Piemēri ir grādi ar racionāliem un iracionāliem eksponentiem. Skaitļa pakāpe: definīcijas, apzīmējumi, piemēri
Šajā rakstā mēs sapratīsim, kas ir pakāpe. Šeit mēs sniegsim skaitļa pakāpes definīcijas, vienlaikus detalizēti apsverot visus iespējamos pakāpes eksponentus, sākot ar naturālo eksponentu un beidzot ar iracionālo. Materiālā jūs atradīsiet daudz grādu piemēru, kas aptver visus radušos smalkumus.
Lapas navigācija.
Pakāpe ar naturālo eksponentu, skaitļa kvadrāts, skaitļa kubs
Sāksim ar . Raugoties uz priekšu, pieņemsim, ka a pakāpes definīcija ar naturālo eksponentu n ir dota a , ko mēs sauksim pakāpes bāze, un n , ko mēs sauksim eksponents. Mēs arī atzīmējam, ka pakāpe ar naturālo rādītāju tiek noteikta caur reizinājumu, tāpēc, lai saprastu zemāk esošo materiālu, jums ir jābūt priekšstatam par skaitļu reizināšanu.
Definīcija.
Skaitļa a pakāpe ar naturālo eksponentu n ir formas a n izteiksme, kuras vērtība ir vienāda ar n faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vienāds ar a , tas ir, .
Konkrēti, skaitļa a pakāpe ar eksponentu 1 ir pats skaitlis a, tas ir, a 1 =a.
Tūlīt ir vērts pieminēt grādu lasīšanas noteikumus. Universāls veids lasot ierakstu a n ir: "a līdz n pakāpei". Dažos gadījumos ir pieņemamas arī šādas iespējas: "a līdz n-tajam pakāpēm" un "skaitļa a n-tā pakāpe". Piemēram, ņemsim pakāpju 8 12, tas ir "astoņi līdz divpadsmit pakāpei" vai "astoņi līdz divpadsmitajai pakāpei" vai "astoņu divpadsmitā pakāpe".
Skaitļa otrajam pakāpim, kā arī skaitļa trešajam pakāpim ir savi nosaukumi. Tiek izsaukta skaitļa otrā pakāpe skaitļa kvadrāts, piemēram, 7 2 tiek lasīts kā "septiņi kvadrātā" vai "skaitļa septiņi kvadrāts". Tiek izsaukta trešā skaitļa pakāpe kuba numurs, piemēram, 5 3 var nolasīt kā "pieci kubi" vai teikt "kubs no skaitļa 5".
Ir pienācis laiks atnest grādu piemēri ar fiziskajiem rādītājiem. Sāksim ar pakāpju 5 7 , kur 5 ir pakāpes bāze un 7 ir eksponents. Sniegsim vēl vienu piemēru: 4.32 ir bāze, bet naturālais skaitlis 9 ir eksponents (4.32) 9 .
Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējā piemērā pakāpes 4.32 bāze ir ierakstīta iekavās: lai izvairītos no neatbilstībām, iekavās ņemsim visas pakāpes bāzes, kas atšķiras no naturālajiem skaitļiem. Kā piemēru mēs sniedzam šādus grādus ar dabiskajiem rādītājiem 
, to bāzes nav naturāli skaitļi, tāpēc tos raksta iekavās. Pilnīgas skaidrības labad mēs parādīsim atšķirību formas (−2) 3 un −2 3 ierakstos. Izteiksme (−2) 3 ir −2 pakāpe ar naturālo eksponentu 3, un izteiksme −2 3 (var rakstīt kā −(2 3) ) atbilst skaitlim, pakāpes 2 3 vērtībai.
Ņemiet vērā, ka ir a pakāpes apzīmējums ar eksponentu n formā a^n . Turklāt, ja n ir daudzvērtību naturāls skaitlis, tad eksponents tiek ņemts iekavās. Piemēram, 4^9 ir vēl viens 4 9 jaudas apzīmējums. Un šeit ir vēl piemēri grādu rakstīšanai, izmantojot simbolu “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Turpmāk galvenokārt izmantosim formas a n pakāpes apzīmējumu.
Viena no problēmām, kas ir apgriezta kāpināšanai ar dabisko eksponentu, ir problēma, kā atrast pakāpes bāzi zināma vērtība pakāpe un zināmais eksponents. Šis uzdevums noved pie.
Ir zināms, ka racionālo skaitļu kopa sastāv no veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, un katrs daļskaitlis var attēlot kā pozitīvu vai negatīvu kopējā frakcija. Mēs iepriekšējā punktā definējām grādu ar veselu eksponentu, tāpēc, lai pabeigtu pakāpes definīciju ar racionāls rādītājs, jums ir jānorāda skaitļa a pakāpes nozīme ar daļēju eksponentu m / n, kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Darīsim to.
Apsveriet grādu ar formas daļēju eksponentu. Lai grāda īpašība grāda paliek spēkā, ir jāpastāv vienlīdzībai 
. Ja ņemam vērā iegūto vienādību un veidu, kā mēs definējām , tad ir loģiski pieņemt, ja dotiem m, n un a izteiksmei ir jēga.
Ir viegli pārbaudīt, vai visas pakāpes īpašības ar veselu eksponentu ir derīgas as (tas tiek darīts sadaļā par pakāpes īpašībām ar racionālu eksponentu).
Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums izdarīt sekojošo secinājums: ja dotam m, n un a izteiksmei ir jēga, tad skaitļa a pakāpe ar daļēju eksponentu m / n ir a n-tās pakāpes sakne pakāpei m.
Šis apgalvojums mūs tuvina pakāpes definīcijai ar daļēju eksponentu. Atliek tikai aprakstīt, kuram m, n un a izteiksmei ir jēga. Atkarībā no ierobežojumiem, kas noteikti m , n un a, ir divas galvenās pieejas.
Vienkāršākais veids, kā ierobežot a, ir pieņemt a≥0 pozitīvam m un a>0 negatīvam m (jo m≤0 nav 0 m jaudas). Tad mēs iegūstam šādu pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu.
Definīcija.
Pozitīva skaitļa a jauda ar daļēju eksponentu m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis, sauc par sakni no skaitļa a n-tās daļas m pakāpē, tas ir, .
Nulles daļēja pakāpe ir arī definēta ar vienīgo brīdinājumu, ka eksponentam ir jābūt pozitīvam.
Definīcija.
Nulles jauda ar daļēju pozitīvu eksponentu m/n, kur m ir pozitīvs vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis, ir definēts kā 
.
Ja pakāpe nav definēta, tas ir, nulles skaitļa pakāpei ar daļēju negatīvu eksponentu nav jēgas.
Jāatzīmē, ka ar šādu pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu ir viena nianse: dažiem negatīviem a un dažiem m un n izteiksmei ir jēga, un mēs šos gadījumus atmetām, ieviešot nosacījumu a≥0 . Piemēram, ir jēga rakstīt 
vai , un iepriekš minētā definīcija liek mums teikt, ka grādi ar formas daļēju eksponentu 
ir bezjēdzīgi, jo bāze nedrīkst būt negatīva.
Vēl viena pieeja pakāpes noteikšanai ar daļēju eksponentu m / n ir atsevišķi ņemt vērā saknes pāra un nepāra eksponentus. Šī pieeja prasa papildu nosacījums: skaitļa a pakāpi, kura rādītājs ir, uzskata par skaitļa a pakāpi, kura rādītājs ir atbilstošā nereducējamā daļa (šī nosacījuma nozīme tiks paskaidrota tālāk). Tas ir, ja m/n ir nereducējama daļa, tad jebkuram naturālam skaitlim k pakāpe vispirms tiek aizstāta ar .
Pāra n un pozitīvam m izteiksmei ir jēga jebkuram nenegatīvam a (pāra pakāpes saknei no negatīva skaitļa nav jēgas), negatīvam m skaitlim a joprojām ir jāatšķiras no nulles (pretējā gadījumā būs dalījums ar nulli). Un nepāra n un pozitīvam m skaitlis a var būt jebkas (nepāra pakāpes sakne ir definēta jebkuram reālais skaitlis), un negatīvam m skaitlim a ir jāatšķiras no nulles (lai nebūtu dalīšanas ar nulli).
Iepriekš minētais pamatojums noved pie šādas pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu.
Definīcija.
Lai m/n ir nereducējama daļa, m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Jebkurai reducējamai parastajai daļai grādu aizstāj ar . A jauda ar nesamazināmu daļēju eksponentu m / n ir paredzēta
Paskaidrosim, kāpēc pakāpe ar reducējamu daļēju eksponentu vispirms tiek aizstāta ar grādu ar nereducējamu eksponentu. Ja mēs vienkārši definētu pakāpi kā , un neizdarītu atrunu par daļdaļas m / n nereducējamību, tad mēs saskartos ar situācijām, kas līdzīgas sekojošām: tā kā 6/10=3/5 , tad vienādība 
, bet 
, a .
Video nodarbība "Grāds ar racionālu rādītāju" satur vizuālu izglītojošs materiāls mācīt par šo tēmu. Video nodarbībā ir informācija par grāda jēdzienu ar racionālu eksponentu, īpašībām, tādiem grādiem, kā arī piemēri, kas apraksta mācību materiāla izmantošanu praktisku problēmu risināšanā. Šīs video nodarbības uzdevums ir skaidri un saprotami prezentēt mācību materiālu, veicināt tā izstrādi un iegaumēšanu skolēniem, veidot prasmi risināt problēmas, izmantojot apgūtos jēdzienus.
Galvenās video nodarbības priekšrocības ir iespēja veikt vizuālas transformācijas un aprēķinus, iespēja izmantot animācijas efektus mācību efektivitātes uzlabošanai. Balss pavadījums palīdz attīstīt pareizu matemātisko runu, kā arī ļauj aizstāt skolotāja skaidrojumu, atbrīvojot viņu individuālajam darbam.
Video apmācība sākas ar tēmas ievadu. Saistīšanas pētījums jauna tēma ar iepriekš pētīto materiālu ir ieteicams atcerēties, ka n √ a citādi tiek apzīmēts ar 1/n dabiskajam n un pozitīvajam a. Šis n-saknes attēlojums tiek parādīts ekrānā. Turklāt tiek ierosināts apsvērt, ko nozīmē izteiksme a m / n, kurā a ir pozitīvs skaitlis un m / n ir daļa. Lodziņā iezīmētās pakāpes definīcija ir dota ar racionālu eksponentu kā m/n = n √ a m . Jāatzīmē, ka n var būt naturāls skaitlis, bet m - vesels skaitlis.
