mājas > mehāniskā inženierija

Funkcijas y x n īpašības. Eksponenciālā funkcija - īpašības, grafiki, formulas

Funkcija kur X – mainīgs, A – dotais numurs, tiek saukts jaudas funkcija .

Ja then ir lineāra funkcija, tās grafiks ir taisna līnija (sk. 4.3. sadaļa 4.7. attēlu).

Ja tad- kvadrātiskā funkcija, tā grafiks ir parabola (sk. 4.3. punktu, 4.8. att.).

Ja tad tā grafiks ir kubiskā parabola (sk. 4.3. sadaļas 4.9. attēlu).

Jaudas funkcija

Šis apgrieztā funkcija priekš

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: nepāra funkcija.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas nulles: X= 0 ir vienīgā nulle.

6. Funkcijai nav maksimālās vai minimālās vērtības.

7.

8. Funkciju grafiks Simetrisks kubiskās parabolas grafikam attiecībā pret taisni Y=X un parādīts attēlā. 5.1.

Jaudas funkcija

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: funkcija ir vienmērīga.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas nulles: viena nulle X = 0.

6. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības:ņem mazāko vērtību X= 0, tas ir vienāds ar 0.

7. Augošā un dilstošā intervāli: funkcija intervālā samazinās un intervālā palielinās

8. Funkciju grafiks(katram N Î N) "izskatās" kā grafiks kvadrātiskā parabola(funkciju grafiki parādīti 5.2. att.).

Jaudas funkcija

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: nepāra funkcija.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas nulles: X= 0 ir vienīgā nulle.

6. Maksimālās un minimālās vērtības:

7. Augošā un dilstošā intervāli: funkcija palielinās visā definīcijas jomā.

8. Funkciju grafiks(katram ) "izskatās" kā kubiskās parabolas grafiks (funkciju grafiki parādīti 5.3. attēlā).

Jaudas funkcija

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: nepāra funkcija.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas nulles: nav nulles.

6. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības: funkcijai nav lielākās un mazākās vērtības nevienai

7. Augošā un dilstošā intervāli: funkcija samazinās definīcijas jomā.

8. Asimptotes:(ass OU) ir vertikālā asimptote;

(ass Ak) ir horizontālā asimptote.

9. Funkciju grafiks(jebkuram N) "izskatās" kā hiperbolas grafiks (funkciju grafiki parādīti 5.4. att.).

Jaudas funkcija

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: funkcija ir vienmērīga.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības: funkcijai nav lielākās un mazākās vērtības nevienai

6. Augošā un dilstošā intervāli: funkcija palielinās un samazinās

7. Asimptotes: X= 0 (ass OU) ir vertikālā asimptote;

Y= 0 (ass Ak) ir horizontālā asimptote.

8. Funkciju grafiki Ir kvadrātveida hiperbolas (5.5. att.).

Jaudas funkcija

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: funkcijai nav pāra un nepāra īpašības.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas nulles: X= 0 ir vienīgā nulle.

6. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības: mazākā vērtība, kas vienāda ar 0, funkcija ņem punktā X= 0; vislielākā vērtība nav.

7. Augošā un dilstošā intervāli: funkcija palielinās visā definīcijas jomā.

8. Katra šāda funkcija ar noteiktu indikatoru ir apgriezta funkcijai, nodrošināta

9. Funkciju grafiks"izskatās" kā jebkuras funkcijas grafiks N un parādīts attēlā. 5.6.

Jaudas funkcija

1. Domēns:

2. Vairākas vērtības:

3. Pāra un nepāra: nepāra funkcija.

4. Funkcijas periodiskums: neperiodisks.

5. Funkcijas nulles: X= 0 ir vienīgā nulle.

6. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības: funkcijai nav lielākās un mazākās vērtības nevienai

7. Augošā un dilstošā intervāli: funkcija palielinās visā definīcijas jomā.

8. Funkciju grafiks Attēlā parādīts. 5.7.

Atsaukt pakāpju funkciju īpašības un grafikus ar negatīvu veselu eksponentu.

Pat n, :

Funkcijas piemērs:

Visi šādu funkciju grafiki iet caur diviem fiksētiem punktiem: (1;1), (-1;1). Šāda veida funkciju iezīme ir to paritāte, grafiki ir simetriski attiecībā pret op-y asi.

Rīsi. 1. Funkcijas grafiks

Nepāra n, :

Funkcijas piemērs:

Visi šādu funkciju grafiki iet caur diviem fiksētiem punktiem: (1;1), (-1;-1). Šāda veida funkciju iezīme ir to dīvainība, grafiki ir simetriski attiecībā pret izcelsmi.

Rīsi. 2. Funkciju grafiks

Atcerēsimies galveno definīciju.

Nenegatīva skaitļa a pakāpi ar racionālu pozitīvu eksponentu sauc par skaitli.

Pozitīva skaitļa a pakāpi ar racionālu negatīvu eksponentu sauc par skaitli.

