Trigonometrisko funkciju pārveidošanas tabula. Trigonometrijas pamatformulas

Trigonometrija ir viena no matemātikas nozarēm, kuras uzmanības centrā ir leņķi un to savstarpējās attiecības. Zinātnes pamati tiek likti skolas gados, kad tiek ieviestas leņķa funkciju definīcijas. Nākotnē iegūtā bāze tiks izmantota astronomijas, instrumentu, arhitektūras un citu zināšanu jomu attīstībā. Tāpat kā jebkura precīza zinātne, trigonometrija nav pilnīga bez formulām. Praktiska lietošana atrada izteicienus dubultargumenta definēšanai. Piemēram, izmantojot atbilstošo vienādojumu, var viegli uzzināt dubults leņķis sinusa.

Trigonometriskā izteiksme aprēķinam

Izteiksme tiek vienkārši uzrakstīta un atcerēties: dubultā leņķa sinusu aprēķina kā viena argumenta sinusa un kosinusa dubultreizinājumu.

Šī formula ir iegūta no leņķu summas sinusa izteiksmes ( J 1 + J 2 ) :

grēks ( J 1 + J 2) = grēks J 1* cos J 1+ grēks J 2* cos J 2 .

Pieņemot, ka dotie leņķi vienādi viens ar otru, formula ir uzrakstīta parastajā formā.

Varat izmantot izteiksmi jebkurai funkcijas argumenta vērtībai. Aprēķināt sinusa dubulto leņķi no tā ir diezgan vienkārši, tālāk sniegtie piemēri palīdzēs to pārbaudīt.

Lietošanas piemērs

Šeit ir daži iegūtās formulas pielietojuma ilustrācijas. Lai aprēķinātu leņķa, kas vienāds ar 60 grādiem, sinusa trigonometriskās funkcijas vērtību. Attiecīgais viens leņķis būtu 30 grādi. Tā kā 30 grādu leņķa sinuss un kosinuss ir zināmi, sinusa dubultais leņķis būs sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Formula tiek izmantota ne tikai "manuālai" aprēķināšanai, jūs varat arī atrast vērtības, izmantojot to, izmantojot matemātiskās pakotnes vai MS Excel tabulas.

Neskatoties uz trigonometriskās identitātes vienkāršību, tas sagādā grūtības skolu absolventiem. Tieši ar to rēķinās arī USE uzdevumu izstrādātāji, piedāvājot testus pamata formulu pārbaudei. Secinājums - formula, lai aprēķinātu sinusa dubulto leņķi, jums jāzina no galvas!

Visbiežāk uzdotie jautājumi

Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi laba kvalitāte un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.

Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat? Atbilde Samaksāt par dokumentu var brīdī, kad to saņem kurjers, pēc aizpildīšanas pareizības un diploma kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā "Maksājums un piegāde". Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas nosacījumiem.

Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pārcelties uz vairāk augsti apmaksāts darbs. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par savu pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.

Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Kopumā jā. Mēs šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidojusies gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts un ārvalstu augstskolu izsniegto dokumentu datubāze. dažādi gadi izdošanu. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties augstskolu, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.

Kā rīkoties, ja dokumentā atrodu drukas un kļūdas? Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, jums ir tiesības neizņemt diplomu, un jums par konstatētajiem trūkumiem ir personīgi jāpaziņo kurjeram vai rakstīšana nosūtot vēstuli uz e-pasts.
Tiklīdz iespējams, labosim dokumentu un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas nosūtām uz klienta pastu pārbaudei un apstiprināšanai topošā dokumenta maketu. pēdējā versija. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu arī mēs to darām papildu foto un video (tostarp ultravioletajā gaismā), lai jums būtu vizuāls priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūstat.

Kas jādara, lai pasūtītu diplomu savā uzņēmumā? Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko apliecību u.c.), ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu mājaslapā vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs jums nosūtītu anketas veidlapu, kas jāaizpilda un jānosūta. atpakaļ pie mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.

Jaunākās atsauksmes

Valentīna:

Jūs izglābāt mūsu dēlu no atlaišanas! Fakts ir tāds, ka pēc skolas pamešanas dēls devās armijā. Un, kad viņš atgriezās, viņš negribēja atgūties. Strādāja bez grāda. Bet nesen viņi sāka atlaist visus, kuriem nav “garozas. Tāpēc nolēmām ar Jums sazināties un nenožēlojām! Tagad strādā mierīgi un ne no kā nebaidās! Paldies!

