mājas > Matemātika

Pakāpe ar racionālu indikatoru iespēju 3. Skaitļa pakāpe: definīcijas, apzīmējums, piemēri

No skaitļa a veseliem eksponentiem pāreja uz racionālu eksponentu liecina par sevi. Zemāk mēs definējam pakāpi ar racionālu eksponentu, un mēs to darīsim tā, lai tiktu saglabātas visas pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Tas ir nepieciešams, jo veseli skaitļi ir daļa no racionālajiem skaitļiem.

Ir zināms, ka racionālo skaitļu kopa sastāv no veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, un katrs daļskaitlis var attēlot kā pozitīvu vai negatīvu kopējā frakcija. Iepriekšējā rindkopā mēs definējām pakāpi ar veselu eksponentu, tāpēc, lai pabeigtu pakāpes definīciju ar racionālu eksponentu, mums ir jāpiešķir skaitļa pakāpes nozīme a ar daļu m/n, kur m ir vesels skaitlis un n-dabisks. Darīsim to.

Apsveriet grādu ar formas daļēju eksponentu. Lai grāda īpašība grāda paliek spēkā, ir jāpastāv vienlīdzībai . Ja ņemam vērā iegūto vienādību un to, kā mēs noteicām n-tās pakāpes sakni, tad ir loģiski pieņemt, ja ar datiem m, n un a izteicienam ir jēga.

Ir viegli pārbaudīt, vai visas pakāpes īpašības ar veselu eksponentu ir derīgas as (tas tiek darīts sadaļā par pakāpes īpašībām ar racionālu eksponentu).

Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums izdarīt sekojošo secinājums: ja dots m, n un a izteiksmei ir jēga, tad skaitļa jauda a ar daļu m/n sauc par sakni n th pakāpe a tādā mērā m.

Šis apgalvojums mūs tuvina pakāpes definīcijai ar daļēju eksponentu. Atliek tikai aprakstīt zem kā m, n un a izteicienam ir jēga. Atkarībā no noteiktajiem ierobežojumiem m, n un a ir divas galvenās pieejas.

1. Vienkāršākais veids ir noteikt ierobežojumu a, pieņemot a≥0 par pozitīvu m un a>0 par negatīvu m(jo plkst m≤0 grāds 0 m nenoteikts). Tad mēs iegūstam šādu pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu.

Definīcija.

Pozitīva skaitļa pakāpe a ar daļu m/n , kur m ir veselums, un n ir naturāls skaitlis, ko sauc par sakni n-tais no vidus a tādā mērā m, t.i., .



Nulles daļēja pakāpe ir arī definēta ar vienīgo brīdinājumu, ka eksponentam ir jābūt pozitīvam.

Definīcija.

Nulles jauda ar daļēju pozitīvu eksponentu m/n , kur m ir pozitīvs vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis, kas definēts kā .
Ja pakāpe nav definēta, tas ir, nulles skaitļa pakāpei ar daļēju negatīvu eksponentu nav jēgas.

Jāatzīmē, ka ar šādu pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu ir viena nianse: dažiem negatīviem a un daži m un n izteiksmei ir jēga, un mēs atmetām šos gadījumus, ieviešot nosacījumu a≥0. Piemēram, ir jēga rakstīt vai , un iepriekš minētā definīcija liek mums teikt, ka grādi ar formas daļēju eksponentu ir bezjēdzīgi, jo bāze nedrīkst būt negatīva.

2. Vēl viena pieeja pakāpes noteikšanai ar daļskaitli m/n sastāv no saknes pāra un nepāra eksponentu atsevišķa izskatīšanas. Šī pieeja prasa papildu nosacījums: pakāpe a, kura rādītājs ir samazināta parastā daļa, tiek uzskatīts par skaitļa pakāpju a, kura rādītājs ir atbilstošā nereducējamā daļa (šī nosacījuma nozīme tiks paskaidrota tālāk). Tas ir, ja m/n ir nereducējama daļa, tad jebkuram naturālam skaitlim k grāds sākotnēji tiek aizstāts ar .

Par pat n un pozitīvs m izteiksmei ir jēga jebkuram nenegatīvam a(negatīva skaitļa pāra pakāpes saknei nav jēgas), ar negatīvu m numuru a joprojām ir jāatšķiras no nulles (pretējā gadījumā tas būs dalījums ar nulli). Un par dīvainu n un pozitīvs m numuru a var būt jebkas (nepāra pakāpes sakne ir definēta jebkuram reālam skaitlim) un negatīvs m numuru a jāatšķiras no nulles (lai nebūtu dalīšanas ar nulli).