Attiecībā uz šādām vienlīdzībām:

Piemēram: ; - izteiksme neeksistē pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu racionālo eksponentu; pastāv, jo eksponents ir vesels skaitlis,

Pievērsīsimies jaudas funkciju izskatīšanai ar racionālu negatīvu eksponentu.

Piemēram:

Lai attēlotu šo funkciju, varat izveidot tabulu. Mēs darīsim citādi: vispirms mēs izveidosim un pētīsim saucēja grafiku - mēs to zinām (3. attēls).

Rīsi. 3. Funkcijas grafiks

Saucēja funkcijas grafiks iet caur fiksētu punktu (1;1). Konstruējot sākotnējās funkcijas grafiku, šis punkts paliek, kad arī sakne tiecas uz nulli, funkcija tiecas uz bezgalību. Un otrādi, tā kā x tiecas uz bezgalību, funkcijai ir tendence uz nulli (4. attēls).

Rīsi. 4. Funkciju grafiks

Apsveriet vēl vienu funkciju no pētāmo funkciju saimes.

Ir svarīgi, ka pēc definīcijas

Aplūkosim funkcijas grafiku saucējā: , mēs zinām šīs funkcijas grafiku, tas palielinās savā definīcijas apgabalā un iet caur punktu (1; 1) (5. attēls).

Rīsi. 5. Funkciju grafiks

Konstruējot sākotnējās funkcijas grafiku, paliek punkts (1; 1), kad arī sakne tiecas uz nulli, funkcija tiecas uz bezgalību. Un otrādi, tā kā x tiecas uz bezgalību, funkcijai ir tendence uz nulli (6. attēls).

Rīsi. 6. Funkciju grafiks

Aplūkotie piemēri palīdz saprast, kā iet grafikā un kādas ir pētāmās funkcijas - funkcijas ar negatīvu racionālo eksponentu - īpašības.

Šīs saimes funkciju grafiki iet caur punktu (1;1), funkcija samazinās visā definīcijas jomā.

Funkciju darbības joma:

Funkcija nav ierobežota no augšas, bet gan no apakšas. Funkcijai nav ne maksimālā, ne mazākā vērtība.

Funkcija ir nepārtraukta, tā ņem visas pozitīvās vērtības no nulles līdz plus bezgalībai.

Izliekta uz leju funkcija (15.7. attēls)

Punkti A un B tiek ņemti uz līknes, caur tiem tiek novilkts segments, visa līkne atrodas zem segmenta, šis nosacījums ir izpildīts patvaļīgiem diviem līknes punktiem, tāpēc funkcija ir izliekta uz leju. Rīsi. 7.

Rīsi. 7. Funkcijas izliekums

Ir svarīgi saprast, ka šīs ģimenes funkcijas no apakšas ierobežo nulle, taču tām nav mazākās vērtības.

1. piemērs — atrodiet funkcijas maksimumu un minimumu intervālā \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafiks (2. att.).

2. attēls. Funkcijas $f\left(x\right)=x^(2n)$ grafiks

Jaudas funkcijas ar naturālo nepāra eksponentu īpašības

    Definīcijas domēns ir visi reālie skaitļi.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ ir nepāra funkcija.

    $f(x)$ ir nepārtraukts visā definīcijas domēnā.

    Visi diapazoni ir reāli skaitļi.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Funkcija palielinās visā definīcijas jomā.

    $f\left(x\right)0$, par $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funkcija ir ieliekta $x\in (-\infty ,0)$ un izliekta $x\in (0,+\infty)$.

    Grafiks (3. att.).

3. attēls. Funkcijas $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ grafiks

Jaudas funkcija ar veselu eksponentu

Sākumā mēs ieviešam pakāpes jēdzienu ar veselu eksponentu.

3. definīcija

Reāla skaitļa $a$ pakāpi ar veselu eksponentu $n$ nosaka pēc formulas:

4. attēls

Tagad apsveriet jaudas funkciju ar veselu eksponentu, tās īpašībām un grafiku.

4. definīcija

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ sauc par jaudas funkciju ar veselu eksponentu.

Ja pakāpe ir lielāka par nulli, mēs nonākam pie pakāpes funkcijas gadījuma ar naturālo eksponentu. Mēs to jau apspriedām iepriekš. Ja $n=0$ iegūstam lineāru funkciju $y=1$. Mēs atstājam to lasītāja ziņā. Atliek apsvērt jaudas funkcijas īpašības ar negatīvu veselu eksponentu

Jaudas funkcijas ar negatīvu veselu eksponentu īpašības

    Tvērums ir $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Ja eksponents ir pāra, tad funkcija ir pāra, ja tā ir nepāra, tad funkcija ir nepāra.

    $f(x)$ ir nepārtraukts visā definīcijas domēnā.

    Vērtību diapazons:

    Ja eksponents ir pāra, tad $(0,+\infty)$, ja nepāra, tad $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Ja eksponents ir nepāra, funkcija samazinās kā $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Vienmērīgam eksponentam funkcija samazinās kā $x\in (0,+\infty)$. un palielinās kā $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ visā domēnā

Doti atsauces dati par eksponenciālo funkciju - pamatīpašības, grafiki un formulas. Tiek aplūkoti šādi jautājumi: definīcijas joma, vērtību kopa, monotonitāte, apgrieztā funkcija, atvasinājums, integrālis, pakāpju rindas paplašināšana un attēlošana ar komplekso skaitļu palīdzību.