Pēc pakāpes noteikšanas ar racionālo eksponentu tā nozīmi atklāj piemēri: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Parādīts arī piemērs, kurā pakāpums, kas attēlots ar decimāldaļu, tiek pārvērsts parastā daļskaitlī, lai to attēlotu kā sakni: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 un piemērs no negatīva vērtība grādi: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.
Atsevišķi tiek norādīta konkrēta gadījuma iezīme, ja pakāpes bāze ir nulle. Jāatzīmē, ka šai pakāpei ir jēga tikai ar pozitīvu daļēju eksponentu. Šajā gadījumā tā vērtība ir vienāda ar nulli: 0 m/n =0.
Tiek atzīmēta vēl viena pakāpes iezīme ar racionālu eksponentu - pakāpi ar daļskaitli nevar uzskatīt ar daļēju eksponentu. Doti nepareizas pakāpes apzīmējuma piemēri: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .
Tālāk video nodarbībā tiek aplūkotas grāda īpašības ar racionālu eksponentu. Tiek atzīmēts, ka pakāpes īpašības ar veselu eksponentu būs derīgas arī pakāpei ar racionālu eksponentu. Tiek ierosināts atsaukt rekvizītu sarakstu, kas ir spēkā arī šajā gadījumā:
- Reizinot pilnvaras ar tādi paši pamatojumi to rādītāji summējas: a p a q =a p+q .
- Pakāpju dalījums ar vienādām bāzēm tiek samazināts līdz pakāpei ar doto bāzi un eksponentu starpību: a p:a q =a p-q .
- Ja paaugstinām jaudu līdz noteiktai pakāpei, tad rezultātā iegūstam jaudu ar doto bāzi un eksponentu reizinājumu: (a p) q =a pq .
Visas šīs īpašības ir derīgas pakāpēm ar racionālajiem eksponentiem p, q un pozitīvu bāzi a>0. Arī pakāpes transformācijas paliek patiesas, atverot iekavas:
- (ab) p =a p b p - divu skaitļu reizinājuma paaugstināšana līdz noteiktai pakāpei ar racionālu eksponentu tiek reducēta līdz skaitļu reizinājumam, no kuriem katrs tiek palielināts līdz noteiktai pakāpei.
- (a/b) p =a p /b p - eksponenci ar racionālu daļskaitļa eksponentu samazina līdz daļskaitlim, kuras skaitītājs un saucējs tiek paaugstināts līdz dotajai pakāpei.
Video pamācībā aplūkots piemēru risinājums, kuros izmantotas aplūkotās grādu īpašības ar racionālu eksponentu. Pirmajā piemērā tiek piedāvāts atrast vērtību izteiksmei, kas satur mainīgos x daļskaitlī: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Neskatoties uz izteiksmes sarežģītību, izmantojot grādu īpašības, tas tiek atrisināts diezgan vienkārši. Uzdevuma risinājums sākas ar izteiksmes vienkāršošanu, kurā tiek izmantots pakāpju paaugstināšanas likums ar racionālu eksponentu pakāpē, kā arī pakāpju reizināšana ar tādu pašu bāzi. Pēc dotās vērtības x=8 aizstāšanas vienkāršotā izteiksmē x 1/3 +48 ir viegli iegūt vērtību - 50.
Otrajā piemērā ir jāsamazina daļa, kuras skaitītājs un saucējs satur pakāpes ar racionālu eksponentu. Izmantojot pakāpes īpašības, mēs izvēlamies koeficientu x 1/3 no starpības, kas pēc tam tiek samazināts skaitītājā un saucējā, un, izmantojot kvadrātu starpības formulu, skaitītājs tiek sadalīts faktoros, kas dod vairāk samazinājumu skaitītājā un saucējā ir vienādi faktori. Šādu pārveidojumu rezultāts ir īsa daļa x 1/4 +3.
Tā vietā, lai skolotājs skaidrotu jauno stundas tēmu, var izmantot video nodarbību "Grāds ar racionālu rādītāju". Šajā rokasgrāmatā ir arī pietiekami daudz informācijas par pašmācība students. Materiāls var būt noderīgs tālmācībā.
MBOU "Sidorskaja
Plāna-kontūras izstrāde atklātā nodarbība
algebrā 11. klasē par tēmu:
Sagatavots un vadīts
matemātikas skolotājs
Iskhakova E.F.
Atvērtās stundas izklāsts algebrā 11. klasē.
Priekšmets : "Grāds ar racionālu eksponentu".
Nodarbības veids : Jauna materiāla apgūšana
Nodarbības mērķi:
Iepazīstināt studentus ar grāda jēdzienu ar racionālu rādītāju un tā galvenajām īpašībām, pamatojoties uz iepriekš apgūto materiālu (grāds ar veselu rādītāju).
Attīstīt skaitļošanas prasmes un spēju konvertēt un salīdzināt skaitļus ar racionālu eksponentu.
Izkopt skolēnos matemātisko lasītprasmi un matemātisko interesi.
Aprīkojums : Uzdevumu kartītes, studenta prezentācija par grādu ar vesela skaitļa indikatoru, skolotāja prezentācija par grādu ar racionālu rādītāju, portatīvais dators, multimediju projektors, ekrāns.
Nodarbību laikā:
Laika organizēšana.
Atsevišķu uzdevumu kartīšu aptvertās tēmas asimilācijas pārbaude.
Uzdevums numurs 1.
