Formulas sinusu un kosinusu īpašības. Pamata trigonometriskās identitātes

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta trigonometriskās funkcijas un to izmantošanu ģeometrijā. Trigonometrijas attīstība sākās senās Grieķijas dienās. Viduslaikos Tuvo Austrumu un Indijas zinātnieki sniedza nozīmīgu ieguldījumu šīs zinātnes attīstībā.

Šis raksts ir veltīts trigonometrijas pamatjēdzieniem un definīcijām. Tajā aplūkotas galveno trigonometrisko funkciju definīcijas: sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa. To nozīme ģeometrijas kontekstā ir izskaidrota un ilustrēta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sākotnēji trigonometrisko funkciju definīcijas, kuru arguments ir leņķis, tika izteiktas ar taisnleņķa trijstūra malu attiecību.

Trigonometrisko funkciju definīcijas

Leņķa sinuss (sin α) ir šim leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa kosinuss (cos α) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa tangenss (t g α) ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.

Leņķa kotangenss (c t g α) ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.

Šīs definīcijas ir dotas taisnleņķa trijstūra asam leņķim!

Sniegsim ilustrāciju.

Trijstūrī ABC ar taisnleņķi C leņķa A sinuss ir vienāds ar kājas BC attiecību pret hipotenūzu AB.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas ļauj aprēķināt šo funkciju vērtības no zināmajiem trijstūra malu garumiem.

Svarīgi atcerēties!

Sinusu un kosinusu vērtību diapazons: no -1 līdz 1. Citiem vārdiem sakot, sinusa un kosinusa vērtības ir no -1 līdz 1. Tangensu un kotangensu vērtību diapazons ir visa skaitļa līnija, tas ir, šīs funkcijām var būt jebkura vērtība.

Iepriekš sniegtās definīcijas attiecas uz asajiem leņķiem. Trigonometrijā tiek ieviests griešanās leņķa jēdziens, kura vērtību atšķirībā no akūtā leņķa neierobežo kadri no 0 līdz 90 grādiem Rotācijas leņķi grādos vai radiānos izsaka jebkurš reāls skaitlis no - ∞ līdz + ∞.

Šajā kontekstā var definēt patvaļīga lieluma leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Iedomājieties vienības apli, kura centrs ir Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunkts.

Sākumpunkts A ar koordinātām (1 , 0) griežas ap vienības apļa centru par kādu leņķi α un iet uz punktu A 1 . Definīcija tiek dota, izmantojot punkta A 1 (x, y) koordinātas.

Rotācijas leņķa sinuss (sin).

Rotācijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 (x, y) ordināta. sinα = y

Rotācijas leņķa kosinuss (cos).

Rotācijas leņķa α kosinuss ir punkta A 1 (x, y) abscisa. cos α = x

Rotācijas leņķa pieskare (tg).

Rotācijas leņķa pieskare α ir punkta A 1 (x, y) ordinātu attiecība pret tā abscisu. t g α = y x

Rotācijas leņķa kotangente (ctg).

Rotācijas leņķa α kotangenss ir punkta A 1 (x, y) abscisu attiecība pret tā ordinātām. c t g α = x y

Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram griešanās leņķim. Tas ir loģiski, jo punkta abscisu un ordinātu pēc rotācijas var noteikt jebkurā leņķī. Situācija ir atšķirīga ar tangensu un kotangensu. Pieskares nav definēta, ja punkts pēc rotācijas iet uz punktu ar nulles abscisu (0 , 1) un (0 , - 1). Šādos gadījumos pieskares izteiksmei t g α = y x vienkārši nav jēgas, jo tajā ir dalījums ar nulli. Līdzīga situācija ir ar kotangensu. Atšķirība ir tāda, ka kotangenss nav definēts gadījumos, kad punkta ordināta pazūd.

Svarīgi atcerēties!

Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram leņķim α.

Pieskares ir noteiktas visiem leņķiem, izņemot α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangente ir noteikta visiem leņķiem, izņemot α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Risinot praktiskus piemērus, nesakiet "griešanās leņķa α sinusu". Vārdi "rotācijas leņķis" ir vienkārši izlaisti, kas nozīmē, ka kontekstā jau ir skaidrs, kas ir uz spēles.

Skaitļi

Kā ir ar skaitļa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīciju, nevis griešanās leņķi?

Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss t tiek izsaukts skaitlis, kas ir attiecīgi vienāds ar sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu in t radiāns.

Piemēram, 10 π sinuss ir vienāds ar 10 π rad griešanās leņķa sinusu.

Ir vēl viena pieeja skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijai. Apsvērsim to sīkāk.

Jebkurš reāls skaitlis t punktu uz vienības apļa saliek saskaņā ar centru taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas sākumā. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss tiek definēti kā šī punkta koordinātas.

