Sakņu īpašības: formulējumi, pierādījumi, piemēri. Kvadrātsakne

1. fakts.
$\bullet$ Paņemiet kādu nenegatīvu skaitli $a$ (ti, $a\geqslant 0$ ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa $a$ tiek izsaukts šāds nenegatīvs skaitlis $b$, kuru kvadrātā iegūstam skaitli $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Šie ierobežojumi ir svarīgs nosacījums esamību kvadrātsakne Un tie ir jāatceras!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, $100^2=10000\geqslant 0$ un $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Kas ir $\sqrt(25)$? Mēs zinām, ka $5^2=25$ un $(-5)^2=25$ . Tā kā pēc definīcijas mums ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, $-5$ nav piemērots, tāpēc $\sqrt(25)=5$ (jo $25=5^2$ ).
Vērtības $\sqrt a$ atrašanu sauc par skaitļa $a$ kvadrātsakni, bet skaitli $a$ sauc par saknes izteiksmi.
$\bullet$ Pamatojoties uz definīciju, izteicieni $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ u.c. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt naturālo skaitļu kvadrātu tabulu no $1$ līdz $20$ : \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Ko var izdarīt ar kvadrātsaknēm?
$\lode$ Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA ar summas vai starpības kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tātad, ja jāaprēķina, piemēram, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , tad sākotnēji jāatrod vērtības $\sqrt(25)$ un $\sqrt (49)\ ) un pēc tam saskaitiet tos. Tāpēc \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības \(\sqrt a$ vai $\sqrt b$ nevar atrast, pievienojot $\sqrt a+\sqrt b$, tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ mēs varam atrast $\sqrt(49)$ - tas ir $7$ , bet $\sqrt 2$ nevar būt jebkādā veidā pārveidots, tāpēc $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Turklāt šo izteicienu diemžēl nekādā veidā nevar vienkāršot.$\bullet$ Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, t.i. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienādības daļām ir jēga)
Piemērs: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Izmantojot šos rekvizītus, ir ērti atrast kvadrātsaknes no lieli cipari ieskaitot tos.
Apsveriet piemēru. Atrodiet $\sqrt(44100)$ . Kopš $44100:100=441$ , tad $44100=100\cdot 441$ . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis $441$ dalās ar $9$ (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc $441:9=49$ , tas ir, $441=9\ cdot 49$ .
Tādējādi mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes $5\sqrt2$ piemēru (saīsinājums no izteiksmes $5\cdot \sqrt2$ ). Kopš $5=\sqrt(25)$ , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim ar 1. piemēru). Kā jūs jau sapratāt, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli $\sqrt2$ . Iedomājieties, ka $\sqrt2$ ir kāds skaitlis $a$ . Attiecīgi izteiksme $\sqrt2+3\sqrt2$ nav nekas cits kā $a+3a$ (viens cipars $a$ plus vēl trīs tādi paši skaitļi $a$ ). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem $a$ , tas ir, $4\sqrt2$ .