Iepriekš minētais pamatojums noved pie šādas pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu.

Definīcija.

Ļaujiet būt m/n- nesamazināmā daļa m ir veselums, un n- dabiskais skaitlis. Jebkurai reducējamai parastajai daļai grādu aizstāj ar . Pakāpe no a ar nereducējamu daļskaitļu eksponentu m/n- tas ir priekš

o jebkurš reāls skaitlis a, pozitīvs vesels skaitlis m un nepāra dabas n, Piemēram, ;

o jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle a, negatīvs vesels skaitlis m un nepāra n, piemēram, ;

o jebkurš nenegatīvs skaitlis a, pozitīvs vesels skaitlis m un pat n, Piemēram, ;

o jebkuru pozitīvu a, negatīvs vesels skaitlis m un pat n, piemēram, ;

o citos gadījumos pakāpe ar daļēju eksponentu nav definēta, jo, piemēram, grādi nav definēti .a ierakstiem mēs nepiešķiram nekādu nozīmi, mēs definējam nulles pakāpi pozitīviem daļskaitļu eksponentiem m/n kā , negatīviem daļskaitļa eksponentiem skaitļa nulles pakāpe nav noteikta.

Šīs rindkopas noslēgumā pievērsīsim uzmanību tam, ka daļskaitli var uzrakstīt kā decimāldaļskaitli vai jauktu skaitli, piemēram, . Lai aprēķinātu šāda veida izteiksmju vērtības, eksponents ir jāraksta kā parasta daļa un pēc tam jāizmanto pakāpes definīcija ar daļskaitli. Šiem piemēriem mums ir un


Pēc skaitļa pakāpes noteikšanas ir loģiski runāt pakāpes īpašības. Šajā rakstā mēs sniegsim skaitļa pakāpes pamatīpašības, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem. Šeit mēs sniegsim visu pakāpes īpašību pierādījumus, kā arī parādīsim, kā šīs īpašības tiek izmantotas, risinot piemērus.

Lapas navigācija.

Pakāpju īpašības ar naturālajiem rādītājiem

Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu a n pakāpe ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Pamatojoties uz šo definīciju, un izmantojot reizināšanas īpašības reāli skaitļi , mēs varam iegūt un pamatot sekojošo pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu:

  1. pakāpes galvenā īpašība a m ·a n =a m+n , tās vispārinājums ;
  2. parciālo pakāpju īpašība ar vienādām bāzēm a m:a n =a m−n ;
  3. produkta pakāpes īpašība (a b) n =a n b n , tās paplašinājums ;
  4. koeficients īpašums natūrā (a:b) n =a n:b n ;
  5. paaugstināšana (a m) n =a m n , tās vispārinājums (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. grādu salīdzināšana ar nulli:
    • ja a>0 , tad a n >0 jebkuram naturālam n ;
    • ja a=0, tad a n=0;
    • ja<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, ja a<0 и показатель степени есть nepāra skaitlis 2 m-1, tad 2 m-1<0 ;
  7. ja a un b ir pozitīvi skaitļi un a
  8. ja m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n , tad pie 0 0 nevienādība a m >a n ir patiesa.

Mēs nekavējoties atzīmējam, ka visas rakstiskās vienādības ir identisks noteiktos apstākļos, un to labās un kreisās daļas var tikt nomainītas. Piemēram, galvenā īpašība daļai a m a n = a m + n ar izteicienu vienkāršošana bieži lieto formā a m+n = a m a n .

Tagad aplūkosim katru no tiem sīkāk.

    Sāksim ar divu pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājuma īpašību, ko sauc grāda galvenais īpašums: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa.

    Pierādīsim grāda galveno īpašību. Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu pakāpju reizinājumu ar vienādām formas a m a n bāzēm var uzrakstīt kā reizinājumu. Pateicoties reizināšanas īpašībām, iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā , un šis reizinājums ir a pakāpe ar naturālo eksponentu m+n , tas ir, a m+n . Tas pabeidz pierādījumu.