Definīcija

Eksponenciālā funkcija ir n skaitļu reizinājuma vispārinājums, kas vienāds ar a:
y (n) = a n = a a a a,
uz reālo skaitļu kopu x :
y (x) = x.
Šeit a ir fiksēts reālais skaitlis, ko sauc eksponenciālās funkcijas bāze.
Tiek saukta arī eksponenciāla funkcija ar bāzi a eksponenciāls bāzei a.

Vispārināšana tiek veikta šādi.
Dabiskajam x = 1, 2, 3,... , eksponenciālā funkcija ir x faktoru reizinājums:
.
Turklāt tam ir īpašības (1,5-8) (), kas izriet no skaitļu reizināšanas noteikumiem. Pie nulles un negatīvas vērtības veseli skaitļi , eksponenciālo funkciju nosaka ar formulām (1.9-10). Daļējām vērtībām x = m/n racionālie skaitļi, , to nosaka pēc formulas (1.11). Faktiski eksponenciālā funkcija ir definēta kā secības ierobežojums:
,
kur ir patvaļīga racionālu skaitļu secība, kas konverģē uz x : .
Izmantojot šo definīciju, eksponenciālā funkcija ir definēta visiem , un tā atbilst īpašībām (1,5-8), kā arī dabiskajam x .

Stingrs eksponenciālās funkcijas definīcijas matemātiskais formulējums un tās īpašību pierādījums ir sniegts lapā "Eksponenciālās funkcijas īpašību definīcija un pierādījumi".

Eksponenciālās funkcijas īpašības

Eksponenciālajai funkcijai y = a x reālo skaitļu kopai () ir šādas īpašības:
(1.1) ir definēts un nepārtraukts , visiem ;
(1.2) kad a ≠ 1 ir daudz nozīmju;
(1.3) stingri palielinās pie , stingri samazinās pie ,
ir nemainīgs pie ;
(1.4) pie ;
pie ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Citas noderīgas formulas
.
Formula konvertēšanai uz eksponenciālu funkciju ar atšķirīgu jaudas bāzi:

Ja b = e , mēs iegūstam eksponenciālās funkcijas izteiksmi eksponenta izteiksmē:

Privātās vērtības

, , , , .

Attēlā parādīti eksponenciālās funkcijas grafiki
y (x) = x
četrām vērtībām grādu bāzes:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 un a = 1/8 . Var redzēt, ka par > 1 eksponenciālā funkcija monotoni pieaug. Jo lielāka ir pakāpes a bāze, jo spēcīgāka ir izaugsme. Plkst 0 < a < 1 eksponenciālā funkcija monotoni samazinās. Kā mazāks rādītājs grāds a , jo spēcīgāks samazinājums.

Augošā, dilstošā

Eksponenciālā funkcija pie ir stingri monotona, tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
Domēns - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Vērtību diapazons 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotons palielinās monotoni monotoni samazinās
Nulles, y= 0 Nē Nē
Krustošanās punkti ar y asi, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Apgrieztā funkcija

Eksponenciālas funkcijas apgrieztā vērtība ar a pakāpes bāzi ir logaritms pret bāzi a.

Ja tad
.
Ja tad
.

Eksponenciālās funkcijas diferenciācija

Lai diferencētu eksponenciālu funkciju, tās bāze jāsamazina līdz skaitlim e, jāpiemēro atvasinājumu tabula un kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikums.

Lai to izdarītu, jums ir jāizmanto logaritmu īpašība
un formula no atvasinājumu tabulas:
.

Dota eksponenciāla funkcija:
.
Mēs to nogādājam bāzē e:

Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu. Lai to izdarītu, mēs ieviešam mainīgo

Tad

No atvasinājumu tabulas mums ir (aizstāt mainīgo x ar z ):
.
Tā kā ir konstante, z atvasinājums attiecībā pret x ir
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
.

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Eksponenciālās funkcijas diferencēšanas piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu
y= 35 x

Risinājums

Mēs izsakām eksponenciālās funkcijas bāzi ar skaitli e.
3 = e log 3
Tad
.
Mēs ieviešam mainīgo
.
Tad

No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.
Ciktāl 5ln 3 ir konstante, tad z atvasinājums attiecībā pret x ir:
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu mums ir:
.

Atbilde

Integrāls

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Apsveriet kompleksā skaitļa funkciju z:
f (z) = az
kur z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Komplekso konstanti a izsakām ar moduli r un argumentu φ:
a = r e i φ
Tad


.
Arguments φ nav unikāli definēts. IN vispārējs skats
φ = φ 0 + 2 pn,
kur n ir vesels skaitlis. Tāpēc funkcija f (z) ir arī neskaidrs. Bieži tiek uzskatīts par tā galveno nozīmi
.

Sērijas paplašināšana


.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.

Mēs arī iesakām

Notiek ielāde...Notiek ielāde...