Pāra un nepāra funkciju summa. Pāra un nepāra funkcijas
Pāra un nepāra funkcijas ir viena no tās galvenajām īpašībām, un paritāte ieņem iespaidīgu daļu no skolas matemātikas kursa. Tas lielā mērā nosaka funkcijas uzvedības raksturu un ievērojami atvieglo atbilstošā grafika izveidošanu.
Definēsim funkcijas paritāti. Vispārīgi runājot, pētāmā funkcija tiek uzskatīta pat tad, ja neatkarīgā mainīgā (x) pretējām vērtībām, kas atrodas tās domēnā, atbilstošās y (funkcijas) vērtības ir vienādas.
Sniegsim stingrāku definīciju. Apsveriet kādu funkciju f (x), kas ir definēta domēnā D. Tā būs pat tad, ja jebkuram punktam x, kas atrodas definīcijas domēnā:
- -x (pretējais punkts) atrodas arī dotajā darbības jomā,
- f(-x) = f(x).
No iepriekš minētās definīcijas izriet nosacījums, kas nepieciešams šādas funkcijas definīcijas apgabalam, proti, simetrija attiecībā pret punktu O, kas ir koordinātu sākumpunkts, jo, ja kāds punkts b ir ietverts definīcijas apgabalā. pāra funkcija, tad šajā jomā atrodas arī atbilstošais punkts - b. Tādējādi no iepriekš minētā izriet secinājums: pāra funkcijai ir forma, kas ir simetriska attiecībā pret ordinātu asi (Oy).
Kā praksē noteikt funkcijas paritāti?
Dodiet to, izmantojot formulu h(x)=11^x+11^(-x). Sekojot algoritmam, kas tieši izriet no definīcijas, mēs vispirms pētām tā definīcijas jomu. Acīmredzot tas ir definēts visām argumenta vērtībām, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts.
Nākamais solis ir aizstāt argumentu (x) ar tā pretējo vērtību (-x).
Mēs iegūstam:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Tā kā saskaitīšana apmierina komutatīvo (nobīdes) likumu, ir acīmredzams, ka h(-x) = h(x) un dotā funkcionālā atkarība ir pāra.
Pārbaudīsim funkcijas h(x)=11^x-11^(-x) vienmērīgumu. Ievērojot to pašu algoritmu, iegūstam h(-x) = 11^(-x) -11^x. Izņemot mīnusu, kā rezultātā mums ir
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Tādējādi h(x) ir nepāra.
Starp citu, jāatgādina, ka ir funkcijas, kuras nevar klasificēt pēc šiem kritērijiem, tās nesauc ne pāra, ne nepāra.
Pat funkcijām ir vairākas interesantas īpašības:
- līdzīgu funkciju pievienošanas rezultātā iegūst vienmērīgu;
- šādu funkciju atņemšanas rezultātā iegūst pāra;
- pat, arī pat;
- divu šādu funkciju reizināšanas rezultātā tiek iegūta pāra viena;
- nepāra un pāra funkciju reizināšanas rezultātā iegūst nepāra;
- pāra un nepāra funkciju dalīšanas rezultātā iegūst nepāra;
- šādas funkcijas atvasinājums ir nepāra;
- Ja mēs kvadrātā nepāra funkciju, mēs iegūstam pāra funkciju.
Funkcijas paritāti var izmantot vienādojumu risināšanā.
Lai atrisinātu vienādojumu, piemēram, g(x) = 0, kur vienādojuma kreisā puse ir pāra funkcija, pietiks, lai atrastu tā risinājumus mainīgā nenegatīvām vērtībām. Iegūtās vienādojuma saknes jāapvieno ar pretējiem skaitļiem. Viens no tiem ir pakļauts pārbaudei.
To pašu veiksmīgi izmanto, lai atrisinātu nestandarta problēmas ar parametru.
Piemēram, vai parametram a ir kāda vērtība, kas liktu vienādojumam 2x^6-x^4-ax^2=1 būt trīs saknēm?
Ja ņemam vērā, ka mainīgais vienādojumā ieiet pāra pakāpēs, tad ir skaidrs, ka x aizstājot ar - x dots vienādojums nemainīsies. No tā izriet, ka, ja noteikts skaitlis ir tā sakne, tad arī pretējais skaitlis. Secinājums ir acīmredzams: vienādojuma saknes, kas nav nulles, ir iekļautas tā atrisinājumu kopā “pāros”.