    Sniegsim piemēru, kas apstiprina grāda galveno īpašību. Ņemsim grādus ar vienādām bāzēm 2 un naturālajām pakāpēm 2 un 3, atbilstoši pakāpes galvenajai īpašībai varam uzrakstīt vienādību 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Pārbaudīsim tā derīgumu, kam mēs aprēķinām izteiksmju 2 2 · 2 3 un 2 5 vērtības. Veicot kāpināšanu, mēs esam 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 un 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, jo tiek iegūtas vienādas vērtības, tad vienādība 2 2 2 3 \u003d 2 5 ir pareiza, un tā apstiprina grāda galveno īpašību.

    Pakāpes galveno īpašību, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var vispārināt ar trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem. Tātad jebkuram naturālu skaitļu skaitam k n 1 , n 2 , …, n k vienādība a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Piemēram, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Jūs varat pāriet uz nākamo grādu īpašību ar dabisku indikatoru - daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem: jebkuram reālam skaitlim, kas nav nulle, un patvaļīgiem naturāliem skaitļiem m un n, kas apmierina nosacījumu m>n , vienādība a m:a n =a m−n ir patiesa.

    Pirms sniegt pierādījumu par šo īpašumu, pārrunāsim izziņas papildu nosacījumu nozīmi. Nosacījums a≠0 nepieciešams, lai izvairītos no dalīšanas ar nulli, jo 0 n =0, un, iepazīstoties ar dalīšanu, vienojāmies, ka ar nulli dalīt nav iespējams. Nosacījums m>n tiek ieviests, lai mēs netiktu tālāk par naturālajiem eksponentiem. Patiešām, m>n eksponents a m−n ir dabiskais skaitlis, pretējā gadījumā tā būs nulle (kas notiek, kad m − n ) vai negatīvs skaitlis (kas notiek, kad m

    Pierādījums. Daļas galvenā īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a m−n a n =a (m−n)+n =a m. No iegūtās vienādības a m−n ·a n =a m un no tā izriet, ka m−n ir a m un a n pakāpju koeficients. Tas pierāda daļēju pilnvaru īpašību ar vienādām bāzēm.

    Ņemsim piemēru. Ņemsim divus grādus ar vienādām bāzēm π un naturālajiem eksponentiem 5 un 2, pakāpes aplūkotā īpašība atbilst vienādībai π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Tagad apsveriet produkta pakāpes īpašums: jebkuru divu reālu skaitļu a un b reizinājuma dabiskā pakāpe n ir vienāda ar pakāpju a n un b n reizinājumu, tas ir, (a b) n =a n b n .

    Patiešām, pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu mums tas ir . Pēdējo reizinājumu, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var pārrakstīt kā , kas ir vienāds ar a n b n .

    Šeit ir piemērs: .

    Šī īpašība attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpi. Tas ir, k faktoru reizinājuma dabiskās jaudas īpašība n ir uzrakstīta kā (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Skaidrības labad mēs parādām šo īpašumu ar piemēru. Trīs faktoru reizinājumam ar pakāpju 7 mums ir .

    Nākamais īpašums ir dabas īpašums: reālo skaitļu a un b , b≠0 attiecība pret naturālo pakāpju n ir vienāda ar pakāpju a n un b n koeficientu, tas ir, (a:b) n =a n:b n .

    Pierādīšanu var veikt, izmantojot iepriekšējo īpašumu. Tātad (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, un vienādība (a:b) n b n =a n nozīmē, ka (a:b) n ir a n koeficients, kas dalīts ar b n .

    Uzrakstīsim šo rekvizītu, izmantojot konkrētu skaitļu piemēru: .

    Tagad parunāsim paaugstināšanas īpašība: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n pakāpē a m līdz pakāpei n ir vienāda ar a pakāpju ar eksponentu m·n , tas ir, (a m) n =a m·n .

    Piemēram, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 .

    Jaudas īpašības pakāpē pierādījums ir šāda vienādību ķēde: .

    Aplūkojamo īpašumu var paplašināt līdz pakāpei pakāpes ietvaros un tā tālāk. Piemēram, jebkuriem naturāliem skaitļiem p, q, r un s, vienādība . Lai iegūtu lielāku skaidrību, šeit ir piemērs ar konkrētiem skaitļiem: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Atliek pakavēties pie pakāpju salīdzināšanas īpašībām ar dabisko eksponentu.

    Mēs sākam, pierādot nulles un pakāpes salīdzināšanas īpašību ar naturālo eksponentu.

