Leņķa bisektora īpašības. Uzdevumi

Šodien būs ļoti viegla nodarbība. Mēs apsvērsim tikai vienu objektu - leņķa bisektrisi - un pierādīsim tā vissvarīgāko īpašību, kas mums ļoti noderēs nākotnē.

Vienkārši neatslābiniet: dažreiz skolēni, kuri vēlas iegūt augstu punktu skaitu vienā un tajā pašā vienotajā valsts eksāmenā vai vienotajā valsts eksāmenā, pirmajā stundā pat nevar precīzi formulēt bisektora definīciju.

Un tā vietā, lai veiktu patiešām interesantus uzdevumus, mēs tērējam laiku tik vienkāršām lietām. Tāpēc lasi, skaties un pieņem :)

Sākumā nedaudz dīvains jautājums: kas ir leņķis? Tieši tā: leņķis ir vienkārši divi stari, kas izplūst no viena un tā paša punkta. Piemēram:

Leņķu piemēri: akūts, strups un taisns

Kā redzat attēlā, leņķi var būt asi, strupi, taisni - tagad tam nav nozīmes. Bieži vien ērtības labad uz katra stara tiek atzīmēts papildu punkts un saka, ka mums priekšā ir leņķis $AOB$ (rakstīts kā $\angle AOB$).

Šķiet, ka Captain Obviousness dod mājienu, ka papildus stariem $OA$ un $OB$ vienmēr ir iespējams uzzīmēt vēl vairākus starus no punkta $O$. Bet starp tiem būs viens īpašs - viņu sauc par bisektoru.

Definīcija. Leņķa bisektrise ir stars, kas iziet no šī leņķa virsotnes un sadala leņķi uz pusēm.

Iepriekšminētajiem leņķiem bisektrise izskatīsies šādi:

Bisektoru piemēri akūtiem, strupiem un taisniem leņķiem

Tā kā reālos zīmējumos ne vienmēr ir acīmredzams, ka noteikts stars (mūsu gadījumā tas ir $OM$ stars) sadala sākotnējo leņķi divos vienādos, ģeometrijā ir ierasts atzīmēt vienādus leņķus ar vienādu loku skaitu ( mūsu zīmējumā tas ir 1 loks akūtam leņķim, divi strupam, trīs taisnam).

Labi, mēs esam noskaidrojuši definīciju. Tagad jums ir jāsaprot, kādas īpašības ir bisektoram.

Leņķa bisektora galvenā īpašība

Faktiski bisektoram ir daudz īpašību. Un mēs noteikti tos apskatīsim nākamajā nodarbībā. Bet ir viens triks, kas jums ir jāsaprot tieši tagad:

Teorēma. Leņķa bisektrise ir to punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā leņķa malām.

Tulkojumā no matemātikas krievu valodā tas nozīmē divus faktus vienlaikus:

Jebkurš punkts, kas atrodas uz noteikta leņķa bisektrise, atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām.
Un otrādi: ja punkts atrodas vienādā attālumā no noteiktā leņķa malām, tad tas garantēti atrodas uz šī leņķa bisektrise.

Pirms šo apgalvojumu pierādīšanas noskaidrosim vienu punktu: ko īsti sauc par attālumu no punkta līdz leņķa malai? Šeit mums palīdzēs vecā labā attāluma noteikšana no punkta līdz līnijai:

Definīcija. Attālums no punkta līdz taisnei ir perpendikula garums, kas novilkts no dotā punkta uz šo taisni.

Piemēram, apsveriet līniju $l$ un punktu $A$, kas neatrodas uz šīs taisnes. Uzzīmēsim perpendikulu $AH$, kur $H\in l$. Tad šī perpendikula garums būs attālums no punkta $A$ līdz taisnei $l$.

Grafisks attāluma attēlojums no punkta līdz līnijai

Tā kā leņķis ir vienkārši divi stari un katrs stars ir taisnas līnijas gabals, ir viegli noteikt attālumu no punkta līdz leņķa malām. Tie ir tikai divi perpendikuli:

Nosakiet attālumu no punkta līdz leņķa malām

Tas ir viss! Tagad mēs zinām, kas ir attālums un kas ir bisektrise. Tāpēc mēs varam pierādīt galveno īpašumu.

Kā solīts, mēs sadalīsim pierādījumu divās daļās:

1. Attālumi no punkta uz bisektora līdz leņķa malām ir vienādi

Apsveriet patvaļīgu leņķi ar virsotni $O$ un bisektrisi $OM$:

Pierādīsim, ka tieši šis punkts $M$ atrodas vienādā attālumā no leņķa malām.