=2;
B) = x + 5;
Atrisiniet sistēmu iracionālie vienādojumi: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
Uzdevums numurs 2.
Atrisiniet iracionālo vienādojumu: 
= - 3;
B) = x - 2;
Atrisiniet iracionālu vienādojumu sistēmu: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
Nodarbības tēmas un mērķu izklāsts.
Mūsu šodienas nodarbības tēma Pakāpe ar racionālo eksponentu».
Jaunā materiāla skaidrojums uz iepriekš pētītā piemēra.
Jūs jau esat iepazinies ar pakāpes jēdzienu ar veselu eksponentu. Kurš var man palīdzēt tos atcerēties?
Atkārtojums ar prezentāciju Grāds ar veselu eksponentu».
Jebkuriem skaitļiem a , b un jebkuriem veseliem skaitļiem m un n vienādības ir patiesas:
a m * a n = a m + n ;
a m: a n = a m-n (a ≠ 0);
(am) n = a mn ;
(a b) n = a n * b n ;
(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);
a 1 = a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)
Šodien mēs vispārināsim skaitļa pakāpes jēdzienu un piešķirsim nozīmi izteiksmēm, kurām ir daļskaitlis. Iepazīstinām definīcija grādi ar racionālu rādītāju (Prezentācija "Grādi ar racionālu rādītāju"):
Pakāpe a > 0 ar racionālu eksponentu r = , kur m ir vesels skaitlis un n - dabīgs ( n > 1), zvanīja uz numuru m .
Tātad, pēc definīcijas, mēs to iegūstam = m .
Mēģināsim pielietot šo definīciju, veicot uzdevumu.
PIEMĒRS #1
Es izsaku kā skaitļa sakni izteiksmi:
BET) B) AT) .
Tagad mēģināsim piemērot šo definīciju apgrieztā veidā
II Izteikt izteiksmi kā pakāpju ar racionālu eksponentu:
BET) 2 B) AT) 5 .
0 jauda ir definēta tikai pozitīviem eksponentiem.
0 r= 0 jebkuram r> 0.
Izmantojot šo definīciju, Mājas jūs pabeigsit #428 un #429.
Tagad parādīsim, ka augstāk minētā pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu saglabā pakāpju pamatīpašības, kas ir patiesas jebkuram eksponentam.
Jebkuriem racionāliem skaitļiem r un s un visiem pozitīvajiem a un b vienādības ir patiesas:
1 0 . a r a s =a r+s ;
PIEMĒRS: *
20 . a r: a s =a r-s ;
PIEMĒRS: :
3 0 . (a r ) s =a rs ;
PIEMĒRS: ( -2/3
4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .
PIEMĒRS: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
PIEMĒRS par vairāku rekvizītu izmantošanu vienlaikus: * : .
Fizkultminutka.
Nolikām pildspalvas uz rakstāmgalda, iztaisnojam muguriņas, un tagad sniedzamies uz priekšu, gribas pieskarties dēlim. Un tagad mēs pacēlāmies un noliecāmies pa labi, pa kreisi, uz priekšu, atpakaļ. Viņi man parādīja pildspalvas, un tagad parādiet, kā tavi pirksti var dejot.
Strādājiet pie materiāla
Mēs atzīmējam vēl divas pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem:
60 . Ļaujiet būt r ir racionāls skaitlis un 0< a < b . Тогда
a r < b r plkst r> 0,
a r < b r plkst r< 0.
7 0 . Jebkuriem racionāliem skaitļiemr un s no nevienlīdzības r> s tam seko
a r> a r par > 1,
a r < а r pie 0< а < 1.
PIEMĒRS: salīdziniet skaitļus:
Un ; 2 300 un 3 200 .
Nodarbības kopsavilkums:
Šodien nodarbībā atcerējāmies pakāpes īpašības ar veselu eksponentu, uzzinājām pakāpes definīciju un pamatīpašības ar racionālu eksponentu, izskatījām šī pielietojumu. teorētiskais materiāls praksē treniņa laikā. Vēlos vērst jūsu uzmanību uz to, ka tēma "Grādi ar racionālu rādītāju" ir obligāta LIETOŠANAS uzdevumi. Gatavojot mājasdarbus Nr.428 un Nr.429
Pēc skaitļa pakāpes noteikšanas ir loģiski runāt pakāpes īpašības. Šajā rakstā mēs sniegsim skaitļa pakāpes pamatīpašības, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem. Šeit mēs sniegsim visu pakāpes īpašību pierādījumus, kā arī parādīsim, kā šīs īpašības tiek izmantotas, risinot piemērus.
Lapas navigācija.
Pakāpju īpašības ar naturālajiem rādītājiem
Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu a n pakāpe ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Pamatojoties uz šo definīciju, un izmantojot reālo skaitļu reizināšanas īpašības, mēs varam iegūt un pamatot sekojošo pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu:
- pakāpes galvenā īpašība a m ·a n =a m+n , tās vispārinājums ;
- parciālo pakāpju īpašība ar vienādām bāzēm a m:a n =a m−n ;
- produkta pakāpes īpašība (a b) n =a n b n , tās paplašinājums ;
- koeficients īpašums natūrā (a:b) n =a n:b n ;
- paaugstināšana (a m) n =a m n , tās vispārinājums (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- grādu salīdzināšana ar nulli:
- ja a>0 , tad a n >0 jebkuram naturālam n ;
- ja a=0, tad a n=0;
- ja<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, ja a<0 и показатель степени есть nepāra skaitlis 2 m-1, tad 2 m-1<0 ;
- ja a un b ir pozitīvi skaitļi un a
- ja m un n ir veseli skaitļi, ka m>n , tad par 0
- ja m un n ir veseli skaitļi, ka m>n , tad par 0
Mēs nekavējoties atzīmējam, ka visas rakstiskās vienādības ir identisks noteiktos apstākļos, un to labās un kreisās daļas var tikt nomainītas. Piemēram, galvenā īpašība daļai a m a n = a m + n ar izteicienu vienkāršošana bieži lieto formā a m+n = a m a n .