Ir skaidrs, ka skaitlis 0 pats par sevi nav, tas ir, šāda vienādojuma sakņu skaits var būt tikai pāra un, dabiski, jebkurai parametra vērtībai tam nevar būt trīs saknes.
Taču vienādojuma 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 sakņu skaits var būt nepāra un jebkurai parametra vērtībai. Patiešām, ir viegli pārbaudīt, vai sakņu komplekts dots vienādojums satur risinājumus "pāros". Pārbaudīsim, vai 0 ir sakne. Aizvietojot to vienādojumā, mēs iegūstam 2=2. Tādējādi, papildus "pārī" 0 ir arī sakne, kas pierāda to nepāra skaitli.
Funkciju sauc par pāra (nepāra), ja jebkurai un vienādībai 
.
Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret asi 
.
Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Piemērs 6.2. Pārbaudiet pāra vai nepāra funkcijas
1)
;
2)
;
3)
.
Risinājums.
1) Funkcija ir definēta ar 
. Atradīsim 
.
Tie. 
. Tātad šī funkcija ir vienmērīga.
2) Funkcija ir definēta 
Tie. 
. Tādējādi šī funkcija ir nepāra.
3) funkcija ir definēta priekš , t.i. priekš
,
. Tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Sauksim to par vispārīgu funkciju.
3. Funkcijas monotonitātei izpēte.
Funkcija 
tiek saukta par palielināšanos (samazināšanos) kādā intervālā, ja šajā intervālā katra lielākā argumenta vērtība atbilst lielākai (mazākai) funkcijas vērtībai.
Funkcijas, kas palielinās (samazinās) kādā intervālā, sauc par monotoniskām.
Ja funkcija 
Atšķiras pēc intervāla 
un tam ir pozitīvs (negatīvs) atvasinājums 
, tad funkcija 
palielinās (samazinās) šajā intervālā.
Piemērs 6.3. Atrast funkciju monotonitātes intervālus
1)
;
3)
.
Risinājums.
1) Šī funkcija ir definēta uz visas skaitļu ass. Atradīsim atvasinājumu.
Atvasinājums ir nulle, ja 
Un 
. Definīcijas joma - skaitliskā ass, dalīta ar punktiem 
,
intervāliem. Noteiksim atvasinājuma zīmi katrā intervālā.
Intervālā 
atvasinājums ir negatīvs, funkcija samazinās šajā intervālā.
Intervālā 
atvasinājums ir pozitīvs, tāpēc funkcija šajā intervālā palielinās.
2) Šī funkcija ir definēta, ja 
vai
.
Mēs nosakām kvadrātveida trinoma zīmi katrā intervālā.
Tādējādi funkcijas apjoms
Atradīsim atvasinājumu 
,
, ja 
, t.i. 
, bet 
. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos 
.
Intervālā 
atvasinājums ir negatīvs, tāpēc funkcija intervālā samazinās 
. Intervālā 
atvasinājums ir pozitīvs, funkcija palielinās intervālā 
.
4. Ekstrēma funkcijas izpēte.
Punkts 
sauc par funkcijas maksimālo (minimālo) punktu 
, ja ir tāda punkta apkārtne 
ka visiem 
šī apkārtne apmierina nevienlīdzību 
.
Funkcijas maksimālo un minimālo punktu sauc par ekstrēma punktiem.
Ja funkcija 
punktā 
ir ekstrēmums, tad funkcijas atvasinājums šajā punktā ir vienāds ar nulli vai neeksistē (nepieciešams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai).
Punktus, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē, sauc par kritiskiem.
5. Pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai.
1. noteikums. Ja pārejas laikā (no kreisās uz labo) caur kritisko punktu 
atvasinājums 
maina zīmi no "+" uz "-", tad punktā 
funkcija 
ir maksimums; ja no "-" līdz "+", tad minimums; ja 
nemaina zīmi, tad nav ekstrēma.
2. noteikums. Ļaujiet pie punkta 
pirmais funkcijas atvasinājums 
nulle 
, un otrais atvasinājums pastāv un nav nulle. Ja 
, tad 
ir maksimālais punkts, ja 
, tad 
ir funkcijas minimālais punkts.
Piemērs 6.4 . Izpētiet maksimālās un minimālās funkcijas:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Risinājums.
1) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā 
.
Atradīsim atvasinājumu 
un atrisiniet vienādojumu 
, t.i. 
.no šejienes 
ir kritiskie punkti.
Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos , 
.
Izejot caur punktiem 
Un 
atvasinājums maina zīmi no “–” uz “+”, tāpēc saskaņā ar 1. noteikumu 
ir minimālie punkti.
Izejot caur punktu 
atvasinājums maina zīmi no "+" uz "-", tātad 
ir maksimālais punkts.
,
.
2) Funkcija ir definēta un nepārtraukta intervālā 
. Atradīsim atvasinājumu 
.
Atrisinot vienādojumu 
, atrast 
Un 
ir kritiskie punkti. Ja saucējs 
, t.i. 
, tad atvasinājums neeksistē. Tātad, 
ir trešais kritiskais punkts. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos.
Tāpēc funkcijai punktā ir minimums 
, maksimums punktos 
Un 
.
3) Funkcija ir definēta un nepārtraukta, ja 
, t.i. plkst 
.
Atradīsim atvasinājumu 
.
Atradīsim kritiskos punktus: 
Punktu apkaimes 
neietilpst definīcijas jomā, tāpēc tie nav ekstrēmi t. Tātad, izpētīsim kritiskos punktus 
Un 
.
4) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā 
. Mēs izmantojam noteikumu 2. Atrodiet atvasinājumu 
.
Atradīsim kritiskos punktus:
Atradīsim otro atvasinājumu 
un noteikt tā zīmi punktos 
Punktos 
funkcijai ir minimums.
Punktos 
funkcijai ir maksimums.
Atpakaļ uz priekšu
Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.
Mērķi:
- veidot pāra un nepāra funkciju jēdzienu, iemācīt spēju noteikt un izmantot šīs īpašības, kad funkciju izpēte, zīmēšana;
- attīstīt studentu radošo darbību, loģiskā domāšana, spēja salīdzināt, vispārināt;
- izkopt centību, matemātisko kultūru; attīstīt komunikācijas prasmes .
Aprīkojums: multimediju uzstādīšana, interaktīvā tāfele, izdales materiāli.
Darba formas: frontālā un grupa ar meklēšanas un izpētes aktivitāšu elementiem.
Informācijas avoti:
1. Algebras klase 9 A.G.Mordkovičs. Mācību grāmata.
2. Algebra 9. klase A.G.Mordkovičs. Uzdevumu grāmata.
3. Algebras 9. klase. Uzdevumi skolēnu mācībām un attīstībai. Belenkova E.Ju. Lebedintseva E.A.
NODARBĪBU LAIKĀ
1. Organizatoriskais moments
Nodarbības mērķu un uzdevumu noteikšana.
2. Mājas darbu pārbaude
Nr.10.17 (Uzdevumu grāmata 9. klase A.G. Mordkovičs).
bet) plkst = f(X), f(X) = 
b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 par X ~ 0,4
4. f(X) >0 plkst X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcija palielinās ar X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ir ierobežota no apakšas.
7. plkst noma = - 3, plkst naibs neeksistē
8. Funkcija ir nepārtraukta.
(Vai izmantojāt funkciju izpētes algoritmu?) Slidkalniņš.
2. Pārbaudīsim tabulu, kas jums tika uzdota slaidā.
| Aizpildiet tabulu | |||||
Domēns |
Funkcijas nulles |
Noturības intervāli |
Grafika krustošanās punktu koordinātas ar Oy | ||
 |
x = -5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ -5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
x ≠ -5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Zināšanu atjaunināšana
– Funkcijas ir dotas.
– Norādiet katras funkcijas definīcijas domēnu.
– Salīdziniet katras funkcijas vērtību katram argumentu vērtību pārim: 1 un – 1; 2 un - 2.
– Kurām no dotajām funkcijām definīcijas jomā ir vienādības f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (ievietot datus tabulā) Slidkalniņš
| f(1) un f(– 1) | f(2) un f(– 2) | diagrammas | f(– X) = –f(X) | f(– X) = f(X) | ||
| 1. f(X) = | ||||||
| 2. f(X) = X 3 | ||||||
| 3. f(X) = | X | | ||||||
| 4.f(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. f(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. f(X)= | X > –1 | un nav definēts. |
– Uzstāšanās Šis darbs, puiši, mēs esam atklājuši vēl vienu funkcijas īpašību, kas jums nav pazīstama, bet ne mazāk svarīga par pārējām - šī ir pāra un nepāra funkcija. Pierakstiet nodarbības tēmu: “Pāra un nepāra funkcijas”, mūsu uzdevums ir iemācīties noteikt pāra un nepāra funkcijas, noskaidrot šīs īpašības nozīmi funkciju izpētē un zīmēšanā.