Apļa sākuma punkts ir punkts A ar koordinātām (1 , 0).

pozitīvs skaitlis t

Negatīvs skaitlis t atbilst punktam, uz kuru pārvietosies sākuma punkts, ja tas virzīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam ap apli un šķērsos ceļu t .

Tagad, kad ir izveidota saikne starp skaitli un apļa punktu, mēs pārejam pie sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas.

Skaitļa t sinuss (grēks).

Skaitļa sinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordināta t. sin t = y

Kosinuss (cos) no t

Skaitļa kosinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta abscisa t. cos t = x

Pieskares (tg) no t

Skaitļa tangenss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordinātu attiecību pret abscisu t. t g t = y x = sin t cos t

Pēdējās definīcijas atbilst šīs sadaļas sākumā sniegtajai definīcijai un nav ar to pretrunā. Punkts uz apļa, kas atbilst skaitlim t, sakrīt ar punktu, uz kuru iet sākuma punkts pēc pagrieziena cauri leņķim t radiāns.

Leņķiskā un skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas

Katra leņķa α vērtība atbilst noteiktai šī leņķa sinusa un kosinusa vērtībai. Tāpat kā visi leņķi α, izņemot α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atbilst noteiktai pieskares vērtībai. Kotangenss, kā minēts iepriekš, ir definēts visiem α, izņemot α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Var teikt, ka sin α , cos α , t g α , c t g α ir leņķa alfa funkcijas jeb leņķa argumenta funkcijas.

Līdzīgi var runāt par sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu kā skaitliskā argumenta funkcijām. Katrs reālais skaitlis t atbilst noteiktai skaitļa sinusa vai kosinusa vērtībai t. Visi skaitļi, izņemot π 2 + π · k , k ∈ Z, atbilst pieskares vērtībai. Kotangenss ir līdzīgi definēts visiem skaitļiem, izņemot π · k , k ∈ Z.

Trigonometrijas pamatfunkcijas

Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometriskās pamatfunkcijas.

No konteksta parasti ir skaidrs, ar kuru trigonometriskās funkcijas argumentu (leņķa argumentu vai skaitlisko argumentu) mēs runājam.

Atgriezīsimies pie datiem definīciju pašā sākumā un leņķa alfa, kas atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem. Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa trigonometriskās definīcijas pilnībā saskan ar ģeometriskajām definīcijām, ko dod taisnleņķa trijstūra malu attiecības. Parādīsim to.

Paņemiet vienības apli, kura centrā ir taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēma. Pagriezīsim sākuma punktu A (1, 0) par leņķi līdz 90 grādiem un no iegūtā punkta A 1 (x, y) zīmēsim perpendikulāri x asij. Iegūtajā taisnleņķa trijstūrī leņķis A 1 O H ir vienāds ar griešanās leņķi α, kājas O H garums ir vienāds ar punkta A 1 abscisu (x, y) . Stūrim pretī esošās kājas garums ir vienāds ar punkta A 1 (x, y) ordinātu, un hipotenūzas garums ir vienāds ar vienu, jo tas ir vienības apļa rādiuss.

Saskaņā ar ģeometrijas definīciju leņķa α sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Tas nozīmē, ka akūtā leņķa sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī caur malu attiecību ir līdzvērtīga griešanās leņķa α sinusa definīcijai, un alfa atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem.

Līdzīgi definīciju atbilstību var parādīt kosinusam, tangensam un kotangensam.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums.

Jebkuras sarežģītības pakāpes trigonometrisko vienādojumu risinājums galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā gadījumā trigonometriskais aplis atkal izrādās labākais palīgs.

Atgādiniet kosinusa un sinusa definīcijas.

Leņķa kosinuss ir vienības apļa punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Par pozitīvo kustības virzienu pa trigonometrisko apli uzskata kustību pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)

Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

1. Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu apmierina visas tādas griešanās leņķa vērtības, kas atbilst apļa punktiem, kuru ordināta ir vienāda ar .

Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz y ass:

Novelciet horizontālu līniju paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:

Ja mēs, atstājuši punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas ir, šis griešanās leņķis apmierina arī mūsu vienādojumu. Mēs varam veikt tik daudz "dīkstāves" pagriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. "Tukšgaitas" apgriezienu skaits tiek apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai ) var iegūt jebkuras veselas vērtības.

Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, , - veselu skaitļu kopa (1)

Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, kur , . (2)

Kā jūs uzminējāt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir apļa punkts, kas atbilst griešanās leņķim par .

Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:

Ja mēs uzņemsim šo ierakstu (tas ir, pat), tad mēs iegūsim pirmo risinājumu sēriju.

Ja mēs ņemam vērā šo ierakstu (tas ir, nepāra), tad mēs iegūsim otro risinājumu sēriju.