Tagad aplūkosim katru no tiem sīkāk.
Sāksim ar divu pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājuma īpašību, ko sauc grāda galvenais īpašums: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa.
Pierādīsim grāda galveno īpašību. Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu pakāpju reizinājumu ar vienādām formas a m a n bāzēm var uzrakstīt kā reizinājumu. Pateicoties reizināšanas īpašībām, iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā 
, un šis reizinājums ir a pakāpe ar naturālo eksponentu m+n , tas ir, a m+n . Tas pabeidz pierādījumu.
Sniegsim piemēru, kas apstiprina grāda galveno īpašību. Ņemsim grādus ar vienādām bāzēm 2 un naturālajām pakāpēm 2 un 3, atbilstoši pakāpes galvenajai īpašībai varam uzrakstīt vienādību 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Pārbaudīsim tā derīgumu, kam mēs aprēķinām izteiksmju 2 2 · 2 3 un 2 5 vērtības. Veicot kāpināšanu, mēs esam 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 un 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, jo tiek iegūtas vienādas vērtības, tad vienādība 2 2 2 3 \u003d 2 5 ir pareiza, un tā apstiprina grāda galveno īpašību.
Pakāpes galveno īpašību, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var vispārināt ar trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem. Tātad jebkuram naturālu skaitļu skaitam k n 1 , n 2 , …, n k vienādība a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Piemēram, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Jūs varat pāriet uz nākamo grādu īpašību ar dabisku indikatoru - daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem: jebkuram reālam skaitlim, kas nav nulle, un patvaļīgiem naturāliem skaitļiem m un n, kas apmierina nosacījumu m>n , vienādība a m:a n =a m−n ir patiesa.
Pirms šīs īpašības pierādīšanas pārrunāsim formulējuma papildu nosacījumu nozīmi. Nosacījums a≠0 nepieciešams, lai izvairītos no dalīšanas ar nulli, jo 0 n =0, un, iepazīstoties ar dalīšanu, vienojāmies, ka ar nulli dalīt nav iespējams. Nosacījums m>n tiek ieviests, lai mēs netiktu tālāk par naturālajiem eksponentiem. Patiešām, m>n eksponentam a m-n ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tas būs vai nu nulle (kas notiek m-n ), vai negatīvs skaitlis (kas notiek ar m Pierādījums. Daļas galvenā īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a m−n a n =a (m−n)+n =a m. No iegūtās vienādības a m−n ·a n =a m un no tā izriet, ka m−n ir a m un a n pakāpju koeficients. Tas pierāda daļēju pilnvaru īpašību ar vienādām bāzēm. Ņemsim piemēru. Ņemsim divus grādus ar vienādām bāzēm π un naturālajiem eksponentiem 5 un 2, pakāpes aplūkotā īpašība atbilst vienādībai π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Tagad apsveriet produkta pakāpes īpašums: jebkuru divu reālu skaitļu a un b reizinājuma dabiskā pakāpe n ir vienāda ar pakāpju a n un b n reizinājumu, tas ir, (a b) n =a n b n . Patiešām, pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu mums tas ir Šeit ir piemērs: Šī īpašība attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpi. Tas ir, k faktoru reizinājuma dabiskās jaudas īpašība n ir uzrakstīta kā (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Skaidrības labad mēs parādām šo īpašumu ar piemēru. Trīs faktoru reizinājumam ar pakāpju 7 mums ir . Nākamais īpašums ir dabas īpašums: reālo skaitļu a un b , b≠0 attiecība pret naturālo pakāpju n ir vienāda ar pakāpju a n un b n koeficientu, tas ir, (a:b) n =a n:b n . Pierādīšanu var veikt, izmantojot iepriekšējo īpašumu. Tātad (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, un vienādība (a:b) n b n =a n nozīmē, ka (a:b) n ir a n koeficients, kas dalīts ar b n . Uzrakstīsim šo rekvizītu, izmantojot konkrētu skaitļu piemēru: Tagad parunāsim paaugstināšanas īpašība: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n pakāpē a m līdz pakāpei n ir vienāda ar a pakāpju ar eksponentu m·n , tas ir, (a m) n =a m·n . Piemēram, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 . Jaudas īpašības pakāpē pierādījums ir šāda vienādību ķēde: Aplūkojamo īpašumu var paplašināt līdz pakāpei pakāpes ietvaros un tā tālāk. Piemēram, jebkuriem naturāliem skaitļiem p, q, r un s, vienādība Atliek pakavēties pie pakāpju salīdzināšanas īpašībām ar dabisko eksponentu. Mēs sākam, pierādot nulles un pakāpes salīdzināšanas īpašību ar naturālo eksponentu. Vispirms pamatosim, ka a n >0 jebkuram a>0 . Divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kā izriet no reizināšanas definīcijas. Šis fakts