Pierādījums. Zīmēsim perpendikulus no punkta $M$ uz leņķa malām. Sauksim tos par $M((H)_(1))$ un $M((H)_(2))$:
Zīmējiet perpendikulus leņķa malām
Mēs ieguvām divus taisnleņķa trīsstūrus: $\vartriangle OM((H)_(1))$ un $\vartriangle OM((H)_(2))$. Viņiem ir kopīga hipotenūza $OM$ un vienādi leņķi:

$\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ pēc nosacījuma (jo $OM$ ir bisektrise);

$\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ pēc konstrukcijas;

$\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, jo summa Taisnleņķa trijstūra asie leņķi vienmēr ir 90 grādi.

Līdz ar to trijstūriem ir vienādi sānu leņķi un divi blakus leņķi (skat. trijstūra vienādības zīmes). Tāpēc jo īpaši $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.i. attālumi no punkta $O$ līdz leņķa malām patiešām ir vienādi. Q.E.D. :)

2. Ja attālumi ir vienādi, tad punkts atrodas uz bisektora

Tagad situācija ir pretēja. Dots leņķis $O$ un punkts $M$ vienādā attālumā no šī leņķa malām:

Pierādīsim, ka stars $OM$ ir bisektrise, t.i. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Pierādījums. Vispirms uzzīmēsim tieši šo staru $OM$, pretējā gadījumā nebūs ko pierādīt:
Vadīja $OM$ staru stūrī
Atkal mēs iegūstam divus taisnleņķa trīsstūrus: $\vartriangle OM((H)_(1))$ un $\vartriangle OM((H)_(2))$. Acīmredzot tie ir vienādi, jo:

Hipotenūza $OM$ - vispārīga;

Kājas $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ pēc nosacījuma (galu galā punkts $M$ atrodas vienādā attālumā no leņķa malām);

Arī atlikušās kājas ir vienādas, jo ar Pitagora teorēmu $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Tāpēc trīsstūri $\vartriangle OM((H)_(1))$ un $\vartriangle OM((H)_(2))$ no trim malām. Jo īpaši to leņķi ir vienādi: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Un tas nozīmē tikai to, ka $OM$ ir bisektrise.

Lai pabeigtu pierādījumu, mēs atzīmējam iegūtos vienādus leņķus ar sarkaniem lokiem:
Bisektrise sadala leņķi $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ divos vienādos.

Kā redzat, nekas sarežģīts. Mēs esam pierādījuši, ka leņķa bisektrise ir punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām :)

Tagad, kad esam vairāk vai mazāk izlēmuši par terminoloģiju, ir pienācis laiks pāriet uz nākamo līmeni. Nākamajā nodarbībā apskatīsim sarežģītākas bisektoru īpašības un uzzināsim, kā tās pielietot reālu problēmu risināšanai.

Šajā nodarbībā atcerēsimies leņķa bisektrise jēdzienu, formulēsim un pierādīsim tiešās un apgrieztās teorēmas par leņķa bisektora īpašībām un vispārināsim tās. Atrisināsim uzdevumu, kurā papildus faktiem par bisektoru mēs izmantojam citus ģeometriskos faktus.

Tēma: Aplis

Nodarbība: Leņķa bisektrise īpašības. Uzdevumi

Trijstūris ir visas ģeometrijas centrālā figūra, un jokojot saka, ka tas ir neizsmeļams, kā atoms. Tās īpašības ir daudzas, interesantas, izklaidējošas. Mēs aplūkojam dažus no šiem īpašumiem.

Jebkurš trīsstūris, pirmkārt, ir trīs leņķi un trīs segmenti (sk. 1. att.).

Rīsi. 1

Aplūkosim leņķi ar virsotni A un malām B un C leņķi.

Jebkurā leņķī, ieskaitot trijstūra leņķi, var uzzīmēt bisektri – tas ir, taisni, kas sadala leņķi uz pusēm (skat. 2. att.).

Rīsi. 2

Aplūkosim tāda punkta īpašības, kas atrodas uz leņķa bisektrise (sk. 3. att.).

Apsveriet punktu M, kas atrodas uz leņķa bisektrise.

Atgādiniet, ka attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikula garums, kas novilkts no šī punkta uz līniju.

Rīsi. 3

Acīmredzot, ja mēs ņemam punktu, kas neatrodas uz bisektora, tad attālumi no šī punkta līdz leņķa malām būs atšķirīgi. Attālums no punkta M līdz leņķa malām ir vienāds.

Teorēma

Katrs neattīstīta leņķa bisektrise punkts atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, tas ir, leņķa malu attālumi no punkta M līdz AC un līdz BC ir vienādi.

Leņķis ir dots, tā bisektrise ir AL, punkts M atrodas uz bisektrise (skat. 4. att.).

Pierādiet to.

Rīsi. 4

Pierādījums:

Apsveriet trīsstūrus un . Tie ir taisnleņķa trīsstūri, un tie ir vienādi, jo tiem ir kopēja hipotenūza AM, un leņķi ir vienādi, jo AL ir leņķa bisektrise. Tādējādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi hipotenūzā un akūtā leņķī, no tā izriet, ka , kas ir tas, kas ir jāpierāda. Tādējādi leņķa bisektrise atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām.