4. fakts.
$\bullet$ Bieži tiek teikts "nevar izvilkt sakni", ja, atrodot kāda skaitļa vērtību, nav iespējams atbrīvoties no saknes (radikāla) zīmes $\sqrt () \ $. Piemēram, varat izvilkt skaitļa $16$ sakni, jo $16=4^2$ , tātad $\sqrt(16)=4$ . Bet izvilkt sakni no skaitļa $3$ , tas ir, atrast $\sqrt3$ , nav iespējams, jo nav tāda skaitļa, kas kvadrātā dotu $3$ .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ utt. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi $\pi$ (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar $3,14$ ), $e$ (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, aptuveni vienāds ar $2) ,7$ ) utt.
$\bullet$ Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionāli un viss iracionāli skaitļi veido kopu ar nosaukumu reālo (reālo) skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu $\mathbb(R)$ .
Tas nozīmē, ka visi skaitļi, kas ir Šis brīdis mēs zinām, ka tos sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
$\bullet$ Reālā skaitļa modulis $a$ ir nenegatīvs skaitlis $|a|$, kas vienāds ar attālumu no punkta $a$ līdz $0$ reālajā skaitļā. līnija. Piemēram, $|3|$ un $|-3|$ ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem $3$ un $-3$ līdz $0$ ir vienāds un vienāds ar $3 $ .
$\bullet$ Ja $a$ ir nenegatīvs skaitlis, tad $|a|=a$ .
Piemērs: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Ja $a$ ir negatīvs skaitlis, tad $|a|=-a$ .
Piemērs: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, un pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli $0$ modulis atstāj nemainīgu.
BETšis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja zem moduļa zīmes ir nezināms $x$ (vai kāds cits nezināms), piemēram, $|x|$ , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, vienāds ar nulli vai negatīvs, tad atbrīvoties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek šāda: $|x|$ . $\bullet$ Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\] Bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka $\sqrt(a^2)$ un $(\sqrt a)^2$ ir viena un tā pati lieta. Tas ir spēkā tikai tad, ja $a$ ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja $a$ ir negatīvs skaitlis, tad tā nav taisnība. Pietiek apsvērt šādu piemēru. Ņemsim skaitli $-1$, nevis $a$. Tad $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , bet izteiksme $(\sqrt (-1))^2$ vispār nepastāv (jo tā ir neiespējami zem saknes zīmes ielieciet negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka $\sqrt(a^2)$ nav vienāds ar $(\sqrt a)^2$ ! Piemērs: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, jo $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Kopš $\sqrt(a^2)=|a|$ , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izteiksme $2n$ apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, iegūstot sakni no skaitļa, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (ņemiet vērā, ja modulis nav iestatīts, tad izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar $-25) $ ; bet mēs atceramies , kas pēc saknes definīcijas tas nevar būt: izvelkot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)

6. fakts.
Kā salīdzināt divas kvadrātsaknes?
$\bullet$ Patiess kvadrātsaknēm: ja $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aPiemērs:
1) salīdziniet \(\sqrt(50)$ un $6\sqrt2$ . Pirmkārt, mēs pārveidojam otro izteiksmi par $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Tādējādi kopš $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Starp kuriem veseliem skaitļiem ir $\sqrt(50)$?
Kopš $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ un $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Salīdziniet $\sqrt 2-1$ un $0,5$ . Pieņemsim, ka $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abas daļas kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un $\sqrt 2-1<0,5$ .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Reizinot/dalot abas nevienādības puses ar pozitīvu skaitli, arī tās zīme nemainās, bet reizinot/dalot ar negatīvu skaitli, nevienādības zīme tiek apgriezta!
Abas vienādojuma/nevienādības puses var būt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra abas puses var kvadrātā, nevienādībā $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Ņemiet vērā, ka \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā! $\bullet$ Lai izvilktu sakni (ja tā ir izvilkta) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas ir, tad starp kuriem “desmitiem”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Paņemiet $\sqrt(28224)$ . Mēs zinām, ka $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ un tā tālāk. Ņemiet vērā, ka $28224$ ir starp $10\,000$ un $40\,000$ . Tāpēc $\sqrt(28224)$ ir starp $100$ un $200$ .
Tagad noteiksim, starp kuriem “desmitiem” ir mūsu skaitlis (tas ir, piemēram, starp $120$ un $130$ ). No kvadrātu tabulas mēs arī zinām, ka $11^2=121$ , $12^2=144$ utt., tad $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 $ ). Tātad mēs redzam, ka $28224$ ir starp $160^2$ un $170^2$ . Tāpēc skaitlis $\sqrt(28224)$ ir starp $160$ un $170$ .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādus viencipara skaitļus kvadrātā dod beigās \ (4 \) ? Tie ir $2^2$ un $8^2$ . Tāpēc $\sqrt(28224)$ beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atrodiet $162^2$ un $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Tādējādi $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu eksāmenu matemātikā, pirmkārt, ir nepieciešams apgūt teorētisko materiālu, kas ievada daudzas teorēmas, formulas, algoritmus utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir diezgan vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami skolēniem ar jebkāda līmeņa sagatavotību, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi apgūt teoriju matemātikā, ne tikai tiem, kas kārto eksāmenu?

Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apguve matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas iegūt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar pasaules zināšanām. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
Jo tas attīsta intelektu. Apgūstot izziņas materiālus eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādus uzdevumus, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, pareizi un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja izglītības materiālu sistematizēšanai un prezentēšanai.