Dubultleņķa formulas tiek izmantotas, lai izteiktu leņķa, kura vērtība ir 2 α, sinusus, kosinusus, tangentes, kotangentes, izmantojot leņķa α trigonometriskās funkcijas. Šajā rakstā tiks ieviestas visas dubultā leņķa formulas ar pierādījumiem. Tiks apskatīti formulu pielietošanas piemēri. Pēdējā daļā tiks parādītas trīskāršo, četrkāršo leņķu formulas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dubultā leņķa formulu saraksts

Lai pārvērstu dubultā leņķa formulas, atcerieties, ka trigonometrijā leņķiem ir n α apzīmējums, kur n ir dabiskais skaitlis, izteiksmes vērtību raksta bez iekavām. Tādējādi tiek uzskatīts, ka grēkam n α ir tāda pati nozīme kā grēkam (n α) . Ar apzīmējumu sin n α mums ir līdzīgs apzīmējums (sin α) n . Ieraksta izmantošana attiecas uz visiem trigonometriskās funkcijas ar pilnvarām n.

Šīs ir dubultā leņķa formulas:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = α 2 t - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Ņemiet vērā, ka šīs sin un cos formulas ir piemērojamas ar jebkuru leņķa α vērtību. Dubultā leņķa pieskares formula ir derīga jebkurai α vērtībai, kur t g 2 α ir jēga, tas ir, α ≠ π 4 + π 2 · z, z ir jebkurš vesels skaitlis. Dubultā leņķa kotangenss pastāv jebkuram α , kur c t g 2 α ir definēts uz α ≠ π 2 · z .

Dubultā leņķa kosinusam ir dubultā leņķa trīskāršs apzīmējums. Visi no tiem ir piemērojami.

Dubultā leņķa formulu pierādīšana

Formulu pierādījums izriet no saskaitīšanas formulām. Mēs izmantojam formulas summas sinusam:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β un summas cos (α + β) kosinuss = cos α cos β - sin α sin β. Pieņemsim, ka β = α , tad mēs to iegūstam

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α un cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Tādējādi tiek pierādītas dubultā leņķa sin 2 α \u003d 2 sin α cos α un cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α sinusa un kosinusa formulas.

Atpūta cos formulas 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α un cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 noved pie formas cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, aizstājot sum 2 α1 kvadrātu saskaņā ar galveno identitāti sin 2 α + cos 2 α = 1 . Mēs iegūstam, ka grēks 2 α + cos 2 α = 1. Tātad 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α un 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Lai pierādītu pieskares un kotangences dubultā leņķa formulas, mēs izmantojam vienādības t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α un c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. Pēc pārveidošanas mēs iegūstam, ka t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α un c t g 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α \ 2 0α sin 2 α 2 · sin α · cos α . Sadaliet izteiksmi ar cos 2 α, kur cos 2 α ≠ 0 ar jebkuru α vērtību, ja ir definēts t g α. Sadaliet citu izteiksmi ar sin 2 α , kur sin 2 α ≠ 0 ar jebkurām α vērtībām, kad c t g 2 α ir jēga. Lai pierādītu dubultā leņķa formulu tangensam un kotangensam, mēs aizstājam un iegūstam:

- noteikti būs uzdevumi trigonometrijā. Trigonometrija bieži vien nepatīk, jo tai ir jāsabāzts milzīgs daudzums sarežģītu formulu, kas mudž ar sinusiem, kosinusiem, pieskarēm un kotangensiem. Vietne jau savulaik sniedza padomus, kā atcerēties aizmirstu formulu, izmantojot Eilera un Pīla formulu piemēru.

Un šajā rakstā mēs centīsimies parādīt, ka ir pietiekami stingri zināt tikai piecus no vienkāršākajiem trigonometriskās formulas, un par pārējo, lai iegūtu vispārēju priekšstatu un parādītu tos, kad dodaties. Tas ir tāpat kā ar DNS: gatavās dzīvās būtnes pilnīgie zīmējumi netiek glabāti molekulā. Tā drīzāk satur instrukcijas, kā to savākt no pieejamajām aminoskābēm. Tā tas ir trigonometrijā, zinot dažus visparīgie principi, mēs iegūsim visas nepieciešamās formulas no neliela to, kas jāpatur prātā.