2. Tagad atrisināsim vienādojumu

Tā kā vienības apļa punkta abscisa ir iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam uz ass punktu ar abscisu:

Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem. Atgādiniet, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:

Mēs pierakstām divas risinājumu sērijas:

,

,

(Mēs nokļūstam pareizajā punktā, izejot no galvenā pilnā apļa, tas ir.

Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:

3. Atrisiniet vienādojumu

Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības riņķī paralēli OY asij

Atzīmējiet uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas ir 1):

Savienojiet šo punktu ar izcelsmi ar taisnu līniju un atzīmējiet līnijas krustošanās punktus ar vienības apli. Taisnes un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un :

Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:

4. Atrisiniet vienādojumu

Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām, kas ir paralēlas asij.

Mēs atzīmējam punktu ar abscisu -1 uz kotangentu līnijas:

Savienojiet šo punktu ar taisnes sākuma punktu un turpiniet to, līdz tas krustojas ar apli. Šī līnija krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:

Tā kā šie punkti ir atdalīti viens no otra ar attālumu, kas vienāds ar , tad šī vienādojuma vispārējo risinājumu varam uzrakstīt šādi:

Dotajos piemēros, ilustrējot vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu, tika izmantotas trigonometrisko funkciju tabulas vērtības.

Tomēr, ja vienādojuma labajā pusē ir vērtība, kas nav tabula, tad mēs aizstājam vērtību vienādojuma vispārējā risinājumā:

ĪPAŠI RISINĀJUMI:

Atzīmējiet punktus uz apļa, kura ordināta ir 0:

Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar 1:

Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar -1:

Tā kā ir ierasts norādīt vērtības, kas ir vistuvākās nullei, mēs rakstām risinājumu šādi:

Atzīmējiet punktus uz apļa, kura abscisa ir 0:

5.
Atzīmēsim uz apļa vienu punktu, kura abscisa ir vienāda ar 1:

Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura abscisa ir vienāda ar -1:

Un daži sarežģītāki piemēri:

1.

Sinuss ir viens, ja arguments ir

Mūsu sinusa arguments ir , tāpēc mēs iegūstam:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar 3:

Atbilde:

2.

Kosinuss ir nulle, ja ir kosinuss

Mūsu kosinusa arguments ir , tāpēc mēs iegūstam:

Mēs izsakām , šim nolūkam vispirms virzāmies pa labi ar pretējo zīmi:

Vienkāršojiet labo pusi:

Sadaliet abas daļas ar -2:

Ņemiet vērā, ka zīme pirms vārda nemainās, jo k var iegūt jebkuras veselas vērtības.

Atbilde:

Un noslēgumā noskatieties video pamācību "Sakņu izvēle trigonometriskā vienādojumā, izmantojot trigonometrisko apli"

Ar to noslēdzas saruna par vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanu. Nākamreiz runāsim par to, kā atrisināt.

Sākotnēji sinusus un kosinuss radās tāpēc, ka vajadzēja aprēķināt daudzumus taisnleņķa trīsstūros. Tika ievērots, ka, ja taisnleņķa trijstūrī leņķu pakāpes mēra vērtība netiek mainīta, tad malu attiecība, lai cik šīs malas mainītos garumā, vienmēr paliek nemainīga.

Tādā veidā tika ieviesti sinusa un kosinusa jēdzieni. Akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu, bet kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Kosinusu un sinusu teorēmas

Bet kosinusus un sinusus var izmantot ne tikai taisnleņķa trīsstūros. Lai atrastu jebkura trijstūra malas neasā vai asā leņķa vērtību, pietiek ar kosinusa un sinusa teorēmu.

Kosinusa teorēma ir pavisam vienkārša: "Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršais reizinājums ar leņķa kosinusu starp tām."

Ir divas sinusa teorēmas interpretācijas: mazā un paplašinātā. Saskaņā ar mazo: "Trīsstūrī leņķi ir proporcionāli pretējām malām." Šī teorēma bieži tiek paplašināta ap trijstūri norobežota apļa īpašību dēļ: "Trijstūrī leņķi ir proporcionāli pretējām malām, un to attiecība ir vienāda ar ierobežotā apļa diametru."

Atvasinājumi

Atvasinājums ir matemātisks rīks, kas parāda, cik ātri funkcija mainās attiecībā uz izmaiņām tās argumentā. Atvasinājumi tiek izmantoti ģeometrijā un vairākās tehniskajās disciplīnās.

Risinot problēmas, jums jāzina trigonometrisko funkciju atvasinājumu tabulas vērtības: sinuss un kosinuss. Sinusa atvasinājums ir kosinuss, un kosinusa atvasinājums ir sinuss, bet ar mīnusa zīmi.

Pielietojums matemātikā

Īpaši bieži sinusus un kosinusus izmanto taisnleņķa trīsstūru un ar tiem saistīto problēmu risināšanā.