Nodarbība un prezentācija par tēmu:
"Kvadrātsaknes īpašības. Formulas. Risinājumu piemēri, uzdevumi ar atbildēm"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 8. klasei
Interaktīvs mācību ceļvedis "Ģeometrija 10 minūtēs" 8. klasei
Izglītības komplekss "1C: skola. Ģeometrija, 8. klase"

Kvadrātsaknes īpašības

Mēs turpinām pētīt kvadrātsaknes. Šodien mēs apsvērsim galvenās sakņu īpašības. Visas galvenās īpašības ir intuitīvas un atbilst visām iepriekš veiktajām darbībām.

Rekvizīts 1. Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar šo skaitļu kvadrātsakņu reizinājumu: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Ir pieņemts pierādīt jebkuras īpašības, darīsim tā.
Lai $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Tad mums jāpierāda, ka $x=y*z$.
Aprēķināsim katru izteiksmi kvadrātā.
Ja $\sqrt(a*b)=x$, tad $a*b=x^2$.
Ja $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, tad abas izteiksmes kvadrātā iegūstam: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, t.i., $x^2=(y*z)^2$. Ja divu nenegatīvu skaitļu kvadrāti ir vienādi, tad paši skaitļi ir vienādi, kas bija jāpierāda.

No mūsu īpašuma izriet, ka, piemēram, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

1. piezīme. Īpašums derīgs arī gadījumam, ja zem saknes ir vairāk nekā divi nenegatīvi faktori.
2. īpašums. Ja $a≥0$ un $b>0$, tad spēkā ir šāda vienādība: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Tas ir, koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.
Pierādījums.
Izmantosim tabulu un īsi pierādīsim savu īpašumu.

Kvadrātsakņu rekvizītu izmantošanas piemēri

1. piemērs
Aprēķināt: $\sqrt(81*25*121)$.

Lēmums.
Protams, varam paņemt kalkulatoru, reizināt visus skaitļus zem saknes un veikt kvadrātsaknes izvilkšanas darbību. Un ja nav pie rokas kalkulatora, ko tad?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Atbilde: 495.

Piemērs 2. Aprēķināt: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Lēmums.
Radikālo skaitli attēlojam kā nepareizu daļskaitli: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Izmantosim rekvizītu 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Atbilde: 3.4.

3. piemērs
Aprēķināt: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Lēmums.
Mēs varam tieši novērtēt savu izteiksmi, bet gandrīz vienmēr to var vienkāršot. Mēģināsim to izdarīt.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Tātad $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Atbilde: 32.

Puiši, lūdzu, ņemiet vērā, ka nav formulu radikālu izteiksmju saskaitīšanas un atņemšanas operācijām, un tālāk norādītās izteiksmes nav pareizas.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

4. piemērs
Aprēķināt: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Lēmums.
Iepriekš norādītās īpašības darbojas gan no kreisās puses uz labo, gan apgrieztā secībā, tas ir:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Izmantosim to, lai atrisinātu mūsu piemēru.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Atbilde: a) 16; b) 2.

3. īpašums. Ja $а≥0$ un n – dabiskais skaitlis, tad spēkā ir šāda vienādība: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Piemēram. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ un tā tālāk.

5. piemērs
Aprēķināt: $\sqrt(129600)$.

Lēmums.
Mums uzrādītais skaitlis ir diezgan liels, sadalīsim to pirmfaktoros.
Mēs saņēmām: $129600=5^2*2^6*3^4$ vai $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Atbilde: 360.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. Aprēķiniet: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Aprēķināt: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Aprēķiniet: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Aprēķiniet:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Kvadrātsakņu īpašības

Līdz šim esam veikuši piecas aritmētiskās darbības ar skaitļiem: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšana, dalīšana un eksponēšana, un aprēķinos aktīvi tika izmantotas dažādas šo darbību īpašības, piemēram, a + b = b + a, an-bn = (ab) n utt.

Šajā nodaļā ir ieviesta jauna darbība - kvadrātsaknes ņemšana no nenegatīva skaitļa. Lai to veiksmīgi izmantotu, jums jāiepazīstas ar šīs darbības īpašībām, ko mēs darīsim šajā sadaļā.

Pierādījums. Ieviesīsim šādu apzīmējumu: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Tādā veidā mēs formulējam šādu teorēmu.