    Vispirms pamatosim, ka a n >0 jebkuram a>0 .

    Divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kā izriet no reizināšanas definīcijas. Šis fakts un reizināšanas īpašības ļauj apgalvot, ka jebkura skaita pozitīvu skaitļu reizināšanas rezultāts arī būs pozitīvs skaitlis. Un jauda a ar naturālo eksponentu n pēc definīcijas ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Šie argumenti ļauj mums apgalvot, ka jebkurai pozitīvai bāzei a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis. Pamatojoties uz pierādīto īpašību 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 un .

    Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkuram naturālam n ar a=0 a n pakāpe ir nulle. Patiešām, 0 n =0·0·…·0=0. Piemēram, 0 3 = 0 un 0 762 = 0 .

    Pāriesim pie negatīvām bāzēm.

    Sāksim ar gadījumu, kad eksponents ir pāra skaitlis, apzīmē to kā 2 m , kur m ir naturāls skaitlis. Tad . Katram no formas a·a reizinājumiem ir vienāds ar skaitļu a un a moduļu reizinājumu, tāpēc ir pozitīvs skaitlis. Tāpēc arī produkts būs pozitīvs. un grāds a 2 m . Šeit ir piemēri: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 un .

    Visbeidzot, ja a bāze ir negatīvs skaitlis un eksponents ir nepāra skaitlis 2 m−1, tad . Visi reizinājumi a·a ir pozitīvi skaitļi, šo pozitīvo skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs, un to reizinot ar atlikušo negatīvo skaitli a iegūst negatīvu skaitli. Sakarā ar šo īpašību (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Mēs pievēršamies īpašībai salīdzināt grādus ar tiem pašiem naturālajiem eksponentiem, kam ir šāds formulējums: no diviem grādiem ar vienādiem naturālajiem eksponentiem n ir mazāks par to, kura bāze ir mazāka, un vairāk par to, kuras bāze ir lielāka. Pierādīsim to.

    Nevienlīdzība a n nevienādību īpašības nevienlīdzība tiek pierādīta formā a n (2,2) 7 un .

    Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām pilnvaru īpašībām ar dabiskajiem eksponentiem. Formulēsim to. No diviem grādiem ar naturālajiem rādītājiem un vienādām pozitīvajām bāzēm, mazāk par vienu, grāds ir lielāks, kura rādītājs ir mazāks; un no diviem grādiem ar dabiskajiem rādītājiem un vienādām bāzēm, kas ir lielākas par vienu, pakāpe, kuras rādītājs ir lielāks, ir lielāks. Mēs vēršamies pie šī īpašuma pierādījuma.

    Pierādīsim, ka m>n un 0 0 sākotnējā nosacījuma m>n dēļ, no kā izriet, ka pie 0

    Atliek pierādīt īpašuma otro daļu. Pierādīsim, ka m>n un a>1 gadījumā a m >a n ir patiess. Atšķirība a m −a n pēc n izņemšanas no iekavām iegūst formu a n ·(a m−n −1) . Šis reizinājums ir pozitīvs, jo a>1 a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis, un starpība a m-n -1 ir pozitīvs skaitlis, jo m-n>0 sākotnējā nosacījuma dēļ, un, ja a>1, m-n pakāpe ir lielāka par vienu . Tāpēc a m − a n >0 un a m >a n , kas bija jāpierāda. Šo īpašību ilustrē nevienlīdzība 3 7 >3 2 .

Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem

Tā kā pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad visas pakāpju īpašības ar pozitīviem veseliem skaitļiem precīzi sakrīt ar pakāpju īpašībām ar naturālajiem eksponentiem, kas uzskaitīti un pierādīti iepriekšējā punktā.

Pakāpi ar negatīvu veselu eksponentu, kā arī pakāpi ar nulles eksponentu mēs definējām tā, lai visas pakāpes īpašības ar naturālajiem eksponentiem, kas izteiktas ar vienādībām, paliktu spēkā. Tāpēc visas šīs īpašības ir spēkā gan nulles eksponentiem, gan negatīviem eksponentiem, savukārt, protams, grādu bāzes nav nulles.