un reizināšanas īpašības ļauj apgalvot, ka jebkura skaita pozitīvu skaitļu reizināšanas rezultāts arī būs pozitīvs skaitlis. Un a jauda ar naturālo eksponentu n pēc definīcijas ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Šie argumenti ļauj mums apgalvot, ka jebkurai pozitīvai bāzei a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis. Pamatojoties uz pierādīto īpašību 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 un Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkuram naturālam n ar a=0 a n pakāpe ir nulle. Patiešām, 0 n =0·0·…·0=0. Piemēram, 0 3 = 0 un 0 762 = 0 . Pāriesim pie negatīvām bāzēm. Sāksim ar gadījumu, kad eksponents ir pāra skaitlis, apzīmē to kā 2 m , kur m ir naturāls skaitlis. Tad Visbeidzot, ja a bāze ir negatīvs skaitlis un eksponents ir nepāra skaitlis 2 m−1, tad Mēs pievēršamies īpašībai salīdzināt grādus ar tiem pašiem naturālajiem eksponentiem, kam ir šāds formulējums: no diviem grādiem ar vienādiem naturālajiem eksponentiem n ir mazāks par to, kura bāze ir mazāka, un vairāk par to, kuras bāze ir lielāka. Pierādīsim to. Nevienlīdzība a n nevienādību īpašības nevienlīdzība tiek pierādīta formā a n (2,2) 7 un Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām pilnvaru īpašībām ar dabiskajiem eksponentiem. Formulēsim to. No diviem grādiem ar naturālajiem rādītājiem un vienādām pozitīvajām bāzēm, mazāk par vienu, grāds ir lielāks, kura rādītājs ir mazāks; un diviem grādiem ar dabīgajiem rādītājiem un vienādām bāzēm, kas ir lielākas par vienu, pakāpe ir lielāka, kuras rādītājs ir lielāks. Mēs vēršamies pie šī īpašuma pierādījuma. Pierādīsim, ka m>n un 0 Atliek pierādīt īpašuma otro daļu. Pierādīsim, ka m>n un a>1 gadījumā a m >a n ir patiess. Atšķirība a m −a n pēc n izņemšanas no iekavām iegūst formu a n ·(a m−n −1) . Šis reizinājums ir pozitīvs, jo a>1 a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis, un starpība a m-n -1 ir pozitīvs skaitlis, jo m-n>0 sākotnējā nosacījuma dēļ, un, ja a>1, m-n pakāpe ir lielāka par vienu . Tāpēc a m − a n >0 un a m >a n , kas bija jāpierāda. Šo īpašību ilustrē nevienlīdzība 3 7 >3 2 .
. Pēdējo reizinājumu, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var pārrakstīt kā 
, kas ir vienāds ar a n b n .
.
.
.
. Lai iegūtu lielāku skaidrību, šeit ir piemērs ar konkrētiem skaitļiem: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Katram no formas a·a reizinājumiem ir vienāds ar skaitļu a un a moduļu reizinājumu, tāpēc ir pozitīvs skaitlis. Tāpēc arī produkts būs pozitīvs. 
un grāds a 2 m . Šeit ir piemēri: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 un .
. Visi reizinājumi a·a ir pozitīvi skaitļi, šo pozitīvo skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs, un to reizinot ar atlikušo negatīvo skaitli a iegūst negatīvu skaitli. Sakarā ar šo īpašību (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem
Tā kā pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad visas pakāpes īpašības ar pozitīviem veseliem skaitļiem precīzi sakrīt ar pakāpēm ar naturālajiem eksponentiem, kas uzskaitītas un pierādītas iepriekšējā punktā.
Pakāpi ar negatīvu veselu eksponentu, kā arī pakāpi ar nulles eksponentu mēs definējām tā, lai visas pakāpes īpašības ar naturālajiem eksponentiem, kas izteiktas ar vienādībām, paliktu spēkā. Tāpēc visas šīs īpašības ir spēkā gan nulles eksponentiem, gan negatīviem eksponentiem, savukārt, protams, grādu bāzes nav nulles.
Tātad jebkuriem reāliem skaitļiem un skaitļiem, kas nav nulles skaitļi a un b , kā arī jebkuri veseli skaitļi m un n, ir taisnība: grādu īpašības ar veseliem eksponentiem:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, a un b ir pozitīvi skaitļi, un a b-n;
- ja m un n ir veseli skaitļi un m>n , tad pie 0
Ja a=0, pakāpēm a m un a n ir jēga tikai tad, ja gan m, gan n ir pozitīvi veseli skaitļi, tas ir, naturāli skaitļi. Tātad tikko uzrakstītās īpašības ir spēkā arī gadījumos, kad a=0 un skaitļi m un n ir pozitīvi veseli skaitļi.
Nav grūti pierādīt katru no šīm īpašībām, šim nolūkam pietiek izmantot pakāpes definīcijas ar naturālu un veselu eksponentu, kā arī darbību īpašības ar reāliem skaitļiem. Piemēram, pierādīsim, ka jaudas īpašība attiecas gan uz pozitīviem veseliem skaitļiem, gan uz nepozitīviem veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, mums jāparāda, ka, ja p ir nulle vai naturāls skaitlis un q ir nulle vai naturāls skaitlis, tad vienādības (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) un (a-p)-q =a (-p) (-q). Darīsim to.