Apgrieztā teorēma ir patiesa.

Teorēma

Ja punkts atrodas vienādā attālumā no neattīstīta leņķa malām, tad tas atrodas uz tā bisektrise.

Ir dots neattīstīts leņķis, punkts M, lai attālums no tā līdz leņķa malām būtu vienāds.

Pierādīt, ka punkts M atrodas uz leņķa bisektrise (skat. 5. att.).

Rīsi. 5

Pierādījums:

Attālums no punkta līdz taisnei ir perpendikula garums. No punkta M novelkam perpendikulus MK uz malu AB un MR uz malu AC.

Apsveriet trīsstūrus un . Tie ir taisnleņķa trīsstūri, un tie ir vienādi, jo tiem ir kopēja hipotenūza AM, kājas MK un MR ir vienādas pēc nosacījuma. Tādējādi taisnleņķa trīsstūri ir vienādi hipotenūzā un kājā. No trijstūra vienādības izriet atbilstošo elementu vienādība vienādās malās, tātad, Tāpēc punkts M atrodas uz dotā leņķa bisektrise.

Dažreiz tiešās un apgrieztās teorēmas tiek apvienotas šādi:

Teorēma

Punkts atrodas vienādā attālumā no leņķa malām tad un tikai tad, ja tas atrodas uz šī leņķa bisektrise.

Bisektoru punktu vienāds attālums no leņķa malām tiek plaši izmantots dažādos uzdevumos.

Uzdevums Nr.674 no Atanasjana mācību grāmatas, ģeometrija, 7.-9. klase:

No neattīstīta leņķa bisektora punkta M uz šī leņķa malām ir novilkti perpendikuli MA un MB (skat. 6. att.). Pierādiet to.

Dots: leņķis, bisektrise OM, perpendikuli MA un MB leņķa malām.

Rīsi. 6

Pierādiet, ka:

Pierādījums:

Saskaņā ar tiešo teorēmu punkts M atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, jo pēc nosacījuma tas atrodas uz tā bisektrise. .

Aplūkosim taisnleņķa trīsstūrus un (sk. 7. att.). Viņiem ir kopīga hipotenūza OM, kājas MA un MB ir vienādas, kā mēs pierādījām iepriekš. Tādējādi divi taisnstūrveida

Rīsi. 7

trijstūri ir vienādi kājā un hipotenūzā. No trīsstūru vienādības izriet to atbilstošo elementu vienādība, tātad arī leņķu vienādība un citu kāju vienlīdzība.

No kāju vienādības OA un OB izriet, ka trīsstūris ir vienādsānu, un AB ir tā pamatne. Taisne OM ir trijstūra bisektrise. Saskaņā ar vienādsānu trijstūra īpašību šī bisektrise ir arī augstums virs jūras līmeņa, kas nozīmē, ka līnijas OM un AB krustojas taisnā leņķī, un tas ir jāpierāda.

Tātad, mēs pārbaudījām tiešās un apgrieztās teorēmas par punkta īpašībām, kas atrodas uz leņķa bisektrise, tās vispārinājām un atrisinājām problēmu, izmantojot dažādus ģeometriskus faktus, tostarp šo teorēmu.

Bibliogrāfija

Aleksandrovs A.D. un citi, 8. klase. - M.: Izglītība, 2006.
Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Prasolovs V.V. Ģeometrija, 8. klase. - M.: Izglītība, 2011.
Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs S.M. Ģeometrija, 8. klase. - M.: VENTANA-GRAF, 2009. gads.

Bymath.net().
Oldskola1.narod.ru ().

Mājasdarbs

Atanasjans L.S., Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B. un citi Ģeometrija, 7-9, Nr. 676-678, art. 180.

Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim to punktu īpašības, kas atrodas uz leņķa bisektrise, un punktus, kas atrodas uz nogriežņa perpendikulārās bisektrises.

Tēma: Aplis

Nodarbība: Leņķa bisektrise un nogriežņa perpendikulāra bisektrise īpašības

Aplūkosim tāda punkta īpašības, kas atrodas uz leņķa bisektrise (sk. 1. att.).

Rīsi. 1

Leņķis ir dots, tā bisektrise ir AL, punkts M atrodas uz bisektrise.

Teorēma:

Ja punkts M atrodas uz leņķa bisektrise, tad tas atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, tas ir, leņķa malu attālumi no punkta M līdz AC un līdz BC ir vienādi.

Pierādījums:

Apsveriet trīsstūrus un . Tie ir taisnleņķa trīsstūri, un tie ir vienādi, jo... ir kopēja hipotenūza AM, un leņķi ir vienādi, jo AL ir leņķa bisektrise. Tādējādi taisnleņķa trijstūri ir vienādi hipotenūzā un akūtā leņķī, no tā izriet, ka , kas ir tas, kas ir jāpierāda. Tādējādi leņķa bisektrise atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām.