Tātad, atrodam definīcijas mācību grāmatā un lasīsim (110. lpp.) . Slidkalniņš
Def. viens Funkcija plkst = f (X), kas definēts kopā X, tiek izsaukts pat, ja par kādu vērtību X Notiek Є X vienādība f (–x) = f (x). Sniedziet piemērus.
Def. 2 Funkcija y = f(x), kas definēts kopā X, tiek izsaukts nepāra, ja par kādu vērtību XЄ X vienādība f(–х)= –f(х) ir izpildīta. Sniedziet piemērus.
Kur mēs satikām terminus "pāra" un "nepāra"?
Kā jūs domājat, kura no šīm funkcijām būs vienmērīga? Kāpēc? Kuras ir dīvainas? Kāpēc?
Jebkurai formas funkcijai plkst= x n, kur n ir vesels skaitlis, var apgalvot, ka funkcija ir nepāra n ir nepāra un funkcija ir pāra n- pat.
- Skatīt funkcijas plkst= un plkst = 2X– 3 nav ne pāra, ne nepāra, jo vienlīdzības netiek ievērotas f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
Jautājuma par to, vai funkcija ir pāra vai nepāra, izpēti sauc par paritātes funkcijas izpēti. Slidkalniņš
Definīcijas 1 un 2 aplūkoja funkcijas vērtības pie x un - x, tāpēc tiek pieņemts, ka funkcija ir definēta arī pie vērtības X, un plkst - X.
ODA 3. Ja numuru komplekts kopā ar katru tā elementu x satur pretējo elementu -x, tad kopu X sauc par simetrisko kopu.
Piemēri:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ir simetriskas kopas, un , [–5;4] ir nesimetriskas.
- Vai pat funkcijām ir definīcijas domēns - simetriska kopa? Savādi?
- ja D( f) ir asimetriska kopa, tad kāda ir funkcija?
– Tādējādi, ja funkcija plkst = f(X) ir pāra vai nepāra, tad tā definīcijas domēns ir D( f) ir simetriska kopa. Bet vai ir taisnība otrādi, ja funkcijas domēns ir simetriska kopa, tad tā ir pāra vai nepāra?
- Tātad definīcijas apgabala simetriskas kopas klātbūtne ir nepieciešams, bet ne pietiekams nosacījums.
– Tātad, kā mēs varam izpētīt paritātes funkciju? Mēģināsim uzrakstīt algoritmu.
Slidkalniņš
Algoritms funkcijas paritātes pārbaudei
1. Nosakiet, vai funkcijas apgabals ir simetrisks. Ja nē, tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Ja jā, pārejiet uz algoritma 2. darbību.
2. Uzrakstiet izteiksmi priekš f(–X).
3. Salīdziniet f(–X).Un f(X):
- ja f(–X).= f(X), tad funkcija ir pāra;
- ja f(–X).= – f(X), tad funkcija ir nepāra;
- ja f(–X) ≠ f(X) Un f(–X) ≠ –f(X), tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
Piemēri:
Izpētiet paritātes funkciju a) plkst= x 5 +; b) plkst= ; iekšā) plkst= .
Risinājums.
a) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetriskā kopa.
2) h (-x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + nepāra.
b) y =,
plkst = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetriska kopa, tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
iekšā) f(X) = , y = f(x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
2. iespēja
1. Vai dotā kopa ir simetriska: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
bet); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Uzzīmējiet funkciju plkst = f(X), ja plkst = f(X) ir vienmērīga funkcija.
Uzzīmējiet funkciju plkst = f(X), ja plkst = f(X) ir nepāra funkcija.
Savstarpēja pārbaude slidkalniņš.
6. Mājas darbs: №11.11, 11.21,11.22;
Paritātes īpašuma ģeometriskās nozīmes pierādījums.
