriem steidzas stars, pārvietosies pa kreisi. Turklāt, kad stars virzās no punkta A uz punktu B, punktam A ir laiks pārvietoties, un attiecīgi gaisma jau nonāks jaunā punktā C. Lai atrastu pusi attāluma, kurā punkts A ir nobīdīts, jums jāreizina oderes ātrums uz pusi no staru kūļa kustības laika (t ").

Un, lai noskaidrotu, cik tālu gaismas stars šajā laikā varētu aizceļot, ir jānorāda puse no jaunā dižskābarža ceļa un jāiegūst šāda izteiksme:

Ja iedomājamies, ka gaismas punkti C un B, kā arī telpas līnija ir vienādsānu trijstūra virsotnes, tad nogrieznis no punkta A uz līniju sadalīs to divos taisnleņķa trīsstūros. Tāpēc, pateicoties Pitagora teorēmai, jūs varat atrast attālumu, kādu gaismas stars varētu nobraukt.

Šis piemērs, protams, nav veiksmīgākais, jo tikai dažiem var laimēties to izmēģināt praksē. Tāpēc mēs apsveram šīs teorēmas ikdienišķākus pielietojumus.

Mobilā signāla pārraides diapazons

Mūsdienu dzīve vairs nav iedomājama bez viedtālruņu esamības. Bet cik noderētu, ja nevarētu pieslēgt abonentus pa mobilajiem sakariem?!

Mobilo sakaru kvalitāte tieši ir atkarīga no tā, kādā augstumā atrodas mobilo sakaru operatora antena. Lai aprēķinātu, cik tālu no mobilā torņa tālrunis var uztvert signālu, var izmantot Pitagora teorēmu.

Pieņemsim, ka ir jāatrod aptuvenais stacionāra torņa augstums, lai tas varētu izplatīt signālu 200 kilometru rādiusā.

AB (torņa augstums) = x;

BC (signāla pārraides rādiuss) = 200 km;

OS (globusa rādiuss) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Pielietojot Pitagora teorēmu, noskaidrojam, ka torņa minimālajam augstumam jābūt 2,3 kilometri.

Pitagora teorēma ikdienas dzīvē

Savādi, bet Pitagora teorēma var būt noderīga pat ikdienas lietās, piemēram, nosakot skapja augstumu. No pirmā acu uzmetiena nav nepieciešams izmantot šādus sarežģītus aprēķinus, jo jūs varat vienkārši veikt mērījumus ar mērlenti. Bet daudzi ir pārsteigti, kāpēc montāžas procesā rodas noteiktas problēmas, ja visi mērījumi tika veikti vairāk nekā precīzi.

Fakts ir tāds, ka skapis ir samontēts horizontālā stāvoklī un tikai pēc tam paceļas un tiek uzstādīts pret sienu. Tāpēc skapja sānu sienai konstrukcijas pacelšanas procesā ir brīvi jāiet gan gar telpas augstumu, gan pa diagonāli.

Pieņemsim, ka ir drēbju skapis ar dziļumu 800 mm. Attālums no grīdas līdz griestiem - 2600 mm. Pieredzējis mēbeļu izgatavotājs teiks, ka skapja augstumam jābūt par 126 mm mazākam par telpas augstumu. Bet kāpēc tieši 126 mm? Apskatīsim piemēru.

Ar ideāliem skapja izmēriem pārbaudīsim Pitagora teorēmas darbību:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - viss saplūst.

Pieņemsim, ka korpusa augstums nav 2474 mm, bet gan 2505 mm. Pēc tam:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Tāpēc šis skapis nav piemērots uzstādīšanai šajā telpā. Tā kā, paceļot to vertikālā stāvoklī, var tikt bojāts tā korpuss.

Iespējams, apsverot dažādus veidus, kā dažādi zinātnieki pierāda Pitagora teorēmu, mēs varam secināt, ka tā ir vairāk nekā patiesība. Tagad saņemto informāciju vari izmantot savā ikdienā un būt pilnīgi pārliecināts, ka visi aprēķini būs ne tikai noderīgi, bet arī pareizi.