Apgrieztā teorēma ir patiesa.

Ja punkts atrodas vienādā attālumā no neattīstīta leņķa malām, tad tas atrodas uz tā bisektrise.

Rīsi. 2

Dots neattīstīts leņķis, punkts M, lai attālums no tā līdz leņķa malām būtu vienāds (sk. 2. att.).

Pierādīt, ka punkts M atrodas uz leņķa bisektrise.

Pierādījums:

Attālums no punkta līdz taisnei ir perpendikula garums. No punkta M novelkam perpendikulus MK uz malu AB un MR uz malu AC.

Apsveriet trīsstūrus un . Tie ir taisnleņķa trīsstūri, un tie ir vienādi, jo... ir kopēja hipotenūza AM, kājas MK un MR ir vienādas pēc stāvokļa. Tādējādi taisnleņķa trīsstūri ir vienādi hipotenūzā un kājā. No trijstūra vienādības izriet atbilstošo elementu vienādība vienādās malās, tādējādi, Tāpēc punkts M atrodas uz dotā leņķa bisektrise.

Tiešo un apgriezto teorēmu var apvienot.

Teorēma

Neattīstīta leņķa bisektrise ir punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no dotā leņķa malām.

Teorēma

Trijstūra bisektrise AA 1, BB 1, СС 1 krustojas vienā punktā O (sk. 3. att.).

Rīsi. 3

Pierādījums:

Vispirms apskatīsim divas bisektrise BB 1 un CC 1. Tie krustojas, krustpunkts O pastāv. Lai to pierādītu, pieņemsim pretējo – pat ja šīs bisektrise nekrustojas, tādā gadījumā tās ir paralēlas. Tad taisne BC ir sekants un leņķu summa , tas ir pretrunā ar to, ka visā trīsstūrī leņķu summa ir .

Tātad pastāv divu bisektoru krustpunkta O punkts. Apskatīsim tā īpašības:

Punkts O atrodas uz leņķa bisektrise, kas nozīmē, ka tas atrodas vienādā attālumā no malām BA un BC. Ja OK ir perpendikulāra BC, OL ir perpendikulāra BA, tad šo perpendikulu garumi ir vienādi - . Arī punkts O atrodas uz leņķa bisektrise un ir vienādā attālumā no tā malām CB un CA, perpendikuli OM un OK ir vienādi.

Mēs ieguvām šādas vienādības:

, tas ir, visi trīs perpendikuli, kas nomesti no punkta O uz trijstūra malām, ir vienādi viens ar otru.

Mūs interesē perpendikulu OL un OM vienādība. Šī vienādība saka, ka punkts O atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, no tā izriet, ka tas atrodas uz tā bisektrise AA 1.

Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka visas trīs trijstūra bisektrise krustojas vienā punktā.

Apskatīsim segmentu, tā perpendikulāro bisektrisi un tā punkta īpašības, kas atrodas uz perpendikulārās bisektrise.

Ir dots segments AB, p ir perpendikulāra bisektrise. Tas nozīmē, ka taisne p iet caur segmenta AB vidu un ir tai perpendikulāra.

Teorēma

Rīsi. 4

Jebkurš punkts, kas atrodas uz perpendikulārās bisektriseles, atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem (skat. 4. att.).

Pierādiet to

Pierādījums:

Apsveriet trīsstūrus un . Tie ir taisnstūrveida un vienādi, jo. ir kopīga kāja OM, un kājas AO un OB ir vienādas pēc nosacījuma, tāpēc mums ir divi taisnleņķa trīsstūri, kas vienādi divās kājās. No tā izriet, ka arī trīsstūru hipotenūzas ir vienādas, tas ir, tas, kas bija jāpierāda.

Ņemiet vērā, ka segments AB ir kopīgs akords daudziem apļiem.

Piemēram, pirmais aplis ar centru punktā M un rādiuss MA un MB; otrais aplis ar centru punktā N, rādiuss NA un NB.

Tādējādi esam pierādījuši, ka, ja punkts atrodas uz nogriežņa perpendikulāras bisektriseles, tas atrodas vienādā attālumā no nogriežņa galiem (skat. 5. att.).

Rīsi. 5

Apgrieztā teorēma ir patiesa.

Teorēma

Ja noteikts punkts M atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem, tad tas atrodas uz perpendikulāras bisektrise šim segmentam.

Dots nogrieznis AB, tam perpendikulāra bisektrise p, punkts M vienādā attālumā no nogriežņa galiem (skat. 6. att.).

Pierādīt, ka punkts M atrodas uz nogriežņa perpendikulārās bisektriseles.