Pozitīvajiem p un q vienādība (a p) q =a p·q tika pierādīta iepriekšējā apakšnodaļā. Ja p=0, tad mums ir (a 0) q =1 q =1 un a 0 q =a 0 =1, no kurienes (a 0) q =a 0 q . Līdzīgi, ja q=0, tad (a p) 0 =1 un a p 0 =a 0 =1, no kurienes (a p) 0 =a p 0 . Ja gan p=0, gan q=0, tad (a 0) 0 =1 0 =1 un a 0 0 =a 0 =1, no kurienes (a 0) 0 =a 0 0.
Tagad pierādīsim, ka (a −p) q =a (−p) q . Pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu veselu eksponentu , tad 
. Pēc koeficienta īpašības pakāpē mums ir 
. Tā kā 1 p =1·1·…·1=1 un , tad . Pēdējā izteiksme pēc definīcijas ir formas a −(p q) pakāpe, kuru, pamatojoties uz reizināšanas noteikumiem, var uzrakstīt kā (−p) q .
Līdzīgi 
.
Un 
.
Ar to pašu principu visas pārējās pakāpes īpašības var pierādīt ar veselu eksponentu, kas uzrakstīts vienādību formā.
Pierakstīto īpašību priekšpēdējā ir vērts pakavēties pie nevienādības a −n >b −n pierādījuma, kas ir patiess jebkuram negatīvam veselam skaitlim −n un jebkuram pozitīvam a un b, kuram nosacījums a . Tā kā ar nosacījumu a 0 . Produkts a n ·b n ir pozitīvs arī kā pozitīvo skaitļu a n un b n reizinājums. Tad iegūtā daļa ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu b n − a n un a n b n koeficients. Tātad, no kurienes a −n >b −n , kas bija jāpierāda.
Pēdējā pakāpju īpašība ar veseliem eksponentiem tiek pierādīta tāpat kā analoģiskā pakāpju īpašība ar naturālajiem eksponentiem.
Pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem
Mēs definējām pakāpi ar daļēju eksponentu, paplašinot pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Citiem vārdiem sakot, grādiem ar daļskaitļa eksponentiem ir tādas pašas īpašības kā grādiem ar veseliem eksponentiem. Proti:
Pakāpju īpašību pierādījums ar daļskaitļa eksponentiem balstās uz pakāpes definīciju ar daļskaitli, uz un uz pakāpes īpašībām ar veselu eksponentu. Sniegsim pierādījumus.
Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un , tad 
. Aritmētiskās saknes īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības. Turklāt, izmantojot pakāpes īpašību ar veselu eksponentu, mēs iegūstam , no kurienes pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu mēs iegūstam 
, un iegūtās pakāpes eksponentu var pārvērst šādi: . Tas pabeidz pierādījumu.
Otrā pakāpju īpašība ar daļējiem eksponentiem tiek pierādīta tieši tādā pašā veidā: 
Pārējās vienādības tiek pierādītas ar līdzīgiem principiem: 
Pievēršamies nākamā īpašuma pierādījumam. Pierādīsim, ka jebkuram pozitīvam a un b , a b p . Racionālo skaitli p rakstām kā m/n , kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Nosacījumi lpp<0 и p>0 šajā gadījumā būs līdzvērtīgs nosacījumiem m<0 и m>0 attiecīgi. Ja m>0 un a
Tāpat par m<0 имеем a m >b m , no kurienes , tas ir, un a p >b p .
Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajiem īpašumiem. Pierādīsim, ka racionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0 
un 
. Un pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu ļauj pāriet uz nevienādībām un attiecīgi. No tā mēs izdarām galīgo secinājumu: p>q un 0
Pakāpju īpašības ar iracionāliem eksponentiem
No tā, kā tiek definēts grāds ar iracionālu eksponentu, var secināt, ka tam piemīt visas pakāpes īpašības ar racionāliem eksponentiem. Tātad jebkuram a>0 , b>0 un iracionāli skaitļi p un q grādu īpašības ar iracionāliem eksponentiem:
- a p a q = a p + q;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b , a 0 nevienlīdzība a p b p ;
- neracionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0
No tā mēs varam secināt, ka pakāpēm ar jebkuriem reāliem eksponentiem p un q pie a>0 ir vienādas īpašības.
Bibliogrāfija.
- Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
- Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).
Pakāpe ar racionālo eksponentu
Khasyanova T.G.,
matemātikas skolotājs
Iesniegtais materiāls noderēs matemātikas skolotājiem, apgūstot tēmu "Grādi ar racionālu rādītāju".
Iesniegtā materiāla mērķis: manas pieredzes atklāšana, vadot stundu par tēmu "Grādi ar racionālu rādītāju" darba programma disciplīna "Matemātika".
Nodarbības metodika atbilst tās veidam - stunda jaunu zināšanu apguvē un primārajā nostiprināšanā. Pamatzināšanas un prasmes tika papildinātas, pamatojoties uz iepriekš iegūto pieredzi; jaunas informācijas primārā iegaumēšana, konsolidācija un pielietošana. Jauna materiāla konsolidācija un pielietošana notika dažādas sarežģītības problēmu risināšanas veidā, kuras es pārbaudīju, sniedzot pozitīvs rezultāts tēmas apguve.