*** (Izmantošanas opcijas piešķiršana).
1. Nepāra funkcija y \u003d f (x) ir definēta visā reālajā rindā. Jebkurai mainīgā x vērtībai, kas nav negatīva, šīs funkcijas vērtība sakrīt ar funkcijas g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Atrodiet funkcijas h( X) = plkst X = 3.
7. Rezumējot
Diagrammas konvertēšana.
Funkcijas verbāls apraksts.
Grafiskais veids.
Grafiskais funkcijas norādīšanas veids ir ilustratīvākais, un to bieži izmanto inženierzinātnēs. IN matemātiskā analīze kā ilustrācija izmantots grafiskais funkciju iestatīšanas veids.
Funkciju grafiks f ir visu koordinātu plaknes punktu (x; y) kopa, kur y=f(x), un x “iet cauri” visam dotās funkcijas domēnam.
Koordinātu plaknes apakškopa ir kādas funkcijas grafiks, ja tai ir ne vairāk kā viens kopīgs punkts ar jebkuru līniju, kas ir paralēla Oy asij.
Piemērs. Vai zemāk esošie skaitļi ir funkciju grafiki?
priekšrocība grafiskais uzdevums ir tā redzamība. Uzreiz var redzēt, kā funkcija uzvedas, kur palielinās, kur samazinās. No diagrammas jūs varat uzreiz uzzināt dažas svarīgas funkcijas īpašības.
Kopumā analītisks grafiskie veidi funkciju piešķiršana iet roku rokā. Darbs ar formulu palīdz izveidot grafiku. Un diagrammā bieži tiek ieteikti risinājumi, kurus jūs formulā nepamanīsit.
Gandrīz ikviens students zina trīs funkcijas, ko mēs tikko apskatījām, definēšanas veidus.
Mēģināsim atbildēt uz jautājumu: "Vai ir citi veidi, kā definēt funkciju?"
Ir tāds veids.
Funkciju var diezgan nepārprotami definēt vārdos.
Piemēram, funkciju y=2x var definēt ar šādu verbālu aprakstu: katrai argumenta x reālajai vērtībai tiek piešķirta tā dubultā vērtība. Noteikums ir iestatīts, funkcija ir iestatīta.
Turklāt ir iespējams norādīt funkciju verbāli, ko ir ārkārtīgi grūti, ja ne neiespējami norādīt ar formulu.
Piemēram: katra dabiskā argumenta x vērtība ir saistīta ar ciparu summu, kas veido x vērtību. Piemēram, ja x=3, tad y=3. Ja x=257, tad y=2+5+7=14. utt. To ir grūti pierakstīt formulā. Bet galdu ir viegli izgatavot.
Verbālā apraksta metode ir diezgan reti izmantota metode. Bet dažreiz tas notiek.
Ja pastāv likums par x un y atbilstību viens pret vienu, tad ir funkcija. Kāds likums, kādā formā tas izteikts - ar formulu, planšeti, grafiku, vārdiem - lietas būtību nemaina.
Aplūkosim funkcijas, kuru definīcijas jomas ir simetriskas attiecībā pret koordinātu izcelsmi, t.i. jebkuram Xārpus darbības jomas numurs (- X) arī pieder definīcijas jomai. Starp šīm funkcijām ir pāra un nepāra.
Definīcija. Tiek izsaukta funkcija f pat, ja par kādu Xārpus tās domēna
Piemērs. Apsveriet funkciju 
Viņa ir pat. Pārbaudīsim to.
Jebkuram X vienlīdzības
Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir vienmērīga. Zemāk ir šīs funkcijas grafiks.
Definīcija. Tiek izsaukta funkcija f nepāra, ja par kādu Xārpus tās domēna 
Piemērs. Apsveriet funkciju 
Viņa ir dīvaina. Pārbaudīsim to.
Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu (0; 0).
Jebkuram X vienlīdzības
Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra. Zemāk ir šīs funkcijas grafiks.
Pirmajā un trešajā attēlā parādītie grafiki ir simetriski pret y asi, bet otrajā un ceturtajā attēlā parādītie grafiki ir simetriski attiecībā pret izcelsmi.
Kuras no funkcijām, kuru grafiki ir parādīti attēlos, ir pāra, un kuras ir nepāra?