Tātad jebkuriem reāliem un nulles skaitļiem a un b, kā arī jebkuriem veseliem skaitļiem m un n ir taisnība grādu īpašības ar veseliem eksponentiem:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n ;
  6. ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, a un b ir pozitīvi skaitļi, un a b-n;
  7. ja m un n ir veseli skaitļi un m>n , tad pie 0 1 nevienādība a m >a n ir izpildīta.

Ja a=0, pakāpēm a m un a n ir jēga tikai tad, ja gan m, gan n ir pozitīvi veseli skaitļi, tas ir, naturāli skaitļi. Tātad tikko uzrakstītās īpašības ir spēkā arī gadījumos, kad a=0 un skaitļi m un n ir pozitīvi veseli skaitļi.

Nav grūti pierādīt katru no šīm īpašībām, šim nolūkam pietiek izmantot pakāpes definīcijas ar naturālu un veselu eksponentu, kā arī darbību īpašības ar reāliem skaitļiem. Piemēram, pierādīsim, ka jaudas īpašība attiecas gan uz pozitīviem veseliem skaitļiem, gan uz nepozitīviem veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, mums jāparāda, ka, ja p ir nulle vai naturāls skaitlis un q ir nulle vai naturāls skaitlis, tad vienādības (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) un (a-p)-q =a (-p) (-q). Darīsim to.

Pozitīvajiem p un q vienādība (a p) q =a p·q tika pierādīta iepriekšējā apakšnodaļā. Ja p=0, tad mums ir (a 0) q =1 q =1 un a 0 q =a 0 =1, no kurienes (a 0) q =a 0 q . Līdzīgi, ja q=0, tad (a p) 0 =1 un a p 0 =a 0 =1, no kurienes (a p) 0 =a p 0 . Ja gan p=0, gan q=0, tad (a 0) 0 =1 0 =1 un a 0 0 =a 0 =1, no kurienes (a 0) 0 =a 0 0.

Tagad pierādīsim, ka (a −p) q =a (−p) q . Pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu veselu eksponentu , tad . Pēc koeficienta īpašības pakāpē mums ir . Tā kā 1 p =1·1·…·1=1 un , tad . Pēdējā izteiksme pēc definīcijas ir formas a −(p q) pakāpe, kuru, pamatojoties uz reizināšanas noteikumiem, var uzrakstīt kā (−p) q .

Līdzīgi .

Un .

Ar to pašu principu visas pārējās pakāpes īpašības var pierādīt ar veselu eksponentu, kas uzrakstīts vienādību formā.

Priekšpēdējā no pierakstītajām īpašībām ir vērts pakavēties pie nevienādības a −n >b −n pierādījuma, kas ir patiess jebkuram negatīvam veselam skaitlim −n un jebkuram pozitīvam a un b, kuram nosacījums a . Tā kā ar nosacījumu a 0 . Produkts a n ·b n ir pozitīvs arī kā pozitīvo skaitļu a n un b n reizinājums. Tad iegūtā daļa ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu b n − a n un a n b n koeficients. Tātad, no kurienes a −n >b −n , kas bija jāpierāda.

Pēdējā pakāpju īpašība ar veseliem eksponentiem tiek pierādīta tāpat kā analoģiskā pakāpju īpašība ar naturālajiem eksponentiem.

Pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem

Mēs definējām pakāpi ar daļēju eksponentu, paplašinot pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Citiem vārdiem sakot, grādiem ar daļskaitļa eksponentiem ir tādas pašas īpašības kā grādiem ar veseliem eksponentiem. Proti:

Pakāpju īpašību pierādījums ar daļskaitļa eksponentiem ir balstīts uz pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu, uz un uz pakāpes īpašībām ar veselu eksponentu. Sniegsim pierādījumus.

Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un , tad . Aritmētiskās saknes īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības. Turklāt, izmantojot pakāpes īpašību ar veselu eksponentu, mēs iegūstam , no kurienes pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu mēs iegūstam , un iegūtās pakāpes eksponentu var pārvērst šādi: . Tas pabeidz pierādījumu.

Otrā pakāpju īpašība ar daļējiem eksponentiem tiek pierādīta tieši tādā pašā veidā:

Pārējās vienādības tiek pierādītas ar līdzīgiem principiem:

Pievēršamies nākamā īpašuma pierādījumam. Pierādīsim, ka jebkuram pozitīvam a un b , a b p . Pierakstīsim racionāls skaitlis p kā m/n , kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Nosacījumi lpp<0 и p>0 šajā gadījumā būs līdzvērtīgs nosacījumiem m<0 и m>0 attiecīgi. Ja m>0 un a

Tāpat par m<0 имеем a m >b m , no kurienes , tas ir, un a p >b p .

Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajiem īpašumiem. Pierādīsim, ka racionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0 0 – nevienādība a p >a q . Mēs vienmēr varam samazināt racionālos skaitļus p un q līdz kopsaucējam, iegūsim parastās daļskaitļus un, kur m 1 un m 2 ir veseli skaitļi, bet n ir naturāls skaitlis. Šajā gadījumā nosacījums p>q atbildīs nosacījumam m 1 >m 2, kas izriet no . Pēc tam pēc pakāpju salīdzināšanas ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem pie 0 1 – nevienādība a m 1 >a m 2 . Šīs nevienlīdzības sakņu īpašību ziņā var pārrakstīt attiecīgi kā un . Un pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu ļauj pāriet uz nevienādībām un attiecīgi. No tā mēs izdarām galīgo secinājumu: p>q un 0 0 – nevienādība a p >a q .

Pakāpju īpašības ar iracionāliem eksponentiem

No tā, kā tiek definēts grāds ar iracionālu eksponentu, var secināt, ka tam piemīt visas pakāpes īpašības ar racionāliem eksponentiem. Tātad jebkuram a>0 , b>0 un iracionālajiem skaitļiem p un q ir taisnība grādu īpašības ar neracionāli rādītāji :

  1. a p a q = a p + q;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b , a 0 nevienlīdzība a p b p ;
  7. neracionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0 0 – nevienādība a p >a q .

No tā mēs varam secināt, ka pakāpēm ar jebkuriem reāliem eksponentiem p un q pie a>0 ir vienādas īpašības.

Bibliogrāfija.

  • Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
  • Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
  • Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

MBOU "Sidorskaja

vispārizglītojošā skola»

Plāna-kontūras izstrāde atklātā nodarbība

algebrā 11. klasē par tēmu:

Sagatavots un vadīts

matemātikas skolotājs

Iskhakova E.F.

Atvērtās stundas izklāsts algebrā 11. klasē.

Priekšmets : "Grāds ar racionālu eksponentu".

Nodarbības veids : Jauna materiāla apgūšana

Nodarbības mērķi:

    Iepazīstināt studentus ar grāda jēdzienu ar racionālu rādītāju un tā galvenajām īpašībām, pamatojoties uz iepriekš apgūto materiālu (grāds ar veselu rādītāju).

    Attīstīt skaitļošanas prasmes un spēju konvertēt un salīdzināt skaitļus ar racionālu eksponentu.

    Izkopt skolēnos matemātisko lasītprasmi un matemātisko interesi.

Aprīkojums : Uzdevumu kartītes, studenta prezentācija par grādu ar vesela skaitļa indikatoru, skolotāja prezentācija par grādu ar racionālu rādītāju, portatīvais dators, multimediju projektors, ekrāns.

Nodarbību laikā:

    Laika organizēšana.

Atsevišķu uzdevumu kartīšu aptvertās tēmas asimilācijas pārbaude.

Uzdevums numurs 1.

=2;

B) = x + 5;

Atrisiniet sistēmu iracionālie vienādojumi: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Uzdevums numurs 2.

Atrisiniet iracionālo vienādojumu: = - 3;

B) = x - 2;

Atrisiniet iracionālu vienādojumu sistēmu: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Nodarbības tēmas un mērķu izklāsts.

Mūsu šodienas nodarbības tēma Pakāpe ar racionālo eksponentu».

    Jaunā materiāla skaidrojums uz iepriekš pētītā piemēra.

Jūs jau esat iepazinies ar pakāpes jēdzienu ar veselu eksponentu. Kurš var man palīdzēt tos atcerēties?

Atkārtojums ar prezentāciju Grāds ar veselu eksponentu».

Jebkuriem skaitļiem a , b un jebkuriem veseliem skaitļiem m un n vienādības ir patiesas:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);

a 1 = a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Šodien mēs vispārināsim skaitļa pakāpes jēdzienu un piešķirsim nozīmi izteiksmēm, kurām ir daļskaitlis. Iepazīstinām definīcija grādi ar racionālu rādītāju (Prezentācija "Grādi ar racionālu rādītāju"):

Pakāpe a > 0 ar racionālu eksponentu r = , kur m ir vesels skaitlis un n - dabīgs ( n > 1), zvanīja uz numuru m .