Sinusu un kosinusu ērtības atspoguļojas arī tehnoloģijās. Leņķus un malas bija viegli novērtēt, izmantojot kosinusa un sinusa teorēmas, sadalot sarežģītas formas un objektus "vienkāršos" trīsstūros. Inženieri un, bieži vien nodarbojas ar malu attiecību un grādu mēru aprēķiniem, pavadīja daudz laika un pūļu, lai aprēķinātu kosinusus un sinusus no leņķiem, kas nav tabulas.

Tad palīgā nāca Bradis tabulas, kurās bija tūkstošiem dažādu leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu vērtību. Padomju laikos daži skolotāji piespieda savas palātas iegaumēt Bradisa tabulu lapas.

Radiāns - loka leņķiskā vērtība garumā, kas vienāds ar rādiusu vai 57,295779513 ° grādiem.

Grāds (ģeometrijā) - 1/360 daļa no apļa vai 1/90 daļa no taisnā leņķa.

π = 3,141592653589793238462… (pi aptuvenā vērtība).

Kosinusa tabula leņķiem: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Leņķis x (grādos)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Leņķis x (radiānos)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūtā leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.

Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.

Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.

Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.

Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.

Hipotenūza Taisns trīsstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

Kājas- malas pretī asiem stūriem.

Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.

Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: asā leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trīsstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):

Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.

Pierādīsim dažus no tiem.

Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.

Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .

Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?

Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.

Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm Un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, visas tā trigonometriskās funkcijas var atrast, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.

Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.

Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenses un kotangences nav.

Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.

1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.

Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.

Ciktāl , .

2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.

Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.

Problēma atrisināta.

Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!

Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.

Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.

Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! Eksāmena variantos matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.

Vienkāršu jēdzienu izpratne: sinuss un kosinuss un aprēķins kosinuss kvadrātā un sinusa kvadrātā.

Sinusu un kosinusu pēta trigonometrijā (zinātne par trijstūriem ar taisnu leņķi).

Tāpēc, lai sāktu, atcerēsimies taisnleņķa trīsstūra pamatjēdzienus:

Hipotenūza- mala, kas vienmēr atrodas pretī taisnajam leņķim (90 grādu leņķis). Hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra garākā mala.

Tiek sauktas atlikušās divas taisnleņķa trijstūra malas kājas.

Atcerieties arī, ka trīs trijstūra leņķi vienmēr kopā ir 180°.

Tagad pāriesim pie leņķa alfa kosinuss un sinuss (∠α)(lai jūs varētu izsaukt jebkuru leņķi, kas nav taisnstūris, trijstūrī vai izmantot kā simbolu x - "x", kas nemaina būtību).

Leņķa alfa sinuss (sin ∠α)- tā ir attieksme pretī kāju (puse, kas ir pretēja attiecīgajam leņķim) pret hipotenūzu. Ja paskatās uz attēlu, tad sin ∠ABC = AC / BC

Leņķa alfa kosinuss (cos ∠α)- attieksme blakus līdz kājas leņķim pret hipotenūzu. Atkal aplūkojot iepriekš redzamo attēlu, tad cos ∠ABC = AB / BC

Un tikai atgādinājumam: kosinuss un sinuss nekad nebūs lielāki par vienu, jo katrs no rullīšiem ir īsāks par hipotenūzu (un hipotenūza ir jebkura trijstūra garākā mala, jo garākā mala atrodas pretī lielākajam trijstūra leņķim) .

Kosinuss kvadrātā, sinusa kvadrātā

Tagad pāriesim pie pamata trigonometriskajām formulām: kosinusa kvadrāta un sinusa kvadrāta aprēķināšana.

Lai tos aprēķinātu, jums vajadzētu atcerēties pamata trigonometrisko identitāti:

sin 2 α + cos 2 α = 1(viena leņķa sinusa kvadrāts plus kosinusa kvadrāts vienmēr ir vienāds ar vienu).

No trigonometriskās identitātes mēs izdarām secinājumus par sinusu:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sinusa kvadrāta alfa ir vienāds ar vienu mīnus dubultleņķa alfa kosinuss, un tas viss tiek dalīts ar divi.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​No trigonometriskās identitātes mēs izdarām secinājumus par kosinusu:

cos 2 α \u003d 1 - sin 2 α

vai sarežģītāka formulas versija: kosinuss kvadrātveida alfa ir vienāds ar vienu plus dubultleņķa alfa kosinusu un arī visu dala ar divi.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Šīs divas sarežģītākas sinusa kvadrāta un kosinusa kvadrāta formulas sauc arī par "jaudas samazināšanu trigonometrisko funkciju kvadrātiem". Tie. bija otrā pakāpe, pazemināja uz pirmo un aprēķini kļuva ērtāki.