Rīsi. 6

Pierādījums:

Apsveriet trīsstūri. Tas ir vienādsānu, saskaņā ar nosacījumu. Apsveriet trijstūra mediānu: punkts O ir pamatnes AB vidus, OM ir mediāna. Saskaņā ar vienādsānu trijstūra īpašību mediāna, kas novilkta uz tā pamatni, ir gan augstums, gan bisektrise. No tā izriet, ka . Bet taisne p ir arī perpendikulāra AB. Mēs zinām, ka punktā O ir iespējams novilkt vienu perpendikulāru nogrieznim AB, kas nozīmē, ka taisnes OM un p sakrīt, no tā izriet, ka punkts M pieder pie taisnes p, kas mums bija jāpierāda.

Tiešo un apgriezto teorēmu var vispārināt.

Teorēma

Nozares perpendikulārā bisektrise ir to punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no tā galiem.

Trīsstūris, kā zināms, sastāv no trim segmentiem, kas nozīmē, ka tajā var ievilkt trīs perpendikulāras bisektrise. Izrādās, ka tie krustojas vienā punktā.

Trijstūra perpendikulārās bisektrise krustojas vienā punktā.

Tiek dots trīsstūris. Perpendikulāri tā malām: P 1 uz malu BC, P 2 uz malu AC, P 3 pret malu AB (sk. 7. att.).

Pierādīt, ka perpendikuli P 1, P 2 un P 3 krustojas punktā O.

Vai jūs zināt, kas ir segmenta viduspunkts? Protams, tu dari. Kā ar apļa centru? Tas pats.

Kāds ir leņķa viduspunkts?

Var teikt, ka tā nenotiek. Bet kāpēc segmentu var sadalīt uz pusēm, bet leņķi nevar? Tas ir pilnīgi iespējams - tikai ne punkts, bet…. līniju.

Vai atceries joku: bisektors ir žurka, kas skrien ap stūriem un sadala stūri uz pusēm. Tātad bisektora patiesā definīcija ir ļoti līdzīga šim jokam:

Trijstūra bisektrise- tas ir trijstūra leņķa bisektrise, kas savieno šī leņķa virsotni ar punktu pretējā pusē.

Reiz senie astronomi un matemātiķi atklāja daudzas interesantas bisektora īpašības. Šīs zināšanas ir ievērojami vienkāršojušas cilvēku dzīvi.

Pirmās zināšanas, kas palīdzēs šajā jautājumā ir...

Starp citu, vai jūs atceraties visus šos terminus? Vai atceries, kā viņi atšķiras viens no otra? Nē? Nav biedējoši. Tagad izdomāsim.

Vienādsānu trijstūra pamatne- šī ir puse, kas nav līdzvērtīga nevienai citai. Paskaties uz attēlu, kurā pusē, tavuprāt, tā ir? Pareizi – šī ir puse.
Mediāna ir līnija, kas novilkta no trijstūra virsotnes un dala pretējo malu (tas atkal ir) uz pusēm. Ņemiet vērā, ka mēs nesakām: "vienādsānu trijstūra vidusdaļa". Vai Tu zini kapēc? Jo mediāna, kas novilkta no trijstūra virsotnes, JEBKURĀ trijstūrī sadala pretējo malu.
Augstums ir līnija, kas novilkta no augšas un perpendikulāra pamatnei. Jūs pamanījāt? Mēs atkal runājam par jebkuru trīsstūri, ne tikai par vienādsānu. Augstums JEBKURĀ trijstūrī vienmēr ir perpendikulārs pamatnei.

Tātad, vai jūs to izdomājāt? Gandrīz.

Lai saprastu vēl labāk un uz visiem laikiem atcerētos, kas ir bisektrise, mediāna un augstums, tie ir nepieciešami salīdzināt savā starpā un saprast, kā tie ir līdzīgi un kā tie atšķiras viens no otra.

Tajā pašā laikā, lai labāk atcerētos, labāk visu aprakstīt “cilvēku valodā”.

Tad tu viegli darbosies matemātikas valodā, bet sākumā tu šo valodu nesaproti un tev viss ir jāsaprot savā valodā.

Tātad, kā viņi ir līdzīgi?

Bisektrise, mediāna un augstums — tie visi “iznāk” no trijstūra virsotnes un balstās uz pretējo pusi un “dara kaut ko” vai nu ar leņķi, no kura tie iznāk, vai ar pretējo pusi.

Es domāju, ka tas ir vienkārši, vai ne?

Kā viņi atšķiras?

Bisektrise sadala leņķi, no kura tā parādās uz pusēm.
Mediāna dala pretējo pusi uz pusēm.
Augstums vienmēr ir perpendikulārs pretējai pusei.

Tieši tā. To ir viegli saprast. Un, kad jūs saprotat, jūs varat atcerēties.

Tagad nākamais jautājums.

Kāpēc vienādsānu trijstūra gadījumā bisektrise izrādās gan mediāna, gan augstums?

Jūs varat vienkārši apskatīt attēlu un pārliecināties, ka mediāna sadalās divos absolūti vienādos trīsstūros.