Stundas sākumā es izvirzīju skolēniem šādus mērķus: izglītojošs, attīstošs, izglītojošs. Klasē es izmantoju dažādi veidi aktivitātes: frontālās, individuālās, tvaika pirts, neatkarīgas, pārbaudes. Uzdevumi bija diferencēti un ļāva katrā nodarbības posmā noteikt zināšanu asimilācijas pakāpi. Uzdevumu apjoms un sarežģītība atbilst vecuma īpašības studenti. No manas pieredzes - mājasdarbs, līdzīgi problēmām, kas atrisinātas klasēļauj droši nostiprināt iegūtās zināšanas un prasmes. Nodarbības noslēgumā notika refleksija un tika vērtēts atsevišķu skolēnu darbs.
Mērķi ir sasniegti. Studenti pētīja grāda jēdzienu un īpašības ar racionālu eksponentu, uzzināja, kā šīs īpašības izmantot praktisku uzdevumu risināšanā. Aiz muguras patstāvīgs darbs atzīmes tiek paziņotas nākamajā nodarbībā.
Uzskatu, ka manis izmantoto metodiku matemātikas stundu vadīšanai var pielietot matemātikas skolotāji.
Nodarbības tēma: Grāds ar racionālu rādītāju
Nodarbības mērķis:
Zināšanu un prasmju kompleksa studentu apguves līmeņa noteikšana un, pamatojoties uz to, noteiktu risinājumu pielietošana izglītības procesa uzlabošanai.
Nodarbības mērķi:
Apmācības: veidot studentu vidū jaunas zināšanas par pamatjēdzieniem, noteikumiem, likumiem grāda noteikšanai ar racionālu rādītāju, spēju patstāvīgi pielietot zināšanas standarta apstākļos, mainītos un nestandarta apstākļos;
izstrādājot: domā loģiski un īsteno Radošās prasmes;
pedagogi: veidot interesi par matemātiku, papildināt vārdu krājumu ar jauniem terminiem, iegūt Papildus informācija par apkārtējo pasauli. Izkopt pacietību, neatlaidību, spēju pārvarēt grūtības.
Laika organizēšana
Pamatzināšanu atjaunināšana
Reizinot jaudas ar to pašu bāzi, tiek pievienoti eksponenti, un bāze paliek nemainīga:
Piemēram, 
2. Sadalot pakāpes ar vienādām bāzēm, eksponenti tiek atņemti, un bāze paliek nemainīga:
Piemēram, 
3. Palielinot pakāpi līdz pakāpei, eksponenti tiek reizināti, un bāze paliek nemainīga:
Piemēram,
4. Produkta pakāpe ir vienāda ar faktoru pakāpju reizinājumu:
Piemēram, 
5. Koeficienta pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju koeficientu:
Piemēram, 
Risinājumu vingrinājumi
Atrodiet izteiksmes vērtību: 
Lēmums:
Šajā gadījumā neviena no pakāpes īpašībām ar naturālo eksponentu nevar tikt pielietota tieši, jo visiem grādiem ir dažādi pamati. Rakstīsim dažus grādus citā formā:
(produkta pakāpe ir vienāda ar faktoru pakāpju reizinājumu);
(reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, tiek saskaitīti eksponenti, un bāze paliek nemainīga, paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, eksponenti tiek reizināti, bet bāze paliek nemainīga).
Tad mēs iegūstam:
AT šis piemērs tika izmantotas pirmās četras pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu.
Aritmētiskā kvadrātsakne
ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ira,
. Plkst 
- izteiksme nav definēts, jo nav neviena reāla skaitļa, kura kvadrāts būtu vienāds ar negatīvu skaitlia.
Matemātiskais diktāts(8–10 min.)
Opcija
II. Opcija
1. Atrodiet izteiksmes vērtību
a) 
b) 
1. Atrodiet izteiksmes vērtību
a) 
b) 
2. Aprēķināt
a) 
b) 
AT) 
2. Aprēķināt
a) 
b) 
iekšā) 
Pašpārbaude(uz atloka dēļa):
Atbildes matrica:
№ iespēja/uzdevums
1. uzdevums
2. uzdevums
1. iespēja
a) 2
b) 2
a) 0,5
b) 
iekšā) 
2. iespēja
a) 1.5
b)
a) 
b) 
plkst.4
II Jaunu zināšanu veidošana
Apsveriet izteiciena nozīmi, kur 
- pozitīvs skaitlis– daļskaitlis un m-vesels skaitlis, n-dabisks (n>1)
Definīcija: skaitļa a›0 pakāpe ar racionālu eksponentur = , m- vesels, n- dabīgs ( n›1) tiek izsaukts numurs.
Tātad: 
Piemēram: 
Piezīmes:
1. Jebkuram pozitīvam a un jebkuram racionālam r skaitlis 
pozitīvi.
2. Kad skaitļa racionālais spēksanav definēts.
Izteicieni, piemēram, 
nav jēgas.
3.Ja 
daļējs pozitīvs skaitlis 
.
Ja daļēja negatīvs skaitlis, tad 
-nav jēgas.
Piemēram: 
- nav jēgas.
Apsveriet pakāpes īpašības ar racionālu eksponentu.
Ļaujiet a>0, в>0; r, s - jebkurš racionālie skaitļi. Tad pakāpei ar jebkuru racionālu eksponentu ir šādas īpašības:
1.
2.
3.
4.
5.
III. Konsolidācija. Jaunu prasmju un iemaņu veidošana.
Uzdevumu kartes darbojas mazās grupās testa veidā.
Mēs arī iesakām
Notiek ielāde...