Tātad, pēc definīcijas, mēs to iegūstam = m .

Mēģināsim pielietot šo definīciju, veicot uzdevumu.

PIEMĒRS #1

Es izsaku kā skaitļa sakni izteiksmi:

BET) B) AT) .

Tagad mēģināsim piemērot šo definīciju apgrieztā veidā

II Izteikt izteiksmi kā pakāpju ar racionālu eksponentu:

BET) 2 B) AT) 5 .

0 jauda ir definēta tikai pozitīviem eksponentiem.

0 r= 0 jebkuram r> 0.

Izmantojot šo definīciju, Mājas jūs pabeigsit #428 un #429.

Tagad parādīsim, ka augstāk minētā pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu saglabā pakāpju pamatīpašības, kas ir patiesas jebkuram eksponentam.

Jebkuriem racionāliem skaitļiem r un s un visiem pozitīvajiem a un b vienādības ir patiesas:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PIEMĒRS: *

20 . a r: a s =a r-s ;

PIEMĒRS: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

PIEMĒRS: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PIEMĒRS: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PIEMĒRS par vairāku rekvizītu izmantošanu vienlaikus: * : .

    Fizkultminutka.

Nolikām pildspalvas uz rakstāmgalda, iztaisnojam muguriņas, un tagad sniedzamies uz priekšu, gribas pieskarties dēlim. Un tagad mēs pacēlāmies un noliecāmies pa labi, pa kreisi, uz priekšu, atpakaļ. Viņi man parādīja pildspalvas, un tagad parādiet, kā tavi pirksti var dejot.

    Strādājiet pie materiāla

Mēs atzīmējam vēl divas pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem:

60 . Ļaujiet būt r ir racionāls skaitlis un 0< a < b . Тогда

a r < b r plkst r> 0,

a r < b r plkst r< 0.

7 0 . Jebkuriem racionāliem skaitļiemr un s no nevienlīdzības r> s tam seko

a r> a r par > 1,

a r < а r pie 0< а < 1.

PIEMĒRS: salīdziniet skaitļus:

Un ; 2 300 un 3 200 .

    Nodarbības kopsavilkums:

Šodien nodarbībā atcerējāmies pakāpes īpašības ar veselu eksponentu, uzzinājām pakāpes definīciju un pamatīpašības ar racionālu eksponentu, izskatījām šī pielietojumu. teorētiskais materiāls praksē treniņa laikā. Vēlos vērst jūsu uzmanību uz to, ka tēma "Grādi ar racionālu rādītāju" ir obligāta LIETOŠANAS uzdevumi. Sagatavošanā mājasdarbs ( Nr.428 un Nr.429

Video nodarbība "Grāds ar racionālu rādītāju" satur vizuālu izglītojošs materiāls mācīt par šo tēmu. Video nodarbībā ir informācija par grāda jēdzienu ar racionālu eksponentu, īpašībām, tādiem grādiem, kā arī piemēri, kas apraksta mācību materiāla izmantošanu praktisku problēmu risināšanā. Šīs video nodarbības uzdevums ir skaidri un saprotami prezentēt mācību materiālu, veicināt tā izstrādi un iegaumēšanu skolēniem, veidot prasmi risināt problēmas, izmantojot apgūtos jēdzienus.

Galvenās video nodarbības priekšrocības ir iespēja veikt vizuālas pārvērtības un aprēķinus, iespēja izmantot animācijas efektus mācību efektivitātes uzlabošanai. Balss pavadījums palīdz attīstīt pareizu matemātisko runu, kā arī ļauj aizstāt skolotāja skaidrojumu, atbrīvojot viņu individuālajam darbam.

Video apmācība sākas ar tēmas ievadu. Saistīšanas pētījums jauna tēma ar iepriekš pētīto materiālu ir ieteicams atcerēties, ka n √ a citādi tiek apzīmēts ar 1/n dabiskajam n un pozitīvajam a. Šis n-saknes attēlojums tiek parādīts ekrānā. Turklāt tiek ierosināts apsvērt, ko nozīmē izteiksme a m / n, kurā a ir pozitīvs skaitlis un m / n ir daļa. Lodziņā iezīmētās pakāpes definīcija ir dota ar racionālu eksponentu kā m/n = n √ a m . Jāatzīmē, ka n var būt naturāls skaitlis, bet m - vesels skaitlis.