Tas ir viss! Bet matemātiķiem nepatīk ticēt savām acīm. Viņiem viss ir jāpierāda.

Biedējošs vārds?

Nekas tamlīdzīgs - tas ir vienkārši! Paskaties: abiem ir vienādas puses, un tām parasti ir kopīga puse un. (- bisektrise!) Un tā sanāk, ka diviem trijstūriem ir divas vienādas malas un leņķis starp tiem.

Mēs atceramies pirmo trīsstūru vienlīdzības zīmi (ja neatceraties, skatieties tēmā) un secinām, ka, un tāpēc = un.

Tas jau ir labi – tas nozīmē, ka tā izrādījās mediāna.

Bet kas tas ir?

Apskatīsim attēlu - . Un mēs to saņēmām. Tātad arī! Beidzot, urrā! Un.

Vai jums šis pierādījums šķita nedaudz smags? Paskaties uz attēlu – divi identiski trīsstūri runā paši par sevi.

Jebkurā gadījumā stingri atcerieties:

Tagad ir grūtāk: mēs skaitīsim leņķis starp bisektoriem jebkurā trijstūrī! Nebaidieties, tas nav tik sarežģīti. Skaties uz bildi:

Saskaitīsim. Vai atceries to trijstūra leņķu summa ir?

Pielietosim šo apbrīnojamo faktu.

No vienas puses, no:

Tas ir.

Tagad apskatīsim:

Bet bisektori, bisektori!

Atcerēsimies par:

Tagad caur burtiem

Vai tas nav pārsteidzoši?

Izrādījās, ka leņķis starp divu leņķu bisektriecēm ir atkarīgs tikai no trešā leņķa!

Nu, mēs apskatījām divas bisektorus. Ja nu viņi ir trīs??!! Vai tie visi krustosies vienā punktā?

Vai arī tas būs šādi?

Kā jūs domājat? Tātad matemātiķi domāja, domāja un pierādīja:

Vai tas nav lieliski?

Vai vēlaties uzzināt, kāpēc tas notiek?

Pārejiet uz nākamo līmeni - esat gatavs iekarot jaunus zināšanu augstumus par bisektoru!

BISEKTORS. VIDĒJAIS LĪMENIS

Vai atceries, kas ir bisektrise?

Bisektrise ir līnija, kas sadala leņķi uz pusēm.

Vai problēmā saskārāties ar bisektoru? Mēģiniet izmantot vienu (vai dažreiz vairākas) no tālāk norādītajām pārsteidzošajām īpašībām.

1. Bisektrise vienādsānu trijstūrī.

Vai jūs nebaidāties no vārda "teorēma"? Ja tev ir bail, tad nav iemesla. Matemātiķi ir pieraduši saukt par teorēmu jebkuru apgalvojumu, ko var kaut kā izsecināt no citiem, vienkāršākiem apgalvojumiem.

Tātad, uzmanību, teorēma!

Pierādīsimšī teorēma, tas ir, ļaujiet mums saprast, kāpēc tas notiek? Paskaties uz vienādsānu.

Apskatīsim tos uzmanīgi. Un tad mēs to redzēsim

- ģenerālis.

Un tas nozīmē (ātri atcerieties pirmo trīsstūru vienlīdzības zīmi!), ka.

Nu ko? Vai vēlaties to teikt? Un fakts ir tāds, ka mēs vēl neesam apskatījuši šo trīsstūru trešās malas un atlikušos leņķus.

Tagad paskatīsimies. Vienreiz, tad absolūti un pat papildus, .

Tātad izrādījās, ka

sadalīja pusi uz pusēm, tas ir, tā izrādījās mediāna
, kas nozīmē, ka viņi abi ir līdzīgi (paskatieties vēlreiz uz attēlu).

Tātad izrādījās, ka tā ir bisektrise un arī augstums!

Urrā! Mēs pierādījām teorēmu. Bet uzmini ko, tas vēl nav viss. Arī uzticīgs apgrieztā teorēma:

Pierādījums? Vai tiešām jūs interesē? Izlasiet nākamo teorijas līmeni!

Un, ja jūs neinteresē, tad stingri atceries:

Kāpēc to stingri atcerēties? Kā tas var palīdzēt? Bet iedomājieties, ka jums ir uzdevums:

Ņemot vērā: .

Atrast: .

Tu uzreiz saproti, bisektri un, lūk, viņa pārdalīja malu uz pusēm! (pēc nosacījuma...). Ja jūs stingri atceraties, ka tas notiek tikai vienādsānu trijstūrī, tad izdariet secinājumu, kas nozīmē, ka ierakstāt atbildi: . Lieliski, vai ne? Protams, ne visi uzdevumi būs tik vienkārši, bet zināšanas noteikti palīdzēs!

Un tagad nākamais īpašums. Vai esat gatavs?