Funkcija ir viens no svarīgākajiem matemātiskajiem jēdzieniem. Funkcija – mainīgā atkarība plkst no mainīgā lieluma x, ja katra vērtība X atbilst vienai vērtībai plkst. mainīgs X sauc par neatkarīgo mainīgo vai argumentu. mainīgs plkst sauc par atkarīgo mainīgo. Visas neatkarīgā mainīgā vērtības (mainīgais x) veido funkcijas domēnu. Visas vērtības, ko iegūst atkarīgais mainīgais (mainīgais y), veido funkcijas diapazonu.
Funkciju grafiks viņi sauc visu koordinātu plaknes punktu kopu, kuras abscises ir vienādas ar argumenta vērtībām, un ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām, tas ir, mainīgais ir attēlots gar abscisu līniju x, un mainīgā vērtības tiek attēlotas gar y asi y. Lai attēlotu funkciju, jums jāzina funkcijas īpašības. Funkcijas galvenās īpašības tiks apspriestas tālāk!
Lai attēlotu funkciju grafiku, mēs iesakām izmantot mūsu programmu - Graphing Functions Online. Ja jums ir kādi jautājumi, pētot materiālu šajā lapā, vienmēr varat tos uzdot mūsu forumā. Tāpat forumā jums palīdzēs atrisināt uzdevumus matemātikā, ķīmijā, ģeometrijā, varbūtību teorijā un daudzos citos priekšmetos!
Funkciju pamatīpašības.
1) Funkciju apjoms un funkciju diapazons.
Funkcijas apjoms ir visu derīgo argumenta vērtību kopa x(mainīgs x), kurai funkcija y = f(x) definēts.
Funkcijas diapazons ir visu reālo vērtību kopa y ka funkcija pieņem.
Elementārajā matemātikā funkcijas tiek pētītas tikai uz reālo skaitļu kopas.
2) Funkcijas nulles.
Vērtības X, pie kura y=0, tiek saukts funkciju nulles. Tās ir funkcijas grafika krustošanās punktu abscises ar x asi.
3) Funkcijas zīmes noturības intervāli.
Funkcijas zīmes noturības intervāli ir tādi vērtību intervāli x, uz kura norādītas funkcijas vērtības y tiek saukti tikai pozitīvi vai tikai negatīvi funkcijas zīmes noturības intervāli.
4) Funkcijas monotonitāte.
Palielinošā funkcija (kādā intervālā) - funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst lielākai funkcijas vērtībai.
Samazinoša funkcija (kādā intervālā) - funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst mazākai funkcijas vērtībai.
5) Pāra (nepāra) funkcijas.
Pāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkuru X f(-x) = f(x). Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret y asi.
Nepāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkuru X no definīcijas jomas vienlīdzība f(-x) = - f(x). Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Vienmērīga funkcija
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0), tas ir, ja punkts a pieder definīcijas jomai, tad punktam -a arī pieder definīcijas jomai.
2) par jebkuru vērtību x f(-x)=f(x)
3) Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret Oy asi.
nepāra funkcija ir šādas īpašības:
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0).
2) jebkurai vērtībai x, kas pieder definīcijas jomai, vienlīdzībai f(-x)=-f(x)
3) Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi (0; 0).
Ne katra funkcija ir pāra vai nepāra. Funkcijas vispārējs skats nav ne pāra, ne nepāra.
6) Ierobežotas un neierobežotas funkcijas.
Funkciju sauc par ierobežotu, ja pastāv tāds pozitīvs skaitlis M, ka |f(x)| ≤ M visām x vērtībām. Ja šāda skaitļa nav, tad funkcija ir neierobežota.
7) Funkcijas periodiskums.
Funkcija f(x) ir periodiska, ja eksistē skaitlis T, kas atšķiras no nulles, tā ka jebkuram x no funkcijas domēna f(x+T) = f(x). Tādas mazākais skaitlis sauc par funkcijas periodu. Viss trigonometriskās funkcijas ir periodiski. (Trigonometriskās formulas).
Funkcija f tiek saukts par periodisku, ja pastāv tāds skaitlis, ka jebkuram x no definīcijas jomas vienlīdzība f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ir funkcijas periods.
Katrai periodiskai funkcijai ir bezgalīgs periodu skaits. Praksē parasti tiek ņemts vērā mazākais pozitīvais periods.
Periodiskās funkcijas vērtības tiek atkārtotas pēc intervāla, kas vienāds ar periodu. To izmanto, veidojot grafikus.
Notiek ielāde...