Pēc pakāpes noteikšanas ar racionālo eksponentu tā nozīmi atklāj piemēri: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Parādīts arī piemērs, kurā pakāpums, kas attēlots ar decimāldaļu, tiek pārvērsts parastā daļskaitlī, lai to attēlotu kā sakni: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 un piemērs no negatīva vērtība grādi: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Atsevišķi tiek norādīta konkrēta gadījuma iezīme, ja pakāpes bāze ir nulle. Jāatzīmē, ka šai pakāpei ir jēga tikai ar pozitīvu daļēju eksponentu. Šajā gadījumā tā vērtība ir vienāda ar nulli: 0 m/n =0.

Tiek atzīmēta vēl viena pakāpes iezīme ar racionālu eksponentu - pakāpi ar daļskaitli nevar uzskatīt ar daļēju eksponentu. Doti nepareizas pakāpes apzīmējuma piemēri: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Tālāk video nodarbībā tiek aplūkotas grāda īpašības ar racionālu eksponentu. Tiek atzīmēts, ka pakāpes īpašības ar veselu eksponentu būs derīgas arī pakāpei ar racionālu eksponentu. Tiek ierosināts atsaukt rekvizītu sarakstu, kas ir spēkā arī šajā gadījumā:

  1. Reizinot jaudas ar vienādām bāzēm, to rādītāji tiek summēti: a p a q \u003d a p + q.
  2. Pakāpju dalījums ar vienādām bāzēm tiek samazināts līdz pakāpei ar doto bāzi un eksponentu starpību: a p:a q =a p-q .
  3. Ja paaugstinām jaudu līdz noteiktai pakāpei, tad rezultātā iegūstam jaudu ar doto bāzi un eksponentu reizinājumu: (a p) q =a pq .

Visas šīs īpašības ir derīgas pakāpēm ar racionālajiem eksponentiem p, q un pozitīvu bāzi a>0. Arī pakāpes transformācijas paliek patiesas, atverot iekavas:

  1. (ab) p =a p b p - divu skaitļu reizinājuma paaugstināšana līdz noteiktai pakāpei ar racionālu eksponentu tiek reducēta līdz skaitļu reizinājumam, no kuriem katrs tiek palielināts līdz noteiktai pakāpei.
  2. (a/b) p =a p /b p - eksponenci ar racionālu daļskaitļa eksponentu samazina līdz daļskaitlim, kuras skaitītājs un saucējs tiek paaugstināts līdz dotajai pakāpei.

Video pamācībā aplūkots piemēru risinājums, kuros izmantotas aplūkotās grādu īpašības ar racionālu eksponentu. Pirmajā piemērā tiek piedāvāts atrast vērtību izteiksmei, kas satur mainīgos x daļskaitlī: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Neskatoties uz izteiksmes sarežģītību, izmantojot grādu īpašības, tas tiek atrisināts diezgan vienkārši. Uzdevuma risinājums sākas ar izteiksmes vienkāršošanu, kurā tiek izmantots noteikums par pakāpes paaugstināšanu ar pakāpes racionālu eksponentu, kā arī pakāpes reizināšanu ar tā pati bāze. Pēc dotās vērtības x=8 aizstāšanas vienkāršotā izteiksmē x 1/3 +48 ir viegli iegūt vērtību - 50.

Otrajā piemērā ir jāsamazina daļa, kuras skaitītājs un saucējs satur pakāpes ar racionālu eksponentu. Izmantojot pakāpes īpašības, mēs izvēlamies koeficientu x 1/3 no starpības, kas pēc tam tiek samazināts skaitītājā un saucējā, un, izmantojot kvadrātu starpības formulu, skaitītājs tiek sadalīts faktoros, kas dod vairāk samazinājumu skaitītājā un saucējā ir vienādi faktori. Šādu pārveidojumu rezultāts ir īsa daļa x 1/4 +3.

Tā vietā, lai skolotājs skaidrotu jauno stundas tēmu, var izmantot video nodarbību "Grāds ar racionālu rādītāju". Šajā rokasgrāmatā ir arī pietiekami daudz informācijas par pašmācība students. Materiāls var būt noderīgs tālmācībā.

Mēs arī iesakām

Notiek ielāde...Notiek ielāde...