Mēs paļausimies uz šādām formulām:

No summu sinusa un kosinusa formulām, zinot, ka kosinusa funkcija ir pāra un ka sinusa funkcija ir nepāra, aizstājot b ar -b, iegūstam atšķirības formulas:

1. Starpības sinuss: grēks(a-b) = grēksacos(-b)+cosagrēks(-b) = grēksacosb-cosagrēksb
2. kosinusa starpība: cos(a-b) = cosacos(-b)-grēksagrēks(-b) = cosacosb+grēksagrēksb

Ievietojot a \u003d b vienās un tajās pašās formulās, mēs iegūstam dubultleņķu sinusa un kosinusa formulas:

1. Dubultā leņķa sinuss: grēks2a = grēks(a+a) = grēksacosa+cosagrēksa = 2grēksacosa
2. Dubultā leņķa kosinuss: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grēksagrēksa = cos2a-grēks2a

Formulas citiem vairākiem leņķiem tiek iegūtas līdzīgi:

1. Trīskāršā leņķa sinuss: grēks3a = grēks(2a+a) = grēks2acosa+cos2agrēksa = (2grēksacosa)cosa+(cos2a-grēks2a)grēksa = 2grēksacos2a+grēksacos2a-grēks 3a = 3 grēksacos2a-grēks 3a = 3 grēksa(1-grēks2a)-grēks 3a = 3 grēksa-4grēks 3a
2. Trīskāršā leņķa kosinuss: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grēks2agrēksa = (cos2a-grēks2a)cosa-(2grēksacosa)grēksa = cos 3a- grēks2acosa-2grēks2acosa = cos 3.a-3 grēks2acosa = cos 3a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3.a-3 cosa

Pirms turpināt, apskatīsim vienu problēmu.
Ņemot vērā: leņķis ir akūts.
Atrodi tā kosinusu, ja
Viena studenta sniegtais risinājums:
Jo , tad grēksa= 3,a cosa = 4.
(No matemātiskā humora)

Tātad pieskares definīcija savieno šo funkciju gan ar sinusu, gan kosinusu. Bet jūs varat iegūt formulu, kas dod pieskares savienojumu tikai ar kosinusu. Lai to iegūtu, mēs ņemam galveno trigonometriskā identitāte: grēks 2 a+cos 2 a= 1 un daliet to ar cos 2 a. Mēs iegūstam:

Tātad šīs problēmas risinājums būtu:

(Tā kā leņķis ir akūts, tad, ekstrahējot sakni, tiek ņemta + zīme)

Summas tangensa formula ir vēl viena, kuru ir grūti atcerēties. Izvadīsim to šādi:

nekavējoties izvadīt un

No dubultleņķa kosinusa formulas jūs varat iegūt sinusa un kosinusa formulas pusleņķim. Lai to izdarītu, dubultā leņķa kosinusa formulas kreisajā pusē:
cos2 a = cos 2 a-grēks 2 a
pievienojam vienību, un pa labi - trigonometrisko vienību, t.i. sinusa un kosinusa kvadrātu summa.
cos2a+1 = cos2a-grēks2a+cos2a+grēks2a
2cos 2 a = cos2 a+1
izsakot cosa cauri cos2 a un veicot mainīgo lielumu maiņu, mēs iegūstam:

Zīme tiek ņemta atkarībā no kvadranta.

Līdzīgi, atņemot vienu no vienādības kreisās puses un sinusa un kosinusa kvadrātu summu no labās puses, mēs iegūstam:
cos2a-1 = cos2a-grēks2a-cos2a-grēks2a
2grēks 2 a = 1-cos2 a

Un visbeidzot, lai trigonometrisko funkciju summu pārvērstu produktā, mēs izmantojam šādu triku. Pieņemsim, ka mums ir jāattēlo sinusu summa kā reizinājums grēksa+grēksb. Ieviesīsim mainīgos x un y tā, lai a = x+y, b+x-y. Tad
grēksa+grēksb = grēks(x+y)+ grēks(x-y) = grēks x cos y+ cos x grēks y+ grēks x cos y- cos x grēks y=2 grēks x cos y. Tagad izteiksim x un y a un b izteiksmē.

Tā kā a = x+y, b = x-y, tad . Tātad

Jūs varat nekavējoties izņemt

1. Sadalījuma formula sinusa un kosinusa produkti iekšā summa: grēksacosb = 0.5(grēks(a+b)+grēks(a-b))

Mēs iesakām vingrināties un atvasināt formulas sinusu starpības un kosinusu summas un starpības reizinājuma pārvēršanai reizinājumā, kā arī sinusu un kosinusu reizinājumu sadalīšanai summā. Izpildījis šos vingrinājumus, Tu pamatīgi apgūsi trigonometrisko formulu atvasināšanas prasmi un nepazudīsi pat visgrūtākajā kontrolē, olimpiādē vai testēšanā.