2. Leņķa bisektrise ir punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no leņķa malām.

Nobijies? Tas tiešām nav nekas liels. Slinki matemātiķi paslēpa četrus divās rindās. Tātad, ko tas nozīmē: "Bisektors - punktu atrašanās vieta"? Tas nozīmē, ka tie tiek izpildīti nekavējoties divipaziņojumi:

Ja punkts atrodas uz bisektora, tad attālumi no tā līdz leņķa malām ir vienādi.
Ja kādā brīdī attālumi līdz leņķa malām ir vienādi, tad šis punkts Obligāti atrodas uz bisektora.

Vai redzat atšķirību starp 1. un 2. apgalvojumu? Ja ne ļoti, tad atcerieties Cepurnieku no “Alises Brīnumzemē”: “Ko tad vēl tu teiksi, it kā “es redzu, ko ēdu” un “es ēdu, ko redzu” ir viens un tas pats!”

Tātad mums ir jāpierāda apgalvojums 1 un 2, un tad apgalvojums: “Biszektorija ir punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no leņķa malām” tiks pierādīts!

Kāpēc 1 ir taisnība?

Paņemsim jebkuru bisektrise punktu un sauksim to par .

No šī punkta nometīsim perpendikulu uz leņķa malām.

Un tagad...gatavojieties atcerēties taisnleņķa trīsstūru vienlīdzības zīmes! Ja esi tos aizmirsis, tad ieskaties sadaļā.

Tātad... divi taisnleņķa trīsstūri: un. Viņiem ir:

Vispārējā hipotenūza.
(jo tā ir bisektrise!)

Tas nozīmē - pēc leņķa un hipotenūzas. Tāpēc šo trīsstūru atbilstošās kājas ir vienādas! Tas ir.

Mēs pierādījām, ka punkts atrodas vienādi (vai vienādi) attālumā no leņķa malām. 1. punkts ir izskatīts. Tagad pāriesim pie 2. punkta.

Kāpēc 2 ir patiesība?

Un savienosim punktus un.

Tas nozīmē, ka tas atrodas uz bisektora!

Tas ir viss!

Kā to visu var pielietot, risinot problēmas? Piemēram, uzdevumos bieži ir šāda frāze: “Aplis pieskaras leņķa malām...”. Nu kaut kas jāatrod.

Tad jūs to ātri saprotat

Un jūs varat izmantot vienlīdzību.

3. Trīs bisektrise trijstūrī krustojas vienā punktā

No bisektora īpašības būt tādu punktu atrašanās vietai, kas atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, izriet šāds apgalvojums:

Kā tieši tas iznāk? Bet paskaties: divas bisektrise noteikti krustosies, vai ne?

Un trešā bisektrise varētu būt šāda:

Bet patiesībā viss ir daudz labāk!

Apskatīsim divu bisektoru krustpunktu. Sauksim to.

Ko mēs šeit izmantojām abas reizes? Jā 1. punktu, protams! Ja punkts atrodas uz bisektora, tad tas atrodas vienādā attālumā no leņķa malām.

Un tā arī notika.

Bet uzmanīgi apskatiet šīs divas vienlīdzības! Galu galā no tiem izriet, ka un tāpēc .

Un tagad tas sāks darboties 2. punkts: ja attālumi līdz leņķa malām ir vienādi, tad punkts atrodas uz bisektri... kāds leņķis? Apskatiet attēlu vēlreiz:

un ir attālumi līdz leņķa malām, un tie ir vienādi, kas nozīmē, ka punkts atrodas uz leņķa bisektrise. Trešā bisektrise gāja caur to pašu punktu! Visas trīs bisektrise krustojas vienā punktā! Un kā papildu dāvana -

Radii ierakstīts aprindās.

(Lai pārliecinātos, apskatiet citu tēmu).

Tagad jūs nekad neaizmirsīsit:

Trijstūra bisektoru krustpunkts ir tajā ierakstītā apļa centrs.

Pārejam pie nākamā īpašuma... Re, bisektorā ir daudz īpašību, vai ne? Un tas ir lieliski, jo jo vairāk īpašību, jo vairāk instrumentu bisektoru uzdevumu risināšanai.

4. Bisektrise un paralēlisms, blakus leņķu bisektrise

Fakts, ka bisektrise sadala leņķi uz pusēm, dažos gadījumos noved pie pilnīgi negaidītiem rezultātiem. Piemēram,

1. gadījums

Lieliski, vai ne? Sapratīsim, kāpēc tas tā ir.

No vienas puses, mēs uzzīmējam bisektoru!

Bet, no otras puses, ir leņķi, kas atrodas šķērsām (atcerieties tēmu).

Un tagad izrādās, ka; izmet vidu: ! - vienādsānu!

2. gadījums

Iedomājieties trīsstūri (vai skatieties attēlu)

Turpināsim pusi aiz punkta. Tagad mums ir divi leņķi:

- iekšējais stūris
- ārējais stūris ir ārpusē, vai ne?