(Īss formulējums, kas ir ērtāk lietojams praksē: daļas sakne ir vienāda ar sakņu daļu vai koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu daļu.)

Šoreiz mēs sniegsim tikai īsu pierādījumu pierakstu, un jūs varat mēģināt izteikt atbilstošus komentārus, kas līdzīgi tiem, kas veidoja 1. teorēmas pierādījuma būtību.

3. piezīme. Protams, šo piemēru var atrisināt arī citādi, it īpaši, ja pie rokas ir kalkulators: reiziniet skaitļus 36, 64, 9 un pēc tam ņemiet iegūtā reizinājuma kvadrātsakni. Tomēr jūs piekrītat, ka iepriekš piedāvātais risinājums izskatās kulturālāks.

4. piezīme. Pirmajā metodē mēs veicām tūlītējus aprēķinus. Otrais veids ir elegantāks:
mēs pieteicāmies formula a2 - b2 = (a - b) (a + b) un izmantoja kvadrātsakņu īpašību.

5. piezīme. Daži "karstgalvji" dažreiz piedāvā šādu "risinājumu" 3. piemēram:

Tas, protams, nav taisnība: redziet, rezultāts nav tāds pats kā mūsu 3. piemērā. Fakts ir tāds, ka nav īpašuma https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Uzdevums" width="148" height="26 id=">!} Ir tikai īpašības, kas attiecas uz kvadrātsakņu reizināšanu un dalīšanu. Esiet piesardzīgs un uzmanīgs, nedomājiet par vēlmēm.

Noslēdzot sadaļu, mēs atzīmējam vēl vienu diezgan vienkāršu un tajā pašā laikā svarīgs īpašums:
ja a > 0 un n - dabiskais skaitlis, tad

Izteiksmju konvertēšana, kas satur kvadrātsaknes operāciju

Līdz šim esam veikuši tikai pārvērtības racionālas izpausmes, šim nolūkam izmantojot polinomu darbību noteikumus un algebriskās daļas, saīsinātās reizināšanas formulas utt. Šajā nodaļā mēs ieviesām jaunu darbību - kvadrātsaknes izvilkšanas operāciju; mēs to esam konstatējuši

kur, atcerieties, a, b ir nenegatīvi skaitļi.

Izmantojot šos formulas, varat veikt dažādas izteiksmju transformācijas, kas satur kvadrātsaknes darbību. Apskatīsim vairākus piemērus, un visos piemēros pieņemsim, ka mainīgie ņem tikai nenegatīvas vērtības.

3. piemērs Ievadiet koeficientu zem kvadrātsaknes zīmes:

6. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu Risinājums. Veiksim secīgas transformācijas:

Kvadrātveida zemes gabala platība ir 81 dm². Atrodi viņa pusi. Pieņemsim, ka kvadrāta malas garums ir X decimetri. Tad zemes gabala platība ir X² kvadrātdecimetri. Tā kā pēc stāvokļa šī platība ir 81 dm², tad X² = 81. Kvadrāta malas garums ir pozitīvs skaitlis. Pozitīvs skaitlis, kura kvadrāts ir 81, ir skaitlis 9. Atrisinot uzdevumu, bija jāatrod skaitlis x, kura kvadrāts ir 81, t.i., jāatrisina vienādojums X² = 81. Šim vienādojumam ir divas saknes: x 1 = 9 un x 2 \u003d - 9, jo 9² \u003d 81 un (- 9)² \u003d 81. Gan skaitļus 9, gan - 9 sauc par skaitļa 81 kvadrātsaknēm.

Ņemiet vērā, ka viena no kvadrātsaknēm X= 9 ir pozitīvs skaitlis. To sauc par 81 aritmētisko kvadrātsakni un apzīmē ar √81, tātad √81 = 9.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a.

Piemēram, skaitļi 6 un -6 ir kvadrātsaknes no 36. Skaitlis 6 ir aritmētiskā kvadrātsakne no 36, jo 6 ir nenegatīvs skaitlis un 6² = 36. Skaitlis -6 nav aritmētiskā sakne.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a apzīmē šādi: √ a.

Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi; a sauc par saknes izteiksmi. Izteiksme √ a lasīt kā šis: skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a. Piemēram, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Gadījumos, kad ir skaidrs, ka mēs runājam par aritmētisko sakni viņi īsi saka: "kvadrātsakne no a«.

Skaitļa kvadrātsaknes atrašanu sauc par kvadrātsaknes ņemšanu. Šī darbība ir apgriezta kvadrātā.

Jebkurš skaitlis var būt kvadrātā, bet ne katrs skaitlis var būt kvadrātsaknes. Piemēram, nav iespējams izvilkt kvadrātsakni no skaitļa - 4. Ja tāda pastāvēja, tad, apzīmējot to ar burtu X, mēs iegūtu nepareizu vienādību x² \u003d - 4, jo kreisajā pusē ir nenegatīvs skaitlis, bet labajā pusē ir negatīvs skaitlis.

Izteiksme √ a jēga ir tikai tad, kad a ≥ 0. Kvadrātsaknes definīciju var īsi uzrakstīt šādi: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Vienlīdzība (√ a)² = a derīgs a ≥ 0. Tādējādi, lai pārliecinātos, ka kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa a vienāds b, t.i., ka √ a =b, jums jāpārbauda, vai ir izpildīti šādi divi nosacījumi: b ≥ 0, b² = a.

Daļas kvadrātsakne

Aprēķināsim. Ņemiet vērā, ka √25 = 5, √36 = 6, un pārbaudiet, vai vienādība ir spēkā.

Kā un , tad vienlīdzība ir patiesa. Tātad, .

Teorēma: Ja a≥ 0 un b> 0, tas ir, daļskaitļa sakne ir vienāda ar skaitītāja sakni, kas dalīta ar saucēja sakni. Ir jāpierāda, ka: un .

Kopš √ a≥0 un √ b> 0, tad .

Ar īpašību palielināt daļu līdz pakāpei un noteikt kvadrātsakni teorēma ir pierādīta. Apskatīsim dažus piemērus.

Aprēķiniet , saskaņā ar pārbaudīto teorēmu .

Otrais piemērs: pierādiet to , ja a ≤ 0, b < 0. .

Vēl viens piemērs: Aprēķināt .

Kvadrātsaknes transformācija

Izņemot reizinātāju no zem saknes zīmes. Lai tiek dota izteiksme. Ja a≥ 0 un b≥ 0, tad, izmantojot teorēmu par produkta sakni, mēs varam rakstīt:

Šāda transformācija tiek saukta par saknes zīmes faktorēšanu. Apsveriet piemēru;

Aprēķināt plkst X= 2. Tiešā aizstāšana X= 2 radikālajā izteiksmē noved pie sarežģītiem aprēķiniem. Šos aprēķinus var vienkāršot, ja vispirms noņemam faktorus zem saknes zīmes: . Tagad aizstājot x = 2, mēs iegūstam:.

Tātad, izņemot faktoru no saknes zīmes, radikāļu izteiksme tiek attēlota kā reizinājums, kurā viens vai vairāki faktori ir nenegatīvu skaitļu kvadrāti. Pēc tam tiek piemērota saknes produkta teorēma un tiek ņemta katra faktora sakne. Apsveriet piemēru: Vienkāršojiet izteiksmi A = √8 + √18 - 4√2, izņemot faktorus no zem saknes zīmes pirmajos divos terminos, mēs iegūstam:. Mēs uzsveram, ka vienlīdzība spēkā tikai tad, kad a≥ 0 un b≥ 0. ja a < 0, то .

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj, ir viena no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tie bija elementārās matemātikas gabali, kas ļāva saistīt skaitļus ar to fiziskajām izpausmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens "kvadrātsakne" parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas pašlaik tiek apzīmēta kā √, tika ierakstīta Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta objekts tika pētīts arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modeli - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Pierasts moderns izskats"ķeksītis" √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētiskā sakne, jo tas nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, pieķeršanās tai izpausmes ir dažādas, kas nav izteiktas sausos aprēķinos. Piemēram, līdzās tādiem interesantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Jā, iekšā nākamreizŠie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izvades atlikums ir mazāks par atņemto vai pāra nulle. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakni no 25:

Sekojošs nepāra skaitlis ir 11, mums ir šāds atlikums: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (atkal ir iekļauta nulle).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažkārt tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas jaudas forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.