Tātad, tagad kāds gribēja uzzīmēt nevis vienu, bet divas bisektorus uzreiz: gan priekš, gan par. Kas notiks?

Vai tas izdosies? taisnstūrveida!

Pārsteidzoši, ka tas ir tieši tā.

Izdomāsim.

Kāda, jūsuprāt, ir summa?

Protams, - galu galā viņi visi kopā veido tādu leņķi, ka tā izrādās taisna līnija.

Tagad atcerieties to un ir bisektori un redziet, ka leņķa iekšpusē ir tieši puse no visu četru leņķu summas: un - - tas ir, tieši. Varat arī uzrakstīt to kā vienādojumu:

Tātad, neticami, bet patiesi:

Leņķis starp trijstūra iekšējā un ārējā leņķa bisektrijām ir vienāds.

3. gadījums

Vai redzat, ka šeit viss ir tāpat kā iekšējiem un ārējiem stūriem?

Vai arī padomāsim vēlreiz, kāpēc tas notiek?

Atkal, kas attiecas uz blakus esošajiem stūriem,

(atbilstoši paralēlām bāzēm).

Un atkal viņi izdomā tieši puse no summas

Secinājums: Ja uzdevumā ir bisektori blakus leņķi vai bisektrise atbilstošs paralelograma vai trapeces leņķi, tad šajā uzdevumā noteikti ir iesaistīts taisnleņķa trīsstūris vai varbūt pat vesels taisnstūris.

5. Bisektrise un pretējā puse

Izrādās, ka trijstūra leņķa bisektrise dala pretējo malu ne tikai kaut kādā veidā, bet īpašā un ļoti interesantā veidā:

Tas ir:

Pārsteidzošs fakts, vai ne?

Tagad mēs pierādīsim šo faktu, bet sagatavojieties: tas būs nedaudz grūtāk nekā iepriekš.

Atkal - izeja uz "kosmosu" - papildu veidošanās!

Ejam taisni.

Par ko? Tagad redzēsim.

Turpināsim bisektoru, līdz tā krustojas ar līniju.

Vai šī ir pazīstama bilde? Jā, jā, jā, tieši tas pats, kas 4. punktā, 1. gadījums - izrādās, ka (- bisektrise)

Guļot šķērsām

Tātad arī tas.

Tagad apskatīsim trīsstūrus un.

Ko jūs varat teikt par viņiem?

Tie ir līdzīgi. Nu jā, to leņķi ir vienādi kā vertikālajiem. Tātad divos stūros.

Tagad mums ir tiesības uzrakstīt attiecīgo pušu attiecības.

Un tagad īsumā:

Ak! Man kaut ko atgādina, vai ne? Vai tas nav tas, ko mēs gribējām pierādīt? Jā, jā, tieši tā!

Redziet, cik lieliska izrādījās “kosmosa iziešana” - papildu taisnes izbūve - bez tās nekas nebūtu noticis! Un tā mēs to esam pierādījuši

Tagad varat to droši lietot! Apskatīsim vēl vienu trijstūra leņķu bisektriņu īpašību - nebaidieties, tagad grūtākais ir beidzies - būs vieglāk.

Mēs to saņemam

1. teorēma:

2. teorēma:

3. teorēma:

4. teorēma:

5. teorēma:

6. teorēma:

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Vienkārši neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Trijstūra bisektrise – trijstūra leņķa bisektrise segments, kas atrodas starp trijstūra virsotni un tai pretējo malu.

Bisektora īpašības

1. Trijstūra bisektrise sadala leņķi uz pusēm.

2. Trijstūra leņķa bisektrise dala pretējo malu proporcijā, kas vienāda ar abu blakus esošo malu attiecību ()

3. Trijstūra leņķa bisektoru punkti atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām.

4. Trijstūra iekšējo leņķu bisektrise krustojas vienā punktā - šajā trijstūrī ierakstītā apļa centrā.

Dažas formulas, kas saistītas ar trijstūra bisektri

(formulas pierādījums – )
, Kur
- bisektora garums, kas novilkts uz sāniem,
- trijstūra malas ir attiecīgi pretī virsotnēm,
- to segmentu garumi, kuros bisektrise sadala malu,

Aicinu noskatīties video pamācība, kas parāda visu iepriekšminēto bisektora īpašību pielietojumu.

Video aplūkotie uzdevumi:
1. Trijstūrī ABC, kura malas AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, novilkta bisektrise VM. Atrodiet segmentu AM un MC garumus
2. Trijstūra ABC iekšējā leņķa bisektrise virsotnē A un ārējā leņķa bisektrise virsotnē C krustojas punktā M. Atrast leņķi BMC, ja leņķis B ir 40 grādi, leņķis C ir 80 grādi.
3. Atrodiet trīsstūrī ierakstīta riņķa rādiusu, ņemot vērā kvadrātveida šūnu malas, kas vienādas ar 1